Lineamenti di matematica

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1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANFREDI MERCURIO Triennio Lineamenti di matematica er il triennio degli istituti tecnici commerciali Programmatori - MERCURIO Matematica generale: analisi (seconda arte) MODULO d

2 N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi LINEAMENTI DI MATEMATICA er il triennio degli istituti tecnici commerciali Programmatori MERCURIO MODULO D Matematica generale: analisi (seconda arte) Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

3 internet: Prorietà letteraria riservata Coright 00 b SEDES sa - Milano ª edizione: De Agostini Scuola SA Novara Printed in Ital Turbo Pascal è un marchio deositato di Borland Software Cororation. Lotus 3 è un marchio deositato di Lotus Software. MS-Dos, Ecel sono marchi deositati di Microsoft Cororation. Derive for Windows è un marchio deositato di Teas Instruments. L Editore dichiara la roria disonibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel risetto del DL 74/9 sulla trasarenza nella ubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi ossibile intenzione o effetto romozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna arte del materiale rotetto da questo coright otrà essere rirodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocoie er uso ersonale del lettore ossono essere effettuate nei limiti del 5% di ciascun volume dietro agamento alla SIAE del comenso revisto dall art. 68, comma 4, della legge arile 94 n Le riroduzioni ad uso differente da quello ersonale otranno avvenire, er un numero di agine non sueriore al 5% del resente volume, solo a seguito di secifica autorizzazione rilasciata da AIDRO Corso di Porta Romana, 08 0 Milano segreteria@aidro.org; Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei suorti multimediali o siegazioni sulle scelte oerate dagli autori e dalla Casa Editrice ossono essere inviate all indirizzo di osta elettronica deagostiniscuola@deagostiniscuola.it. Stama: Cartolibraria Tiberina s.r.l. - Città di Castello (PG) Ristama: Anno: Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

4 3 CAPITOLO Teoremi sulle funzioni derivabili 7 Teorema di Rolle, 7. Teorema di Lagrange, 0. Alicazioni del teorema di Lagrange,. Funzioni derivabili crescenti e decrescenti, 3. Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo, 3. Esercizi Teorema di Rolle, 6. Teorema di Lagrange, 7. Intervalli di monotonia delle funzioni derivabili, 9. CAPITOLO Massimi, minimi, flessi 3 Definizioni di massimo e di minimo relativi, 3. Definizione di unto di flesso, 4. Teoremi sui massimi e minimi relativi, 7. Condizione necessaria er l esistenza di un massimo relativo o di un minimo relativo er le funzioni derivabili, 7. Criterio sufficiente er la determinazione dei unti di massimo e di minimo, 8. Ricerca dei massimi e dei minimi relativi e assoluti, 30. Cocavità di una curva e ricerca dei unti di flesso, 33. Concavità di una curva in un unto, 33. Concavità di una curva in un intervallo, 35. Punti di flesso, 37. Ricerca dei unti di flesso, 38. Ricerca dei massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale con il metodo delle derivate successive, 40. Osservazioni, 4. Determinazione dei unti di flesso a tangente orizzontale: metodo della derivata terza, 43. Generalizzazione: metodo delle derivate successive, 44. Ricerca dei unti di flesso con il metodo delle derivate successive, 46. Problemi di massimo e di minimo, 48. Funzioni nella cui esressione analitica figurano arametri, 53. Esercizi Definizioni di massimo, minimo, flessi, 55. Ricerca dei massimi e dei minimi, 56. Ricerca dei massimi e dei minimi assoluti delle funzioni in un intervallo chiuso e limitato, 59. Concavità e flessi, 60. Esercizi di rieilogo, 63. Problemi di massimo e di minimo, 64. Problemi di massimo e di minimo di argomento vario, 64. Problemi di massimo e minimo di geometria iana, 65. Problemi di massimo e di minimo di geometria solida, 67. Problemi di massimo e di minimo in geometria analitica, 70. Esercizi di alicazione della teoria dei massimi, dei minimi e flessi alle funzioni contenenti un arametro, 73. CAPITOLO 3 Studio di funzioni 75 Esercizi Asintoti, 75. Asintoto orizzontale, 75. Asintoto verticale, 76. Asintoto obliquo, 76. Esemi di determinazione di asintoti, 78. Osservazione sulla ricerca dell asintoto obliquo, 80. La funzione derivata rima, 8. Schema generale er lo studio di una funzione, 83. Esemi di studi di funzioni, 85. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa, 07. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata, 07. Dal grafico di una funzione a quello di una sua rimitiva, 09. Asintoti,. Studio di funzioni, 5. Funzioni razionali intere, 8. Funzioni razionali fratte, 9.Funzioni irrazionali,. Funzioni esonenziali, 3. Funzioni logaritmiche, 3. Funzioni goniometriche, 5. Funzioni nella cui esressione matematica comaiono valori assoluti, 6. Esercizi di rieilogo, alcuni dei quali ossono richiedere calcoli iù imegnativi, 6. Grafici di alcune funzioni il cui studio è stato roosto negli esercizi recedenti, 7. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa, 30. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata, 30. Dal grafico di una funzione a quello della sua rimitiva, 34. Indice CAPITOLO 4 Integrali indefiniti 36 Introduzione, 36. Integrale indefinito, 36. L integrale indefinito come oeratore lineare, 38. Integrazioni immediate, 39. Integrazione delle funzioni razionali fratte, 47. Casi articolari, 5. Integrazione er sostituzione, 54. Integrazione er arti, 57. Esercizi Integrali immediati, 6. Esercizi di ricaitolazione sugli integrali immediati, 68. Integrali di funzioni razionali fratte, 73. Integrali er sostituzione, 76. Integrali er arti, 80. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

5 4 CAPITOLO 5 Integrali definiti 8 Integrale definito di una funzione continua, 8. Osservazioni, 86. Prorietà degli integrali definiti, 87. Teorema della media, 89. La funzione integrale, 9. Teorema fondamentale del calcolo integrale, 9. Relazione tra funzione integrale e integrale indefinito, 93. Formula fondamentale del calcolo integrale, 93. Integrali delle funzioni ari e disari, 94. Calcolo degli integrali definiti con il metodo di sostituzione, 95. Area della arte di iano delimitata dal grafico di due funzioni, 97. Osservazione, 98. Esercizi su aree e valor medio, 98. Alicazioni degli integrali definiti, 0. Volume di un solido di rotazione, 0. Esemi articolari di calcolo di volumi, 04. Osservazione imortante, 04. Cenno agli integrali imrori, 05. Integrali imrori del rimo tio, 06. Esemi di calcolo di integrali imrori, 08. Nota storica, 0. Esercizi Integrali definiti,. Calcoli di integrali definiti, 3. Calcolo di aree di figure iane, 6. Valor medio di una funzione, 0. Volumi di solidi di rotazione,. Integrali imrori, 3. Indice Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

6 5 Simboli usati nel testo simbolo di aartenenza N insieme dei numeri naturali, comreso lo zero N 0 Z Q insieme dei numeri naturali, escluso lo zero insieme dei numeri interi relativi insieme dei numeri razionali R R þ R þ 0 R R 0 insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali ositivi insieme dei numeri reali ositivi e dello zero insieme dei numeri reali negativi insieme dei numeri reali negativi e dello zero [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j A C U A «tale che» simbolo di rodotto cartesiano tra insiemi comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente U 9 quantificatore esistenziale ( leggi «esiste») 8 quantificatore universale ( leggi «er ogni») _ simbolo di disgiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «vel», «o», «oure») ^! simbolo di congiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «et», «e contemoraneamente») negazione della roosizione simbolo di imlicazione materiale tra roosizioni o redicati (usato anche er collegare due assaggi algebrici )! simbolo di coimlicazione materiale tra roosizioni o redicati Simboli ffi simbolo di comosizione tra funzioni simbolo di congruenza tra figure // simbolo di arallelismo tra rette? simbolo di erendicolarità tra rette ¼ : simbolo di equivalenza tra suerfici ¼) simbolo di imlicazione logica () simbolo di equivalenza logica simbolo di uguaglianza numerica arossimata simbolo di coincidenza tra unti o tra figure e di equiveridicità Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

7 7 Teoremi sulle funzioni derivabili Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Funzioni derivabili crescenti e decrescenti Teorema di Rolle T Teorema di Rolle (*). Sia ¼ f ðþ una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, di estremi a e b, e derivabile nei unti interni di tale intervallo; se la funzione assume valori eguali negli estremi a e b dell intervallo, allora esiste almeno un unto c, interno all intervallo, in cui la derivata della funzione è nulla. L iotesi e la tesi di questo teorema si ossono così schematizzare 9 f ðþ continua in ½a ; bš >= f ðþderivabile in ða ; bþ ¼) 9 c ða ; bþjf 0 ðcþ ¼0: >; f ðaþ ¼fðbÞ Dimostrazione. Saiamo che, er il teorema di Weierstrass (modulo C, ca. 6), se la funzione f ðþ è continua nell intervallo ½a ; bš, essa assume in tale intervallo il suo valore massimo M e il suo valore minimo m. Detti c e d, con c, d ½a ; bš, i due unti in cui, er esemio, è f ðcþ ¼m e f ðdþ ¼M, si avrà, 8 ½a ; bš, Possono resentarsi due casi m ¼ f ðcþ f ðþ f ðdþ ¼M: ðþ Teoremi sulle funzioni derivabili º caso. Sia m ¼ M. Dalla () risulta che 8 ½a ; bš è m ¼ f ðcþ ¼fðÞ ¼fðdÞ ¼M, risulta cioè che f ðþ è costante in tutto l intervallo ½a ; bš e ertanto la sua derivata sarà nulla 8 ½a ; bš e il teorema è erciò dimostrato (fig. ). O a c d b Figura TEORIA (*) Michel Rolle, matematico francese, Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

8 8 º caso. Sia m < M. La funzione non è costante in ½a ; bš e, oiché f ðaþ ¼f ðbþ, almeno uno dei due unti c e d, nei quali la funzione assume risettivamente il valore minimo e il valore massimo, cade internamente all intervallo ½a ; bš. Suoniamo, er esemio, che il unto interno sia il unto c. Diamo a c un incremento h in modo che c þ h ða ; bþ; oiché abbiamo suosto che f ðcþ sia il valore minimo assunto dalla funzione, si avrà (fig. ) sia er h > 0 sia er h < 0 (*). f ðc þ hþ f ðcþ O a c h<0 h>0 b TEORIA Teoremi sulle funzioni derivabili Si avrà quindi f ðc þ hþ f ðcþ 0 Figura e otremo così calcolare il segno dei due raorti incrementali, destro e sinistro, e determinarne oi il limite al tendere di h a zero. Dividendo entrambi i membri della () er h si ha, er h > 0; f ðc þ hþ f ðcþ h 0 e, er h < 0; f ðc þ hþ f ðcþ h cioè il raorto incrementale destro è ositivo o nullo e il raorto incrementale sinistro è negativo o nullo. Per l inverso del teorema della ermanenza del segno (modulo C, ca. 4), si ha, er h > 0; f ðc þ hþ fðcþ lim h!0 þ h 0; 0 e, er h < 0; lim h!0 f ðc þ hþ f ðcþ h Ma, oiché la funzione è er iotesi derivabile in ða ; bþ, i due raorti incrementali debbono tendere, er h! 0, allo stesso limite e dovrà quindi essere, qualunque sia il segno di h, lim h!0 f ðc þ hþ f ðcþ h ¼ 0! f 0 ðcþ ¼0: Analoghe considerazioni valgono se il unto interno all intervallo ½a ; bš è, invece, il unto d, in cui f ðþ assume il valore massimo. c.v.d. Ricordiamo che la derivata rima di una funzione ¼ f ðþ, calcolata er ¼ c, raresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo unto di ascissa c. Se è f 0 ðcþ ¼0, allora la retta tangente risulta arallela all asse, cioè c è un unto stazionario er la funzione f ðþ. 0: ðþ (*) In casi articolari uò accadere che, in un intorno qualsiasi di c, vi siano anche infiniti valori di h er i quali è f ðc þ hþ ¼f ðcþ. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

9 9 Dal unto di vista geometrico il teorema di Rolle è ertanto evidente: esso, infatti, esrime che, se valgono le iotesi del teorema, esiste almeno un unto interno all intervallo ½a ; bš in cui la tangente alla curva è arallela all asse delle (fig. 3 e fig. 4). O a c b O a c c c 3 b Figura 3 Figura 4 Verificare il teorema di Rolle er la funzione ¼ f ðþ ¼ 8 þ 3 nell intervallo ½ ; 7Š. Controlliamo darima se sono verificate le iotesi del teorema. ) L esressione analitica della funzione data è un olinomio e quindi f è continua e derivabile, 8 R; in articolare sarà derivabile e continua anche nell intervallo considerato ½ ; 7Š. ) f ðþ ¼f ð7þ erché è f ðþ ¼ 4efð7Þ ¼ 4. Calcoliamo Il teorema è verificato: infatti 4 ð ; 7Þ. 0 ¼ 8 e 0 ¼ 0! 8 ¼ 0! ¼ 4: Verificare il teorema di Rolle er la funzione ¼ f ðþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 in ½ ; Š. ) La funzione è derivabile in ð ; Þ (*) ed è continua in ½ ; Š. ) È f ð Þ ¼f ðþ ¼0. Calcoliamo 0 ¼ Il teorema è così verificato erché 0 ð ; Þ: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e 0 ¼ 0! ¼ 0: 4 3 Verificare se è alicabile il teorema di Rolle alla funzione ¼ f ðþ ¼ jj nell intervallo ½ ; Š. La funzione è continua 8 R e quindi anche nell intervallo [ ; ]. La funzione assume, negli estremi dell intervallo, valori uguali erché f ð Þ ¼j j ¼jj ¼f ðþ: La funzione, erò, non è derivabile in ¼ 0, che è un unto interno all intervallo considerato (si veda, nel modulo C, l esemio 3 del n. 7 del caitolo 7). Il teorema di Rolle non è ertanto alicabile. Teoremi sulle funzioni derivabili TEORIA (*) La funzione derivata rima, 0 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi,èdefinita in ð ; Þ. 4 Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

10 0 Teorema di Lagrange 3 T Teorema di Lagrange (*) o del valore medio. Data una funzione ¼ f ðþ continua nell intervallo chiuso e limitato ½a ; bš e derivabile nell intervallo aerto ða ; bþ, esiste almeno un unto c, interno all intervallo ½a ; bš, tale che risulti f ðbþ f ðaþ b a ¼ f 0 ðcþ () Si uò osservare che la () esrime l uguaglianza tra il raorto incrementale della funzione relativo all intervallo ½a ; bš e la derivata della funzione in un oortuno unto interno ad ½a ; bš. TEORIA Teoremi sulle funzioni derivabili Dimostrazione. Consideriamo la funzione ðþ ¼f ðþ K; dove K R è una costante. In conseguenza delle iotesi del teorema, la funzione ðþ risulta evidentemente continua in ½a ; bš e derivabile in ða ; bþ. Determiniamo ora la costante K er la quale risulti ðaþ ¼ ðbþ, in modo che, quindi, si ossa alicare alla funzione ðþ il teorema di Rolle. Se vogliamo che sia ðaþ ¼ ðbþ deve risultare f ðaþ Ka ¼ f ðbþ Kb! Kb Ka ¼ f ðbþ fðaþ! f ðbþ fðaþ! Kðb aþ ¼fðbÞ fðaþ! K ¼ : b a Per tale valore di K ossiamo quindi alicare il teorema di Rolle alla funzione ðþ che, ertanto, diventa f ðbþ fðaþ ðþ ¼fðÞ ; esisterà quindi un unto c, interno all intervallo ½a ; bš, er il quale si ha b a 0 ðcþ ¼0. Poiché è 0 ðþ ¼f 0 f ðbþ fðaþ ðþ,siha b a 0 ðcþ ¼0! f 0 ðcþ f ðbþ f ðaþ b a ¼ 0! f ðbþ fðaþ b a ¼ f 0 ðcþ: 4 Per interretare geometricamente la (), cioè il teorema di Lagrange, consideriamo il grafico della funzione ¼ f ðþ (fig. 5) e sia AB C l arco di curva i cui estremi hanno ascisse a e b: si ha cioè A½a ; f ðaþš e B½b ; f ðbþš. t r 3 s r r A C B c.v.d. O a c b Figura 5 (*) Giusee Luigi Lagrange, matematico italiano (756-83). Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

11 Il coefficiente angolare della retta AB è, er una nota formula di geometria analitica, m AB ¼ B A B A ¼ f ðbþ fðaþ : b a Immaginiamo di tracciare il fascio di rette arallele a tale secante; tra tali rette, come è intuitivamente evidente, ve ne deve essere almeno una, la retta t, tangente al grafico di f ðþ in un unto C dell arco AB C ; sia c l ascissa di tale unto. Ricordando che la derivata f 0 ðcþ raresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f ðþ nel suo unto di ascissa c, si uò dedurre che il coefficiente angolare di t è eguale a f 0 ðcþ; d altra arte t è arallela alla secante s e il suo coefficiente angolare dev essere quindi eguale a m AB. Se ne deduce che dev essere f 0 ðcþ ¼m AB! f 0 f ðbþ fðaþ ðcþ ¼ : b a Osservazione. Si noti che, come si è affermato, esiste almeno un unto in cui la tangente alla curva è arallela alla corda AB, ma ciò non esclude che ve ne sia iù di uno, come avviene, ad esemio, nel caso della A O a c c c 3 b figura 6. Figura 6 Alicare il teorema di Lagrange alla funzione di equazione ¼ f ðþ ¼ 3 þ 3nell intervallo ½ ; 3Š. Verifichiamo darima le condizioni che costituiscono le iotesi del teorema: la funzione è derivabile, quindi continua, 8 R, erciò anche nell intervallo richiesto. Esisterà così un unto c ð ; 3Þ er il quale sarà verificata la relazione f ð3þ fð Þ ¼ f 0 ðcþ: 3 þ Determiniamo ora il unto c e, se c aarterrà all intervallo ð ; 3Þ, otremo considerare verificato il teorema: f ð3þ ¼7 þ 6 3 ¼ 30 f ð Þ ¼ 3 ¼ 6 f 0 ðþ ¼3 þ f 0 ðcþ ¼3c þ 3 c þ ¼ 30 þ 6! 3 c þ ¼ 9! c ¼ 7 rffiffiffiffiffi 7! c ¼ : rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi 7 7 Trascurando il valore c ¼ 6 ð ; 3Þ, sihac ¼ ð ; 3Þ: 3 3 Alicare il teorema di Lagrange alla funzione ¼ f ðþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi nell intervallo ½ ; 5Š. La funzione è continua nell intervallo ½ ; 5Š ed è derivabile in ð ; 5Š, essendo f 0 ðþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; esisterà quindi un unto ¼ c ð ; 5Þ er il quale sarà f 0 f ð5þ fðþ ðcþ ¼ : 5 Calcoliamo f ð5þ ¼ f ðþ ¼0 f 0 ðþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! f 0 ðcþ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; c B Teoremi sulle funzioni derivabili TEORIA Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

12 er trovare il unto c risolviamo l equazione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 c 4! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼! c ¼ ð ; 5Þ: c TEORIA Teoremi sulle funzioni derivabili 3 Giustificare la non alicabilità del teorema di Lagrange alla funzione nell intervallo ½0 ; Š. f ðþ ¼ þ þj j La funzione data è senz altro continua in ½0 ; Š. Osserviamo che è 8 >< > f ðþ ¼ þ þ ¼ þ >: f 0 ðþ ¼ e 8 >< < f ðþ ¼ þ þ ¼ 3 >: f 0 ðþ ¼0: È intuitivo che f ðþ non è derivabile in ¼ ; er dimostrarlo calcoliamo il raorto incrementale di f ðþ in ¼ : f ð þ hþ f ðþ h Passando al limite avremo ¼ h þð hþ lim h!0 h þ h þ þj þ h j 3 h h þ h ¼ 0 e lim h!0 þ h ¼ h þjhj h Si conclude che, essendo in ¼ la derivata destra della funzione diversa dalla derivata sinistra, la funzione data non è derivabile in ¼ ; oiché tale unto è interno all intervallo ½0 ; Š, alla funzione f ðþ non uò essere alicato, in tale intervallo, il teorema di Lagrange. N.B. La non derivabilità della funzione in ¼ uò anche essere dedotta tenendo conto di quanto esosto nel modulo C al n. 37 del caitolo 7. Alicazioni del teorema di Lagrange 5 Una rima alicazione molto imortante del teorema di Lagrange è la seguente. Saiamo già che, se f ðþ è costante nell intervallo ½a ; bš, in tutto l intervallo la derivata f 0 ðþ è nulla. Questa roosizione si uò invertire dando luogo al seguente teorema. T Se una funzione è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti i unti interni di I, essa è costante in quell intervallo (*). Infatti, se e sono due unti qualunque dell intervallo I, er il teorema di Lagrange alicato all intervallo ½ ; Š, esiste almeno un unto c interno all intervallo ½ ; Š er cui è ¼ : f ð Þ f ð Þ ¼ f 0 ðcþ: ðþ Ma, er iotesi, la derivata di f ðþ è nulla in ogni unto di I, erciò ènulla anche in c, ossia si ha f 0 ðcþ ¼0; ne segue, dalla (), che f ð Þ f ð Þ¼0; ossia f ð Þ¼f ð Þ: Questo significa che f ðþ assume in tutti i unti di I semre lo stesso valore, cioè èuna funzione costante. c.v.d. : (*) Il teorema qui enunciato e il successivo sono validi anche in intervalli illimitati. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

13 3 6 Dal teorema del numero recedente segue questo ulteriore e imortante teorema. T Se due funzioni f ðþ e gðþ, continue in un intervallo I, hanno derivate uguali in tutti i unti interni di I, esse differiscono er una costante. Infatti, osto FðÞ ¼f ðþ gðþ, sihaf 0 ðþ ¼f 0 ðþ g 0 ðþ: Ma, er l iotesi del teorema, in tutto l intervallo I è f 0 ðþ ¼g 0 ðþ, quindi, 8 I, è F 0 ðþ ¼0; da cui si deduce, er il teorema recedente, che è FðÞ ¼costante! f ðþ gðþ ¼costante: c.v.d. Si considerino le funzioni ¼ f ðþ ¼ arc tg þ e ¼ gðþ ¼arc cos ; con > : þ Si verifichi che, in tutti i unti dell intervallo I ¼ð ; þþ, le due funzioni differiscono er una costante. Infatti, 8 I, siha f 0 ðþ ¼ þ ð þ Þ ð Þ g 0 ðþ ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ ð þ Þ ¼ ð þ Þ ffiffiffiffiffiffiffiffi 4 þ þ ð Þ ¼ 4 þ ¼ þ ð þ Þ ð Þ ð þ Þ 4 ð þ Þ ¼ þ jj ¼ þ : Dall uguaglianza delle due derivate, er il teorema del n. 6, si deduce che le due funzioni differiscono, nell intervallo ð ; þþ er una costante: f ðþ ¼ gðþ þ k: Funzioni derivabili crescenti e decrescenti Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo 7 Sia ¼ f ðþ una funzione definita in un intervallo I (limitato o illimitato). Ricordiamo che si dice che la funzione f è strettamente crescente in I, o semlicemente crescente in I, se 8 ; I; <! f ð Þ < f ð Þ; la funzione f si dice invece strettamente decrescente in I, o semlicemente decrescente in I, se 8 ; I; <! f ð Þ > f ð Þ: Nel caso di funzioni derivabili si ha, come conseguenza del teorema di Lagrange, il seguente fondamentale teorema, utile er determinare gli intervalli di monotonìa di una funzione, cioè gli intervalli in cui essa è crescente o decrescente. ¼ Teoremi sulle funzioni derivabili TEORIA Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

14 4 T Sia ¼ f ðþ una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei unti interni di I (*). Se la derivata della funzione è semre ositiva, allora la funzione è crescente in I. Se la derivata è semre negativa, la funzione è decrescente in I. Siano e due unti qualsiasi di I, con < ; er il teorema di Lagrange si uò scrivere f ð Þ f ð Þ ¼ f 0 ðcþ con c ð ; Þ: ðþ Suoniamo che sia f 0 ðþ > 0 er I e che quindi sia ure f 0 ðcþ > 0: oichè è >, cioè > 0, dalla () si deduce che è f ð Þ f ð Þ > 0! f ð Þ > f ð Þ e ciò vuol dire che f ðþ è crescente in I. Suoniamo, invece, che sia f 0 ðþ < 0 e quindi che sia ure f 0 ðcþ < 0, semre con c ð ; Þ; dalla () si deduce che, essendo >, cioè > 0, è f ð Þ fð Þ < 0! f ð Þ < f ð Þ e ciò vuol dire che f ðþ è decrescente in I. c.v.d. Si conclude così che condizione sufficiente, affinchè una funzione sia crescente (o decrescente) in un intervallo dove è continua e derivabile, è che essa abbia derivata ositiva (o negativa) nei unti interni di quell intervallo. TEORIA Teoremi sulle funzioni derivabili Determinare in quali intervalli la funzione ¼ 3 3 è crescente. Abbiamo or ora dimostrato che, se in un intervallo la derivata di una funzione è ositiva, la funzione è crescente in quell intervallo. Calcoliamo dunque e ricerchiamo quando è 0 > 0 : 0 ¼ > 0! > 0! < _ > : Potremo così dire che negli intervalli ð ; Þ e ð ; þþ la funzione data è crescente. Determinare gli intervalli in cui la funzione ¼ f ðþ ¼ þ è decrescente. Saiamo che, se in un intervallo è 0 < 0, la è decrescente in quell intervallo. Calcoliamo dunque 0 ¼ þ ð þ Þ ¼ ð þ Þ e osserviamo che er < _ > è 0 < 0; concludiamo così che la funzione è decrescente negli intervalli ð ; Þ e ð ; þþ: 3 Determinare gli intervalli in cui la funzione ¼ logjjþ è crescente o decrescente. Osserviamo innanzitutto che, er l esistenza della funzione, deve essere 6¼ 0: Ricordando che D logjj ¼,siha0 ¼ ¼ e quindi si uò dire che er < ^ 6¼ 0 e 0 < 0 e er > e 0 > 0: Si conclude così che in ð ; 0Þ einð0 ; Þ la funzione è decrescente; in ð ; þþ la funzione è crescente. (*) Il teorema è valido sia er intervalli limitati sia er intervalli illimitati. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

15 5 8 Il teorema del n. 7 uò essere invertito nel modo seguente. T Sia ¼ f ðþ una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei unti interni di I. Sef ðþ è crescente in I, allora, nei unti interni di I, sihaf 0 ðþ 0. Se invece f ðþ è decrescente, si ha f 0 ðþ 0: Suoniamo che f ðþ sia crescente in I e lasciamo al lettore l esame del caso in cui f ðþ sia decrescente. Siano e þ h due unti interni di I e suoniamo sia h > 0: Per definizione di funzione crescente si ha þ h >! f ð þ hþ > f ðþ e ertanto il raorto incrementale destro di f, relativo al unto e all incremento h, risulta ositivo f ð þ hþ f ðþ h Poiché f ðþ è derivabile nei unti interni di I, il limite di tale raorto incrementale, er h! 0 þ, esiste ed è finito ed è la derivata della funzione nel unto (*); er il teorema inverso della ermanenza del segno (ca. 4, n. 8), avremo erciò f ð þ hþ fðþ lim 0! f 0 ðþ 0: h!0 þ h Poiché è un generico unto interno all intervallo I, si uò concludere che, er tutti gli interni a I, è f 0 ðþ 0: c.v.d. La funzione f ðþ ¼ 3 > 0: è crescente in R. Infatti, se è <,èanche 3 < 3 e erciò <! f ð Þ < f ð Þ; quindi, in base alla definizione data nel n. 7, la funzione data è crescente, in senso stretto, in R. Il teorema recedente garantisce che la derivata rima della funzione, che è derivabile in tutto R, è ositiva o nulla. Infatti è O = 3 f 0 ðþ ¼3 0 8 R: Figura 7 In articolare è f 0 ðþ > 0 er 6¼ 0ef 0 ðþ ¼0 er ¼ 0. Tenendo conto del significato geometrico di derivata rima e osservando che è f ð0þ ¼0ef 0 ð0þ ¼0 si uò concludere che il grafico della funzione assa er l origine e ha in tale unto, come retta tangente, l asse (fig. 7). Teoremi sulle funzioni derivabili TEORIA (*) Per la suosta derivabilità di f ðþ la derivata destra coincide con quella sinistra. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

16 6 Teoremi sulle funzioni derivabili Teorema di Rolle Determinare, er ciascuna delle seguenti funzioni, il unto o i unti che verificano il teorema di Rolle, doo aver verificato se sussistono tutte le condizioni richieste dal teorema: ¼ 4 þ 3 nell intervallo ½ ; 5Š. [c ¼ ] ¼ þ 6 nell intervallo ½ ; 4Š. ½c ¼ 3Š ESERCIZI Teoremi sulle funzioni derivabili 3 ¼ 4 þ þ nell intervallo ½ ; Š. ½c ¼ 0Š 4 ¼ 4 þ nell intervallo ½ ; Š. c ¼ 0; c ;3 ¼ 5 ¼ 4 5 þ 4 nell intervallo ½ ffiffiffi rffiffi ffiffi 5 3 ; 3 Š. c ; ¼ ; c 3 ¼ 0 6 ¼ sen nell intervallo 6 ;. c ¼ 6 ; c ¼ 3 7 ¼ cos þ cos nell intervallo 4 ;. ½c ¼ 0Š 4 8 ¼ þ 4 9 ¼ þ þ þ nell intervallo ½ ; 4Š. 0 ¼ sen ffiffi ffiffi 3 cos þ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ þ ð Þ ¼ þ þ 3 ¼ þ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 ½c ¼ Š nell intervallo ; 0. ½c ¼ ffiffi 3 Š nell intervallo nell intervallo ½0 ; Š. nell intervallo 3 ;. nell intervallo nell intervallo ½0 ; 3Š. 5 ;. 45 ; 0. c ¼ 56 ffiffi 5 c ¼ þ 5 ffiffi 5 c ¼ er ¼..., quindi... c ¼ 3 Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

17 7 5 ¼ þj5 j 7 nell intervallo ½ ; 5Š. ½il teorema non è alicabile; erché?š ffiffi 6 ¼j j in ½0 ; Š. ½er ¼ si ha un unto angoloso, quindi...] 7 ¼jlog j in e ; e. ½er ¼ si ha un unto angoloso, quindi...] 8 ¼ þ þj4 8j in ; 3. ½il teorema non è alicabile erché...š 5 9 ¼ þ þj4 8j in ½ ; 3Š. ½il teorema non è alicabile erché...š 0 ¼ þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 in ½ ; Š. ½c ¼ 0Š ¼ e in ½ 3 ; 3Š. ½c ¼ 0Š ffiffi ¼ e þ e in ½0 ; log Š. ½c ¼ log Š Teorema di Lagrange Determinare, er ciascuna delle seguenti funzioni, l ascissa dei unti che verificano il teorema di Lagrange, doo aver verificato se sussistono, nell intervallo segnato a fianco di ciascuna di esse, tutte le condizioni richieste dal teorema: ¼ 6 þ 9 in ½3 ; 6Š. ¼ þ 4 in ½ ; Š. 3 ¼ 3 þ in ½0 ; Š. 4 ¼ð 3Þ 3 in 5 ¼ in 6 ¼ 3 in ½ ; Š. c ¼ 9 c ¼ c ¼ þ ffiffi ; 3 ffiffi 3 3. c ¼ ;. ½c ¼ Š c ¼ ffiffi ffiffi 7 ¼ 3 in ½ ; 3Š. 8 ¼ þ 9 ¼ þ ¼ ffiffi 3 3 ; c ¼ 3 3 rffiffiffi c ¼ in ½ ; 3Š. ½c ¼ ffiffi Š in ½0 ; Š. ffiffi 5 5 c ¼ in ½4 ; 9Š. c ¼ Teoremi sulle funzioni derivabili ESERCIZI Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

18 8 ¼ ffiffiffiffiffi þ 35 in ½ ; 3Š. c ¼ þ ¼ in 3 ;. ½c ¼ ffiffi Š 3 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi in ½ 3 ; 0Š. c ¼ ¼ þ þ in ½ ffiffi ffiffi 3 ; 3 Š. c ; ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 þ 5 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 in ½ 4 ; Š. ½c ¼ Š 6 ¼ log in ½ ; eš. ½c ¼ e Š 7 ¼ e in ½ ; 0Š. ½c ¼ logðe Þ Š ESERCIZI Teoremi sulle funzioni derivabili 8 ¼ þjj in ½ ; ]. ½in ¼ 0 la funzione..., quindi...š 9 ¼ 3 þ þ in ½ ; Š. 0 ¼ in ½0 ; Š. ½in ¼ 0 la funzione..., quindi...š ½in ¼ la funzione..., quindi...š ¼j 4jþ in ½0 ; 3Š. ½il teorema non è alicabile, infatti...š ¼ þj j in ½0 ; Š. ½il teorema non è alicabile erché...š QUESITI a. Si enunci il teorema di Lagrange e se ne formuli un interretazione grafica. b. Perché il teorema di Lagrange non è alicabile alla funzione ¼jj nell intervallo ½ ; Š? c. La funzione ¼ ha derivata 0 ¼ < 0 nel suo dominio. Si uò dedurre che tale funzione è decrescente in ½ ; Š? Si giustifichi la risosta. VERO O FALSO 3 Se, in tutti i unti interni di un intervallo I, f ðþ è derivabile ed è f 0 ðþ > 0, allora f ðþ è crescente in I. 4 Se f ðþ è crescente in un intervallo I ed è derivabile in tutti i unti interni a I, allora è f 0 ðþ > 0 in tutti i unti interni a I. V V F F 5 Se due funzioni hanno la stessa derivata, esse differiscono er una costante. V F Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

19 9 QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 6 Si considerino le seguenti funzioni negli intervalli indicati accanto a ciascuna di esse. Per quali è alicabile il teorema di Lagrange? a) ¼ log ½ ; Š; b) ¼ ½ ; 4Š; 5 c) ¼ ½ ; þþ; d) ¼jj ½ ; Š: þ 5 7 Una funzione f ðþ ha derivata ositiva in tutti i unti dell intervallo ð ; Þ; tranne nel unto ¼ 0, dove non è derivabile. Si uò allora affermare che a) f ðþ è decrescente in ð ; Þ; b) f ðþ è crescente in ð ; 0Þ einð0 ; Þ; c) f ðþ è crescente nell intervallo ð ; Þ; d) non si uò dire in quali intervalli f ðþ è crescente. 8 Si considerino le due funzioni f ðþ ¼ð þ sen cos Þ þð sen þ cos Þ e gðþ ¼ð sen Þ: Si verifichi che le derivate delle due funzioni sono uguali. La verifica fatta basta er affermare l identità tra f ðþ e gðþ? In caso negativo determinare la relazione fra f ðþ e gðþ. ½f ðþ ¼gðÞþŠ 9 Si considerino le due funzioni f ðþ ¼ sen ð þ cos Þ 3 cos 3 Si verifichi che esse hanno la stessa derivata. Che cosa si uò dedurre? e gðþ ¼ 3 tg 3 þ tg þ : Intervalli di monotonia delle funzioni derivabili f 0 ðþ ¼g 0 ðþ ¼ cos 4 Doo aver risolto le disequazioni 0 > 0 e 0 < 0, si deducano, er le funzioni seguenti, gli intervalli aerti in cui esse sono crescenti o decrescenti: ¼ 3 3 þ 4. ½crescente in ð ; 0Þ einð ; þþ; decrescente in ð0 ; ÞŠ Teoremi sulle funzioni derivabili ESERCIZI ¼ 3 þ 3. ½crescente in ð0 ; Þ; decrescente in ð ; 0Þ einð ; þþš 3 ¼ ð Þ. crescente in ; einð ; þþ; decrescente in 3 3 ; Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

20 0 4 ¼ 3 ð þ Þ. crescente in 34 ; þ ; decrescente in ; ¼ð Þð þ Þð 3Þþ. ½crescente in RŠ 6 ¼ 4 4. ½crescente in ð ; þþ; decrescente in ð ; ÞŠ 7 ¼ ½crescente in ð ; Þ; decrescente in ð ; þþš 8 ¼ 4 8. ½crescente in ð ; 0Þ e ð ; þþ; decrescente in ð ; Þ einð0 ; ÞŠ ESERCIZI Teoremi sulle funzioni derivabili 9 ¼ð 3 þ Þ. crescente in ; 3 einð ; þþ; decrescente in ; 3 ein 4 4 ; 0 ¼ 4 þ 5 ffiffiffiffiffi 3 þ. ½crescente in ð0 ; þþ; decrescente in ð ; 0ÞŠ ¼ ½crescente in ð ; 3Þ; decrescente in ð 3 ; þþš ¼ ½crescente in ð ; 0Þ einð ; þþ; decrescente in ð ; Þ einð0 ; ÞŠ 3 ¼ 3 þ. ½decrescente in ð ; 0Þ einð0 ; þþš 4 ¼ 6 þ 5. ½crescente in ð ; 3Þ einð3 ; þþš 3 5 ¼ 6 ¼ 5 þ 6. ð Þ. 7 ¼ þ 4. 8 ¼ 9. crescente in ; 5 5 ; decrescente in 4 4 ; þ ½crescente in ð ; Þ; decrescente in ð ; Þ einð ; þþš ½crescente in ð ; Þ; decrescente in ð ; Þ einð ; þþš ½crescente in ð ; 3Þ; in ð 3 ; 3Þ einð3 ; þþš 9 ¼ þ 4 5. ½crescente in ð ; 3Þ einð7 ; þþ; decrescente in ð3 ; 5Þ einð5 ; 7ÞŠ Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

21 0 ¼. ½decrescente in ð ; Þ; in ð ; Þ einð ; þþš ¼ 3 þ 3 4. ¼ 5 þ. ½decrescente in ð ; 4Þ; in ð 4 ; Þ einð ; þþš ½crescente in ð ; Þ einð ; þþš 3 ffiffiffi ffiffi ffiffi 3 ¼ 3. ½crescente in ð ; 3 Þ; in ð 3 ; 3 Þ einð ffiffi 3 ; þþš 3 ð Þ 4 ¼ 4. ½crescente in ð0 ; 4Þ; decrescente in ð ; 0Þ einð4 ; þþš 5 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ. ½crescente in ð ; þþš 6 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6. ½crescente in ð4 ; þþ; decrescente in ð ; 4ÞŠ 7 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4. ½crescente in ð ; 0Þ; decrescente in ð0 ; ÞŠ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 8 ¼. ½decrescente in ð ; Þ einð ; þþš 9 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3 þ 5. crescente in 3 ; þ ; decrescente in ; 3 30 ¼ logð Þ. ½crescente in ð ; þþ; decrescente in ð ; 0ÞŠ 3 ¼ logð 3 Þ. ½crescente in ð ; þþš 3 ¼ logj 4j. ½crescente in ð ; 0Þ einð ; þþ; decrescente in ð ; Þ einð0 ; ÞŠ 33 ¼ log. ½crescente in ð ; þþ; decrescente in ð0 ; ÞŠ 34 ¼ log. ½crescente in ð0 ; ffiffi e 35 ¼ log ð4 3 Þ. crescente in ; 4 Ricordare che la derivata di ¼ log è 0 ¼ log e e che è log e < 0 : ffiffi Þ; decrescente in ð e ; þþš ; decrescente in ð ; þþ 36 ¼ e. ½crescente in ð ; þþ; decrescente in ð ; ÞŠ Teoremi sulle funzioni derivabili ESERCIZI 37 ¼ð Þe. ½crescente in ð0 ; þþ; decrescente in ð ; 0ÞŠ 38 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 ð Þ. ½crescente in ð ; þþ; decrescente in ð ; ÞŠ Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

22 39 ¼ 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3. ½crescente in ð ; 3Þ einð3 ; þþ; la funzione è crescente in R oiché...š 40 ¼ sen, con 0 < <. crescente in 0 ; ein 4 ¼ sen þ sen, crescente in 4 ¼ arc tgð Þ. ; 3 3 ; decrescente in ; ein ; con 0 < <. (Verificare che è 0 ¼ cos3 sen e quindi...) ; ein ; 3 ; decrescente in 0 ; ein 3 ; crescente in ; þ ; decrescente in ; ESERCIZI Teoremi sulle funzioni derivabili Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

23 3 Massimi, minimi, flessi Definizione di massimo e minimo relativi e di flesso Teoremi sui massimi e minimi relativi Ricerca dei massimi e minimi relativi e assoluti Concavità di una curva e ricerca dei flessi Ricerca di massimi, minimi e flessi con il criterio delle derivate successive Problemi di massimo e di minimo Definizioni di massimo e di minimo relativi Consideriamo una funzione ¼ f ðþ definita in un intervallo I. Sia c, un unto di tale intervallo. D Diremo che c è ununto di massimo relativo er la funzione f ðþ, se esiste un intorno (*) di c, contenuto in I, er tutti i unti del quale si abbia f ðþ f ðcþ; cioè sef ðcþ è il massimo dei valori che la funzione assume nell intorno considerato di c : si dice quindi che f ðcþ è ilmassimo relativo della funzione (fig. ) (**). D Si dice che c è ununto di minimo relativo er la funzione f ðþ e che f ðcþ è ilminimo relativo, se esiste un intorno di c (*), contenuto in I, er tutti i unti del quale si abbia f ðþ f ðcþ; cioè sef ðcþ è il minimo dei valori che la funzione assume nell intorno considerato del unto c (fig. ) (**). f(c) f() O c f() f(c) Figura O c Figura Se c è un unto di massimo relativo o di minimo relativo, si dice anche che c è ununto estremante er la funzione; il corrisondente valore f ðcþ è detto invece estremo relativo. L aggettivo relativo è dovuto al fatto che f ðcþ è il massimo o il minimo dei valori che la funzione assume relativamente a un intorno di c e non a tutto l intervallo I: er tale motivo i massimi e i minimi Massimi, minimi, flessi TEORIA (*) Se il unto c è interno a I, l intorno di cui si arla deve necessariamente considerarsi comleto. Nel caso invece in cui il unto c sia un estremo di I, l intorno sarà solo destro o solo sinistro. (**) Nei casi iù comuni la funzione assume, nell intorno considerato, il valore f ðcþ solo er ¼ c. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

24 4 relativi vengono anche detti massimi e minimi locali. La funzione f ðþ, definita nell intervallo I, uò avere uno o iù unti di massimo o di minimo relativi in I. Si noti che, se ci si riferisce al grafico della funzione, er unto di massimo relativo o di minimo relativo si dovrà intendere il unto di coordinate ðc ; f ðcþþ. Si osservi infine che i massimi e i minimi relativi (estremi relativi) di una funzione non vanno confusi con i massimi eiminimi assoluti (estremi assoluti) (ca. ). Naturalmente un unto di massimo assoluto o di minimo assoluto è anche un unto di massimo o di minimo relativo; il viceversa uò non essere vero. Nella figura 3 si uò osservare che, internamente all intervallo I, i unti c e c 5 sono unti di massimo relativo, il unto c 3 è di massimo relativo e assoluto; il O c c c 3 c 4 c 5 I unto c 4 è di minimo relativo e c è di minimo relativo e Figura 3 assoluto. Definizione di unto di flesso TEORIA Massimi, minimi, flessi Vi sono, oltre ai unti di massimo e di minimo, altri unti che caratterizzano il diagramma di una funzione: i unti di flesso. D Data una funzione ¼ f ðþ, definita in un intervallo I, ) se esiste la retta tangente al grafico della funzione nel suo unto ð 0 ; f ð 0 ÞÞ, ) se esiste un intorno ð 0 ; 0 þ Þ di 0, contenuto in I, tale che, in corrisondenza ai due intorni, sinistro e destro, ð 0 ; 0 Þ e ð 0 ; 0 þ Þ; il diagramma della funzione stia da arti ooste risetto alla retta tangente, otendo eventualmente avere anche unti sulla tangente stessa, allora il unto ð 0 ; f ð 0 ÞÞ è unflesso della curva di equazione ¼ f ðþ. Se ð 0 ; f ð 0 ÞÞ è un unto di flesso del grafico della funzione f ðþ, si suol anche dire che 0 è un unto di flesso er la funzione. Da un unto di vista intuitivo, nei casi iù comuni, si uò dire che la retta tangente nel unto di flesso attraversa il grafico della funzione e ivi ha con esso tre intersezioni coincidenti. Per rendersene conto basta osservare la figura 4 e considerare la tangente t nel unto di flesso F come osizione limite assunta dalla retta secante r, ruotando attorno a F in modo che A e B tendano a coincidere con F. Vediamo ora alcune osservazioni sulla definizione di unto di flesso. Poiché nel unto Fð 0 ; f ð 0 ÞÞ deve esistere la retta tangente al grafico della funzione f ðþ, la funzione stessa deve essere continua ed essere dotata di derivata finita o infinita in 0. Infatti la tangente in F è la osizione limite della secante FA al tendere di A a F sulla curva ed esisterà quindi il limite, finito o infinito, del raorto incrementale della funzione relativo al unto 0 e viceversa. r A A' t F B' B Figura 4 Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

25 5 Ricordiamo che, se la funzione è derivabile in 0, cioè se la derivata in 0 è finita, la retta tangente ha equazione f ð 0 Þ¼f 0 ð 0 Þð 0 Þ! ¼ f 0 ð 0 Þð 0 Þþf ð 0 Þ corrisondente alla funzione tðþ ¼f 0 ð 0 Þð 0 Þþf ð 0 Þ che raresenta, al variare di, l ordinata di un unto sulla retta tangente. La retta tangente nel unto di flesso del grafico di una funzione è detta anche tangente inflessionale. Se consideriamo il caso di funzioni derivabili, dalla condizione della definizione di unto di flesso, si deduce che dovrà verificarsi l uno o l altro dei seguenti due casi: 8 < f ðþ tðþ er 0 < < 0 º caso (flesso ascendente, fig. 5 e fig. 6) : f ðþ tðþ er 0 < < 0 þ 8 < f ðþ tðþ er 0 < < 0 º caso (flesso discendente, fig. 7 e fig. 8) : f ðþ tðþ er 0 < < 0 þ f() t() O 0 F flesso ascendente O flesso ascendente Figura 5 Figura 6 Nel caso delle figure 5 e 6 si arla di flesso ascendente erché la curva assa da sotto a sora la retta tangente, nel assare dall intorno sinistro all intorno destro di 0. Nel caso invece delle figure 7 e 8 si arla di flesso discendente erché la curva assa da sora a sotto la retta tangente, nel assare dall intorno sinistro all intorno destro di 0. t() f() F flesso discendente 0 F t() t() f() f() flesso discendente F Massimi, minimi, flessi TEORIA O 0 O 0 Figura 7 Figura 8 Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

26 6 Se la funzione f ð 0 Þ non è derivabile in 0 e risulta lim!0 f 0 ðþ ¼þ(oure ), la tangente nel unto di flesso ð 0 ; f ð 0 Þ è arallela all asse e si dice che il flesso è atangente verticale (*). La curva di equazione ¼ 3, ha nell origine ð0 ; 0Þ un unto di flesso ascendente a tangente orizzontale. Infatti, oiché è 0 ¼ 3,la funzione f ðþ ¼ 3 è derivabile nell origine e ha ivi derivata nulla; la curva è quindi dotata di retta tangente nell origine e tale tangente è l asse di equazione ¼ tðþ ¼0. Poiché inoltre è ( 3 < 0! f ðþ < tðþ er < 0 3 > 0! f ðþ > tðþ er > 0; O =3 O(0;0) flesso a tangente orizzontale ( = 0) si deduce che, in corrisondenza di un intorno sinistro e di un intorno destro di ¼ 0, la curva sta da arti ooste risetto alla tangente: ertanto ð0 ; 0Þ è un unto di flesso (fig. 9). Si riconosce oi facilmente che il flesso è ascendente. Figura 9 N.B. Si noti che quando la tangente inflessionale è l asse, come in questo caso, o una sua arallela, si dice che il flesso è a tangente orizzontale. TEORIA Massimi, minimi, flessi La funzione ¼ 3 ; considerata nell esemio recedente è semre crescente in quanto è 0 ¼ 3 > 0 sia er < 0 sia er > 0; la funzione è ertanto invertibile ed essendo ¼ 3 ffiffiffi, l equazione della funzione inversa è ¼ 3 ffiffiffi : ðþ Il grafico della () è in figura 0 e si ottiene, come noto, sottoonendo i unti del grafico di ¼ 3 a una simmetria risetto alla bisettrice del o e del 3 o quadrante. Poiché la () ha nel unto ð0 ; 0Þ un flesso con angente orizzontale è intuitivo che il grafico della funzione () avrà nel unto ð0 ; 0Þ un flesso a tangente verticale (**). Infatti la derivata di ¼ 3 ffiffiffi è 0 ¼ 3 3 ffiffiffiffiffi ; tale derivata non è definita in ¼ 0 e risulta lim 0 ¼þ. Poiché risulta 0 > 0 sia er!0 < 0 sia er > 0, la funzione, continua nell origine, è semre crescente. Pertanto il grafico della funzione ammette l asse come retta tangente nell origine e tale unto è rorio un flesso a tangente verticale. O = 3 ðþ O(0;0) flesso a tangente verticale ( = 0) Figura 0 (*) Se invece è lim! 0 f 0 ðþ ¼þe lim! þ 0 f 0 ðþ ¼ (o viceversa), nel unto di ascissa 0 si ha una cuside. (**) Si noti che la curva () è tangente in ð0 ; 0Þ all asse e quindi la curva (), simmetrica della () risetto alla bisettrice del o e del 3 o quadrante, sarà tangente nell origine, che è un unto unito, al simmetrico dell asse, cioè all asse. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

27 7 Teoremi sui massimi e minimi relativi Condizione necessaria er l esistenza di un massimo relativo o di un minimo relativo er le funzioni derivabili 3 Consideriamo ora il caso di una funzione ¼ f ðþ, definita in un intervallo I e derivabile nei unti interni di I. Vedremo, nel rossimo aragrafo, una regola er determinare i massimi e i minimi relativi nei unti interni a I. Incominciamo ora a dimostrare il seguente teorema. T Sia ¼ f ðþ una funzione definita in un intervallo I e derivabile nei unti interni di I. Se nel unto c, interno a I, la funzione ha un massimo o un minimo relativo, allora risulta f 0 ðcþ ¼0;cioè c è ununto stazionario (*). Dimostriamo il teorema nel caso in cui c sia un unto di massimo relativo. Per definizione di unto di massimo, esiste un intorno comleto del unto c er ogni del quale si ha f ðþ fðcþ ossia, osto ¼ c þ h (con h : 0), e se c þ h aartiene a tale intorno, si ha f ðc þ hþ f ðcþ! f ðc þ hþ fðcþ 0: Tenendo conto di quest ultima diseguaglianza ossiamo affermare che er h > 0 e f ðc þ hþ fðcþ h 0 ðþ er h < 0 e f ðc þ hþ fðcþ h 0: ðþ f ðc þ hþ fðcþ L esressione è il raorto incrementale, destro se h > 0 e sinistro se h < 0, della funzione nel h unto c. Dato che la funzione è derivabile, il raorto incrementale destro e quello sinistro avranno lo stesso limite, f 0 ðcþ, quando l incremento h tende a zero. Quindi, assando al limite er h! 0 þ nel rimo membro della (), e er h! 0 nel rimo membro della (), e tenendo conto del teorema inverso della ermanenza del segno (ca. 4), si otterrà, risettivamente dalle () e (), f 0 ðcþ 0 f 0 ðcþ 0: Dalle (3) e (4) si deduce che deve necessariamente risultare f 0 ðcþ ¼0: Con rocedimento analogo si dimostrerà il teorema nel caso in cui c sia un unto di minimo. Ricordando il significato geometrico di derivata rima, ossiamo dedurre, da questo teorema, che nei unti di massimo e di minimo relativi del grafico di una funzione derivabile la retta tangente è arallela all asse. Possiamo anche schematizzare in figura. = f() derivabile ð3þ ð4þ c.v.d. Massimi, minimi, flessi O c O c TEORIA } Figura = c unto di massimo relativo = c unto di mimino relativo f'(c) = 0 = c unto stazionario (*) Modulo C, ca. 7, n. 5. Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

28 8 Osservazione imortante. Il teorema ora visto afferma che, er una funzione definita e derivabile in un intervallo I, l annullarsi della derivata rima è una condizione necessaria er l esistenza di un massimo relativo o di un minimo relativo in un unto interno di I. Si noti erò che l annullarsi della derivata rima non è una condizione sufficiente erché vi siano massimi e minimi. Ad esemio, la funzione ¼ 3 (fig. 9 del n. ) ha in ¼ 0 un unto stazionario che non è nédi massimo né di minimo. Infatti è 0 ¼ 3 e risulta 0 ¼ 0 er ¼ 0: Ma, essendo 0 ¼ R, la funzione è semre crescente (ca. ). Come si è visto nell esemio del n., l origine è ununto di flesso a tangente orizzontale er la curva di equazione ¼ 3. TEORIA Massimi, minimi, flessi Criterio sufficiente er la determinazione dei unti di massimo e di minimo 4 Il teorema seguente, di cui tralasciamo la dimostrazione, esrime un imortante criterio er la determinazione dei unti di massimo e di minimo relativi di una funzione. T Sia f ðþ una funzione continua in tutti i unti di un intorno I ¼ðc ; c þ ) del unto c e derivabile in tutti i unti di I con esclusione, al iù, del unto c. ) Se risulta f 0 ðþ > 0 in ðc ; cþ e f 0 ðþ < 0 in ðc ; c þ Þ allora c è un unto di massimo relativo er f ðþ. ) Se risulta f 0 ðþ < 0 in ðc ; cþ e f 0 ðþ > 0 in ðc ; c þ ) allora c è un unto di minimo relativo er f ðþ. L enunciato del teorema ha una semlice interretazione intuitiva: infatti, nel caso, f ðþ risulta crescente in ðc ; cþ e decrescente in ðc ; c þ Þ; erciò, come risulta dal seguente schema, f ðþ ha un massimo er ¼ c. segno di f '() monotonia di f c + = c unto di massimo relativo CRESCE DECRESCE f() continua O c = c unto di massimo relativo Nel caso invece, f ðþ risulta decrescente in ðc ; cþ e crescente in ðc ; c þ Þ; erciò, come risulta dal successivo schema, f ðþ ha un minimo er ¼ c. segno di f '() monotonia di f c + = c unto di minimo relativo DECRESCE CRESCE f() continua O c = c unto di minimo relativo Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

29 9 Si osservi che il teorema non richiede che f ðþ sia derivabile anche in c; tuttavia se ciò accade, allora, er il teorema del n. 3, si ha f 0 ðcþ ¼0, ossia c è un unto stazionario er f ðþ. 5 Osservazione. Abbiamo affermato, nel n. 3, che condizione necessaria affinché una funzione derivabile f ðþ abbia un estremo relativo in un unto c, èche risulti f 0 ðcþ ¼0; avevamo anche detto allora che tale condizione non è erò sufficiente: si uò avere f 0 ðcþ ¼0 senza che c sia un unto di massimo o di minimo. Il teorema aena enunciato ci ermette di distinguere la natura dei unti stazionari: con linguaggio intuitivo si uò dire che un unto stazionario c è un unto di massimo o di minimo relativo er la funzione, se la derivata rima cambia di segno assando dalla sinistra alla destra di c, cioè se la derivata cambia segno attraversando c. Se invece la derivata non cambia segno attraversando il unto stazionario c, allora come è intuitivo e come sarà meglio recisato nei rossimi aragrafi, la curva resenta, nel unto stazionario di ascissa c, un unto di flesso a tangente orizzontale, come risulta anche dal seguente schema. segno di f'() monotonia di f segno di f'() monotonia di f + c 0 c + 0 = c unto stazionario di flesso ascendente = c unto stazionario di flesso discendente Come già detto, la condizione sufficiente enunciata nel aragrafo recedente non richiede la derivabilità di f ðþ nel unto c: una funzione uò avere massimi o minimi relativi anche in unti in cui non esiste la derivata. Per alicare il teorema del n. 5 è erò necessario che la funzione sia continua in ¼ c (oltre che nell intorno); in caso contrario si ossono resentare situazioni come quella esemlificata nella figura. O c O c O a c b La funzione il cui grafico è in figura ha derivata ositiva in ða ; cþ e negativa in ðc ; bþ ma nel unto c, dove si ha una discontinuità di rima secie, non si ha un massimo relativo. Figura Massimi, minimi, flessi TEORIA 6 Osservazione. Il teorema enunciato nel n. 4 fornisce una condizione sufficiente er determinare i massimi e i minimi relativi delle funzioni derivabili, ma non necessaria. In altre arole una funzione derivabile uò avere in ¼ c un unto di massimo o di minimo relativo senza essere monotòna Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

30 30 né in un intorno sinistro né in un intorno destro di c. Questo, comunque, non è un caso frequente. Un esemio di tale articolare situazione si ha osservando la figura 3 dove, tra le due arabole, è raresentato il grafico di una funzione che nell intorno dell origine comie infinite oscillazioni: l origine è evidentemente un unto di minimo ur non esistendo un intorno sinistro né un intorno destro dell origine in cui la funzione sia monotona; come il lettore uò verificare, è f 0 ð0þ ¼0. sen + er 0 f()= 0er=0 O = = Figura 3 Ricerca dei massimi e dei minimi relativi e assoluti TEORIA Massimi, minimi, flessi 7 Da quanto fin qui detto emerge che, er determinare massimi e minimi di una funzione, è di fondamentale imortanza lo studio del segno della derivata rima. Tale studio, infatti, ermette sia di determinare i unti stazionari della funzione sia di distinguere fra questi i massimi, i minimi e i unti di flesso orizzontale sia di individuare eventuali unti estremanti in cui non esiste la derivata rima. Quindi er determinare i massimi e i minimi di una funzione f ðþ si uò rocedere nel modo seguente:. si calcola f 0 ðþ e se ne determina il dominio er individuare gli eventuali unti in cui la f ðþ è continua, ma non derivabile;. si risolve l equazione f 0 ðþ ¼0 er trovare i unti stazionari; 3. si studia il segno di f 0 ðþ deducendo gli eventuali massimi e minimi (stazionari o non) e i flessi a tangente orizzontale. Poiché le condizioni enunciate nei aragrafi recedenti sono valide er i unti interni degli intervalli che si considerano, si dovrà ricordare di rendere oi in esame anche i valori che la funzione assume negli eventuali estremi di tali intervalli. Se oi è richiesta la determinazione dei massimi e minimi assoluti, si deve tener resente che, er il teorema di Weierstrass (modulo C, ca. 6), la loro esistenza è garantita nel caso si consideri un intervallo chiuso e limitato in cui la funzione sia continua. In questo caso, er determinarli basterà ricordare che essi sono a maggior ragione anche massimi e minimi relativi e quindi vanno ricercati tra questi. Così il unto di massimo assoluto sarà quello, tra i unti di massimo relativo, in cui la funzione assume il valore maggiore, mentre il unto di minimo assoluto sarà quello, tra i unti di minimo relativo, in cui la funzione assume il valore minore. Se invece non sono soddisfatte le condizioni richieste dal teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluto ossono non esistere. Si debbano determinare i unti di massimo e di minimo relativi della funzione Poiché risulta ¼ f ðþ ¼ 3 3 : 0 ¼ f 0 ðþ ¼3 6; la funzione è derivabile 8 R. Esaminiamo il segno della derivata rima. f 0 ðþ > 0 er < 0 _ > f 0 ðþ < 0 er 0 < < f 0 ðþ ¼0 er ¼ 0 _ ¼ (unti stazionari). Lineamenti di matematica modulo D - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara