LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali

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1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANFREDI IGEA Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA er il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA Matematica generale: analisi MODULO B

2 N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi LINEAMENTI DI MATEMATICA er il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA B Matematica generale: analisi

3 internet: Prorietà letteraria riservata Coright 000 b SEDES sa Milano ª edizione: De Agostini Scuola SA Novara Printed in Ital Turbo Pascal è un marchio deositato di Borland Software Cororation. Lotus 3 è un marchio deositato di Lotus Software. MS-Dos, Microsoft Ecel sono marchi deositati di Microsoft Cororation. L Editore dichiara la roria disonibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel risetto del DL 74/9 sulla trasarenza nella ubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi ossibile intenzione o effetto romozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna arte del materiale rotetto da questo coright otrà essere rirodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocoie er uso ersonale del lettore ossono essere effettuate nei limiti del 5% di ciascun volume dietro agamento alla SIAE del comenso revisto dall art. 68, comma 4, della legge arile 94 n Le riroduzioni ad uso differente da quello ersonale otranno avvenire, er un numero di agine non sueriore al 5% del resente volume, solo a seguito di secifica autorizzazione rilasciata da AIDRO Corso di Porta Romana, 08 0 Milano segreteria@aidro.org; Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei suorti multimediali o siegazioni sulle scelte oerate dagli autori e dalla Casa Editrice ossono essere inviate all indirizzo di osta elettronica deagostiniscuola@deagostiniscuola.it. Stama: Cartolibraria Tiberina s.r.l. Città di Castello (PG) Ristama: Anno:

4 3 CAPITOLO 7 Definizioni e terminologia, 7. numeriche e funzioni matematiche, 8. Osservazioni sull esressione analitica di una funzione, 0. Grafico di una funzione,. ari e funzioni disari, 3. iniettive, suriettive, biunivoche, 3. biunivoche, 4. inverse, 5. comoste, 6. eriodiche, 8. crescenti e decrescenti in un intervallo, 8. monotòne, 0. Grafico di ¼jf ðþj, 0. Classificazione delle funzioni matematiche,. Esercizi,. iniettive, suriettive, biunivoche, 5. biunivoche. inverse, 5. comoste, 6. crescenti e decrescenti, 8. Dominio delle funzioni algebriche, 9. Esercizi vari sulle funzioni matematiche, 30. CAPITOLO Successioni numeriche 36 Definizioni, 36. Definizione di successione, 36. Definizione analitica di una successione, 37. Definizione ricorsiva di una successione, 39. Osservazione, 40. Successioni limitate, 4. Successioni monotòne, 4. Definizioni di limite er le successioni, 43. Limite finito, 43. Limite infinito, 46. Successioni indeterminate, 50. Teoremi sulle successioni monotòne, 50. Il numero di Neero, 5. La rettificazione della circonferenza: calcolo di, 5. Esercitazioni di laboratorio, 55. Esercizi Succesioni numeriche, 58. Definizioni di successione, 58. Successioni limitate, 60. Successioni monotòne, 6. Definizioni di limite er le successioni, 6. Limite finito, 6. Limite infinito, 6. CAPITOLO 3 Premesse all analisi infinitesimale 64 Introduzione, 64. Insiemi numerici, 65. Insiemi numerici e insiemi di unti, 65. Intervalli, 65. Intorni, 67. Insiemi numerici limitati e illimitati, 70. Considerazioni intuitive sul massimo e sul minimo di un insieme numerico, 7. Estremo sueriore e inferiore di un insieme numerico, 7. Punti di accumulazione, 73., 75. limitate. Massimi e minimi assoluti, 75. Determinazione del dominio di una funzione ¼ f ðþ, 76. Esercizi Insiemi numerici, 8., 83. Dominio delle funzioni matematiche, 84. Esercizi di rieilogo sulla determinazione dei domini delle funzioni matematiche, 88. Esercizi di tio vario sulle funzioni, 90. CAPITOLO 4 Limiti e continuità delle funzioni 93 Introduzione, 93. Limite finito di una funzione er che tende a un valore finito, 95. Limite destro e limite sinistro, 0. Osservazione, 04. Limite er difetto, limite er eccesso, 04. Limite finito di una funzione er che tende all infinito, 07. Casi articolari, 0. Limite er difetto, limite er eccesso,. Asintoti orizzontali,. Limite infinito di una funzione er che tende a un valore finito, 4. Casi articolari, 7. Asintoti verticali, 9. Limite infinito di una funzione er che tende all infinito, 0. Casi articolari,. Osservazioni sulle definizioni di limite, 4. Teoremi generali sui limiti, 5. Teorema della ermanenza del segno, 5. Primo teorema del confronto, 7. Secondo teorema del confronto, 7. Terzo teorema del confronto, 8. Teorema sul limite del modulo di una funzione, 8. Esistenza del limite er le funzioni monotòne, 9. Teoremi sui limiti delle successioni, 30. continue e calcolo dei limiti, 30. Continuità delle funzioni elementari, 3. Calcolo dei limiti delle funzioni continue, 33. Nota storica, 34. Indice Esercizi Definizione di limite finito di una funzione er che tende a un valore finito, 37. Definizione di limite finito di una funzione er che tende all infinito, 4. Definizione di limite infinito di una funzione er che tende a un valore finito, 44. Definizione di limite infinito di una funzione er che tende all infinito, 47. Esercizi di tio vario sulle definizioni di limite, 48. Teoremi generali sui limiti, 5. Teorema della ermanenza del segno, 5. Teoremi del confronto, 53. continue, 54.

5 4 CAPITOLO 5 L algebra dei limiti e delle funzioni continue 56 Teoremi sul calcolo dei limiti, 56. Limite della somma algebrica di funzioni, 56. Somma e differenza di funzioni continue, 59. Limite del rodotto di due funzioni, 60. Prodotto di funzioni continue, 6. Continuità delle funzioni razionali intere, 63. Limite del quoziente di due funzioni, 64. Quoziente di funzioni continue, 66. Continuità del valore assoluto di una funzione, 67. Limite e continuità della radice di una funzione, 67. Limiti delle funzioni razionali, 68. razionali intere, 68. Limiti delle funzioni razionali fratte er! c, con c finito, 69. Limiti delle funzioni razionali fratte er!, 7. Continuità delle funzioni inverse, 73. Limiti delle funzioni comoste, 73. Cambiamento di variabile, 74. Continuità delle funzioni comoste di funzioni continue, 75. Ancora sulla continuità, 75. Limiti notevoli, 76. Forme indeterminate, 79. Esemi di calcolo dei limiti, 80. Infinitesimi e loro confronto, 83. Scrittura fuori del segno di limite, 84. Infiniti e loro confronto, 85. Teoremi sui limiti delle successioni, 86. Un alicazione alle rogressioni geometriche, 87. Esercizi Oerazioni sui limiti e sulle funzioni continue, 90. Limiti delle funzioni razionali, 93. Limiti delle funzioni razionali intere, 93. Limiti delle funzioni razionali fratte, 93. Limiti delle funzioni comoste, 96. Limiti notevoli, 99. Forme indeterminate ½0 Š½ Š½ Š, 00. Esercizi di rieilogo sul calcolo dei limiti, 00. Infinitesimi e infiniti, 05. Limiti delle successioni, 07. CAPITOLO 6 continue 09 Discontinuità delle funzioni, 09. Osservazione, 3. Prorietà delle funzioni continue, 3. Zeri di una funzione, 6. Risoluzione grafica di un equazione, 6. Il metodo di bisezione, 8. Alicazioni alle disequazioni,. Grafico robabile di una funzione, 3. Esercitazioni di laboratorio, 3. Esercizi Discontinuità delle funzioni, 36. Prorietà delle funzioni continue, 40. Zeri di una funzione, 4. Metodo di bisezione, 4. Grafico robabile di una funzione, 43. CAPITOLO 7 Derivata di una funzione 45 Indice Definizioni e nozioni fondamentali sulle derivate, 45. Raorto incrementale, 45. Significato geometrico del raorto incrementale, 46. Derivata, 47. Significato geometrico della derivata, 50. Punti stazionari, 5. Interretazione geometrica di alcuni casi di non derivabilità, 5. Continuità delle funzioni derivabili, 5. Derivate fondamentali, 55. Derivata di una funzione costante, 55. Derivata della variabile indiendente, 56. Derivata di ¼ n con n N 0, 56. Derivata di ¼ ffiffiffi ffiffiffi, 57. Derivata di ¼ 3, 57. Derivata di ¼ a, 58. Derivata di ¼ log a, 58. Derivata di ¼ sen edi ¼ cos, 60. Teoremi sul calcolo delle derivate, 60. Derivata della somma di due funzioni, 60. Derivata del rodotto di due funzioni, 6. Derivata del rodotto di iù di due funzioni, 6. Derivata del quoziente di due funzioni, 63. Derivata di una funzione di funzione, 64. Estensione della regola di derivazione di una funzione di funzione, 68. Derivata di ¼ edi ¼ n ffiffiffi, 69. Derivata di ¼½fðÞŠ gðþ, 70. Derivata logaritmica, 7. Derivata di una funzione inversa, 7. Derivate di ordine sueriore al rimo, 74. Differenziale di una funzione, 75. Significato geometrico del differenziale, 78. La derivata come raorto di differenziali, 79. Regola di De L Hôital, 79. Alicazione del teorema di De L Hôital al confronto di articolari infiniti, 85. Un criterio sufficiente er la derivabilità, 86. Alicazioni del concetto di derivata in fisica, 87. Interretazione cinematica della derivata, 88. Esercizi Raorto incrementale, 90. Derivate, 9. Teoremi sul calcolo delle derivate, 9. Derivata di una funzione di funzione, 94. Esercizi di ricaitolazione sul calcolo delle derivate, 96. Esercizi vari sulle derivate, 300. Derivate di ordine sueriore al rimo, 305. Differenziale di una funzione, 306. Regola di De L Hôital, 307. Esercizi di rieilogo sulla regola di De L Hôital, 309. Criterio sufficiente di derivabilità, 3. Alicazioni cinematiche, 3.

6 5 CAPITOLO 8 Teoremi sulle funzioni derivabili 33 Teorema di Rolle, 33. Teorema di Lagrange, 36. Alicazioni del teorema di Lagrange, 38. derivabili crescenti e decrescenti, 39. crescenti e decrescenti in un intervallo, 39. Esercizi Teorema di Rolle, 3. Teorema di Lagrange, 33. Intervalli di monotonia delle funzioni derivabili, 35. CAPITOLO 9 Massimi, minimi, flessi 39 Definizioni di massimo e di minimo relativi, 39. Definizione di unto di flesso, 330. Teoremi sui massimi e minimi relativi, 333. Condizione necessaria er l esistenza di un massimo o di un minimo relativo er le funzioni derivabili, 333. Criterio sufficiente er la determinazione dei unti di massimo e minimo, 334. Ricerca dei massimi e dei minimi relativi e assoluti, 336. Concavità di una curva e ricerca dei unti di flesso, 339. Concavità di una curva in un unto, 339. Concavità di una curva in un intervallo, 34. Punti di flesso, 343. Ricerca dei unti di flesso, 344. Ricerca dei massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale con il metodo delle derivate successive, 346. Osservazioni, 348. Determinazione dei unti di flesso a tangente orizzontale: metodo della derivata terza, 349. Generalizzazione: metodo delle derivate successive, 350. Ricerca dei unti di flesso con il metodo delle derivate successive, 35. Problemi di massimo e di minimo, 354. nella cui esressione analitica figurano arametri, 359. Esercizi Definizioni di massimo, minimo, flesso, 36. Ricerca dei massimi e dei minimi, 36. Ricerca dei massimi e dei minimi assoluti delle funzioni in un intervallo chiuso e limitato, 365. Concavità e flessi, 366. Esercizi di rieilogo, 369. Problemi di massimo e di minimo, 370. Problemi di massimo e di minimo di argomento vario, 370. Problemi di massimo e di minimo di geometria iana, 37. Problemi di massimo e di minimo di geometria solida, 373. Problemi di massimo e di minimo in geometria analitica, 376. Esercizi di alicazione della teoria dei massimi, dei minimi e dei flessi alle funzioni contenenti un arametro, 379. CAPITOLO 0 Studio di funzioni 38 Esercizi Asintoti, 38. Asintoto orizzontale, 38. Asintoto verticale, 38. Asintoto obliquo, 38. Esemi di determinazione di asintoti, 384. Osservazione sulla ricerca dell asintoto obliquo, 386. La funzione derivata rima, 387. Schema generale er lo studio di una funzione, 389. Esemi di studi di funzioni, 39. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa, 43. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata, 43. Dal grafico di una funzione a quello di una sua rimitiva, 45. Asintoti, 47. Studio di funzioni, 4. razionali intere, 44. razionali fratte, 45. irrazionali, 47. esonenziali, 49. logaritmiche, 49. goniometriche, 43. nella cui esressione matematica comaiono valori assoluti, 43. Esercizi di rieilogo, alcuni dei quali ossono richiedere calcoli iù imegnativi, 43. Grafici di alcune funzioni il cui studio è stato roosto negli esercizi recedenti, 433. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa, 436. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata, 436. Dal grafico di una funzione a quello della sua rimitiva, 440. Indice Formulario 44

7 6 Simboli usati nel testo simbolo di aartenenza N insieme dei numeri naturali, comreso lo zero N 0 Z Q insieme dei numeri naturali, escluso lo zero insieme dei numeri interi relativi insieme dei numeri razionali R R þ R þ 0 R R 0 insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali ositivi insieme dei numeri reali ositivi e dello zero insieme dei numeri reali negativi insieme dei numeri reali negativi e dello zero [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j A C U A «tale che» simbolo di rodotto cartesiano tra insiemi comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente U 9 quantificatore esistenziale ( leggi «esiste») 8 quantificatore universale ( leggi «er ogni») _ simbolo di disgiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «vel», «o», «oure») Simboli ^! simbolo di congiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «et», «e contemoraneamente») negazione della roosizione simbolo di imlicazione materiale tra roosizioni o redicati (usato anche er collegare due assaggi algebrici )! simbolo di coimlicazione materiale tra roosizioni o redicati ffi simbolo di comosizione tra funzioni simbolo di congruenza tra figure // simbolo di arallelismo tra rette? simbolo di erendicolarità tra rette ¼ : simbolo di equivalenza tra suerfici ¼) simbolo di imlicazione logica () simbolo di equivalenza logica simbolo di uguaglianza numerica arossimata simbolo di coincidenza tra unti o tra figure e di equiveridicità

8 7 Definizioni e terminologia Classificazione delle funzioni matematiche Definizioni e terminologia D Dati due insiemi non vuoti A e B si dice alicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni A fa corrisondere uno e un solo B (fig. ). Per indicare che f è un alicazione tra A e B si scrive f : A! B Figura e si legge «effe, alicazione (funzione) da A a B». Se è un elemento di A, il suo corrisondente di B si indica anche con f ðþ e si legge «effe di», cioè funzione di ¼ f ðþ; si dice che, cioè f ðþ, èl immagine di nella f e che è lacontroimmagine (o immagine inversa) di ; si scrive anche f :! f ðþ A; f ðþ B e si legge «f orta in f ()», oure «f fa corrisondere f ðþ a», «f trasforma in f ðþ» o frasi equivalenti. Naturalmente uò essere anche A ¼ B e, in questo caso, si arla di alicazione di A in se stesso. In base alla definizione data, una funzione si configura, quindi, come una corrisondenza univoca tra A e B, cioè come una legge che a ogni A fa corrisondere un unico B. Raresentando f con un grafo a frecce, come in figura, si osserva che da ogni A arte una e una sola freccia, mentre nei unti che raresentano gli elementi di B ossono giungere nessuna, una o iù frecce. CAPITOLO

9 8 L insieme A è detto dominio dell alicazione e viene anche chiamato insieme di definizione o insieme di esistenza o camo di esistenza. L insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio o insieme di variabilità dell alicazione e si indica con f ðaþ (vedi ancora fig. ). In generale è f ðaþ B. D Una funzione f : A! B si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la medesima immagine. numeriche e funzioni matematiche Nel caso in cui gli insiemi A e B siano insiemi di numeri, si arla di funzioni numeriche. Di solito A e B sono sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali (A R, B R) e i loro elementi vengono chiamati variabili. La definizione di funzione, nel caso di funzione numerica, si uò così riformulare (definizione di Dirichlet). D Una variabile reale è funzione di una variabile reale in un dominio DðD RÞ, quando esiste una legge f che a ogni D faccia corrisondere uno e un solo valore di, cioè è funzione reale della variabile reale. Diremo! variabile indiendente! variabile diendente Se non ci sono controindicazioni, intenderemo che la funzione numerica di cui si arla sia semre una funzione matematica, cioè che f raresenti l insieme delle oerazioni matematiche (addizione, sottrazione, moltilicazione...)(*) che si devono comiere su un valore del dominio D er ottenere il corrisondente valore. Si scrive ¼ f ðþ CAPITOLO er indicare che è funzione di : tale relazione è l equazione della funzione e f ðþ è l esressione analitica o esressione matematica della funzione. Ricordiamo che esistono funzioni numeriche, come er esemio quelle emiriche, che non sono funzioni matematiche(**). D Il dominio D della funzione, se non è indicato, è l insieme dei valori reali che ossono attribuirsi alla variabile indiendente affinché esista il corrisondente valore reale e rende anche il nome di insieme di esistenza o di definizione della funzione. D L insieme C dei valori reali assunti dalla variabile diendente costituisce l insieme di variabilità della funzione stessa o codominio della funzione. Avvertenza imortante. Sesso, er brevità, invece di dire «funzione di equazione ¼ f ðþ» si dice, sia ur imroriamente, «funzione ¼ f ðþ». (*) Nel seguito lo studente avrà modo di vedere altri tii di oerazioni. (**) Come è noto, le funzioni emiriche sono quelle funzioni (anche non numeriche) er le quali l immagine di un elemento non è ottenibile con una legge refissata, bensì er mezzo di misurazioni serimentali (come in fisica o in chimica) o di rilevazioni (come in economia e statistica).

10 9 Nel seguito, come si noterà, daremo definizioni che valgono er una generica funzione (anche non matematica) e definizioni relative solo a funzioni matematiche. La funzione f :! R associa a ogni numero reale il rorio quadrato e scriveremo ¼ ; relazione che esrime l equazione della funzione f. Essendo f ðþ ¼ si ha, er esemio, f ðþ ¼ ¼ 4, f ð 3Þ ¼ð 3Þ ¼ 9, f ð0þ ¼0 ¼ 0, f ða þ bþ ¼ðaþbÞ.... In questo caso il dominio D coincide con l insieme R dei numeri reali e il codominio è C ¼ R þ 0 ¼f R j 0g ¼½0 ; þþ, ossia è l insieme dei numeri reali ositivi o nulli; infatti ogni immagine in f di un elemento di R è maggiore o eguale a zero ð 0 qualunque sia RÞ e, viceversa, ogni numero maggiore o eguale a zero è l immagine della sua radice quadrata. Siano r e s due rette arallele e O un unto non aartenente ad alcuna delle due rette (fig. ). Facciamo corrisondere a ogni unto P della retta r quel unto Q s intersezione della retta OP con la O retta s. Poiché la retta OP non è arallela a r non uò P essere arallela neure a s; dunque tale unto d intersezione esiste ed è unico e erciò la corrisondenza co- r sì definita è una funzione (detta anche roiezione centrale con centro in s Q O). Figura L insieme dei unti di r costituisce il dominio e l insieme dei unti di s il codominio della funzione. 3 Sia una circonferenza (intesa come insieme di unti) di centro O e sia r una retta a essa tangente. Consideriamo la roiezione centrale con centro O dei unti di su r, che fa corrisondere a ogni unto P di quel unto di r, se esiste, che P è allineato con O e P (fig. 3). Tale corrisondenza non è una funzione: infatti i P O P unti P e P di (che si trovano sulla arallela a P r assante er O) non hanno alcun corrisondente in r. Q Q r 4 Siano A ¼f; ; 3; 4; 6g e B ¼f; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; g. A un generico A facciamo corrisondere B se e solo se è un multilo di. La corrisondenza così definita non è una funzione da A a B, erché vi sono elementi di A che hanno iù corrisondenti in B: er esemio all elemento 3 di A corrisondono gli elementi 3, 6, 9, di B. 5 Data la funzione f : R! R definita dall equazione f ðþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ, si trovino, se esistono, le controimmagini di 5 e di ; si determini oi il codominio di f. Le controimmagini di 5 sono quegli elementi R tali che ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ ¼ 5! 9 þ ¼ 5! ¼ 6! ¼4: Analogamente, er determinare le controimmagini di occorre risolvere l equazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ ¼! 9 þ ¼! ¼ 8! imossibile; Figura 3 erciò non ha controimmagini in f. Il codominio di f è costituito da quegli R tali che, er qualche R, si abbia ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ : () CAPITOLO

11 0 Per determinare il codominio di f trattiamo erciò la () come un equazione nell incognita, contenente il arametro, e cerchiamo di determinare er quali valori di R la () ammette almeno una soluzione R. Affinché la () sia soddisfatta, occorre innanzi tutto che sia 0; inoltre dovrà essere ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ ¼! 9 þ ¼! ¼ 9: Come si vede, la () ha soluzione (ed è ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9Þ urché sia ( 0! 3: 9 0 Il codominio di f è dunque C ¼f Rj 3g ¼½3 ; þþ. 6 Consideriamo una circonferenza di centro O e una retta r esterna a essa (fig. 4). Consideriamo la funzione che associa a ogni unto P della retta r (dominio) il unto Q di intersezione del segmento OP con (roiezione centrale) e siano A e B i unti di che si trovano sulla arallela a r assante er O. Il codominio di f è evidentemente la semicirconferenza AC X B colorata in figura 4 (rivata degli estremi). P A O B Q C r Figura 4 Osservazioni sull esressione analitica di una funzione 3 Non si deve credere che le funzioni matematiche abbiano semre un esressione analitica traducibile in formule comatte o abbiano semre un unica esressione analitica. Vediamo in roosito i seguenti due esemi. CAPITOLO Sia f : R! R una funzione così definita: 8 < er 0 f ðþ ¼ : 3 er < 0: In questo caso la legge che a artire da un del dominio fa calcolare il corrisondente valore di ¼ f ðþ non ha un esressione analitica comatta, cioè non ha una stessa esressione analitica er tutti gli del dominio: se è ositivo o nullo, l immagine di è stesso, mentre se è negativo, l immagine di è il trilo di ; er esemio ffiffiffi ffiffiffi f ð3þ ¼3; f ð Þ¼ ; f ð0þ ¼0; f ð 3Þ ¼ 9; f ð 4Þ ¼ ; ::: : Con il seguente esemio si vede che una funzione, di dato dominio, uò avere iù di una esressione analitica. Per esemio, l alicazione che a un numero reale fa corrisondere il suo valore assoluto(*) uò avere una di queste esressioni analitiche, tra loro equivalenti f ðþ ¼jj; f ðþ ¼ ffiffiffiffiffi n 8 0 (**); f ðþ ¼ ; 8 < 0 4 f ðþ ¼ ffiffiffiffiffi 4 ; con R; ::: : Il codominio della funzione è R þ 0 ¼½0 ; þþ in quanto il valore assoluto di un numero reale è un numero reale ositivo o nullo. (*) Si ricordi che jj ¼ er 0 er < 0: (**) Dalla teoria dei radicali è noto che, se R, è ffiffiffiffiffi ¼jj:

12 Grafico di una funzione 4 D Data una funzione matematica di equazione ¼ f ðþ, si dice grafico o diagramma della funzione l insieme di tutti e soli i unti del iano cartesiano aventi er ascissa i valori della variabile indiendente aartenenti al dominio e er ordinata i valori corrisondenti della variabile diendente (*). In altre arole il grafico di una funzione ¼ f ðþ è il luogo dei unti del iano di coordinate ð ; f ðþþ, con aartenente al dominio della funzione. Questo significa che, se Pð 0 ; 0 )èun unto del diagramma della funzione ¼ f ðþ, allora le coordinate 0 e 0 devono essere soluzioni dell equazione ¼ f ðþ, cioè deve essere 0 ¼ f ð 0 Þ; viceversa, se 0 e 0 sono soluzioni dell equazione ¼ f ðþ, cioè seè 0 ¼ f ð 0 Þ, allora il unto Pð 0 ; 0 )èun unto del grafico della funzione. Si arla anche di curva di equazione ¼ f ðþ. In conclusione: un unto aartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l equazione della funzione. Nel grafico di una funzione ¼ f ðþ non uò mai caitare che due unti abbiano la stessa ascissa; infatti l immagine di ogni del dominio deve essere unica. Nei casi iù comuni i grafici sono costituiti da linee «continue» o da tratti di linee continue (fig. 5). D Due funzioni matematiche aventi la stessa esressione matematica sono uguali se hanno lo stesso dominio. codominio f( ) 0 =f() O 0 dominio Figura 5 Il concetto è maggiormente evidenziato considerando i grafici delle funzioni, come mostrano i seguenti esemi. Si considerino le funzioni f : Z! Z g : R! R così definite f :! ðfig: 6Þ g :! ðfig: 7Þ e se ne tracci il grafico. Z R Z f:, [ Z 0 g:, [ R Figura 6 Figura 7 R CAPITOLO (*) Si uò anche tracciare il diagramma cartesiano di una generica funzione f : A! B; tale diagramma è costituito dalla raresentazione cartesiana del sottoinsieme di A B così definito fð ;Þj A; B; ¼ f ðþg

13 Si tratta di due funzioni costanti giacché l immagine di un qualsiasi è, sia er mezzo di f sia er mezzo di g, semre. Le due funzioni f e g hanno la stessa esressione analitica, in quanto f ðþ ¼egðÞ ¼. Tuttavia, come si uò notare osservandone i grafici, esse non sono affatto uguali, oiché non hanno lo stesso dominio. Raresentare graficamente le seguenti funzioni aventi la stessa esressione analitica, ma differenti domini. f :! con Z ðfig: 8Þ 9 f :! con R ðfig: 9Þ CAPITOLO f 3 :! con R þ 0 ðfig: 0Þ f 4 :! con R ½0 ; Þ ðfig: Þ Si noti che l esressione analitica delle funzioni è ¼ o anche f ðþ ¼ ; dunque la legge con la quale, fissato, si determina l immagine ¼ f ðþ è semre la seguente: «er avere il corrisondente di un del dominio, elevare al quadrato tale». Si osservi anche che, mentre è fondamentale fissare il dominio, il codominio è determinato di conseguenza; er esemio er la f il codominio è il sottoinsieme di Z così costituito: f ðzþ ¼{0 ; ; 4 ; 9 ; 6 ; 5:::}; er la f il codominio è R þ 0 ; ecc. Per la costruzione dei vari grafici è stato utile servirsi, come è già noto, di oortune tabelle. 3 La funzione di Dirichlet è una funzione reale di variabile reale la cui esressione analitica è definita dalla seguente legge 8 < f ðþ ¼ : 4 3 0f 3 4 0f Figura 8 Figura 9 O f 3 O f 4 Figura 0 Figura 0 8 Q 8 R Q: Quindi, se è razionale, il corrisondente di è 0e,se è irrazionale, il corrisondente di è. Pertanto il dominio è R mentre il codominio è formato solo dai valori 0 e : C ¼f0 ; g(*). Lo zero ha er controimmagini tutti i numeri razionali e ha er controimmagini tutti i numeri irrazionali. (*) Si faccia attenzione che l uso delle arentesi graffe è essenziale erché qui si elencano er esteso i due unici elementi dell insieme C.

14 3 In questo caso il grafico della f non è formato né da una linea continua o da tratti di linea, né da un insieme di unti isolati, come abbiamo visto fin ora, ma è dato dall unione degli infiniti unti dell asse ad ascissa razionale con gli infiniti unti di ascissa irrazionale e di ordinata. ari e funzioni disari 5 Ricordiamo due definizioni già incontrate recedentemente. D Una funzione f di equazione ¼ f ðþ e di dominio D si dice ari se, er qualsiasi D, sihafð Þ ¼f ðþ. Il diagramma di una funzione ari è simmetrico risetto all asse. D Una funzione f di equazione ¼ f ðþ e di dominio D si dice disari se, 8 D, si ha f ð Þ ¼ f ðþ: Il diagramma di una funzione disari è simmetrico risetto all origine degli assi cartesiani. Cerchiamo di stabilire quali delle seguenti funzioni sono ari, quali disari e quali non sono né ari né disari aþ f ðþ ¼ 4 þ ; bþ f ðþ ¼ 3 5 ; cþ f ðþ ¼ 4 ffiffiffi ; dþ f ðþ ¼ : aþ f ð Þ ¼ð Þ 4 þð Þ ¼ 4 þ ¼ f ðþ ¼)f è ari; bþ f ð Þ ¼ð Þ 3 ð Þ 5 ¼ 3 þ 5 ¼ ð 3 5 Þ¼ f ðþ ¼)f è disari; c) la funzione non è né ari né disari erché essa è definita er 0 e quindi, se f ðþ esiste, f ð Þ non esiste; dþ f ð Þ¼ð Þ 4 3ð Þ 3 ¼ 4 þ 3 3 6¼f ðþ¼)f non è né ari né disari. Osservazione. Sia f una funzione esrimibile nella forma ¼ PðÞ, dove PðÞ è un olinomio. Si uò facilmente verificare che f è ari se, e solo se, in PðÞ figurano solo otenze di di grado ari(*) e che f è disari se, e solo se, in PðÞ figurano solo otenze di di grado disari. iniettive, suriettive, biunivoche oure, in forma equivalente (**) 6 D Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva, o anche che è un iniezione, se, comunque si scelgano due elementi, A, allora 6¼! f ð Þ 6¼ f ð Þ f ð Þ¼f ð Þ! ¼ : CAPITOLO (*) Lo zero si considera numero ari e quindi le costanti vengono considerate coefficienti di otenze di di grado ari. (**) La seconda forma è la contronominale della rima. Dagli elementi di logica aresi nel biennio è noto che l imlicazione contronominale è logicamente uguale all imlicazione diretta cioè q! ¼! q:

15 4 In altre arole diremo che f è iniettiva se elementi distinti hanno semre immagini diverse, oure, il che è lo stesso, se due elementi che hanno la stessa immagine coincidono, o ancora, se ciascun elemento di B è l immagine, al iù, di un elemento di A (fig. ). A funzione iniettiva B A funzione suriettiva B Figura Figura 3 D Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva, o anche che è una suriezione,sef ðaþ ¼B, cioè se il codominio di f coincide con B, o, ancora, se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A (fig. 3). D Se una funzione f : A! B è sia iniettiva sia suriettiva si dice che è una funzione biiettiva o una biiezione o una funzione biunivoca. Sia A l insieme dei giorni del mese di arile 999 e S l insieme dei giorni della settimana. Consideriamo l alicazione che associa a ogni giorno del mese il relativo giorno della settimana. Tale alicazione non è iniettiva, erché, essendovi nel mese diversi lunedì, diversi martedì, ecc., a giorni diversi del mese corrisondono giorni della settimana uguali. Tale funzione è invece suriettiva. La funzione f : N! N definita da f ðþ ¼ è iniettiva, erché numeri naturali diversi hanno quadrati diversi. Essa non è suriettiva: infatti non tutti i numeri naturali sono il quadrato di qualche naturale. Si osservi che se si considera f ðþ ¼ con f : Z! Z, la funzione oltre a non essere suriettiva non è neure iniettiva: infatti i numeri interi relativi n e n hanno lo stesso quadrato. CAPITOLO 3 Siano r e s due rette arallele e O un unto non aartenente ad alcuna delle due rette. Consideriamo la roiezione centrale di centro O, (vedi esemio del n. ) dei unti di r su s (fig. ). Essa è una funzione suriettiva: infatti, reso un qualsiasi unto Q s e tracciata la retta assante er Q e er O (che esiste ed è unica), questa intersecherà r in un unto P, la cui roiezione di centro O sulla retta s è rorio Q. Dunque ciascun unto di s è l immagine di un unto di r. Si noti che tale funzione è ure iniettiva e quindi è una funzione biiettiva. biunivoche A Figura 4 B alicazione biunivoca 7 La definizione di funzione biunivoca data nel recedente aragrafo uò essere così riformulata. D Si dice che una funzione f : A! B è una funzione biunivoca se ogni elemento di B ha una e una sola controimmagine in A (fig. 4). Se f è biunivoca si ha f ðaþ ¼B, ossia il codominio di f coincide con l insieme B. Quindi, se la funzione f è biunivoca, non solo a ogni A si uò associare uno e un solo B, ma anche a ogni B si uò associare uno e un solo A; si dice allora che gli insiemi A e B sono in corrisondenza biunivoca:vièquindi una corrisondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di f.

16 5 La funzione di equazione ¼ 3 (fig. 5) è una funzione biunivoca: a ogni del dominio R corrisonde uno e un solo del codominio R e, viceversa, a ogni R corrisonde uno e un solo R: = 3 = arabola cubica 0 arabola Figura 5 Figura 6 La funzione ¼ (fig. 6) è una funzione non biunivoca: a ogni aartenente al dominio R corrisonde uno e uno solo elemento del codominio R0 þ, ma a un generico 6¼ 0 del codominio corrisondono due del dominio. inverse 8 Se f : A! B è biunivoca, si uò definire la funzione inversa, che si indica con il simbolo f. Tale funzione associa a ogni B la sua controimmagine A (fig. 7); questa controimmagine, essendo f biunivoca, esiste semre ed è unica e erciò anche f è una funzione che è detta funzione inversa della funzione f. Per tale motivo si dice che una funzione biunivoca è invertibile. Se ¼ f ðþ è l equazione di una funzione matematica biunivoca, si avrà f ðþ ¼ () ¼ f ðþ o anche f :! () f :! : Figura 7 Quando l equazione ¼ f ðþ è univocamente risolubile risetto a, èsenz altro ossibile avere l esressione analitica della funzione inversa. Doo aver ricavato, se ossibile, dall equazione ¼ f ðþ, l equazione ¼ gðþ della funzione inversa, si uò eseguire, in quest ultima, la sostituzione ½! ;! Š, ottenendo così l equazione ¼ gðþ della funzione inversa con variabile indiendente e con variabile diendente. Il grafico di ¼ gðþ si ottiene erciò da quello della funzione ¼ f ðþ mediante la trasformazione geometrica che ha er sostituzione associata ½! ;! Š e cioè mediante una simmetria risetto alla bisettrice ¼ del 3 quadrante. La funzione f di equazione ¼ 3 è biunivoca. La sua funzione inversa è ¼ 3 ffiffiffiffi :! Con la sostituzione si ottiene la funzione inversa! nella forma ¼ 3 ffiffiffi : Il grafico è in figura 8. In questo caso la funzione f corrisonde all oerazione di elevamento al cubo mentre la funzione inversa f corrisonde all oerazione di estrazione di radice cubica. A f biunivoca f f f: A B f :B A O = 3 B 3 = CF Figura 8 CAPITOLO

17 6 comoste 9 Dati tre insiemi A, B, C, siano g un alicazione da A a B e f un alicazione da B a C. L alicazione g faccia corrisondere a un generico elemento di A l elemento z ¼ gðþ di B e l alicazione f faccia corrisondere all elemento z ¼ gðþ di B l elemento ¼ f ðzþ ¼f ðgðþþ di C (fig. 9). g f A B C z=g() =f(z)=f(g()) f n g Figura 9 In questo modo si ottiene un alicazione tra A e C che associa a un generico elemento di A un elemento di C. Questa alicazione si chiama alicazione comosta o funzione comosta o funzione di funzione e si indica con la scrittura f g, che si legge «f comosta g». Si faccia attenzione: oera er rima la funzione g che è scritta a destra del simbolo di comosizione di alicazioni. La f elag si dicono funzioni comonenti di f g. CAPITOLO Date le funzioni f :! þ g :! ; R determiniamo le funzioni comoste f g e g f : La determinazione di f g è in figura 0: darima oera g che trasforma l elemento in ingresso nel suo quadrato e oi oera f che trasforma l elemento in ingresso (che qui è ) aggiungendogli : ertanto g f g :! ¼ f ðgðþþ ¼ þ : f + g f + + =f(g())= + Figura 0 Osservando la figura 9 avremo, in questo caso, z ¼ gðþ ¼ e ¼ f ðzþ ¼z þ e quindi, essendo z ¼, la funzione comosta è ¼ f ðgðþþ ¼ þ. Determiniamo ora g f (fig. ): darima oera la f che trasforma l elemento in entrata aggiungendogli ; ertanto doo l elaborazione di f vi è ð þ Þ in uscita e su di esso oera g trasformandolo nel suo quadrato ð þ Þ. f g + f + + (+) =g(f())=(+) g Figura Possiamo quindi concludere che g f :! ¼ gðf ðþþ ¼ ð þ Þ :

18 7 Osserviamo ora che, se consideriamo un generico, la sua immagine er mezzo di f g odi g f non è la stessa. Per esemio, er ¼ 3siha f g ¼ f ðgð3þþ ¼ 3 þ ¼ 0; g f ¼ gðf ð3þþ ¼ ð3 þ Þ ¼ 4 ¼ 6: Pertanto risulta: f ðgðþþ 6¼ gðf ðþþ cioe f g 6¼ g f ; l oerazione di comosizione di funzioni non è quindi, in generale, commutativa. Siano g e f due funzioni, aventi er dominio l insieme Q dei numeri razionali, così definite g :! þ f :! : Si verifichi che la comosizione delle due funzioni non è commutativa e, doo aver indicato con h e k risettivamente f g e g f, si risolva l equazione Avremo! g þ! f þ! f! g Posto h ¼ f g e k ¼ g f,siha hðþþkðþ ¼f ð3þþgð þ Þ 9 ¼ þ 3 ¼) f g :! þ 3 >= þ ¼ þ 3 ¼) g f :! þ 3 hðþ ¼ þ 3; kðþ ¼ þ 3 ; f ð3þ ¼(*) ð3þ ¼ 6 ; gð þ Þ ¼ þ e quindi l equazione data diventa che risolta dà ¼ 3 : þ 3 þ þ 3 ¼ 6 þ þ 5 ¼) f g 6¼ g f : >; þ ¼ þ 5 3 Si considerino le alicazioni da N a N f :! g :! h :! þ e si verifichi che f ðg hþ ¼ðf gþh: Detta la funzione f g h, si determinino le controimmagini di 8 risetto alla in N: Comonendo oortunamente avremo! h þ! g ð þ Þ ¼) g h :! ð þ Þ gh!! g! h ð þ Þ! f ð þ Þ ¼) f ðg hþ :! ð þ Þ! f ¼) f g :! f ðg hþ ¼ðf gþh þ f! g ð þ Þ ¼)ðf gþh :! ð þ Þ Detta ¼ f ðg hþ ¼ðf gþh, risulta ðþ ¼ð þ Þ. La determinazione delle eventuali controimmagini di 8 consiste nella risoluzione dell equazione ðþ ¼8! ð þ Þ ¼ 8! þ ¼3 CAPITOLO (*) Si noti, ad esemio, che f ð3þ significa che f oera sull elemento 3 e ertanto, in base alla definizione di f, essendo f ðþ ¼, sarà f ð3þ ¼ð3Þ ¼ 6 :

19 8 da cui þ ¼ 3 _ þ ¼þ3! ¼ 5 _ ¼ : Essendo il dominio dell alicazione l insieme dei numeri naturali, solo ¼ è accettabile e quindi 8 ha er unica controimmagine in N l elemento. eriodiche 0 D Si dice che una funzione di equazione ¼f () èeriodica di eriodo T (con T > 0), se, er qualsiasi numero k intero relativo, si ha f ð þ ktþ ¼f ðþ () cioè se, sostituendo (þkt ) al osto di, il valore della funzione non cambia. Si noti che la () ha senso se e ð þ ktþ aartengono entrambi al dominio di f. Il iù iccolo valore ositivo di T er cui vale la () è detto minimo eriodo o eriodo rinciale. Di solito, se non si secifica diversamente, quando si arla di eriodo di una funzione ci si riferisce al suo eriodo rinciale. 6 4 O Le funzioni goniometriche, studiate Figura nel caitolo 6 del volume A, sono funzioni eriodiche. In figura è raresentata graficamente una funzione eriodica di eriodo. crescenti e decrescenti in un intervallo Si consideri una funzione di equazione ¼ f ðþ e di dominio D. Sia I un intervallo, limitato o illimitato, contenuto nel dominio ði DÞ. D Una funzione di equazione ¼ f ðþ si dice crescente in senso stretto (o strettamente crescente) nell intervallo I (fig. 3), se CAPITOLO f( ) f( ) O I f è strettamente crescente in I 8 ; I; < ¼)f ð Þ < f ð Þ: O I f è crescente in senso lato in I Figura 3 Figura 4 D Una funzione di equazione ¼ f ðþ si dice crescente in senso lato (o debolmente crescente o non decrescente) nell intervallo I (fig. 4), se 8 ; I; < ¼) f ð Þf ð Þ: Si osservi che, quando si dice che una funzione è crescente, senza ulteriori secificazioni, si conviene che lo sia in senso stretto.

20 9 D Una funzione di equazione ¼ f ðþ si dice decrescente in senso stretto (o strettamente decrescente) nell intervallo I (fig. 5), se 8 ; I; < ¼) f ð Þ > f ð Þ: D Una funzione di equazione ¼ f ðþ si dice decrescente in senso lato (o debolmente decrescente o non crescente) nell intervallo I (fig. 6), se 8 ; I; < ¼) f ð Þf ð Þ: f( ) f( ) O I f è strettamente decrescente in I O f è decrescente in senso lato in I Figura 5 Figura 6 Anche in questo caso arlando semlicemente di funzione decrescente, senza ulteriori secificazioni, si conviene che la funzione sia decrescente in senso stretto. I Dimostrare, alicando la definizione, che la funzione f di equazione ¼ 3 þ è(strettamente) crescente in R. Siano, R: <! 3 < 3! 3 þ < 3 þ! f ð Þ < f ð Þ: In base alla definizione, la funzione risulta quindi crescente in R. Dimostrare che f :! þ è(strettamente) decrescente in R. Siano, R: <! >! þ > þ! f ð Þ > f ð Þ: In base alla definizione, la funzione risulta quindi decrescente in R. 3 La funzione ¼, il cui grafico è, come noto, una arabola con vertice nell origine, con asse di simmetria coincidente con l asse e con la concavità rivolta verso l alto, è crescente nell intervallo ½0 ; þþ e decrescente nell intervallo ð ; 0Š. 4 La funzione ¼ m, il cui grafico è, come noto, una retta assante er l origine, è crescente in R se è m > 0, mentre è decrescente in R se è m < 0: Osservazione. Possiamo dare una semlice interretazione intuitiva dei concetti ora definiti. Consideriamo, er fissare le idee, una funzione strettamente crescente in un intervallo I e immaginiamo un unto mobile P che ne ercorra il grafico nel verso delle ascisse ositive. Poiché al crescere di cresce anche il valore di ¼ f ðþ, il unto P si sosterà, contemoraneamente, nel verso delle ordinate ositive ossia, immaginando che tale verso indichi l alto, il unto P salirà. Per tale motivo, si dice che il grafico di una funzione crescente è saliente. Se invece la funzione ¼ f ðþ è decrescente, il CAPITOLO

21 0 unto mobile P, sostandosi nel verso delle ascisse ositive, scenderà; er tale motivo, si dice che il grafico di una funzione decrescente è discendente. monotòne D Una funzione si dice monotòna in un intervallo se, in tale intervallo, essa è semre crescente oure è semre decrescente. Si arla anche di funzione monotòna crescente edifunzione monotòna decrescente (in senso stretto o anche in senso lato). Se una funzione non è monotòna nel suo dominio è ossibile, nei casi iù comuni, effettuare una suddivisione del dominio in oortuni intervalli in ciascuno dei quali la funzione sia monotòna: tali intervalli vengono detti intervalli di monotònia della funzione (fig. 7). O D D D 3 CAPITOLO D O a m b n c Figura 7 Figura 8 Figura 9 In figura 8, vi è il caso di una funzione definita in D ¼ða ; bþ[ðb ; cþ che non è crescente in D ur essendolo sia in ða ; bþ sia in ðb ; cþ. Infatti nel caso resentato in figura 8, si ossono trovare due valori m e n del dominio della funzione er i quali, ur essendo m < n, èf ðmþ > f ðnþ. Osservazione. Una funzione f monotòna in senso stretto in un insieme D è una funzione biunivoca tra D e f (D) edèertanto invertibile. Infatti ogni elemento di f ðdþ è ovviamente l immagine di almeno un elemento di D. Inoltre non vi uò essere iù di un elemento D tale che sia ¼ f ðþ. Infatti, sia 6¼ e suoniamo, er fissare le idee, che sia < ; sarà allora f ð Þ < f ð Þ o f ð Þ > f ð Þ a seconda che f sia risettivamente crescente o decrescente; quindi, se è 6¼,sihafð Þ 6¼ f ð Þ. Si noti che non vale l inverso di quanto enunciato sora: infatti una funzione uò essere biunivoca (e quindi invertibile) senza essere semre monotona nel suo dominio, come mostra la figura 9. Grafico di ¼jf ()j 3 In alcune alicazioni caita di considerare una funzione di equazione ¼ f ðþ e il suo grafico (fig. 30) e di dover tracciare il grafico del valore assoluto della funzione, cioè di dover considerare il grafico * della funzione di equazione ¼jf ðþj: Ricordando la definizione di modulo di un numero reale, avremo ( f ðþ er i valori di er cui e f ðþ 0 ¼jfðÞj ¼ f ðþ er i valori di er cui e f ðþ < 0; quindi, come è ovvio, i valori della funzione ¼jf ðþj sono ositivi o nulli e il suo grafico * aarterrà al semiiano delle ordinate ositive o nulle. O O D = f() Figura 30 ðþ

22 Dalla () si deduce che, in corrisondenza ai valori di er cui f () assume valori ositivi o nulli, il grafico di ¼jf ðþj coincide con quello di ¼ f ðþ; invece, er i valori di er cui f () assume valori negativi, il grafico di ¼jf ðþj coincide con quello di ¼ f ðþ. Come è noto, il grafico di ¼ f ðþ è il simmetrico, risetto all asse, di quello di ¼ f ðþ. Si conclude che, er tracciare il grafico *di ¼jf ðþj, basta tracciare il grafico di ¼ f ðþ e sostituire alle arti di i cui unti hanno ordinata negativa le loro simmetriche risetto all asse (fig. 3). O * = f() Figura 3 Classificazione delle funzioni matematiche 4 Le funzioni reali di variabile reale, assegnate mediante un esressione analitica, sono di solito classificate in funzioni algebriche trascendenti razionali intere razionali fratte irrazionali algebriche: sono quelle er cui il valore della variabile diendente si ottiene, a artire dal valore della variabile indiendente, eseguendo un numero finito di oerazioni algebriche, ossia di addizioni, sottrazioni, moltilicazioni, divisioni, elevamenti a otenza ed estrazioni di radice n-esima ðn N 0 Þ. Nel caso in cui le oerazioni da eseguire sulla siano solo addizioni, sottrazioni, moltilicazioni ed elevamento a otenza con esonente intero ositivo, si arla di funzioni razionali intere, le cui esressioni analitiche sono i olinomi in una variabile. Quando in aggiunta vi è anche l oerazione di divisione, si hanno le funzioni razionali fratte, la cui esressione analitica, nel dominio della funzione, uò essere ricondotta alla forma f ðþ ¼ AðÞ BðÞ con A() eb() olinomi nella variabile. Se tra le oerazioni da eseguire sulla variabile comaiono estrazioni di radice n-esima, le funzioni si dicono irrazionali. Sono funzioni razionali intere, quelle, er esemio, di equazione ¼ 3 þ 3 ; ¼ 4 ffiffiffi 3 ; ¼ð 3Þ 5 : Sono funzioni razionali fratte, er esemio, ¼ þ 3 4 ; ¼ 3 þ þ 3 ; f ðþ ¼ þ 3 þ 4 ; ¼ j j : Sono funzioni (algebriche) irrazionali, er esemio, ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 ffiffiffi 3; ¼ ; ¼ þ 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi : þ 3 CAPITOLO trascendenti: sono tutte quelle funzioni che non sono algebriche; tra di esse vi sono le funzioni goniometriche e le funzioni esonenziali e logaritmiche già viste nel volume A.

23 Si consideri la corrisondenza tra l insieme A ¼f ; ; ; ; 3g e l insieme B ¼f ; 4 ; 9 ; 0g, che associa, a ogni A, l elemento ¼ ; B: Si verifichi che tale corrisondenza è una funzione da A a B e la si raresenti sia con un diagramma a frecce sia con un diagramma cartesiano. Sia A ¼f0; ; ; 3g. Si consideri la funzione f : A! Z definita da f ðþ ¼ 3. Determinarne il codominio. ½f 3 ; ; ; 3gŠ 3 Consideriamo la corrisondenza che associa, a ogni numero razionale, il numero jj. Si tratta di una funzione? Consideriamo ora la funzione reale di variabile reale la cui equazione è ¼ jj : Qual è il suo dominio? E il suo codominio? [no erché...; D ¼ R f0g; C ¼f ; þgš 4 Si consideri la funzione f : N! Q definita da f ðþ ¼. Determinare l immagine di 5 e verificare che 5 non ha controimmagine. 5 Sia f ðþ ¼ 4 una funzione reale di variabile reale. Determinare l immagine di 3 ela controimmagine di ; Si consideri la funzione f ðþ ¼ þ 3 4 ð RÞ: Determinare l immagine di 0 e le controimmagini di 0. f ð0þ ¼ 4; 7 e ESERCIZI 7 Si consideri la funzione f ðþ ¼ þ 3 ð RÞ e l intervallo A ¼ð ; 3Š: Determinare f ðaþ. Considerati oi gli intervalli B ¼½0 ; Š e C ¼½ ; Š, verificare che f ðbþ ¼f ðcþ: ½ f ðaþ ¼ð4 ; ŠŠ 8 Dire se la seguente legge definisce una funzione f da R a R: 8 < þ 3 er f ðþ ¼ : þ er : [no, erché...] 9 Data la funzione f :! a þ b da Z a Z, determinare a e b in modo che f ðþ ¼7e f ð Þ ¼: ½a ¼ ^ b ¼ 5Š 0 Si consideri la funzione, da N a N, f :! ð þ Þþ3; determinare l immagine di e la controimmagine di 3. ½9 ; 4Š Si consideri la funzione da Q a Q definita da f :! 4 þ 6; determinare le immagini di 0 e di e le controimmagini di 4. [6; 3; 4 non ha controimmagini in Q]

24 3 Si consideri la funzione, da N a N, f :! þ 3; a) determinare le immagini di e 5; b) determinare le eventuali controimmagini di 7 e di 8; c) tracciare il grafico di f. ½ f ðþ ¼5; f ð5þ ¼3; 7 ha er controimmagine ; 8 non ha controimmagini] 3 Sono date le funzioni, da R a R, f :! þ e g :! : 3 Calcolare un valore di, se esiste, che abbia la stessa immagine in f eing. [Basta risolvere l equazione f ðþ ¼gðÞ:::; ¼ 5Š 4 Sono date le funzioni, da Z a Z, f :! 8 e g :! 5 4 4: Determinare i valori di che hanno la stessa immagine in f eing. ½ ¼Š 5 Considerate le funzioni f :! þ 4 e g :! 3 con R: Verificare che un qualsiasi numero reale non ha mai la medesima immagine in f e in g. 6 Si consideri la funzione f :! Z; a) determinare il minimo valore del codominio b) tracciare il grafico di f c) calcolare le controimmagini di 8 d) calcolare le controimmagini di 8 e) che significato geometrico ha risolvere l equazione f ðþ ¼0? ½aÞ ¼ ; cþ ¼3; dþ non esistono] 7 La funzione f : Z! Z ha la seguente legge analitica: n f ðþ ¼ 3 < : Determinare le controimmagni di 7. 8 >< 7 se < 5 8 La funzione f : Q! Q è così definita f ðþ ¼ >: se 5: Determinare le controimmagini di 4. 9 La funzione f : R! R è definita dalla legge 8 < 3 er 0 f ðþ ¼ þ 3 er 0 < < : þ er : Determinare le controimmagini di. 0 Si considerino le funzioni f e g, daz a Z, così definite er þ er f ðþ ¼ gðþ ¼ þ 3 er < 3 þ 4 er < : ½ ; 4Š [non esistono] ffiffiffiffiffi 3 7 ; 3 ; ESERCIZI Determinare gli eventuali valori di che hanno la stessa immagine in f eing. ½ ¼ Š

25 4 Date le funzioni f e g da Q a Q definite da er > f ðþ ¼ 3 þ er gðþ ¼ 3 er þ er < ; determinare i valori di le cui immagini in f eing sono entrambe ositive. 3 < _ > 3 Sono date le funzioni f e g da Q a Q così definite f ðþ ¼ þ er > 0 þ 3 er 0 gðþ ¼ þ er > er 3: Determinare quali elementi di Q hanno la stessa immagine in f e in g. ¼ 5 3 Date tre rette r, s, t, di cui la terza non arallela alle rime due, consideriamo tra r e s la corrisondenza che a ogni P r associa il unto Q s tale che P Q PQ == t oure P Q; P r; Q s (fig. ): Si tratta di una funzione? Qual è il suo codominio? Che cosa succede se si ha r==t o s==t? t r s ESERCIZI 4 Sia s una retta e c una circonferenza di centro O e raggio r, tangente a s in un unto T. Sia P Figura il unto della retta OT, tale che PO ¼ r, che si trova risetto a O dalla arte oosta a T. Definiamo una funzione f : c! s in questo modo: l immagine di un unto A c è il unto B di intersezione di s e della retta che assa er P e er A (fig. ). Qual è il codominio di f? [Il segmento MN della retta s, tale che MT ¼ TN ¼ r s B A P r r O T c ) A ) B Figura Figura 3 c O Q M P ffiffi 3 Š 5 Sia c una circonferenza e Q un suo unto. Si consideri la funzione c!, dove è il iano che contiene c, che associa a ogni unto P c il unto medio M di PQ. Se ne determini il codominio (fig. 3). (L asse di PQ assa er il centro O; il triangolo OQM è dunque rettangolo in M e l iotenusa è il raggio...). [La circonferenza di diametro OQ]

26 5 6 Sia c una circonferenza e r una retta dello stesso iano. Detto A l insieme delle corde di c arallele a r, si consideri la funzione da A all insieme dei unti del iano che associa a ogni corda il suo unto medio. Determinare il codominio di tale funzione. [Il diametro erendicolare a r] 7 Sia r una retta e P un suo unto. Chiamiamo C l insieme delle circonferenze tangenti a r in P. Consideriamo la funzione da C all insieme dei unti del iano che associa a ogni circonferenza di C il suo centro. Determinarne il codominio. [La retta er P erendicolare a r, escluso P] iniettive, suriettive, biunivoche Se f è la funzione che associa a ogni circonferenza del iano il suo centro, f è iniettiva? È suriettiva? [Suriettiva, ma non iniettiva] Sia c una circonferenza e A l insieme delle rette dello stesso iano. La funzione che associa a ogni unto di c la retta tangente in quel unto alla circonferenza è iniettiva? È suriettiva? [Iniettiva, ma non suriettiva] 3 Sia c una circonferenza e sia l insieme dei unti del iano esterni a c, mentre sia l insieme delle corde di c. La funzione! che associa a ogni unto P la corda MN ottenuta congiungendo i unti M e N in cui le tangenti a c tracciate da P toccano la circonferenza (fig. 4), è una funzione iniettiva? È suriettiva? [Iniettiva, ma non suriettiva erché il codominio non contiene...] M P 4 Delle seguenti funzioni Z! Z dire quali sono iniettive, quali suriettive e quali biunivoche: f ðþ ¼ þ gðþ ¼ þ 3 hðþ ¼3þ kðþ ¼ 3 biunivoche. inverse arte intera di 3, ovvero il maggiore tra gli interi. 3 [ f nè iniettiva, nè suriettiva; g biunivoca; h iniettiva; k suriettiva] Siano r e s due rette arallele e O un unto della striscia di iano comresa tra r e s. Sia f : r! s la funzione che associa a ogni P r il unto P 0 s che risulta allineato con O e con P. Si dimostri che f è biunivoca. Verificare che f :! 4 con R, è una corrisondenza biunivoca da R a R; 3 determinare la funzione inversa e tracciare, nello stesso sistema di riferimento, i grafici di f e di f. N Figura 4 ESERCIZI 3 Verificare che f :! þ èuna corrisondenza biunivoca tra R e R, ma non tra Z e Z. Detta ¼ gðþ l esressione analitica della funzione inversa, si risolva l equazione ½gðÞŠ 4 ¼ : ½ ¼ 0 _ ¼ 4Š