1. Introduzione alle funzioni

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1 Unità Funzioni. Introduzione alle funzioni Tema A Che cos è una funzione? In questa Unità rirendiamo e arofondiamo un tema fondamentale già introdotto nel rimo biennio e che ci accomagnerà in tutto il nostro corso: quello delle funzioni. Per oter definire il concetto di funzione dobbiamo anzitutto definire quello di relazione. RELAZINE Una relazione è una legge che ermette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi di un insieme di artenza A uno o iù elementi di un insieme di arrivo B. ESEMPI a. Nella fig.. abbiamo raresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni città dell insieme A la regione dell insieme B cui tale città aartiene. b. Nella fig.. abbiamo raresentato tramite un diagramma a frecce la relazione che associa a ogni regione dell insieme A le città dell insieme B che aartengono a tale regione. A Milano Torino Bologna Roma B Lombardia Piemonte Emilia Romagna Lazio Sicilia A Liguria Toscana Camania Puglia B Genova Firenze Pisa Naoli Bari Figura. Figura. La relazione raresentata in fig.. ha una articolare caratteristica, che non ossiede la relazione in fig..: daogni elemento di A arte una e una sola freccia verso qualche elemento di B.Ciòsignifica che ogni elemento di A è in relazione con un unico elemento di B. Le relazioni che hanno questa rorietà si dicono funzioni. Modi di dire Poiché una funzione fa corrisondere a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, viene detta anche corrisondenza univoca. Un altro sinonimo di funzione è alicazione. FUNZINE Siano A e B due insiemi non vuoti; si dice funzione da A a B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. L insieme di artenza A si chiama dominio della funzione, l insieme di arrivo B si chiama codominio. Esemio In un insieme di ersone, la relazione che associa a ciascuna di esse la sua età definisce una funzione. Infatti a ogni ersona resta associata un unica età. Controesemio In un insieme di ersone, la relazione che associa a ciascuna di esse i suoi figli, in generale, non definisce una funzione. Infatti qualcuno otrebbe non avere figli o averne iù di uno. 66

2 Le funzioni vengono indicate con lettere dell alfabeto, generalmente minuscole, come f, g, ::::: Per indicare che f è una funzione di dominio A e di codominio B si scrive: f : A! B che si legge: «f è una funzione da A a B» Quando è data una funzione f,l immagine di un elemento aartenente al dominio della funzione, cioè l elemento nel codominio che tramite f corrisonde a, viene indicata con il simbolo: Unità Funzioni f ð che si legge «f di» Se l elemento è l immagine di tramite una certa funzione f, si uò anche dire, simmetricamente, che è la controimmagine di. In articolare, l insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio A è chiamato (insieme) immagine della funzione, e lo si indica con f ða. Altre notazioni L insieme immagine di una funzione f viene talvolta indicato con il simbolo Imðf. Funzioni reali di variabile reale e loro classificazione Fra i vari tii di funzioni, giocano un ruolo di rimo iano le funzioni che hanno come dominio e codominio sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali: queste funzioni sono chiamate funzioni reali di variabile reale e saranno l oggetto rinciale del nostro corso. La legge che definisce una funzione f, reale di variabile reale, viene solitamente assegnata mediante un equazione del tio: ¼ f ð dove f ð è un esressione nella variabile, detta esressione analitica della funzione, oure mediante una scrittura del tio: f ð ¼:::::::::: dove al osto dei untini vi è aunto l esressione analitica della funzione. ESEMPI a. La funzione f,darar þ 0, che associa a ogni numero reale il suo quadrato, uò venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due forme: ¼ oure f ð ¼ b. La funzione f,dar a R, che associa a ogni numero reale il numero stesso, detta funzione identità, uò venire assegnata, in modo equivalente, in una delle seguenti due forme: ¼ oure f ð ¼ Se la funzione è assegnata tramite l equazione: ¼ f ð si dice che è la variabile indiendente, erché a essa uò venire assegnato un valore arbitrariamente scelto nel dominio, mentre è la variabile diendente, erché il valore assunto da diende da quello assegnato alla. ESEMPI Valori assunti da una funzione Data la funzione f definita da ¼ 3, determiniamo i valori assunti da quando: a. ¼ 4 b. ¼ Ô 67

3 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Ô Attenzione! Non è detto che l esressione analitica di una funzione numerica ossa semre venire esressa tramite una sola esressione algebrica. Per esemio, una funzione otrebbe essere definita da: fð ¼ se 0 3 se < 0 Non è nemmeno detto che la legge che definisce una funzione numerica ossa semre venire esressa tramite una «formula». Per esemio, la funzione f : N! N che associa a ogni N il numero dei numeri rimi minori di è ben definita, ma non esiste «formula» in grado di esrimere la legge che la definisce. a. Il valore assunto da quando ¼ 4 si uò determinare sostituendo 4 al osto di nell equazione che definisce f : ¼ ¼ ¼ 40 b. Analogamente, il valore assunto da quando ¼ è: ¼ 3 ð ð ¼3 4 þ 4 ¼ 6 Si uò anche scrivere: f ð4 ¼40 e f ð ¼6. In base all esressione analitica di una funzione, si uò effettuare una rima semlice classificazione delle funzioni reali di variabile reale. Se nell esressione analitica della funzione la variabile indiendente (tiicamente è soggetta soltanto a un numero finito di oerazioni di addizione, sottrazione, moltilicazione, divisione, elevamento a otenza a esonente razionale o estrazione di radice si dice che la funzione è algebrica, altrimenti si dice che è trascendente. Esemio Sono funzioni algebriche: a. ¼ 4 b. ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ c. ¼ þ Controesemio Non sono funzioni algebriche: a. ¼ 3 þ b. ¼ 6 c. ¼ Nell insieme delle funzioni algebriche si distinguono: le funzioni intere (o olinomiali), nelle quali la variabile indiendente non comare in alcun denominatore, da quelle frazionarie (o fratte); le funzioni razionali, nelle quali la variabile indiendente non comare sotto alcun segno di radice, da quelle irrazionali. Funzioni algebriche trascendenti intere frazionarie razionali irrazionali razionali irrazionali ESEMPI Classificazione di una funzione algebrica a. La funzione ¼ 4 è intera razionale. b. La funzione ¼ 4 è frazionaria razionale. c. La funzione ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3 è intera irrazionale. d. La funzione ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi è frazionaria irrazionale. þ 68 Il dominio di una funzione reale di variabile reale Una funzione reale di variabile reale, chiamiamola f, viene di solito assegnata tramite la sua esressione analitica, senza secificarne il dominio e il codominio (come abbiamo fatto negli esemi recedenti, doo i rimi).

4 In tal caso si assume er convenzione: come dominio, l insieme costituito da tutti i numeri reali er cui esiste il corrisondente valore f ð (tale insieme viene anche detto dominio naturale della funzione); come codominio, l insieme R. Quando aartiene (non aartiene) al dominio della funzione diremo anche che f è definita (non definita ) in. Per determinare il dominio di una funzione algebrica occorre imorre che: gli eventuali denominatori che comaiono nella sua esressione analitica siano diversi da zero; i radicandi degli eventuali radicali di indice ari che comaiono nella sua esressione analitica siano maggiori o uguali a zero. ESEMPI Dominio di una funzione algebrica Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni: a. ¼ 4 b. ¼ 4 c. ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3 d. ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e. ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5 f. ¼ þ þ þ a. La funzione è definita er ogni valore reale di, quindi il dominio è R. b. La funzione è definita urché il denominatore sia diverso da zero: 4 6¼ 0 ) ð 6¼ 0 ) 6¼ 0 ^ 6¼ Il dominio della funzione è l insieme R f0, g. c. La funzione è definita urché il radicando del radicale sia maggiore o uguale a zero: þ 3 0 ) 3 _ 0 Il dominio della funzione è l insieme ð, 3Š[½0, þ. d. Poiché un radicale di indice disari è semre definito, l unica condizione da orre è che il denominatore sia diverso da zero: 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 6¼ 0 ) þ 6¼ 0 ) 6¼ Il dominio della funzione è l insieme R f g. e. La funzione è definita urché i radicandi di entrambi i radicali siano maggiori o uguali a zero: ) 0 5 Il dominio della funzione è l intervallo [0, 5]. f. La funzione è definita urché il radicando sia maggiore o uguale a zero e il denominatore sia diverso da zero: 0 þ þ 6¼ 0 sserviamo che la seconda condizione è semre verificata (erché il discriminante del trinomio þ þ ènegativo, quindi il trinomio non si annulla mai). Pertanto il sistema è verificato er. Il dominio della funzione è dunque l intervallo ½, þ. Quando una funzione esrime una grandezza in funzione di un altra, uò essere necessario «restringere» il suo dominio naturale, in base a articolari condizioni fisiche o geometriche, legate al contesto da cui scaturisce la funzione. Modi di dire Il dominio di una funzione di variabile reale, definita dalla formula ¼ f ð, è detto anche insieme di definizione o, se stabilito come indicato qui a lato, camo di esistenza. Unità Funzioni 69

5 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni ESEMPI Dominio di una funzione roveniente da un roblema geometrico Un rettangolo non degenere è inscritto in una circonferenza di raggio. Esrimiamo l area del rettangolo in funzione della misura della base del rettangolo e determiniamo il dominio della funzione così scaturita, in relazione al roblema geometrico. Figura.3 D A Esressione analitica della funzione che esrime l area in funzione di Facciamo riferimento alla fig..3 che raresenta il roblema. Alicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo HC, dove H è il unto medio di BC, si uò ricavare: CH ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ne segue che BC ¼ CH ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi. Perciò, detta Að l area del rettangolo, si ha: Að ¼AB BC ¼ðð ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi H C B Dominio della funzione Determinare il dominio della funzione Að scaturita, in relazione al roblema geometrico, significa determinare quali valori uò assumere la variabile, relativamente al roblema. sserviamo intanto che otrà variare tra 0 e erché la misura della base AB uò variare tra 0 e. Il valore ¼ 0 corrisonde al caso limite in cui A B e C D (fig..4), mentre il valore ¼ corrisonde al caso limite in cui A D e B C (fig..5). C D A D B C A B Figura.4 = 0 Figura.5 = Escludendo i due casi limite, ¼ 0e ¼, oiché in questi casi il rettangolo ABCD degenera in un segmento (come mostrato nelle figg..4 e.5), concludiamo che il dominio della funzione, in relazione al roblema, è l intervallo (0, ). sserva che il dominio naturale della funzione, indiendentemente dal roblema geometrico, sarebbe invece l intervallo [, ]. Il grafico di una funzione Data una funzione f : A! B, si chiama grafico della funzione l insieme: fð, f ð j Ag 70 Se f è una funzione reale di variabile reale, si usa «tracciare il grafico» della funzione, cioè raresentare nel iano cartesiano l insieme dei unti di coordinate (, tali che ¼ f ð.

6 Ciò che contraddistingue, nel iano cartesiano, il grafico di una funzione è il fatto che nessuna retta verticale (arallela all asse ) uò intersecarlo in due unti distinti (ciò infatti violerebbe la definizione di funzione, erché significherebbe che allo stesso valore di sono associati due valori di ). ESEMPI Riconoscere il grafico di una funzione Riconosciamo se le seguenti curve raresentano il grafico di una funzione: a b Unità Funzioni a. La curva tracciata in fig. a raresenta il grafico di una funzione erché, comunque si tracci una retta verticale, essa interseca il grafico della funzione in un unico unto. b. Poiché ciascuna delle rette tratteggiate in fig. b interseca la curva in due unti distinti, non si tratta del grafico di una funzione. Almeno nei casi iù semlici, il grafico di una funzione di cui sia data l equazione uò essere tracciato er unti. ESEMPI Tracciare il grafico di una funzione er unti Tracciamo er unti il grafico della funzione ¼. o asso: costruiamo una tabella di valori er e o asso: raresentiamo i unti corrisondenti sul iano cartesiano 3 o asso: congiungiamo i unti con una linea continua 4 ð 4 ¼ 8 3 ð 3 ¼ 9 ð ¼ = ð ¼ 0 ð0 ¼ 0 ð ¼ ð ¼ 3 ð3 ¼ 9 4 ð4 ¼ 8 7

7 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni L uguaglianza di due funzioni Due funzioni si dicono uguali se hanno lo stesso grafico. Pertanto ossiamo dare la seguente definizione iù articolareggiata. FUNZINI UGUALI Due funzioni f e g sono uguali se hanno lo stesso dominio A e inoltre risulta: Esemio f ð ¼gð er ogni A Le due funzioni definite da: f ð ¼ egð ¼ 4 þ sono uguali. Infatti hanno lo stesso dominio, R, e er ogni R risulta: gð ¼ 4 þ ¼ ð ð þ ð ¼ þ ¼ ¼ f ð Controesemio Le due funzioni f ð ¼ þ egð ¼ non sono uguali. Infatti non hanno lo stesso dominio: la funzione f è definita in R mentre la funzione g è definita in R fg. Si uò tuttavia verificare che er ogni 6¼ risulta f ð ¼gð, quindi il grafico delle due funzioni differisce solo er un unto (fig..6). f() = + g()= Figura.6 Il grafico della funzione g differisce da quello della funzione f er il fatto che non vi aartiene il unto di coordinate (, ). Prova tu. Stabilisci se le seguenti relazioni definiscono delle funzioni: a. la relazione che associa a ogni regione d Italia i suoi caoluoghi di rovincia (considera come dominio e codominio, risettivamente, l insieme delle regioni e dei caoluoghi di rovincia d Italia); b. la relazione che associa a ogni ersona il suo anno di nascita (considera come dominio un insieme di ersone e come codominio N);. Data la funzione f ð ¼ 4, determina: ffiffiffi a. f ð b. f ð c. f ðþfð ESERCIZI a Classifica le seguenti funzioni e individua il loro dominio: a. ¼ c. ¼ 7 5 b. ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 d. ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ 3 ffiffiffi 4. Traccia er unti il grafico delle seguenti funzioni, doo aver individuato il dominio di ciascuna: a. ¼ þ b. ¼ c. ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5. Stabilisci se le seguenti funzioni f e g sono uguali: f ð ¼ ; gð ¼ þ 4 7

8 . Prime rorietà delle funzioni reali di variabile reale Come abbiamo anticiato, lo studio delle funzioni reali di variabile reale sarà il «filo rosso» che, a volte eslicitamente, a volte imlicitamente, legherà tutti gli argomenti che affronteremo. Abbiamo già visto, nel aragrafo recedente, come determinare il dominio di una funzione reale di variabile reale. Man mano che arofondiremo le nostre conoscenze acquisiremo strumenti matematici semre iù «sofisticati» che, al termine del ercorso, ci metteranno in grado di determinare tutte le iù imortanti caratteristiche di una funzione reale di variabile reale. In questo aragrafo vogliamo cominciare a riflettere su alcune di queste caratteristiche. Unità Funzioni Il segno di una funzione Doo aver determinato il dominio di una funzione ¼ f ð, la «seconda fase» di uno studio elementare della funzione consiste nello studio del segno della funzione. Si tratta cioè di stabilire er quali valori di del dominio risulta f ð < 0, f ð ¼0 o f ð > 0 Il grafico di ¼ f ð: è «al di sora» dell asse in corrisondenza dei valori di er cui f ð > 0; er questi valori di la funzione si dice ositiva; incontra l asse in corrisondenza dei valori di er cui f ð ¼0; questi valori di si dicono zeri della funzione e si dice che la funzione si annulla in corrisondenza di essi; è «al di sotto» dell asse in corrisondenza dei valori di er cui f ð < 0; er questi valori di la funzione si dice negativa. ESEMPI Deduzione del segno e degli zeri dal grafico Consideriamo la funzione ¼ f ð, il cui grafico è tracciato in figura, e stabiliamo dove essa è ositiva, dove è negativa e quali sono i suoi zeri. Possiamo osservare che: er < 4 e er < < 3 il grafico della funzione è al di sotto dell asse, quindi la funzione è negativa; er ¼ 4, er ¼ e er ¼ 3 la funzione si annulla, quindi la funzione ha tre zeri: 4, e 3; er 4 < < e er > 3 il grafico della funzione è al di sora dell asse, quindi la funzione è ositiva. A 4 = f() > 0 B C 3 < 0 Dal unto di vista algebrico: er stabilire quando la funzione ¼ f ð è ositiva bisogna risolvere la disequazione f ð > 0; er determinare gli zeri della funzione occorre risolvere l equazione f ð ¼0; er stabilire quando la funzione è negativa bisogna risolvere la disequazione f ð < 0. ESEMPI Studio del segno di una funzione olinomiale Determiniamo il dominio e il segno della funzione ¼ 3 ð 4 e raresentiamo graficamente le regioni del iano cartesiano alle quali aartiene il suo grafico. Dominio Si tratta di una funzione olinomiale, quindi è definita in R. Studio del segno > 0 ) 3 ð 4 > 0 ) < < 0 _ > Risolvendo la disequazione Ô 73

9 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Ô ¼ 0 ) 3 ð 4 ¼0 ) ¼ _ ¼ 0 _ ¼ < 0 ) 3 ð 4 < 0 ) < _ 0 < < Risolvendo l equazione. La funzione ha tre zeri:, 0, Basta determinare il comlementare risetto al dominio dell insieme dei valori di er cui 0 Raresentazione delle regioni del iano cui aartiene il grafico Dalle informazioni acquisite deduciamo che il grafico della funzione aartiene alla regione di iano cartesiano colorata in fig..7. Nel grafico, abbiamo indicato con un unto ieno gli zeri. Figura.7 Per < e er 0 < <, la funzione è negativa, quindi il suo grafico è al di sotto dell asse : abbiamo erciò evidenziato in azzurro la corrisondente arte al di sotto dell asse ed «escluso» con un tratteggio la arte al di sora dell asse. Analogamente negli intervalli < < 0 e > dove la funzione è ositiva. Attenzione! Invece di risolvere la disequazione, er determinare i valori di er cui < 0 si oteva determinare il comlementare risetto al dominio (non a tutto R come nell esemio recedente) dell insieme dei valori di er cui 0. ESEMPI Studio del segno di una funzione irrazionale Determiniamo il dominio e il segno della funzione ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e raresentiamo graficamente le regioni del iano cartesiano alle quali aartiene il suo grafico. Dominio La funzione è definita er 0, cioè er _. Studio del segno > 0 ) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > 0 ) > 4 ) < ffiffiffi ffiffiffi 5 _ > 5 ¼ 0 ) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 ) ¼ 4 ) ¼ ffiffiffi 5 Ci sono zeri < 0 ) ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi < 0 ) 0 < 4 ) ffiffiffi ffiffiffi 5 < _ < 5 Raresentazione delle regioni del iano cui aartiene il grafico In base alle informazioni che abbiamo dedotto, il grafico della funzione aartiene alla regione di iano cartesiano colorata in fig..8. Figura.8 Abbiamo escluso la striscia di iano i cui unti sono tali che < < erché la funzione non è ivi definita; le restanti arti sono state «escluse», e risultano erciò indicate con un tratteggio, in base alle considerazioni dedotte dallo studio del segno P' Figura.9 P Funzioni ari e funzioni disari Un altra caratteristica di una funzione che ossiamo fin d ora riconoscere è l eventuale simmetria del suo grafico. sserviamo er esemio il grafico della funzione ¼ f ð in fig..9. Esso ha la caratteristica di essere simmetrico risetto all asse. Ciòsignifica che, er ogni suo unto Pð,, anche il unto P 0 ð,, suo simmetrico risetto all asse, vi aartiene. Alle funzioni che hanno questa rorietà si dà un nome articolare.

10 FUNZINI PARI Una funzione definita da ¼ f ð si dice ari se er ogni aartenente al dominio della funzione anche vi aartiene e risulta: f ð ¼f ð In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico risetto all asse. Unità Funzioni In modo analogo, ossiamo considerare le funzioni i cui grafici sono simmetrici risetto all origine: er esemio, il grafico in fig..0. In questo caso, er ogni unto Pð, aartenente al grafico della funzione, anche il unto P 0 ð,, suo simmetrico risetto all origine, aartiene al grafico. FUNZINI DISPARI Una funzione definita da ¼ f ð si dice disari se er ogni aartenente al dominio della funzione anche vi aartiene e risulta: P' P f ð ¼ f ð In tal caso, il grafico della funzione risulta simmetrico risetto all origine. Figura.0 ESEMPI Riconoscere, dal grafico, se una funzione è ari o disari Stabiliamo se le funzioni che hanno i seguenti grafici sono ari, disari o né una né l altra cosa. a b c a. Il grafico in fig. a è simmetrico risetto all asse, quindi è il grafico di una funzione ari. b. Il grafico in fig. b è simmetrico risetto all origine, quindi è il grafico di una funzione disari. c. Il grafico in fig. c non è simmetrico né risetto all asse, nérisetto all origine, quindi è il grafico di una funzione che non è né ari né disari. ESEMPI Stabilire se una funzione di assegnata equazione è ari o disari Stabiliamo se le funzioni definite dalle seguenti equazioni sono ari o disari. a. ¼jj b. ¼ ffiffiffi c. ¼ 3 þ d. ¼ 5 a. Sostituiamo al osto di in f ð ¼jj. Abbiamo: f ð ¼j j ¼jj ¼f ð Ricorda che due numeri oosti hanno lo stesso valore assoluto Concludiamo che la funzione assegnata è ari. b. La funzione ¼ ffiffiffi è definita soltanto er 0. Per ogni > 0 si ha che f ð esiste mentre f ð non esiste: erciò la funzione data non è né ari né disari. Ô 75

11 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Ô c. Sostituiamo al osto di in f ð ¼ 3 þ. Abbiamo: f ð ¼ ð 3 ð þ ¼ 3 þ ¼ f ð Concludiamo che la funzione assegnata è disari. d. Sostituiamo al osto di in f ð ¼ 5. Abbiamo: f ð ¼ 5 È chiaro che risulta f ð 6¼ f ð; essendo anche f ð 6¼ f ð (oiché f ð ¼ 5 þ, la funzione data non è né ari né disari. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti Terminiamo questo aragrafo introducendo un altra imortante caratteristica che uò resentare il grafico di una funzione. sserva il grafico della funzione in fig... D E B Figura. A 7 4 C 5 0 Se immaginiamo che un unto mobile «ercorra» il grafico a artire dal unto A fino ad arrivare al unto E, nel verso indicato dalle frecce, ci accorgiamo che: da A a B il unto si muove nel verso delle ordinate ositive, cioè «sale»; da B a C il unto si muove nel verso delle ordinate negative, cioè «scende»; da C a D il unto torna a «salire»; da D ad E il unto ercorre un tratto «costante» (né in salita né in discesa). Per descrivere questi tre ossibili comortamenti del grafico di una funzione, introduciamo alcune definizioni, illustrate in fig.. e formalizzate a agina seguente. a f( ) f( ) b a f( ) f( ) b a f( ) f( ) b I = a, b I = a, b I = a, b a. Per ogni < risulta f ð < f ð : la funzione è strettamente crescente in [a, b]. Figura. b. Per ogni < risulta f ð > f ð : la funzione è strettamente decrescente in [a, b]. c. Per ogni, risulta f ð ¼f ð : la funzione è costante in [a, b]. 76 Per esemio, la funzione il cui grafico è tracciato in fig.. è: strettamente crescente nell intervallo ½ 7, 4Š e nell intervallo ½, 5Š; strettamente decrescente nell intervallo ½ 4, Š; costante nell intervallo ½5, 0Š.

12 FUNZINI STRETTAMENTE CRESCENTI, DECRESCENTI E CSTANTI Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione ¼ f ð. a. f si dice strettamente crescente in I se: < ) f ð < f ð er ogni, I b. f si dice strettamente decrescente in I se: < ) f ð > f ð er ogni, I c. f si dice costante in I se: f ð ¼f ð er ogni, I sserva L insieme I uò coincidere con il dominio della funzione o essere un suo sottoinsieme rorio. Unità Funzioni Nell intervallo [, 0] la funzione in fig.. non è strettamente crescente, erché è costante in [5, 0], erò non decresce. Per descrivere anche questo comortamento si introducono le seguenti definizioni. FUNZINI CRESCENTI E DECRESCENTI IN SENS LAT Sia I un sottoinsieme del dominio della funzione ¼ f ð. a. f si dice crescente in senso lato in I se: < ) f ð fð er ogni, I b. f si dice decrescente in senso lato in I se: < ) f ð fð er ogni, I Possiamo allora dire, er esemio, che la funzione raresentata in fig.. è crescente in senso lato nell intervallo [, 0]. Modi di dire Alcuni testi chiamano funzioni crescenti (decrescenti) quelle che noi abbiamo chiamato strettamente crescenti (strettamente decrescenti), e non crescenti (non decrescenti) le funzioni che noi abbiamo chiamato decrescenti in senso lato (crescenti in senso lato). ESEMPI Stabilire dal grafico gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente Stabiliamo gli intervalli dove le funzioni, i cui grafici sono tracciati nelle figure seguenti, sono crescenti o decrescenti, in senso stretto o in senso lato. (, 6) (5, 6) ( 7, 0) (, 0) (7, 3) 3 3 ( 4, 3) a b a. La funzione il cui grafico è tracciato in fig. a è strettamente decrescente negli intervalli [ 7, 4] e [5, 7], costante nell intervallo [, 5] e strettamente crescente nell intervallo [ 4, ]. Nell intervallo [, 7] la funzione è decrescente in senso lato. b. La funzione è strettamente decrescente in ciascuno dei due intervalli ð, 0 e ð0, þ,manon è strettamente decrescente in tutto il suo dominio, cioè in R f0g. Infatti uoi osservare er esemio che: 3 < 3 ma f ð 3 ¼ < f ð3 ¼ 77

13 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Prova tu Nel rosieguo, quando arleremo semlicemente di funzione «crescente» o «decrescente», senza secificare se in senso stretto o in senso lato, converremo di riferirci a funzioni crescenti o decrescenti in senso stretto. FUNZINE MNTÒNA Una funzione crescente o decrescente (in senso stretto o lato) in un insieme I viene detta monotòna in I. ESERCIZI a. 98. Determina il dominio e il segno delle seguenti funzioni e raresenta le regioni del iano cartesiano alle quali aartiene il grafico di ciascuna. Stabilisci inoltre se ciascuna funzione è ari o disari. a. ¼ ffiffiffi b. ¼ 4 c. ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 d. ¼ e. ¼jj f. ¼ jj. In riferimento alla funzione il cui grafico è raresentato nella figura qui sotto, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. la funzione è strettamente crescente in [ 5, 3] V F (, 6) b. la funzione è ari V F c. la funzione è strettamente decrescente (5, 3) in [, 7] V F (7, 3) d. la funzione è costante in [5, 7] V F (, 0) e. la funzione è decrescente in senso lato in [, 7] V F f. la funzione è disari V F ( 5, 3) g. la funzione ha un solo zero V F h. la funzione è strettamente crescente in [ 5, ] V F 3. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive Abbiamo visto, nelle agine recedenti, una classificazione delle funzioni reali di variabile reale (algebrica razionale, irrazionale, intera o frazionaria oure trascendente), in base alle caratteristiche dell esressione f ð che comare nell equazione ¼ f ð che definisce la funzione. Un altra classificazione delle funzioni si basa invece sul comortamento della funzione risetto all insieme di arrivo, cioè al codominio. In questo aragrafo vediamo come si ossono classificare le funzioni secondo quest altro unto di vista. Funzioni iniettive Introduciamo anzitutto la seguente definizione. 78 In simboli Possiamo scrivere che f è iniettiva quando si verifica che 8, A: 6¼ ) f ð 6¼ f ð. FUNZINE INIETTIVA Una funzione f : A! B si dice iniettiva se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine in A. In modo equivalente, si uò dire che una funzione è iniettiva se manda elementi distinti in elementi distinti. Data una funzione reale di variabile reale (er cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sarà iniettiva se e solo se ogni elemento di R ha al massimo una controimmagine: ciò equivale a dire che ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico della funzione al massimo in un unto.

14 ESEMPI Stabilire se una funzione di cui è dato il grafico è iniettiva Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono iniettive. Unità Funzioni = f() = g() a b a. La funzione in fig. a è iniettiva. Come uoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in al massimo un unto. b. La funzione in fig. b non è iniettiva. Come uoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale che giace nel rimo e nel secondo quadrante interseca il grafico della funzione in due unti. Data una funzione reale di variabile reale di equazione ¼ f ð: er dimostrare che non è iniettiva basta esibire una coia di elementi distinti,, aartenenti al dominio della funzione, tali che f ð ¼f ð ; er rovare invece che f è iniettiva occorre mostrare che, er ogni, aartenenti al dominio, vale l imlicazione: f ð ¼f ð ) ¼. ESEMPI Stabilire se una funzione di cui è data l equazione è iniettiva Stabiliamo se le seguenti funzioni sono iniettive: a. ¼ þ 3 b. ¼ a. La funzione è iniettiva. Infatti: f ð ¼f ð ) ) þ 3 ¼ þ 3 ) Essendo f ð ¼ þ 3 ) ¼ ) Sottraendo dai due membri 3 ( o rinciio di equivalenza delle equazioni) ) ¼ Moltilicando i due membri er ( o rinciio di equivalenza delle equazioni) b. Basta osservare, er esemio, che f ð0 ¼f ð ¼0 er concludere che la funzione non è iniettiva. Funzioni suriettive Definiamo ora che cosa si intende er funzione suriettiva. FUNZINE SURIETTIVA Una funzione f : A! B si dice suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A: In modo equivalente, si uò dire che una funzione è suriettiva se la sua immagine coincide con il codominio. In simboli Possiamo scrivere che f è suriettiva quando si verifica che 8 B: 9 Ajf ð ¼. 79

15 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Data una funzione reale di variabile reale (er cui, salvo diversa indicazione, si assume come codominio R), essa sarà suriettiva se e solo se ogni elemento di R ha almeno una controimmagine: ciò equivale a dire che ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico della funzione in almeno un unto. ESEMPI Stabilire se una funzione di cui è dato il grafico è suriettiva Stabiliamo se le funzioni aventi i seguenti grafici sono suriettive. = f() = g() a b a. La funzione in fig. a è suriettiva. Come uoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un unto. b. La funzione in fig. b non è suriettiva. Come uoi osservare, infatti, ogni retta orizzontale che giace nel terzo e nel quarto quadrante non ha alcun unto in comune con il grafico della funzione. Per rendere la funzione suriettiva, occorrerebbe restringere il codominio all intervallo ½0, þ. Algebricamente, data una funzione reale di variabile reale di equazione ¼ f ð, essa è suriettiva se e solo se, er ogni R, l equazione f ð ¼ (nell incognita ha almeno una soluzione reale. ESEMPI Stabilire se una funzione di cui è data l equazione è suriettiva Stabiliamo se le seguenti funzioni sono suriettive: a. ¼ þ 3 b. ¼ Suggerimento Immagina che sia l incognita e raresenti un arametro. a. L equazione ¼ þ 3èdi rimo grado risetto all incognita e, er ogni R, ammette come soluzione ¼ 6. Possiamo quindi affermare che si tratta di una funzione suriettiva. b. L equazione ¼, equivalente a ¼ 0, è di secondo grado risetto all incognita e ammette soluzioni reali se e solo se 0; la condizione di realtà delle soluzioni equivale alla seguente disequazione, che risolviamo: 4 þ 4 0 ) Vediamo così che l equazione ¼ 0 (nell incognita non ammette soluzioni er ogni R ma solo se aartiene all intervallo ½, þ. Non si tratta quindi di una funzione suriettiva. Funzioni biiettive Si dà un nome articolare alle funzioni che sono sia iniettive sia suriettive. FUNZINE BIIETTIVA Una funzione f : A! B che è sia iniettiva sia suriettiva si dice biiettiva (o corrisondenza biunivoca o corrisondenza uno a uno). 80

16 In modo equivalente, si uò dire che una funzione f : A! B è biiettiva se ogni elemento di B ha una e una sola controimmagine in A. Data una funzione reale di variabile reale, essa sarà biiettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo unto. Esemi Controesemi Unità Funzioni La funzione che ha il grafico riortato in figura è biiettiva. La funzione che ha il grafico riortato in figura non è biiettiva. = f() Infatti ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in uno e un solo unto. La funzione ¼ þ 3èbiiettiva. Abbiamo visto negli esemi recedenti che è iniettiva e suriettiva. = g() Infatti non è iniettiva: ci sono rette orizzontali che intersecano il grafico della funzione in iù di un unto. La funzione ¼ non è biiettiva. Abbiamo visto negli esemi recedenti che non è né iniettiva né suriettiva. Rifletti Le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva si ossono interretare come illustrato qui di seguito in relazione alla teoria delle equazioni. Una funzione f : A! B è: a. iniettiva quando, er ogni b B, l equazione f ð ¼b ha al massimo una soluzione in A; b. suriettiva quando, er ogni b B, l equazione f ð ¼b ha almeno una soluzione in A; c. biiettiva quando, er ogni b B, l equazione f ð ¼b ha una e una sola soluzione in A. Una funzione uò essere: iniettiva ma non suriettiva, suriettiva ma non iniettiva, né iniettiva né suriettiva, biiettiva. Riassumendo, la classificazione delle funzioni in base al comortamento risetto al codominio si uò quindi raresentare mediante il diagramma di Venn in fig..3. Funzioni iniettive biiettive suriettive né iniettive né suriettive Figura.3 Prova tu ESERCIZI a. 0. Nelle seguenti figure sono riortati i grafici di alcune funzioni. Stabilisci se si tratta di funzioni iniettive, suriettive o biiettive.. Stabilisci se le funzioni seguenti, di cui è data l equazione, sono iniettive, suriettive o biiettive: a. ¼ b. ¼ 3 ffiffiffi c. ¼ 3. Una funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) nel suo dominio è semre suriettiva? È semre iniettiva? 8

17 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Attenzione! Alcuni testi ongono il roblema dell invertibilità di una funzione in modo leggermente diverso: si definisce inversa di una funzione f : A! B (se esiste) la funzione f : B! A che a ogni elemento di B associa la sua controimmagine nella f (mentre noi abbiamo definito come funzione inversa la funzione f : f ða! A che a ogni elemento di f ða associa la sua controimmagine nella f ). Con questa imostazione una funzione f risulta invertibile se e solo se è biiettiva. La iù recente letteratura scientifica tende a seguire l imostazione che noi abbiamo roosto. 4. Funzione inversa Consideriamo la funzione f, raresentata nella fig..4, e costruiamo la relazione g, definita fra l immagine I ¼ f ða di f e l insieme A, che si ottiene invertendo il verso delle frecce (fig..5). A b c a d e f Figura.4 Figura.5 l m n o B La relazione g associa, a ciascun elemento di I, le sue controimmagini tramite f. La relazione g non è una funzione, erché ci sono elementi di I da cui arte iù di una freccia. Come deve essere f affinché g sia una funzione? In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento di I esca una e una sola freccia verso A, ovvero ogni elemento di I deve avere un unica controimmagine nella f. Ciò equivale a dire che la funzione f deve essere iniettiva. In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione inversa di f. Queste osservazioni giustificano la seguente definizione. A b c a d e g o l m n I B Attenzione! In questo contesto il simbolo f indica solo la funzione inversa di f, non ha il significato di «f elevato alla», cioè di f. FUNZINE INVERTIBILE Una funzione f si dice invertibile se e solo se è iniettiva: in tal caso, si chiama funzione inversa di f, e si indica con il simbolo f, la funzione che associa a ciascun elemento dell immagine di f la sua (unica) controimmagine. Nota che il dominio di f è l immagine di f e l immagine di f è il dominio di f. Suoniamo che ¼ f ð sia una funzione invertibile, reale di variabile reale. C è qualche relazione che lega il grafico della funzione f e quello della sua funzione inversa f? Proviamo a riflettere: sia Pða, b un unto aartenente al grafico della funzione f.ciòsignifica che f ða ¼b, vale a dire f ðb ¼a. Dunque se Pða, b aartiene al grafico di f, allora P 0 ðb, a aartiene al grafico di f. P'(b, a) = P(a, b) Figura.6 Poiché scambiare l ascissa con l ordinata nelle coordinate di un unto equivale a effettuare una simmetria risetto alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante (fig..6), deduciamo che: Il grafico della funzione f, inversa della funzione f,èil simmetrico del grafico di f risetto alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante. 8

18 Dunque, una volta che è noto il grafico di f, er ottenere il grafico di f basta effettuare una simmetria risetto alla suddetta bisettrice. ESEMPI Tracciare il grafico dell inversa di una funzione In fig..7 è tracciato il grafico di una funzione invertibile. Tracciamo il grafico della funzione inversa. sserviamo che il grafico in fig..7 assa er i unti di coordinate ( 5, 5), (, ), (3, ) e (7, 3). Il grafico della funzione inversa asserà er i simmetrici di questi unti risetto alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante. Quindi dovrà assare er i unti di coordinate ( 5, 5), (, ), (, 3) e (3, 7). Il grafico della funzione inversa sarà allora quello in fig..8. Unità Funzioni (3, 7) = (7, 3) (, 3) (7, 3) (3, ) = f() (, ) (, ) = f () (3, ) = f() (, ) ( 5, 5) ( 5, 5) Figura.7 Figura.8 Il legame che abbiamo scoerto tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa suggerisce anche come ricavare l equazione che definisce la funzione inversa: basta effettuare una simmetria risetto alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante, cioè scambiare nell equazione della funzione con. In altre arole, se f è definita dall equazione ¼ f ð allora f è definita dall equazione: ¼ f ð Quest ultima equazione non è erò esressa nella forma eslicita ¼ f ð: risolvendola risetto a, otterremo l equazione eslicita di f. ESEMPI Determinare l esressione analitica dell inversa di una funzione La funzione f ð ¼ 3 ffiffi èinvertibile. Determiniamo l esressione analitica della funzione inversa. o asso Consideriamo l equazione ¼ f ð: ¼ 3 ffiffiffi e sostituiamo in essa al osto di e al osto di : ¼ 3 ffiffiffi o asso Risolviamo l equazione ottenuta risetto a. ¼ 3 ffiffiffi Equazione da risolvere risetto a 3 ffiffiffi ¼ Prorietà simmetrica dell uguaglianza 3 ffiffiffi ¼ þ Isolando il radicale al o membro ¼ð þ 3 Concludiamo che: f ð ¼ð þ 3 Elevando i due membri al cubo si ottiene un equazione equivalente 83

19 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni SINTESI Procedimento er ricavare l equazione della funzione inversa di una funzione data. Nell equazione ¼ f ð, si sostituisce al osto di e al osto di, ottenendo così l equazione: ¼ f ð. Se ossibile, si risolve l equazione ¼ f ð risetto a in modo da ottenere l equazione eslicita di f. È imortante infine osservare che a volte una funzione uò risultare non invertibile nel suo dominio, ma invertibile se la consideriamo definita in un oortuno sottoinsieme del dominio. Quando si considera una funzione definita su un sottoinsieme del suo dominio si arla di restrizione della funzione. ESEMPI Restrizione di una funzione La funzione ¼ non è invertibile erché non è iniettiva (fig..9). È invece invertibile la sua restrizione all intervallo 0, e la sua inversa è ¼ ffiffiffi (fig..0). = = con 0 = Figura.9 gni retta orizzontale che giace nel rimo e nel secondo quadrante incontra il grafico della funzione in due unti distinti, quindi la funzione non è iniettiva, erciò nemmeno invertibile. Figura.0 Il grafico della restrizione di ¼ all intervallo 0 e della sua funzione inversa. Prova tu ESERCIZI a. 04. Giustifica erché la funzione f ð ¼ þ 5 6 non è invertibile.. Le funzioni seguenti sono invertibili. Doo aver giustificato erché lo sono, determina l esressione analitica della funzione inversa. a. f ð ¼3 b. f ð ¼ 3 þ a. f ð ¼ 3 þ 3 ; b. f ð ¼ þ 3 5. L algebra delle funzioni e le funzioni comoste 84 L algebra delle funzioni Nell insieme delle funzioni reali di variabile reale ossiamo introdurre delle oerazioni di addizione, sottrazione, moltilicazione e divisione, del tutto analoghe a quelle che conosci er gli elementi degli insiemi numerici. Le definizioni sono le seguenti.

20 SMMA, DIFFERENZA, PRDTT E QUZIENTE DI DUE FUNZINI Date due funzioni f e g: la funzione somma f þ g è la funzione definita da: ðf þ gð ¼f ðþgð la funzione differenza f g è la funzione definita da: Unità Funzioni ðf gð ¼f ð gð la funzione rodotto f g è la funzione definita da: ðf gð ¼f ðgð la funzione quoziente f g f ð ¼ f ð g gð è la funzione definita da: Le funzioni f þ g, f g e f g sono definite in corrisondenza dei valori di er cui sono definite sia la funzione f sia la funzione g, quindi il loro dominio è l intersezione del dominio di f e del dominio di g. Il dominio di f g è costituito da tutti i valori di er cui, oltre a essere definite le funzioni f e g, èanche gð 6¼ 0, quindi è costituito da tutti i valori di, aartenenti all intersezione del dominio di f e di quello di g, tali che gð 6¼ 0. ESEMPI erazioni tra funzioni Date le funzioni f e g definite da f ð ¼ ffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e gð ¼, determiniamo l esressione analitica delle seguenti funzioni e il loro dominio: a. f þ g b. f g c. f g d. f g a. La funzione f þ g è definita da: ðf þ gð ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ La funzione f ha come dominio l intervallo ½0, þ, la funzione g ha come dominio l intervallo ½, þ. Il dominio di f þ g è allora l intervallo ½, þ, intersezione degli intervalli che costituiscono il dominio di f e il dominio di g. b. La funzione f g è definita da: ðf gð ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il dominio di f g è ancora l intervallo ½, þ. c. La funzione f g è definita da: ðf gð ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il dominio di f g è, come nei due esemi recedenti, l intervallo ½, þ. d. La funzione f è definita da: g ffiffiffi f ð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi g Il dominio di f è l intervallo ð; þ: esso è l intersezione degli intervalli g che costituiscono il dominio di f e il dominio di g, rivata del valore ¼ er cui si annulla la funzione g. Attenzione! La funzione rodotto ðf gð ¼ ffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi non è uguale alla funzione hð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð. Infatti, in base alla definizione di uguaglianza di funzioni data nel Paragrafo, erché due funzioni siano uguali devono in articolare avere lo stesso dominio. Invece il dominio di f g è ½, þmentre il dominio della funzione h è ð, 0Š[½, þ. Per ragioni analoghe la funzione quoziente ffiffiffi f ð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi non g è uguale alla funzione rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi zð ¼. 85

21 Tema A Equazioni, disequazioni e funzioni Attenzione! La funzione f, ur essendo scritta nel simbolo g f er seconda, è la rima che viene alicata. Comosizione di funzioni Nell insieme delle funzioni è ossibile definire anche un nuovo tio di oerazione, diversa dalle usuali oerazioni algebriche: l oerazione di comosizione, definita come segue. FUNZINE CMPSTA Date due funzioni f e g, si dice funzione comosta di f e g, e si indica con il simbolo g f (che si legge: «g comosto f»), la funzione definita da: ðg f ð ¼gðf ð Graficamente: f f() g g(f()) g f Affinché sia ossibile calcolare gðf ð, f ð deve aartenere al dominio di g. Perciò il dominio di g f è costituito da tutti gli elementi aartenenti al dominio di f tali che f ð aartiene al dominio di g. sserva Potevamo determinare il dominio della funzione comosta g f anche senza determinare la sua esressione analitica. Saiamo infatti che esso è costituito dai valori di aartenenti al dominio di f (cioè, in questo caso, a R) tali che f ð ¼ aartiene al dominio di g (cioè, in questo caso, all intervallo ½ 3, þ. Pertanto il dominio di g f è l insieme dei valori di che soddisfano la seguente disequazione: 3 ) Ritroviamo così che il dominio di g f è l intervallo ½, þ. ESEMPI Determinare la funzione comosta di due funzioni assegnate Sono date le funzioni f ð ¼ egð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3. Determiniamo l esressione analitica di g f edif g, secificando il dominio di tali funzioni. Determiniamo l esressione analitica di g f : ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðg f ð ¼ gðf ð ¼ gð ¼ ð þ3 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ Definizione di funzione comosta f ð ¼ gð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3 Il dominio della funzione g f è costituito dai valori di er cui þ 0, quindi è l intervallo ½, þ. Ragioniamo analogamente er determinare l esressione analitica di f g: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf gð ¼f ðgð ¼ f ð þ 3¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3 Il dominio della funzione f g è l intervallo ½ 3, þ (coincide con il dominio della funzione g. L esemio recedente mostra che uò essere g f 6¼ f g: la comosizione di funzione non è quindi una oerazione commutativa. Si otrebbe invece rovare che la comosizione di funzioni è un oerazione associativa, cioè che: ðf gh ¼ f ðg h Prova tu ESERCIZI a. 06. Date le funzioni f ð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e gð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5, scrivi l esressione analitica delle seguenti funzioni e determina il dominio di ciascuna di esse: a. f þ g c. f g b. f g d. f g. Considera le due funzioni f ð ¼ e gð ¼ð þ. a. Calcola l immagine di tramite g f e tramite f g. b. Determina l esressione analitica di g f edi f g. 3. Date le tre funzioni f ð ¼, gð ¼ ffiffiffiffiffi jj e hð ¼, verifica che ðf gh ¼ f ðg h. 86

22 MATEMATICA NELLA STRIA La nascita e lo sviluo del concetto di funzione È difficile tracciare un rofilo accurato ed esauriente dello sviluo storico del concetto di funzione, erché ha avuto un evoluzione iuttosto lenta e discontinua. Esso infatti è comarso, a volte imlicitamente, a volte eslicitamente, in roblemi e tii di raresentazioni differenti. Ci limitiamo erciò a gettare uno sguardo su alcune delle «tae» iù imortanti. Unità Funzioni Leibniz, Bernoulli e Newton La arola «funzione» comare er la rima volta in un manoscritto di Leibniz (646-76) del 673, dal titolo Methodus tangentium inversa seu de functionibus, e si trova rietutamente nella corrisondenza con il matematico svizzero Johann Bernoulli ( ). Leibniz sviluò, indiendentemente ma arallelamente risetto a Newton (64-77), una arte imortantissima della matematica che studieremo nel roseguimento di questo corso, il calcolo infinitesimale. Come vedremo, il calcolo infinitesimale riguarda sostanzialmente lo studio delle rorietà delle funzioni reali di variabile reale. Nelle loro originali elaborazioni, tuttavia, Leibniz e Newton non si riferirono a funzioni, ma a «curve», intese come luogo di unti del iano che soddisfano un equazione del tio Pð, ¼0, dove Pð, è un olinomio nelle variabili e. Leibniz. Eulero È con il matematico svizzero Eulero ( ) che il concetto di funzione comincia a definirsi iù comiutamente. La definizione data da Eulero all inizio del suo trattato Introductio in analsis infinitorum (748) è la seguente: «un esressione analitica qualsiasi in cui siano coinvolte una quantità variabile e un numero qualsiasi di costanti». Il concetto di funzione che emerge da questa definizione è ancora lontano da quello moderno: essa richiede infatti che una funzione sia descrivibile er mezzo di una singola esressione analitica. Solo iù tardi Eulero darà, nelle Institutiones calculi differentialis (755), una definizione iù amia e significativamente diversa: «se alcune quantità diendono dalle altre in modo tale da subire delle variazioni quando queste ultime sono fatte variare, allora si dice che le rime sono funzioni delle seconde». A Eulero è anche dovuta la notazione f ð er indicare una funzione di. Eulero. Dirichlet Per arrivare a una buona definizione del concetto di funzione, occorre asettare il diciannovesimo secolo. Il matematico tedesco Dirichlet ( ) introduce una definizione di funzione simile alla seguente, che delinea ormai in modo chiaro il concetto di corrisondenza univoca: «una variabile si dice funzione della variabile in un certo intervallo quando esiste una legge che faccia corrisondere a ogni valore dato alla uno e un solo valore di». Bourbaki La moderna definizione di funzione, che usa il linguaggio degli insiemi, è riconducibile a un gruo di matematici francesi che ubblicava nel 939 sotto lo seudonimo di Nicolas Bourbaki: «siano E ed F due insiemi, distinti oure no; una relazione tra una variabile di E e una variabile di F è detta funzione se er ogni E esiste uno e un solo F che sia nella relazione data con». Dirichlet. 87

23 Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema A SINTESI Formule e rorietà imortanti Classificazioni delle funzioni Funzioni Funzioni intere algebriche frazionarie trascendenti iniettive biiettive suriettive razionali irrazionali razionali irrazionali né iniettive né suriettive Funzioni ari e disari f è ari, f ð ¼f ð 8 dominio di f f è disari, f ð ¼ fð 8 dominio di f Funzioni crescenti e decrescenti in un sottoinsieme I del dominio di una funzione f f è crescente in senso stretto in I, < ) f ð < f ð 8, I f è decrescente in senso stretto in I, < ) f ð > f ð 8, I f è crescente in senso lato in I, < ) f ð fð 8, I f è decrescente in senso lato in I, < ) f ð fð 8, I Funzione comosta ðg f ð ¼ gðf ð ðf gð ¼ f ðgð Funzione inversa ¼ f ð, ¼ f ð Il grafico di f è il simmetrico del grafico di f risetto alla bisettrice del rimo e del terzo quadrante. Procedimento er determinare l equazione dell inversa di una funzione (invertibile) Scambiare con nell equazione ¼ f ð che definisce la funzione. Risolvere l equazione ottenuta risetto a. CNSCENZE E ABILITÀ. Introduzione alle funzioni TERIA a. 66 Definizione di funzione 88 Vero o falso? a. ogni relazione è una funzione V F b. ogni funzione è una relazione V F c. se f è una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non uò avere iù di un immagine in B V F d. se f è una funzione di dominio A e codominio B, allora non ossono esserci due elementi di A che hanno la stessa immagine in B V F e. se f è una funzione di dominio A e codominio B, allora non ossono esserci elementi di A che non hanno immagini in B V F [3 affermazioni vere e false]

24 Stabilisci se le relazioni raresentate dai seguenti diagrammi a frecce raresentano funzioni da A a B, giustificando la risosta. A b c a d z B A b c a d z B A b c a d z B Unità Funzioni e w e w e w 3 Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni, giustificando la risosta. a. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola i suoi insegnanti. b. La relazione che associa a ogni cittadino italiano le auto che ossiede. c. La relazione che associa a ogni studente della tua scuola la roria madre. d. La relazione che associa a ogni regione d Italia le sue rovince. e. La relazione che associa a ogni cittadino italiano il suo comune di nascita. þ se 4 La formula f ð ¼ non definisce una funzione f : R! R. Chiarisci questa affermazione. 5 se þ se 5 La formula f ð ¼ definisce una funzione f : R! R? 3 se 6 Siega erché la formula f ð ¼ þ una funzione f : R f g!r? non definisce una funzione f : R! R. La medesima formula definisce 7 La formula f ðn ¼ n definisce una funzione f : N! N? 8 La formula f ð ¼ definisce una funzione f : N! Q? Definisce una funzione f : N! Z? Definisce una þ 4 funzione f : Z! Q? Immagini e controimmagini 9 Facendo riferimento alla funzione raresentata nella figura, comleta le seguenti affermazioni: A a B a. Il dominio della funzione è l insieme... b. Il codominio della funzione è l insieme... b c. L immagine della funzione è l insieme... d. Le controimmagini di sono... e. L immagine di c è... c d z w Per ciascuna delle seguenti funzioni, determina il valore indicato a fianco. 0 f ð ¼ 3 f ð 3 [7] f ð ¼4 f ð ffiffiffi [] f ð ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ð0 0 þ 3 f ð ¼ f 3 [ ] þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 f ð ¼ þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ð [ ffiffiffi 3] þ 5 f ð ¼ 3 f ð Considera la funzione così definita: 8 >< f ð ¼ se þ >: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ se > Determina f ð ffiffiffi ffiffiffi, f ð0, f ð, f ð, f ð3. f ð ffiffiffi ¼, f ð0 ¼0, f ð ffiffiffi ¼, f ð ¼ 3, f ð3 ¼ ffiffiffiffiffiffi 3 89