La funzione ζ di Riemann

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1 La funzione ζ di esame di analisi non lineare applicata Marcello Seri Università degli Studi di Camerino Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p.

2 Definizione La funzione ζ di è definita dalla serie La ζ di Definizione ζ(s) = n= n s che converge analiticamente in Rs > È possibile prolungare analiticamente la funzione a tutto il piano complesso con un polo semplice in s =. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 2

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4 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ È semplice estendere la funzione al semipiano Rs > 0 : siano [x] e {x} rispettivamente la parte intera e la parte frazionaria di x. Basta manipolare la definizione per Rs > come segue: Dunque ζ(s) = = s + n= + n = + s n= s + n dx + x = s s+ x {x} x s+ dx = s s s ζ(s) = + + s s + {x} dx xs+ [x] dx = xs+ {x} dx xs+ cioè ζ(s) è una funzione meromorfa sul semipiano Rs > 0 con un polo semplice in s = di residuo. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 4

5 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Per arrivare a trovare un estensione su tutto il piano complesso è necessario introdurre la Formula di Eulero-MacLaurin. Sia f C k : n k=m f(k) = n m f(x)dx + ( )r r! + r l= B l l! n m B r (x)f (r) (x)dx + [ ] f (l ) (n) f (l ) (m) in cui B k (x) sono i Polinomi di Bernoulli e B k (x) = B k (x [x]) sono i Polinomi di Bernoulli -periodicizzati. I polinomi di Bernoulli sono definiti come coefficienti di uno sviluppo in serie di potenze da xe xt + e x = n= B n (t) x n n! in particolare si prova che B n (0) = B n (numeri di Bernoulli) e B n (t) = n ( n ) k=0 k Bn k t k Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 5

6 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Consideriamo f(x) = x s (che è C ), m = e lasciamo n libera di variare, avremo n k= k s = n x s dx n r! (s)(s + ) (s + r ) B r (x)x s r dx + + n s 2 + r l=2 B l l! s(s + ) (s + l 2)( n s l+ ) Se ora facciamo il limite per n + avremo trovato un modo utile ma complicato per scrivere la ζ(s): + n= k s = 2 + s + r l=2 s(s ) (s + r ) r! + B r (x)x s r dx + B l l! s(s + ) (s + l 2)( n s l+ ) r N Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 6

7 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Non solo abbiamo trovato un modo per calcolare i valori della ζ(s) ma abbiamo anche un suo prolungamento analitico su C \ {}. Infatti s(s ) (s+r ) r! + B r (x)x s r dx (che è la parte meno ovvia della formula) converge per Rs > r, ma essendo r N, il problema è dato soltanto dalla difficoltà del calcolo dei polinomi di Bernoulli adeguati. Vedremo più avanti alcuni esempi di calcoli espliciti di valori della ζ a partire da questa formula. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 7

8 La ζ di Un modo decisamente più semplice per estendere la ζ è sfruttare la funzione ξ(s) = s( s)π s 2 Γ( s 2 )ζ(s). Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Utilizzando la formula di inversione per la funzione ϑ(t) = n Z e πtn2 secondo la quale ϑ(t) = t ϑ( t ), si ricava con una discreta quantità di passaggi che: ξ(s) = + s( s) + s+ (ϑ(x) )(x 2 + x s 2 )dx 2 funzione analitica di s invariante per la trasformazione s s. In altre parole ξ(s) = ξ( s). Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 8

9 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Poichè Γ(s) è analitica in Rs > 0 mentre, come abbiamo visto, ζ(s) è meromorfa in tale semipiano con un solo polo semplice in s = con residuo, la ξ(s) non ha in Rs > 0 alcuna singolarità (ξ() = π 2Γ( 2 ) = ). Dall equazione funzionale segue subito che lo stesso vale per Rs <. Possiamo osservare che avendo la funzione Γ( s 2 ) poli semplici in s = 2, 4, 6, ed essendo ξ(s) regolare in questi punti, i poli si cancellano con gli zeri di ζ(s), dunque ζ( 2k) = 0 k N \ {0} Tali punti vengono chiamati zeri banali della funzione ζ di. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 9

10 La ζ di Convergenza per Rs > 0 Formula di Eulero-MacLaurin C \ {} C \ {} L equazione funzionale Considerazioni sull equazione funzionale Considerazioni sulla ζ Se ripensiamo a quanto visto fino ad ora, non abbiamo ancora trovato nulla capace di spiegarci a fondo ed in maniera evidente il comportamento della ζ in [0, ]. Effettivamente, dall equazione funzionale si può dedurre soltanto che ogni altro zero di ζ(s) si trova nella striscia critica 0 < Rs < e se ζ(ρ) = 0 con ρ = β + iγ e 0 β allora ζ( ρ) = 0, cioè tali zeri sono simmetrici rispetto ad 2 Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 0

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12 La ζ di Utilizziamo lo sviluppo analitico trovato in precedenza (p.6), fissando i parametri come meglio crediamo, per calcolare alcuni valori della ζ. Con lo sviluppo analitico Con lo sviluppo analitico Formula per i valori pari Formula per i valori pari Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 2

13 La ζ di Utilizziamo lo sviluppo analitico trovato in precedenza (p.6), fissando i parametri come meglio crediamo, per calcolare alcuni valori della ζ. Con lo sviluppo analitico Con lo sviluppo analitico Formula per i valori pari Formula per i valori pari Sia r = 2. Poiché B 2 (x) = (t [t]) 2 (t [t]) 2 e B 2 = 6, si ha ζ(s) = 2 + s s(s ) 2 + B 2 (x)x s 2 dx + s B 2 2 dunque, ponendo s = 0, ζ(0) = 2. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 2

14 La ζ di Con lo sviluppo analitico Con lo sviluppo analitico Formula per i valori pari Formula per i valori pari Sia s = m e sia r = m + 2 (in modo che s + r 2 = 0). La formula diviene ζ( m) = 2 m+ m + l=2 B l l! m(m ) (m l + 2). Se osserviamo che, siccome B l 0 solo se l è pari e m(m ) (m l+2) l! m+ m+ = ( m+ ) m+ l, ricaviamo: ζ( m) = m + m+ l=0 ( m + l ) B l = B m+ m + Effettivamente ζ( 2k) = B 2k+ 2k+ = 0 k! Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 3

15 La ζ di Con lo sviluppo analitico Con lo sviluppo analitico Formula per i valori pari Formula per i valori pari A partire dalla formula di riflessione di Eulero nella versione sin(πs) = π + Γ(s)Γ( s) = πs n= ( s2 si ricava con la derivata logaritmica lo sviluppo in funzioni parziali della cotangente π cot(πs) = s + + n= n 2 ( s + n + ) s n ) a questo punto, operando su tale formula, si ottiene: ζ(2k) = ( )k+ 2 2k π 2k (2k)! B 2k Per completezza c è da aggiungere che questa stessa formula può essere ricavata in maniera altrettanto semplice ragionando sulle serie di Fourier e sulla formula di Eulero-MacLaurin. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 4

16 La ζ di In questo modo è decisamente più sempice calcolare i valori della zeta relativi agli interi positivi: Con lo sviluppo analitico Con lo sviluppo analitico Formula per i valori pari Formula per i valori pari ζ(2) = π2 6 ζ(4) = π4 90 ζ(6) = π6 945 Calcolare ζ(2k + ) è molto molto complicato! Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 5

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18 La ζ di L ipotesi di È noto che n N! una scomposizione in fattori primi n = p a pa k k con p i primo i k. Eulero aveva capito da lì l importanza della ζ... si era accorto infatti che la scomponibilità dei numeri interi portava ad un curioso risultato: + ( n s = + 2 s + 4 s + 8 s + )( ) s s s s= ( s 25 + ) s 25 + = s = + p primo k=0 p ks = p primo ( p s ) che converge per Rs >. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 7

19 La ζ di L ipotesi di Molti sanno anche che i numeri primi sono distribuiti in modo apparentemente aleatorio ma, globalmente, c è una regolarità: Teorema dei Numeri Primi π(x) = #{p x p primo} x 2 dt log(t) Questo teorema fu congetturato indipendentemente da Gauss (792) e Legendre (798) e dimostrato 896, indipendentemente da Hadamard e La Vallée-Poussin, utilizzando la relazione trovata da Eulero tra ζ(s) e numeri primi. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 8

20 La ζ di L ipotesi di Una forma semplice della relazione tra la distribuzione dei numeri primi π(x) e gli zeri ρ = β + iγ della ζ è da Ψ(x) = n x Λ(n) = x ρ x ρ ρ log(2π) log x 2 in cui Λ(n) è la funzione di Von Mangoldt ed è definita { ln(p) se n = p k per qualche k, Λ(n) = 0 altrimenti. Il teorema dei numeri primi può anche essere scritto come segue: Ψ(x) x Poiché x ρ = x β segue che perché il teorema sia valido si deve necessariamente avere β <, di conseguenza anche β > 0. Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 9

21 La ζ di L ipotesi di L ipotesi di, tuttora indimostrata e per la quale sono stati messi in palio dal Clay Institute di dollari, afferma che tutti gli zeri ζ(β + iγ) = 0 in 0 < Rs < hanno parte reale β = 2. Una formulazione equivalente a questa ipotesi è il fatto che nel teorema dei numeri primi vale la seguente stima: ǫ > 0 x dt π(x) = log(t) + O(x 2 +ǫ ) 2 Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 20

22 La ζ di L ipotesi di Infine, non possiamo non citare un ultima formulazione equivalente ad RH. Consideriamo la Funzione di Möbius µ(d) definita { µ(m) = δi m se m =, = 0 altrimenti. d m Una sua importante proprietà è la seguente legge di inversione. g(x) = + m= f(mx) f(x) = + m= µ(m)g(mx) Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 2

23 La ζ di Si definisce trasformata di Mellin di una funzione f, una funzione f così definita: f (s) = + 0 f(x)x s dx L ipotesi di Poiché f(mx) = M [m s f (s); x], sommando su m otteniamo + m= f(mx) = M [ζ(s)f (s); x], da cui, applicando il principio di inversione si ricava g (s) = ζ(s)f (s) f (s) = + m= A questo punto è immediato che µm m s g (s). + ζ(s) = n= µ(n) n s Cioè la funzione zeta e la funzione di Möbius sono strettamente legate, tant è che capire l andamento asintotico di m N µ(m) equivale a dimostrare l ipotesi di! Analisi Non Lineare Applicata, January 2, 2006 La funzione ζ di - p. 22