Funzioni di due variabili e rappresentazioni grafiche nello spazio

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1 Funzioni di due variabili e raresentazioni grafiche nello sazio Obiettivi l l l l comrendere il significato di derivata arziale calcolare derivate arziali comrendere il concetto di differenziale totale saer alicare il concetto di derivata arziale alla determinazione dei massimi e dei minimi di una funzione di due variabili. FUNZIONI DI DUE VARIABILI E DERIVATE. Le derivate arziali Saiamo che: Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. una funzione f di due variabili esrime una legge che ad ogni coia di numeri reali, aartenente ad un certo insieme D associa uno ed un solo numero reale z; si scrive in questo caso che z ˆ f,. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello sazio una funzione di due variabili eá raresentata da una suerficie; non eá facile costruire con carta e enna il grafico di una funzione di questo tio, ma ci sono dei software come Wiris oure Derive che eseguono questo comito mettendo in evidenza le caratteristiche fondamentali di queste figure. Per esemio, in figura eá raresentato il grafico della funzione di equazione z ˆ sin cos. Osserviamo che sulla suerficie sono disegnate alcune linee nere che, intersecandosi, mettono in evidenza l'andamento della suerficie stessa; queste linee sono le intersezioni della suerficie con i iani aralleli a quelli coordinati z e z. Per ottenerle, si fissa un valore della variabile (iano arallelo al iano z) oure della variabile (iano arallelo al iano z) e si raresenta la linea in quel iano. Per esemio se ˆ si disegna nello sazio la funzione z ˆ sin cos cioeá z ˆ cos Figura Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

2 Nella figura eá raresentato il iano ˆ ; la curva z ˆ cos eá la linea intersezione della suerficie con tale iano. Nel volume base queste linee sono state chiamate linee di livello. Studiare le linee di livello, determinando tutte le loro caratteristiche, quindi unti di massimo e di minimo, flessi e concavitaá, ermette di dare una forma alla suerficie f,. Le linee di livello sono funzioni di una sola variabile e studiando le loro derivate ossiamo determinare tutte le caratteristiche iuá imortanti di ciascuna di esse: massimi, minimi, flessi, concavitaá. Rirendendo la funzione f dell'esemio: l l se consideriamo come valore costante e come valore variabile, ossiamo valutare z derivando risetto a ed in questo caso eá: z risetto a : sin se consideriamo come valore costante e come valore variabile, ossiamo valutare z derivando risetto a ed in questo caso eá: z risetto a : cos Abbiamo in questo modo introdotto in modo intuitivo il concetto di derivata arziale. Diamo adesso una definizione iuá recisa e rigorosa di quanto detto. Consideriamo dunque una funzione f, definita in un insieme I e sia P, un unto di I. Mantenendo fisso, che significa intersecare il grafico di f con il iano ˆ, la funzione data diende dalla sola variabile e di essa ossiamo calcolare il raorto incrementale relativo al unto e ad un incremento h: f h, f, h Ad esemio, data la funzione f, ˆ che ha er dominio R e fissato il unto P, di tale insieme, mantenendo fissa l'ordinata, ossiamo calcolare il raorto incrementale relativo al unto in questo modo f h, f, h ˆ h h h ˆ h h h ˆ h Saiamo che, se esiste finito il limite er h che tende a zero di tale raorto (cosa che accade nell'esemio visto), la funzione f, eá derivabile in P. Possiamo allora dare la seguente definizione. Figura l f h, eá la funzione che si ottiene sostituendo h al osto di e al osto di : h h l f, ˆ ˆ Si dice derivata arziale risetto a della funzione f, nel unto P, il limite, se esiste finito er h che tende a zero, del raorto incrementale di f, relativo al unto e all'incremento h; in simboli si one f h, f, lim ˆ f h! h, Nell'esemio visto la derivata arziale risetto a della funzione data nel unto P eá lim h ˆ. h! Come nel caso delle funzioni di una sola variabile, accade oi che, se il limite del raorto incrementale esiste finito er tutti i unti dell'insieme I, allora la funzione f eá derivabile arzialmente risetto a in tutto I. FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 In modo del tutto analogo ossiamo definire la derivata arziale della funzione f risetto a ; basta ensare di mantenere fisso e far subire un incremento k a. Diamo allora la seguente definizione. Si dice derivata arziale risetto a della funzione f, nel unto P, il limite, se esiste finito er k che tende a zero, del raorto incrementale di f relativo al unto e all'incremento k; in simboli f, k f, lim ˆ f k! k, Anche in questo caso, se il limite del raorto incrementale esiste finito er tutti i unti dell'insieme I, allora la funzione f eá derivabile arzialmente risetto a in tutto I. Le derivate arziali di una funzione f in un unto, si indicano generalmente con uno dei seguenti simboli l er le derivate arziali risetto a l er le derivate arziali risetto a Attenzione! Saiamo che se una funzione di una variabile eá derivabile in un unto, allora eá anche continua in tale unto. Questo non vale iuá er le funzioni di due variabili: esistono funzioni derivabili arzialmente in un unto P che non sono continue in tale unto. La derivabilitaá arziale non eá iuá quindi una condizione sufficiente er la continuitaá. Per il calcolo di una derivata arziale ci affidiamo oi alle regole imarate er il calcolo delle derivate delle funzioni in una sola variabile: basta infatti tener resente che nella derivazione risetto a, va considerata come una costante, mentre er la derivazione risetto a eá che deve essere considerata costante. Vediamo alcuni esemi. ESEMPI Calcoliamo le derivate arziali risetto ad entrambe le variabili delle seguenti funzioni.. z ˆ Si ha subito che: ˆ ˆ. z ˆ (la derivata di eá nulla ercheâ eá la derivata di una costante) (la derivata di eá nulla ercheâ eá la derivata di una costante) Si tratta di una funzione razionale fratta, quindi: ˆ ˆ ˆ ˆ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

4 . z ˆ Si tratta di una funzione irrazionale, quindi: ˆ ˆ ˆ. z ˆ e ˆ e e ˆ e e ˆ e ˆ e e ˆe e ˆ e. z ˆ ln ˆ ˆ ˆ VERIFICA DI COMPRENSIONE. Data la funzione f, ˆ : a. f eá uguale a: b. f eá uguale a:. L'esressione raresenta la derivata arziale risetto a della funzione: a. b. ln c. ln d. ln. Il significato geometrico e il iano tangente La derivata di una funzione di una sola variabile calcolata in un unto P raresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel unto. Possiamo dare un'interretazione analoga anche alle derivate arziali di una funzione di due variabili. Data la funzione z ˆ f, e reso un suo unto A,, z, abbiamo visto che, er calcolare la derivata arziale risetto a della funzione, dobbiamo tenere fisso. Dal unto di vista geometrico questo significa sezionare la suerficie con il iano ˆ ; allora, er come eá stata definita, la derivata arziale risetto a raresenta il coefficiente angolare della retta r tangente alla curva sezione nel unto A (in giallo nella figura a di agina seguente). Analogamente la derivata arziale risetto a nel unto A raresenta il coefficiente angolare della retta s tangente alla sezione della suerficie con il iano ˆ in tale unto (in rosso nella stessa figura). Se ora teniamo resente che due rette che si intersecano definiscono semre un iano, le due rette tangenti alle curve sezioni definiscono un iano che eá il iano tangente alla suerficie nel unto A considerato (figura b). FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Figura a. b. Si uoá dimostrare che, se le derivate arziali sono continue nel unto A, il iano tangente ha equazione z ˆ f, f, f, Facciamo ora alcune considerazioni su tale iano. n Innanzi tutto, il iano tangente, oltre alle due rette menzionate, contiene anche tutte le rette tangenti in A alle curve che si ottengono sezionando la suerficie f con un iano er A; tali rette sono rorio le intersezioni dei iani sezione con il iano tangente. Figura n PuoÁ darsi che la suerficie f non abbia iano tangente in A; cioá caita quando anche le curve sezioni non hanno la retta tangente. Ad esemio il vertice di un cono non ha iano tangente; una qualunque suerficie che resenta dei "unti angolosi" non ha iano tangente in quei unti (in figura in A non vi eá iano tangente). n Come er le funzioni di una sola variabile la retta tangente arossima la funzione in un intorno del unto di tangenza, cosõáil iano tangente arossima la suerficie in un intorno del unto A. ESEMPI. Determiniamo il iano tangente alla suerficie di equazione z ˆ nel suo unto di ascissa e ordinata. Calcoliamo innanzi tutto la quota del unto di tangenza f, ˆ. Calcoliamo ora le derivate arziali f ˆ ed eá f, ˆ f ˆ 8 ed eá f, ˆ 8 L'equazione del iano tangente eá allora z ˆ 8 cioeá z ˆ 8. Data la suerficie di equazione z ˆ, stabiliamo in quale unto il iano tangente ha equazione z ˆ. Sia P a, b, c il unto di tangenza dove c ˆ f a, b ˆa b ab. Calcoliamo le derivate arziali f ˆ ed eá f a, b ˆa b f ˆ ed eá f a, b ˆa b Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

6 Il iano tangente in P ha dunque equazione z ˆ f a, b a b a a b b che, svolgendo i calcoli, assume la forma z ˆ a b a b a b ab Affinche il iano trovato coincida con quello dato deve quindi essere Risolvendo il sistema formato dalle rime equazioni troviamo che 8 < a b ˆ a b ˆ : a b ab ˆ a ˆ b ˆ Poiche la soluzione verifica anche la terza equazione, il iano dato eá tangente alla suerficie nel unto P,,.. Le derivate successive Se le derivate rime f, e f, sono funzioni a loro volta derivabili, si ossono calcolare le loro derivate arziali, che raresentano le derivate seconde della funzione f,. La funzione f, uoá essere derivata arzialmente risetto a e arzialmente risetto a e cosõá anche la funzione f, ; le derivate cosõá ottenute si dicono derivate seconde arziali della funzione f; tali derivate sono quattro e si indicano con i seguenti simboli z ottenuta derivando f risetto a z ottenuta derivando f risetto a z ottenuta derivando f risetto a z ottenuta derivando f risetto a Le derivate seconde della f calcolate rima risetto ad una variabile e oi all'altra, cioeá la elaf, si dicono derivate miste. Ad esemio, data la funzione z ˆ le sue derivate arziali seconde sono l f ˆ ed eá l f ˆ l f ˆ Le derivate arziali seconde si indicano anche con i seguenti f f f l f ˆ ed eá l f ˆ l f ˆ Osserva che, in questo esemio, abbiamo ottenuto che le due derivate miste sono uguali. Questo si verifica semre se le due derivate sono continue, come ci eá confermato dal seguente teorema che ci limitiamo ad enunciare. Teorema (di Schwarz). Se la funzione f, ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme I, allora ˆ in ogni unto di I. FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 ESEMPI Calcoliamo le derivate arziali rime e seconde delle seguenti funzioni.. z ˆ di dominio R Derivate rime: ˆ ˆ Derivate seconde: ˆ ˆ ˆ ˆ Le derivate arziali miste sono uguali.. z ˆ ln e avente er dominio il semiiano delle ascisse ositive Derivate rime: ˆ ln e ˆ ln e ˆ e ln Derivate seconde: ˆ e ˆ. z ˆ Derivate rime: ˆ ln e ˆ e ˆ e e ˆ e ˆ e e ˆ e avente er dominio l'insieme delle coie, er cui ˆ ˆ Derivate seconde: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 9 ˆ ˆ VERIFICA DI COMPRENSIONE. L'equazione del iano tangente alla funzione z ˆ nel suo unto di ascissa ˆ e ordinata ˆ eá: a. z ˆ b. z ˆ c. z ˆ d. z ˆ. Data la funzione z ˆ log, stabilisci quali delle seguenti relazioni sono vere. a. z ˆ b. z ˆ c. z ˆ d. z ˆ Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

8 . IL DIFFERENZIALE TOTALE Sia f, una funzione definita in un insieme D del iano e sia P, un unto di D ; suoniamo oi che in P esistano le derivate arziali di f. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. Si dice differenziale arziale della funzione f risetto a relativo al unto P e all'incremento l'esressione f,. Analogamente si dice differenziale arziale della funzione f risetto a relativo al unto P e all'incremento l'esressione f,. Si dice differenziale totale della funzione f relativo al unto P e agli incrementi e, e si indica con df, la somma dei differenziali arziali della funzione stessa: df ˆ f, f, Osserviamo oi che, se consideriamo le funzioni h, ˆ e g, ˆ, i loro differenziali totali sono risettivamente dh ˆ ˆ cioeá d ˆ dg ˆ ˆ cioeá d ˆ e sono quindi uguali ai differenziali totali delle variabili indiendenti. Il differenziale totale in P di una qualunque funzione f eá allora esrimibile con la relazione df ˆ f, d f, d Ad esemio, data la funzione z ˆ, tenendo resente che eá f ˆ e f ˆ il suo differenziale totale nel unto, eá df ˆ f, d f, d ˆ d d Il differenziale di una funzione riveste grande imortanza nel caso delle funzioni di due variabili ercheâ si dimostra che se una funzione f, eá differenziabile in unto P, allora eá anche continua in P. Se, nel caso di una funzione di una sola variabile, calcolare il differenziale in un unto significa arossimare la funzione con la sua retta tangente, nel caso di una funzione di due variabili calcolare il differenziale totale significa arossimare la funzione con il suo iano tangente. Ad esemio, se vogliamo calcolare un valore arossimato della funzione f dell'esemio recedente nel unto A,;,, ossiamo ricorrere al differenziale calcolato in, e considerare d ˆ, e d ˆ,; si ha cosõáche df ˆ,, ˆ, 8 FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 quindi un valore arossimato di f nel unto A eá f,;, ˆf,, ˆ, Se calcoliamo, con l'aiuto di una calcolatrice, il valore della funzione in tale unto troviamo che f,;, ˆ,9::: quindi il valore trovato con il differenziale eá esatto fino alla seconda cifra decimale.. LA RICERCA DEI MASSIMI E DEI MINIMI Abbiamo giaá dato le definizioni di massimo e minimo di una funzione di due variabili nel testo base e in quella sede abbiamo visto che questi unti si ossono determinare usando le linee di livello. Un altro modo di rocedere sfrutta il significato di derivata arziale. Osserviamo infatti che, se la funzione f assume il suo valore massimo in un unto P,, la sua linea sezione con il iano er P arallelo al iano coordinato z (la linea rossa in figura ), cioeá la funzione f,, deve anch'essa avere un massimo in P e contemoraneamente anche la linea sezione con il iano arallelo al iano coordinato z (linea blu), cioeá la funzione f,, deve avere un massimo in P (figura ). Questo significa che le derivate rime di queste due funzioni devono annullarsi contemoraneamente nel unto,. Allora una condizione necessaria er l'esistenza di un unto di massimo o di minimo in P eá data dal seguente teorema. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. Figura Teorema. Se una funzione f, di dominio D ossiede un massimo o un minimo nel unto P, interno a D, allora f, ˆ e f, ˆ Dal unto di vista geometrico il teorema afferma che, in un unto di massimo o minimo, le rette tangenti alle curve f, e f, sono arallele al iano ; anche il iano tangente quindi, contenendo queste due rette, eá arallelo allo stesso iano. Allora, oicheâ l'equazione del iano tangente eá z ˆ f, f, f, e l'equazione di un iano arallelo allo stesso iano assume la forma z ˆ k (con k costante reale), le due equazioni coincidono se i coefficienti delle due variabili e sono entrambi nulli, cioeá se f, ˆf, ˆ. Quindi: i unti di massimo e di minimo relativi di una funzione f vanno ricercati fra quelli che annullano contemoraneamente le derivate rime arziali di f, cioeá fra le soluzioni del sistema ( f, ˆ f, ˆ Tali unti si dicono unti stazionari o unti critici della funzione f. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 9

10 Il teorema enunciato eá una condizione necessaria er l'esistenza di unti di massimo o di minimo relativi, ma non eá una condizione sufficiente; uoá caitare ad esemio che si annullino entrambe le derivate arziali rime ma che il unto P sia un unto di massimo er f, e un unto di minimo er f, (figura ) oure un unto di flesso a tangente orizzontale er una o er entrambe le funzioni. Ricerchiamo allora se esistono delle condizioni sufficienti er stabilire se e quando un unto stazionario eá un unto estremante er f. Se ricordi, er una funzione g di una sola variabile si sa che se er un unto c del dominio della funzione si verifica che Figura l g c ˆ e g c > allora c eá un unto di minimo l g c ˆ e g c < allora c eá un unto di massimo. Una condizione simile vale anche er le funzioni di due variabili; diamo rima una definizione. Data una funzione f, di dominio D, che ammette derivate arziali seconde continue in D, si dice hessiano di f, e si indica con il simbolo H,, il determinante Ad esemio, data la funzione f, ˆ, si ha che f ˆ e f ˆ e quindi ˆ f ˆ ˆ ˆ Allora H, ˆ ˆ. Si dimostra che vale il seguente teorema. Teorema. Sia P, un unto stazionario er una funzione f, cioeá tale che f, ˆf, ˆ, e sia H, l'hessiano di f calcolato in P. Si ha che: n se H, > e contemoraneamente, > allora P eá un unto di minimo relativo; n se H, > e contemoraneamente, < allora P eá un unto di massimo relativo. Questo teorema ci daá quindi delle condizioni sufficienti affincheâ un unto stazionario sia un massimo o un minimo relativo. Se si ha invece che n H, <, allora P non eá neâ un massimo neâ un minimo e si dice che eá un unto di sella; n H, ˆ, non si uoá dire nulla su P e si deve indagare in modo diverso, ad esemio servendosi delle curve di livello in un intorno di P. FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 Un unto di sella eá quindi un unto in cui si annullano le derivate arziali rime risetto a e risetto a e quindi in esso il iano tangente eá arallelo al iano, tuttavia eá un unto in cui si resenta la situazione che avevamo raffigurato in figura. ESEMPI Determiniamo gli eventuali unti di massimo e di minimo delle seguenti funzioni alicando, dove eá ossibile, il metodo delle derivate arziali.. f, ˆ D ˆ R Calcoliamo le derivate arziali rime: f ˆ f ˆ Determiniamo i unti stazionari risolvendo il sistema: ( ˆ ˆ! ˆ ˆ Il solo unto stazionario eá A,. Calcoliamo le derivate arziali seconde e costruiamo l'hessiano: ˆ ˆ ˆ ˆ H ˆ ˆ L'hessiano eá semre ositivo e lo eá quindi anche in A; inoltre, > (eá uguale a in tutti i unti). Possiamo concludere che A eá un unto di minimo relativo ed eá f, ˆ. In figura il grafico della funzione. Figura. f, ˆ D ˆ R Calcoliamo le derivate arziali rime: f ˆ f ˆ 8 ˆ >< ˆ Risolviamo il sistema:! 9 ˆ >: ˆ 9 Il solo unto stazionario eá il unto A Figura 8 9, ; calcoliamo 9 l'hessiano: ˆ ˆ ˆ f ˆ L'hessiano eá quindi H ˆ ˆ 9 Avendo trovato un valore negativo, ossiamo concludere che A eá un unto di sella ed eá f 9, ˆ 9 9. In figura 8 il grafico. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

12 . f, ˆ D ˆ R Calcoliamo le derivate arziali rime: f ˆ 8 f ˆ Risolviamo il sistema: 8 ˆ ˆ Dalla rima equazione ricaviamo che: ˆ _ ˆ 8 Dalla seconda equazione ricaviamo che: ˆ _ ˆ Abbiamo quindi quattro soluzioni che determinano i unti: A, B, C 8, D 8, Calcoliamo le derivate arziali seconde e costruiamo l'hessiano: ˆ 8 f ˆ ˆ f 8 ˆ H ˆ ˆ 8 Valutiamo l'hessiano nei quattro unti: l in A : H, ˆ ed eá f ˆ 8 A eá un unto di massimo relativo ed eá f, ˆ l in B : H, ˆ B eá un unto di sella ed eá f, 8 l in C : H, ˆ C eá un unto di sella ed eá f 8, 8 l in D : H, ˆ ed eá ˆ 9 ˆ ˆ 8 D eá un unto di minimo relativo ed eá f In figura 9 eá visibile una arte del grafico. 8, ˆ Figura 9 VERIFICA DI COMPRENSIONE. Le derivate arziali rime f e f a. P eá un unto di massimo, di minimo oure una sella b. P eá un unto stazionario c. la funzione non ossiede altri unti stazionari oltre a P d. tutte le recedenti affermazioni sono false. di una funzione f, si annullano in un solo unto P; si uoá dire che:. La funzione f, ˆ nel unto di coordinate, ha: a. un unto di massimo relativo b. un unto di minimo relativo c. un unto di sella d. neâ un massimo, neâ un minimo, neâ una sella. V V V V F F F F FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 I concetti e le regole Le derivate arziali Data una funzione f,, si definisce: l derivata arziale di f risetto a in un unto P, il limite, se esiste finito, er h! del raorto incrementale relativo alla sola variabile : f ˆ lim f h, f, h! h l derivata arziale di f risetto a in un unto P, il limite, se esiste finito, er k! del raorto incrementale relativo alla sola variabile : f ˆ lim f, k f, k! k Per calcolare una derivata arziale si alicano le regole di derivazione delle funzioni di una sola variabile considerando l'altra come una costante. Se le derivate arziali di una funzione f sono continue in un unto P, il iano tangente alla suerficie ha equazione z ˆ f, f, f, Se le derivate arziali rime sono funzioni a loro volta derivabili, si ossono calcolare le derivate successive risetto a una qualsiasi delle variabili: eá la derivata arziale di f risetto a f eá la derivata arziale di f risetto a f eá la derivata arziale di f risetto a eá la derivata arziale di f risetto a Le ultime due derivate si chiamano derivate miste e, se sono continue in un insieme I, si verifica che ˆ in tutti i unti di I (teorema di Schwarz). Il differenziale Se una funzione f, eá derivabile in un unto P,, si uoá definire: l il differenziale arziale di f risetto a : df ˆ f, d l il differenziale arziale di f risetto a : df ˆ f, d l il differenziale totale di f : df ˆ f, d f, d Se una funzione eá differenziabile in un unto P, allora eá continua in P; la derivabilitaá non eá invece garanzia di continuitaá. La determinazione dei unti stazionari I unti stazionari sono i unti che annullano contemoraneamente le due derivate arziali rime f e f e si trovano quindi risolvendo il sistema: ( f ˆ f ˆ Chiamiamo oi hessiano di f, il determinante H, ˆ Se P, eá un unto stazionario, allora esso raresenta: l un unto di minimo relativo se: H, > ^, > l un unto di massimo relativo se: H, > ^, < l un unto di sella se: H, <. Non si uoá trarre alcuna conclusione sul unto P se H, ˆ. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

14 Funzioni di due variabili e raresentazioni grafiche nello sazio FUNZIONI DI DUE VARIABILI E DERIVATE la teoria eá a ag. RICORDA n Il iano tangente alla funzione f, in un unto P, del suo dominio ha equazione z ˆ f, f, f, Comrensione La derivata arziale della funzione f, risetto a nel unto P, si definisce come: f h, f, f, k f, a. lim b. lim h! h k! k f h, k f, c. lim h! h f k, f, d. lim k! k Individua tra le seguenti, le funzioni che raresentano le derivate arziali rime di f, ˆ risetto a e risetto a : a. b. c. d. Il iano tangente alla funzione f, ˆ nel unto di ascissa e ordinata ha equazione: a. z ˆ b. z ˆ c. z ˆ d. z ˆ Saendo che ˆ si uoá dire che f eá uguale a: a. b. c. d. non eá ossibile risondere ercheâ non si conosce la funzione f. Alicazione Il calcolo delle derivate rime Calcola le derivate arziali rime delle seguenti funzioni, alicando le regole di derivazione. z ˆ, z ˆ, z ˆ, 8 FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 8 z ˆ, 9 z ˆ, z ˆ,9 z ˆ 8, Š z ˆ, z ˆ, " # z ˆ, " # z ˆ, ˆ z ˆ 8 z ˆ 9 z ˆ z ˆ 8, " #, " #, " #,, z ˆ cos sin, sin Š z ˆ cos cos cos sin, cos sin Š z ˆ sin sin cos, sin cos Š z ˆ arcsin " # q, q z ˆ sin cos z ˆ z ˆ cos, Š,, 8 z ˆ, 9 z ˆ, z ˆ, z ˆ 8, Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

16 z ˆ, z ˆ r z ˆ r z ˆ z ˆ ln z ˆ ln, " r r #, " r r #,,, " 8 z ˆ ln #, 9 z ˆ e e, e z ˆ e z ˆ sin cos sin cos " # e e, " # cos sin sin cos, sin sin sin cos z ˆ ln sin cotan, cotan Š " # z ˆ z ˆ ln z ˆ ln ln, ln, ln ln ln, ln z ˆ ln, z ˆ ln e, 8 z ˆ arctan r 9 z ˆ ln r sin sin z ˆ sin sin z ˆ ln sin cos sin " #,, " r r # sin sin cos sin sin sin sin sin ; sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos ; sin sin cos FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 Il iano tangente Calcola l'equazione del iano tangente alla suerficie di equazione z ˆ f, assegnata nel unto P del suo dominio a fianco indicato. ESERCIZIO GUIDA z ˆ P, Calcoliamo le derivate arziali e z P : z ˆ da cui z, ˆ z ˆ da cui z, ˆ z P ˆ9 Il iano ha quindi equazione: z ˆ 9 cioeá: z ˆ z ˆ P, z ˆ Š z ˆ e P, z ˆ Š z ˆ P, z ˆ Š z ˆ ln P e, z ˆ e z ˆ P, z ˆ 9 Š 8 z ˆ P, z ˆ Š 9 z ˆ P, z ˆ Š z ˆ P, z ˆ r z ˆ P, z ˆ 8 8 z ˆ P, z ˆ Š z ˆ e P, z ˆ e eš ln z ˆ P, z ˆ Š z ˆ P, z ˆ z ˆ P, z ˆ z ˆ e P, z ˆ e Š 8 z ˆ cos cos P, z ˆ Š 9 z ˆ sin P, z ˆ Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

18 z ˆ cos P, z ˆ Š z ˆ sin cos P, z ˆ Š Data la funzione z ˆ determina le equazioni dei iani aralleli al iano e ad essa tangenti. z ˆ inp, ; z ˆ inq, Š Data la funzione z ˆ determina le equazioni del iano ad essa tangente e arallelo al iano. z ˆŠ Data la funzione z ˆ, determina l'equazione del iano ad essa tangente che assa er il suo unto P,,. z ˆ Š Data la funzione z ˆ determina l'equazione del iano ad essa tangente che sia arallelo al iano : z ˆ. z ˆ Data la funzione z ˆ sin determina le equazioni dei iani ad essa tangenti e aralleli al iano. z ˆ ; z ˆ 9 Il calcolo delle derivate seconde Calcola le derivate rime e seconde delle seguenti funzioni, doo aver determinato il dominio della funzione data. ESERCIZIO GUIDA z ˆ Il dominio eá il semiiano. Alicando le regole di derivazione si ha z ˆ z ˆ z ˆ 8 z ˆ 9 z ˆ z ˆ z ˆ z ˆ D ˆ R 8 z ˆ z ˆ ; D ˆ R z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ D ˆ R z ˆ ; z ˆ 8 z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ 8 z ˆ D ˆ R z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ 8 FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 8 z ˆ 8 z ˆ 8 8 z ˆ D ˆ R z ˆ ; D ˆ R z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ D ˆ R z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ 8 z ˆ 8 z ˆ ln 8 z ˆ e D ˆ R z ˆ ; D ˆf, R j > g z ˆ ; z ˆ z ˆ D ˆ R z ˆ e ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ z ˆ e z ˆ e ; z ˆ 9 e ; z ˆ z ˆ e 88 z ˆ D ˆf, R j g z ˆ ; z ˆ z ˆ 8 ; z ˆ ; z ˆ z ˆ 89 z ˆ 9 z ˆ sin cos D ˆf, R j ˆ g z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ D ˆ R z ˆ sin sin ; z ˆ cos cos z ˆ cos ; z ˆ z ˆ cos sin ; z ˆ sin Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO 9

20 9 z ˆ 9 z ˆ ln D ˆf, R j ˆ g z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ D ˆ R, z ˆ ; z ˆ z ˆ ; z ˆ ; z ˆ z ˆ 9 z ˆ 9 z ˆ cos D ˆ R z ˆ z ˆ z ˆ ; z ˆ z ˆ z ˆ 8 D ˆ R z ˆ sin ; z ˆ cos sin z ˆ sin cos Š; z ˆ cos sin z ˆ z ˆ sin cos Š D ˆf, R j > g 9 z ˆ z ˆ ; z ˆ ln z ˆ ; z ˆ ln ; z ˆ z ˆ ln IL DIFFERENZIALE TOTALE la teoria eá a ag. 8 RICORDA n Data una funzione f, ed un unto P, del suo dominio si definisce: l l l differenziale arziale risetto alla variabile relativo a P e all'incremento l'esressione f, differenziale arziale risetto alla variabile relativo a P e all'incremento l'esressione f, differenziale totale relativo a P e agli incrementi e la somma dei due differenziali arziali: df ˆ f, f, Comrensione 9 Barra vero o falso. Se una funzione f, a. eá derivabile arzialmente risetto a e risetto a in un unto P allora eá continua in P V F FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 b. eá continua in un unto P allora in tale unto eá derivabile arzialmente risetto ad entrambe le variabili c. eá differenziabile in un unto P allora eá continua in P d. eá differenziabile arzialmente risetto a in P allora eá continua in P. 9 Il differenziale totale della funzione f, ˆ a. dz ˆ d d b. dz ˆ nel generico unto, eá uguale a: d d V V V F F F c. dz ˆ d d d. dz ˆ d d, sin, eá definito dal differenziale totale della funzio- 98 Un valore arossimato dell'esressione ne f ˆ sin. Tale valore si calcola con l'esressione: a.,, b.,, c.,, d.,, Alicazione Calcola il differenziale totale delle seguenti funzioni. 99 ESERCIZIO GUIDA f, ˆ Si ha che f ˆ, f ˆ, quindi d f ˆ d d. f, ˆe e d e d f, ˆ ln lnd d f, ˆ d dš f, ˆ e e e d f, ˆe e e d e dš f, ˆ d d f, ˆ ln d d f, ˆ d d d Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

22 8 Servendoti del differenziale totale della funzione z ˆ sin ln nel unto,, calcola un valore arossimato di z ˆ sin, ln,.,8š 9 Calcola un valore arossimato di,, servendoti del differenziale della funzione z ˆ nel unto,.,9š LA RICERCA DEI MASSIMI E DEI MINIMI la teoria eá a ag. 9 RICORDA n Si dice hessiano di una funzione f il determinante n I unti stazionari di una funzione f, sono i unti soluzione del sistema: n Sia P, un unto stazionario er f ; allora ( f ˆ f ˆ l se H, > e, <, l se H, > e, >, l se H, <, P eá un unto di sella P eá un unto di massimo P eá un unto di minimo l se H, ˆ, non si uoá dire nulla su P Comrensione Se una funzione f, di dominio D ha un unto di massimo o di minimo in P, interno a D, allora le derivate rime arziali di f risetto a e risetto a si annullano in P. Questa rorietaá eá una condizione solo necessaria, solo sufficiente oure necessaria e sufficiente affincheâ P sia un unto di massimo o di minimo er f? Quale tra i seguenti determinanti raresenta l'hessiano della funzione f, ˆ? a. b. c. d. Per la funzione f, ˆ l'origine eá: a. un unto di massimo b. un unto di minimo c. un unto di sella d. un unto senza caratteristiche articolari Alicazione Determina la natura dei unti stazionari delle seguenti funzioni utilizzando il metodo delle derivate. ESERCIZIO GUIDA f, ˆ Trova i unti stazionari risolvendo il sistema ˆ ˆ FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 Il solo unto stazionario ha coordinate... ed eá H, ˆ ˆ Il tale unto si ha che l'hessiano eá negativo, quindi... f, ˆ [nessun unto stazionario] f, ˆ 8 [nessun unto stazionario] f, ˆ [nessun unto stazionario] f, ˆ 9 minimo in, ; f, ˆ 9Š 8 f, ˆ minimo in, ; f, ˆŠ 9 f, ˆ minimo in, ; f, ˆŠ f, ˆ 8 9 massimo in, ; f, ˆ Š f, ˆ 9 minimo in, ; f, ˆŠ f, ˆ;, minimo in, ; f, ˆ Š f, ˆ, 8 9 minimo in, ; f, ˆŠ f, ˆ, 9 massimo in, ; f, ˆŠ f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ Š f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆŠ f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆŠ 8 f ; ˆ unto di sella in, ; f, ˆŠ 9 f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆŠ f, ˆ, unto di sella in, ; f, ˆ Š f, ˆ,, 9 unto di sella in, ; f, ˆŠ f, ˆ unto di sella in, ; f, f, ˆ [nessun unto stazionario] ˆ f, ˆ unto di sella in, Š f, ˆ9 8 [nessun unto stazionario] f, ˆ [nessun unto stazionario] Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

24 f, ˆ 8 f, ˆ massimo in P, ; f P ˆ unto di sella in A, ; f A ˆ unto di sella in B, ; f B ˆ unto di sella in, ; f ; ˆ; unto di sella in ; ; f ; ˆŠ minimo in, ; f, ˆ f, ˆ unto di sella in A 8, 9 8 ; f A ˆ 9 8 unto di sella in B 8, 9 8 ; f B ˆ 9 8 f, ˆ f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ ; unto di sella in, ; f, ˆ Š unto di sella in A, unto di sella in B, ; f A ˆ ; f B ˆ f, ˆ minimo in, ; f, ˆ ; massimo in, ; f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ ; unto di sella in, ; f, ˆ f, ˆ f, ˆ minimo in, ; f, ˆ 8 massimo in, ; f, ˆ8 unto di sella in A, ; f A ˆ 8 unto di sella in B, ; f B ˆ 8 " # unto di sella in, ; f, ˆ; unto di sella in, ; f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ; massimo in, ; f, ˆ f, ˆ " # unto di sella in, ; f, ˆ 9; unto di sella in, ; f, ˆ massimo in, ; f, ˆ; minimo in, ; f, ˆ f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ; minimo in, ; f, ˆ unto di sella in, ; f, ˆ; unto di sella in, ; f, ˆ FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 f, ˆ 8 8 f, ˆ minimo in, ; f, ˆ unto di sella in A, 9 ; f A ˆ unto di sella in B, 9 ; f B ˆ unto di sella in, ; f, ˆ 9 minimo in A, ; f A ˆ massimo in B, ; f B ˆ Per la verifica delle cometenze r Calcola le derivate arziali rime della funzione f, ˆarctan e verifica che risulta f f ˆ. Calcola le derivate arziali rime della funzione f, ˆ e verifica che risulta f f ˆ f,. Calcola le derivate arziali della funzione f, ˆln e verifica che risulta ˆ, f ˆ. Data la funzione f, ˆ k k k, determina il valore del arametro k in modo che essa abbia in P, un unto di sella. k ˆ Š Data la funzione di equazione z ˆ a b c, determina i valori dei arametri a, b, c in modo che essa abbia un unto estremante in P,,. Stabilisci oi la natura di tale unto e se esistono altri estremanti. a ˆ, b ˆ, c ˆ ; m,,, m,, ; unto di sella nell'origineš Data la funzione f, ˆ a b c, determina i valori dei arametri a, b, c in modo che essa abbia unti estremanti in, e, e che assi er il unto A,,. Stabilisci oi la natura di tali unti e se esistono altri estremanti. a ˆ, b ˆ, c ˆ ; unti di sella nell'origine e in,,, ; il unto A e un minimo Soluzioni esercizi di comrensione a. f : a.; f : d. b. c. 9 a. F, b. F, c. V, d. F, 9 c. 98 c. necessaria b. c. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO

26 Testfinale di autovalutazione Della funzione f, ˆ q ln si uoá dire che: f eá uguale a: a. b. c. f eá uguale a: a. 8 b. c. Il iano tangente alla funzione z ˆ nel unto P, ha equazione: unti a. z ˆ b. z ˆ c. z ˆ d. z ˆ Considerata una qualsiasi funzione f,, i unti stazionari si ottengono: ( f a. risolvendo il sistema ˆ ( f ˆ b. risolvendo il sistema ˆ f ˆ unti 8 c. risolvendo searatamente le equazioni f ˆ ef ˆ e combinando i risultati in tutti i modi ossibili. unti Calcola le derivate arziali rime risetto a e risetto a delle seguenti funzioni: a. z ˆ b. z ˆ q c. z ˆ ln d. z ˆ e ln 8 unti Calcola l'equazione del iano tangente alla suerficie data nel unto indicato: a. z ˆ in P, b. z ˆ 8 in P, unti Data la funzione z ˆ, determina il iano ad essa tangente che eá arallelo al iano. Calcola le derivate arziali seconde delle seguenti funzioni: unti a. z ˆ b. z ˆ ln 8 unti 8 Calcola il differenziale totale delle seguenti funzioni: a. z ˆ e b. z ˆ ln 8 unti 9 Trova i unti stazionari delle seguenti funzioni e stabiliscine la natura: a. f, ˆ b. f, ˆ e unti Calcola un valore arossimato della funzione z ˆ log,, usando il differenziale della funzione z ˆ log nel unto,. 8 unti FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

27 Determina il valore del arametro k in modo che la funzione di equazione z ˆ k non abbia unti stazionari. unti Determina il valore dei arametri a e b in modo che la funzione di equazione z ˆ a b abbia un unto stazionario in, ; determina oi la natura di tale unto e se esistono altri unti stazionari. unti Esercizio 8 9 Totale Punteggio Voto: totale ˆ Soluzioni a., b. d. b. a. z ˆ 8, z ˆ ; b. z ˆ c. z ˆ, z ˆ ; d. z ˆ a. z ˆ ; b. z ˆ z ˆ, z ˆ ; e, z ˆ e a. z ˆ, z ˆ, z ˆ z ˆ ; b. z ˆ, z ˆ, z ˆ z ˆ 8 a. e d d; b. d d 9 a. unto di sella in, ; f, ˆ ; b. minimo in, ; f, ˆ e,988 k ˆ a ˆ, b ˆ ;, unto di sella, non esistono altri unti stazionari Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS FUNZIONI DI DUE VARIABILI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE NELLO SPAZIO