GLI ARGOMENTI DI MATEMATICA

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1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANFREDI IPIA GLI ARGOMENTI DI MATEMATICA er gli istituti rofessionali er l industria e l artigianato

2 N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi GLI ARGOMENTI DI MATEMATICA er gli istituti rofessionali er l industria e l artigianato Ghisetti e Corvi Editori

3 CAPITOLO Radicali 7 Introduzione, 7. Radicali quadratici, 7. Radicali cubici, 8. Radicali in R + 0,7.Radice n-esima di un numero ositivo o nullo, 9. Radicali con radicandi a fattori ositivi o nulli radicali nell insieme R + 0, 0. Una remessa imortante,. Prorietà fondamentali dei radicali in R + 0,. Prima rorietà fondamentale,. Seconda rorietà fondamentale,. Prorietà invariantiva,. Semlificazione di radicali,. Riduzione di iù radicali allo stesso indice,. Oerazioni sui radicali in R + 0,. Prodotto di radicali,. Quoziente di radicali,. Prodotto e quoziente di radicali di indice diverso,. Somma e differenza di radicali,. Trasorto di un fattore sotto il segno di radice, 7. Trasorto di un fattore fuori del segno di radice, 8. Osservazione, 9. Potenza di un radicale, 9. Radice di un radicale, 0. Razionalizzazione del denominatore di una frazione, 0. Radicali doi,. Radicali in R,. Radice di un numero di segno qualsiasi,. Definizione generale di radice,. Prima rorietà fondamentale er i radicali in R,. Seconda rorietà fondamentale er i radicali in R,. Osservazione sulla rorietà invariantiva, 7. Semlificazione di radicali in R, 9. Potenze a esonente frazionario, 0. Osservazione,. Prorietà delle otenze a esonente frazionario,. Semlificazione di esressioni contenenti radicali,. Potenze a esonente irrazionale,. Esercizi,. CAPITOLO Equazioni di secondo grado e di grado sueriore Equazioni di secondo grado,. Risoluzione delle equazioni di secondo grado incomlete,. Equazioni surie,. Equazioni ure,. Equazioni di secondo grado monomie,. Risoluzione dell equazione comleta,. Formula ridotta, 9. Equazioni numeriche frazionarie, 70. Equazioni intere letterali, 70. Relazioni tra le soluzioni e i coefficienti di una equazione di secondo grado, 7. Somma e rodotto delle radici, 7. Scomosizione del trinomio di secondo grado, 7. Alicazioni delle equazioni di secondo grado, 7. Equazioni arametriche, 7. Problemi di secondo grado, 80. Equazioni di grado sueriore al secondo, 8. Equazioni binomie, 8. Equazioni risolubili mediante scomosizioni in fattori, 8. Equazioni risolubili mediante sostituzioni, 87. Equazioni biquadratiche. Equazioni trinomie, 88. Equazioni irrazionali, 90. Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici, 90. Risoluzione di equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici, 9. Equazioni irrazionali contenenti radicali cubici, 9. Esercitazioni di laboratorio, 9. Esercizi, 98. CAPITOLO Sistemi di equazioni di grado sueriore al rimo Sistemi di secondo grado,. Sistemi simmetrici, 0. Sistemi che si risolvono con artifici,. Alicazione dei sistemi alla risoluzione di roblemi,. Esercizi, 9. CAPITOLO Disequazioni Introduzione,. Osservazione, 7. Disequazioni in una incognita, 7. Intervalli, 8. Disequazioni equivalenti, 0. Dominio di una disequazione, 0. Princii di equivalenza delle disequazioni,. Conseguenze dei rincii d equivalenza,. Grado di una disequazione intera,. Risoluzione algebrica di una disequazione di rimo grado,. Risoluzione grafica di una disequazione numerica di rimo grado,. Disequazioni di secondo grado, 9. Risoluzione grafica di un equazione di secondo grado, 9. Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado, 70. Schema riassuntivo er le disequazioni di secondo grado, 7. Disequazioni frazionarie e di grado sueriore al secondo, 7. Sistemi di disequazioni, 79. Moduli o valori assoluti, 8. Definizione e rorietà, 8. Disequazioni del tio jf ðxþj _ k, 8. Risoluzione della disequazione j f ðxþj < k, con k > 0, 8. Risoluzione della disequazione jf ðxþj > k, con k > 0, 8. Esercizi, 87. Indice CAPITOLO Geometria nello sazio 0 Rette e iani nello sazio, 0. Introduzione, 0. Posizione di due rette nello sazio,. Posizione di una retta risetto a un iano,. Posizione di due iani nello sazio,. Retta e iano erendicolari,, Proiezioni,. Rette arallele nello sazio,. Retta e iano aralleli,. Piani aralleli, 7. Rette sghembe, 8. Diedri, 8. Definizioni fondamentali, 8. Sezione normale di un diedro, 0. Altre definizioni sui diedri,. Piani erendicolari,. Triedri,. Trasformazioni geometriche nello sazio,. Isometrie nello sazio,. Simmetria risetto a un unto,. Simmetria risetto a una retta,. Simmetria risetto a un iano,. Rotazione nello sazio intorno a un asse,. Solidi fondamentali, 7. Prisma, 7. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

4 Paralleleiedo, 8. Cubo, 0. Piramide, 0. Tronco di iramide,. Suerfici e solidi di rotazione,. Cilindro,. Cono,. Tronco di cono,. Sfera,. Misura delle suerfici e dei volumi dei solidi notevoli,. Esercizi, 7. CAPITOLO Introduzione alla geometria analitica Il iano cartesiano,. Distanza tra due unti,. Punto medio di un segmento, 7. Punto medio di un segmento sulla retta reale, 7. Coordinate del unto medio di un segmento nel iano cartesiano, 7. Equazione di un luogo geometrico, 8. Intersezioni tra curve,. Traslazione del sistema di riferimento,. Il metodo analitico e i teoremi di geometria,. Esercizi,. CAPITOLO 7 La retta nel iano cartesiano Assi cartesiani e rette arallele a essi,. Retta assante er l origine, 7. Coefficiente angolare, 8. Bisettrici dei quadranti, 70. Retta in osizione generica, 70. Rette arallele, 7. Rette erendicolari, 7. Equazione generale della retta, 7. Posizione reciroca di due rette, 7. Fascio imrorio di rette, 7. Fascio rorio di rette, 77. Equazione della retta assante er un unto e con un assegnato coefficiente angolare, 78. Coefficiente angolare della retta assante er due unti, 79. Asse di un segmento, 79. Equazione della retta assante er due unti, 8. Distanza di un unto da una retta, 8. Interolazione lineare, 8. Esercitazioni di laboratorio, 8. Esercizi, 8. CAPITOLO 8 Le coniche nel iano cartesiano 0 Indice Le coniche, 0. La circonferenza, 0. Equazione della circonferenza, 0. Circonferenze in osizioni articolari, 0. Posizione reciroca tra retta e circonferenza, 0. Circonferenza er tre unti, 08. Posizione reciroca tra due circonferenze, 09. Tangenti a una conica, 0. Tangenti a una conica da un unto esterno,. Tangenti a una circonferenza da un unto esterno (metodo articolare),. Tangente a una conica in un suo unto,. La arabola,. Parabola di equazione y ax,. Parabola con asse arallelo all asse y,. Parabole di equazione y ax þ bx þ c in osizioni articolari, 9. Parabola con asse di simmetria arallelo all asse x, 0. Posizione reciroca tra retta e arabola,. Parabola er tre unti,. Condizioni er determinare l equazione di una arabola,. L ellisse,. Definizione di ellisse,. Ellisse riferita al centro e ai suoi assi di simmetria,. Equazione canonica dell ellisse con i fuochi aartenenti all asse x,. Equazione canonica dell ellisse con i fuochi aartenenti all asse y, 8. Esercizi vari sull ellisse, 8. Eccentricità,. L ierbole,. Definizione di ierbole,. Ierbole riferita al centro e ai suoi assi di simmetria,. Equazione canonica dell ierbole con i fuochi aartenenti all asse x,. Equazione canonica dell ierbole con i fuochi aartenenti all asse y,. Esercizi vari sull ierbole,. Eccentricità, 8. Ierbole equilatera riferita al centro e ai suoi assi, 8. Ierbole equilatera riferita ai rori asintoti, 9. Funzione omografica,. Esercizi,. CAPITOLO 9 Trasformazioni geometriche nel iano cartesiano 7 Introduzione, 7. Grafici trasformati, 7. Simmetria assiale e simmetria centrale, 7. Simmetria risetto all asse x, 7. Curva simmetrica risetto all asse x di una curva data, 7. Curva simmetrica risetto all asse x, 7. Simmetria risetto all asse y, 7. Curva simmetrica risetto all asse y di una curva data, 77. Curva simmetrica risetto all asse y. Funzioni ari, 78. Simmetria risetto alla bisettrice del o - o quadrante, 78. Curva simmetrica risetto alla bisettrice del - quadrante di una curva data, 79. Simmetria risetto all origine, 80. Curva simmetrica risetto all origine di una curva data, 80. Curva simmetrica risetto all origine. Funzioni disari, 8. Simmetria risetto a un unto qualsiasi, 8. Traslazione, 8. Vettori, 8. Traslazione, 8. Traslazione di una curva, 8. Traslazione verticale e traslazione orizzontale del grafico di una funzione, 87. Omotetia, 89. Prorietà dell omotetia, 90. Similitudine, 9. Esercitazioni di laboratorio, 9. Esercizi, 9. CAPITOLO 0 Equazioni esonenziali Logaritmi 07 Equazioni esonenziali in forma canonica, 07. Logaritmi, 0. Logaritmi decimali e logaritmi naturali,. Prorietà dei logaritmi,. Cambiamento di base, 9. Equazioni esonenziali risolvibili con i logaritmi,. Equazioni logaritmiche,. Esercizi,. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

5 CAPITOLO Progressioni aritmetiche e geometriche Premessa,. Progressioni aritmetiche,. Somma dei termini di una rogressione aritmetica finita, 9. Alicazioni, 0. Progressioni geometriche,. Progressioni geometriche a termini ositivi,. Progressioni geometriche a termini di segno qualsiasi,. Somma dei termini di una rogressione geometrica finita, 7. Esercizi, 0. CAPITOLO Funzioni goniometriche 7 Misura degli angoli, 7. Sistema sessagesimale, 7. Radianti, 7. Angoli orientati, 7. Circonferenza goniometrica, 7. Seno e coseno di un angolo, 78. Variazioni e eriodicità del seno e del coseno, 79. Tangente di un angolo, 80. Variazione della tangente, 8. Funzioni goniometriche di angoli articolari, 8. Angolo di o, 8. Angoli di 0 o edi0 o, 8. Raresentazione grafica della variazione del seno, del coseno e della tangente, 8. Cotangente di un angolo, 8. Funzioni goniometriche inverse, 8. Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche, 87. Angoli associati, 90. Angoli oosti, 9. Angoli comlementari, 9. Riduzione al rimo quadrante, 9. Formule goniometriche, 9. Formule di addizione e sottrazione, 9. Formule di dulicazione, 99. Formule arametriche, 0. Formule di bisezione, 0. Formule di rostaferesi, 0. Formule di Werner, 0. Equazioni goniometriche, 07. Equazioni elementari, 07. Angoli aventi un dato seno, 07. Angoli aventi un dato coseno, 0. Angoli aventi una data tangente,. Equazioni riducibili a equazioni elementari,. Equazioni riconducibili alle elementari mediante formule goniometriche,. Equazioni lineari in seno e coseno, 7. Equazioni omogenee di grado in seno e coseno,. Esercizi,. CAPITOLO Trigonometria 7 Relazioni tra lati e angoli di un triangolo, 7. Oggetto della trigonometria, 7. Teoremi sui triangoli rettangoli, 7. Risoluzione dei triangoli rettangoli, 7. Alicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli, 7. Area di un triangolo, 7. Teoremi sui triangoli qualsiasi, 77. Teorema del coseno o di Carnot, 77. Teorema dei seni, 78. Risoluzione dei triangoli qualsiasi, 79. Alicazioni in fisica, 8. Lavoro di una forza, 8. Moto armonico, 8. Risultante di due forze, 8. Esercizi, 87. CAPITOLO Numeri comlessi 0 CAPITOLO Numeri immaginari, 0. Numeri comlessi, 0. Risoluzione di equazioni di secondo grado nell insieme dei numeri comlessi, 08. Raresentazione geometrica dei numeri comlessi, 09. Corrisondenza tra vettori e numeri comlessi, 0. Numeri comlessi e vettori,. Modulo e argomento di un numero comlesso,. Coordinate olari,. Radici n-esime dell unità,. Esercizi, 9. Introduzione ai concetti di derivata e integrale. Derivazione e integrazione numerica 7 Introduzione, 7. Raorto incrementale e derivata, 8. Prima formula di derivazione numerica, 0. Seconda formula di derivazione numerica,. Valutazione della recisione delle arossimazioni,. Integrale di una funzione non negativa,. Metodo dei rettangoli,. Metodo dei traezi,. Il metodo di Cavalieri-Simson, 8. Valutazione della recisione delle arossimazioni, 9. Integrale di una funzione di segno qualsiasi, 0. Esercitazioni di Laboratorio,. Esercizi,. Indice CAPITOLO Vettori. Matrici. File Strutture di dati,. I dati e le variabili,. I vettori e le matrici,. I vettori,. Le matrici,. Vettori e matrici in Pascal,. Ordinamento di una struttura di dati,. I file archivi di dati su disco, 9. Un esemio l ordinamento di un file,. Esercizi,. CAPITOLO 7 Sottorogrammi 8 I sottorogrammi, 8. Utilità dei sottorogrammi, 8. Sottorogrammi in Pascal le Procedure, 9. Parametri formali e arametri attuali, 7. Parametri comunicati er valore e arametri assati er riferimento, 7. Sottorogrammi in Pascal le Function, 7. Esercizi, 78. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

6 Simboli simbolo di aartenenza N N 0 Z Q R R þ R þ 0 R R 0 Simboli usati nel testo insieme dei numeri naturali, comreso lo zero insieme dei numeri naturali, escluso lo zero insieme dei numeri interi relativi insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali insieme dei numeri reali ositivi insieme dei numeri reali ositivi e dello zero insieme dei numeri reali negativi insieme dei numeri reali negativi e dello zero [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j A C U A «tale che» simbolo di rodotto cartesiano tra insiemi comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente comlementare dell insieme A risetto all insieme ambiente U 9 quantificatore esistenziale ( leggi «esiste») 8 quantificatore universale ( leggi «er ogni») _ ^ simbolo di disgiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «vel», «o», «oure») simbolo di congiunzione tra roosizioni o redicati ( leggi «et», «e contemoraneamente») negazione della roosizione! simbolo di imlicazione materiale tra roosizioni o redicati (usato anche er collegare due assaggi algebrici )! simbolo di coimlicazione materiale tra roosizioni o redicati ffi simbolo di comosizione tra funzioni simbolo di congruenza tra figure // simbolo di arallelismo tra rette? simbolo di erendicolarità tra rette simbolo di equivalenza tra suerfici ) simbolo di imlicazione logica () simbolo di equivalenza logica simbolo di uguaglianza numerica arossimata simbolo di coincidenza tra unti o tra figure e di equiveridicità Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

7 7 Radicali Radicali quadratici e cubici Radicali in R þ 0 Prorietà fondamentali dei radicali in R þ 0 Oerazioni sui radicali in R þ 0 Radicali in R Prorietà e oerazioni sui radicali in R Potenze a esonente frazionario e irrazionale Introduzione Radicali quadratici D Si dice radice quadrata del numero reale a 0, e si indica con a, quel numero reale b 0 il cui quadrato è uguale ad a. In simboli a b () b a a 0 b 0 () L esressione a è detta radicale quadratico e il numero a è detto radicando. Vediamo ora il erché, nella definizione sora data, si richiede che sia a sia b siano numeri ositivi o nulli. Suoniamo, ad esemio, di dover determinare la radice quadrata del numero ositivo al fine di determinare ossiamo osservare che risulta ðþþ ðþþðþþ þ ð Þ ð Þð Þ þ Esistono erciò due numeri reali il cui quadrato è e recisamente essi sono ðþþ e ð Þ. L oerazione di estrazione di radice quadrata sarebbe quindi definita in modo equivoco se non si recisasse quale dei due numeri scegliere come radice del numero erciò si conviene di scegliere, come radice quadrata del numero ositivo, il numero ositivo þ, cioè il numero concorde in segno con. Pertanto è þ e non scriveremo mai. Si caisce quindi erché, nella (), si one b 0. Suoniamo ora di dover determinare la radice quadrata di un numero negativo, ad esemio, di. Si uò subito constatare che l estrazione di radice quadrata da ð Þ non è un oerazione ossibile infatti, se esistesse la radice di ð Þ essa dovrebbe essere un numero b il cui quadrato è. Ma, come è noto, non esiste alcun numero reale b tale che sia b, erché b è semre un numero ositivo o nullo. L esressione è quindi riva di significato in R. Il ragionamento ora svolto è evidentemente valido anche se al osto di ð Þ sostituiamo un qualsiasi altro numero reale negativo. Si caisce quindi erché, nella (), si one a 0. Radicali TEORIA Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

8 Doo aver osservato che è 0 0, si deduce oi che è Osserviamo infine che, quando si vuole determinare la radice quadrata di un numero ositivo, si ossono resentare due casi. Se il numero da cui si vuole estrarre la radice è il quadrato di un numero intero o di un numero razionale, non v è alcun roblema tale numero, reso con il segno ositivo, costituisce la radice cercata. Se invece si vuole estrarre la radice di un numero che non sia un quadrato erfetto, si otrà rocedere come s è fatto, nel caitolo del volume, er determinare in questo caso la radice quadrata è un numero irrazionale di cui si ossono determinare quante cifre decimali si vogliono. Riassumiamo la radice quadrata di un numero reale negativo non esiste la radice quadrata dello zero è zero la radice quadrata di un numero reale ositivo esiste semre ed è un numero reale ositivo (razionale o irrazionale). ffi erché non esiste erché Infatti risulta ð0 889Þ < TEORIA Radicali Radicali cubici ð0 880Þ > Dunque 0,889 è un arossimazione er difetto di, mentre 0,880 ne è un arossimazione er eccesso. 9 7 Perciò 0,889 è il valore di abbreviato alla quarta cifra decimale. 9 D Si dice radice cubica di un numero reale a, e si indica con reale b il cui cubo è a. In simboli a, quel numero a b () b a a b R () L esressione a è detta radicale cubico e il numero a radicando. Si osservi che nella definizione di radice cubica non sono necessarie quelle condizioni ða 0eb0Þ, che abbiamo dovuto introdurre er definire la radice quadrata la radice cubica di un numero negativo esiste ed è negativa. Infatti, ad esemio, essendo ð Þ 8risulta 8 In generale, come si otrebbe dimostrare, la radice cubica di un numero reale esiste semre e ha lo stesso segno del numero dato. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

9 9 Se il numero a non è il cubo di un numero razionale, allora a è un numero irrazionale di cui si ossono determinare quante cifre decimali si vogliono, seguendo un rocedimento analogo a quello visto nel volume, caitolo, n. a roosito della. erché ð Þ ffi erché ffi 0 0 erché 0 0 erché ffi erché ð Þ ffi 7 erché ð Þ 7 Radicali in R 0 þ Radice n-esima di un numero ositivo o nullo Doo aver ricordato l estrazione di radice quadrata e cubica da un numero, risulta naturale generalizzare e definire l estrazione di radice n-esima (*) da un numero come l oerazione inversa dell oerazione «elevamento» alla n-esima otenza. Per ora ci limiteremo a definire la radice n-esima di un numero reale ositivo o nullo e solo nel rossimo n. e nei seguenti estenderemo la definizione al caso di un numero reale qualsiasi. D Se n è un numero naturale ositivo e a un numero reale maggiore o eguale a zero, si dice radice n-esima di a quel numero reale maggiore o uguale a zero, la cui otenza n-esima è eguale ad a. In simboli n a b () b n a a 0 b 0 n N 0 Il simbolo n a si chiama radicale (n-esimo), il numero a si chiama radicando eil numero n è detto indice del radicale. Se n si ha, come noto, il radicale quadratico e l indice viene abitualmente sottointeso a a Se n si ha, come noto, il radicale cubico che ora considereremo solo nel caso a 0. Se n si ha, in base alla definizione data, a a erché a a Radicali TEORIA (*) Si legge «ennesima». Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

10 0 Il simbolo di radice di indice è ertanto inutile, otendosi scrivere a al osto di a. Perciò tutte le volte che, ad esemio in seguito a una semlificazione, si resenterà un radicale con indice, si tralascerà di scrivere il simbolo di radice, indicando solo il radicando. Si osservi oi che si ha n ðn N 0 Þ erché, qualunque sia n N 0,siha n Analogamente è n 0 0 ðn N 0 Þ erché, qualunque sia n N 0,siha0 n 0. Avvertenza. Nel seguito, anche se non sarà secificato eslicitamente, intenderemo semre che le lettere usate come indici dei radicali raresentino numeri naturali ositivi, cioè aartenenti all insieme N 0 Alicando la definizione data si ha ffi ffi (*) erché erché 9 9 ffi ffi erché erché ffi erché erché TEORIA Radicali Radicali con radicandi a fattori ositivi o nulli radicali nell insieme R þ 0 Negli esemi del recedente aragrafo abbiamo considerato esressioni del tio n a solo nel caso in cui a è uguale all n-esima otenza di un numero ositivo razionale (intero, frazionario, decimale finito). È imortante erò osservare che, come si otrebbe dimostrare, la radice n-esima di un numero reale maggiore o eguale a zero è semre definita ed è unica. Se il radicando non è la otenza n-esima di un numero razionale, la sua radice n-esima è un numero irrazionale, che si uò individuare mediante successive arossimazioni er difetto e er eccesso, con un rocedimento del tutto simile a quello seguito nel caitolo del volume er determinare. Nei rossimi aragrafi studieremo le rorietà fondamentali dei radicali e le oerazioni su di essi. Tali rorietà e oerazioni erò valgono solo quando si oera con radicandi che siano numeri maggiori o eguali a zero, indiendentemente dall indice n del radicale. Per rendere iù semlici le alicazioni delle rorietà e delle oerazioni sui radicali, er ora considereremo solo radicali in cui i radicandi ositivi devono essere visti come rodotti di fattori ositivi o nulli. Tali radicali saranno da noi chiamati «radicali con radicandi a fattori ositivi o nulli» o anche, iù semlicemente, «radicali in R þ 0», ricordando che Rþ 0 indica l insieme dei numeri reali ositivi o nulli (ossia dei numeri reali non negativi). (*) Come già detto nel n. è errato scrivere anche se è ð Þ abbiamo infatti ora definito che la radice n-esima di un numero ositivo è un numero ositivo. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

11 Nel seguito, salvo diverso avviso, s intenderà quindi che ciascun fattore, che comaia sotto il segno di radice, indichi un numero maggiore o uguale a zero, qualunque sia l esonente di tale fattore. Facciamo ora alcuni esemi di radicali in R0 þ, indicando a fianco di ciascuno di essi le condizioni che suorremo quindi senz altro verificate ffi a! a 0 ffi b! b 0 n x! x 0 ffi ab! a 0 ^ b 0 a x ffi a a x x x! a 0 ^ x 0 ffi x! x 0 (*) n ab ðx yþ! a 0 ^ b 0 ^ðx yþ 0 n xy! x 0 ^ y 0 ^ x > 0 (**). x Una remessa imortante Le dimostrazioni di alcuni teoremi sui radicali in R þ 0 si basano su una rorietà delle uguaglianze e delle otenze tra numeri reali che si uò così riassumere a b () a n b n a 0 b 0 n N 0 () Da questa equivalenza logica si uò dedurre che, er dimostrare l uguaglianza di due numeri reali ositivi, basterà dimostrare che, elevandoli entrambi a una stessa otenza, si ottengono numeri uguali. Prima rorietà fondamentale Prorietà fondamentali dei radicali in R 0 þ 7 Dalla definizione di radice n-esima di un numero ositivo o nullo, si deduce subito la seguente fondamentale rorietà ð n a Þ n a a 0 n N 0 () Infatti n a è, er definizione, quel numero maggiore o eguale a zero la cui otenza n-esima è uguale ad a. La (), er la rorietà simmetrica dell uguaglianza, uò leggersi a ð n a Þ n a 0 n N 0 ðþ Alicando la () si hanno, ad esemio, le seguenti eguaglianze (si ricordi che stiamo considerando radicali in R0 þ ffi Þ ð 7 Þ 7 ð 9 Þ ffi ffi 9 ð Þ ð a bþ a b ffi ð x þ yþ x þ y ð þ Þ þ ffi 8 ða bþ 8 ða bþ n abðx þ yþ n ffi abðx þ yþ ð a Þ ffi ½ð a Þ Š a Radicali TEORIA ffi (*) Si noti che nell esressione x il radicando sarebbe ositivo anche se x fosse un numero negativo. Considereremo invece x 0 erché, come già abbiamo detto, ci stiamo occuando dei radicali in R þ 0. (**) Si tenga resente che x non uò essere uguale a zero erché si trova al denominatore di una frazione. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

12 ffi ffi Calcolare ð 7 Þð 7 þ Þ Si ha ffi ffi ffi ð 7 Þð 7 þ Þ ð 7 Þ 7 Seconda rorietà fondamentale 8 Dalla definizione di radice n-esima di un numero a R þ 0, si deduce anche la seguente fondamentale rorietà n ffi a n a a 0 n N0 () ffi Infatti, semre er definizione, n a n è quel numero, ositivo o nullo, la cui otenza n-esima è a n e erciò quel numero è rorio a, dato che la otenza n-esima di a è a n. Per la rorietà simmetrica dell uguaglianza, la () uò scriversi a n ffi a n a 0 n N 0 ðþ Alicando la () a radicali in R þ 0 si ha, ad esemio, ffi ffi a a ffi x x 7 a 7 b 7 7 ðabþ 7 ab ffi n ða xþ n a x Prorietà invariantiva 9 Per i radicali nell insieme R þ 0, nel senso rima definito, vale il seguente fondamentale teorema che esrime la rorietà invariantiva dei radicali in R þ 0. T Il valore di un radicale in R þ 0 non cambia, se si moltilicano l indice del radicale e l esonente del radicando er uno stesso numero naturale ositivo. Si ha cioè n ffi a m n a m a 0 n m N 0 () TEORIA Radicali Dimostrazione. Consideriamo il rimo membro della () ed eleviamolo alla otenza di esonente n ricordando le rorietà delle otenze e la rima rorietà fondamentale (n. 7), si ha ð n a m Þ n ½ð n a m Þ n Š ða m Þ a m ðþ Eleviamo ora allo stesso esonente n il secondo membro della (), ricordando ancora la rima rorietà fondamentale ffi ð n a m Þ n a m ðþ Per la rorietà transitiva dell uguaglianza si deduce, dalla () e dalla (), che è ð n ffi a m Þ n ð n a m Þ n da cui, er la () del n., si ottiene l uguaglianza delle basi ositive di tali otenze aventi lo stesso esonente n e si ha quindi n ffi a m n a m c.v.d. Verifichiamo ora la () con un esemio ffi ffi ffi ffi ffi ffi Infatti è e ffi Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

13 E così, si ha ure ffi a 8 ffi a a þ b ffi 0 ða þ bþ ffi a n ffi ffi a n a a Semlificazione di radicali Riduzione di iù radicali allo stesso indice 0 Leggendo la () del n. 9 da destra a sinistra, er la rorietà simmetrica dell uguaglianza, si ha il seguente teorema. T Dato un radicale in R þ 0, il suo valore non cambia se si dividono l indice del radicale e l esonente del radicando er un loro divisore comune n ffi a m n a m a 0 n m N 0 Così facendo, si dice che si semlifica il radicale. 8 ffi ffi ffi 0 a ffi ffi a ffi a ffi ffi 7 ffi ffi a þ a þ ða þ Þ a þ 8 a 8 b 8 ða Þ b ffi 8 ða bþ ffi a b a ffi ða bþ ffi a b Il radicale a þ b non è semlificabile. Infatti il radicando non è una otenza con esonente, oiché, come noto, a þ b ðaþbþ Quindi sarebbe grave errore scrivere a þ b a þ b! ffi Saendo che è ðx Þ > 0, semlificare il radicale x þ x ffi Si ha x þ x ðx Þ x Semlificare il radicale ffi a þ a nel caso che sia a < Osserviamo che, se è a <, allora la differenza tra a e è negativa, cioè a < 0, e quindi il suo oosto, a, sarà ositivo. Si ha quindi, se è a <, a þ a ffi ð aþ a Dagli esemi del aragrafo recedente è evidente che, generalmente, quando si semlifica un radicale, si dividono l indice della radice e l esonente del radicando er il loro massimo comun divisore. Se l indice della radice e l esonente del radicando non hanno divisori comuni, il radicale non è semlificabile e, in tal caso, il radicale è detto irriducibile. Ad esemio, 0 ffi 9 e 7 sono radicali irriducibili. Suoniamo di avere due o iù radicali in R þ 0, aventi indici diversi. Come alicazione della rorietà invariantiva è ossibile ridurre tali radicali allo stesso indice, seguendo un rocedimento che è analogo a quello che serve er ridurre iù frazioni allo stesso denominatore. Mostriamo il rocedimento con un esemio. Si vogliano ridurre allo stesso indice i seguenti radicali 8 ffi ffi a b a þ b Radicali TEORIA Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

14 Poiché il rimo radicale è semlificabile, eseguiamo darima la semlificazione ottenendo così i radicali ffi ffi a b a þ b Gli indici dei radicali sono, risettivamente,,,. Il minimo comune multilo degli indici è e quindi ossiamo assumere come indice comune dei radicali tale m.c.m., cioè (*). Per ottenere tre radicali uguali ai dati e di indice, occorre moltilicare gli indici dei tre radicali risettivamente er,, (essendo, Þ ricordando la rorietà invariantiva, occorre contemoraneamente elevare i radicandi corrisondenti agli esonenti,, ffi ffi ða Þ ðb Þ ða þ bþ I radicali dati risultano così trasformati nei seguenti radicali di indice comune ffi ffi a 8 b 9 ða þ bþ Da quanto recede si uò dedurre la seguente regola er la riduzione di iù radicali dati, di indici non tutti uguali, allo stesso indice darima si rendono irriducibili i singoli radicali, oi si trova un multilo comune qualunque degli indici dei radicali (referibilmente il loro minimo comune multilo) e lo si assume come indice comune l esonente di ogni fattore di ciascun radicando si trova oi moltilicando il suo rimitivo esonente er il quoziente tra l indice comune e l indice rimitivo. TEORIA Radicali Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali a 9 ffi 7a a þ b Semlifichiamo darima, se ossibile, i radicali dati essi diventano così risettivamente ffi a ffi a a þ b Il m.c.m. degli indici è, quindi si ha a ffi a a a Confrontare ffi ffi e 0 ffi a þ b ffi ða þ bþ Riduciamo i due radicali allo stesso indice ffi ffi ffi 0 0 ffi 000 Poiché è < 000 sarà, evidentemente, < ffi 000 (**), ossia ffi ffi < 0 (*) Come indice comune si uò assumere un qualsiasi multilo comune degli indici dei radicali, ma è evidente che è iù semlice assumere come indice comune il m.c.m. ffi (**) Si otrebbe dimostrare che se è a < b (con a, b numeri ositivi) è anche n n ffi a < b Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

15 Oerazioni sui radicali in R 0 þ Prodotto di radicali In questo e nei successivi aragrafi, enunceremo, senza dimostrarli, i teoremi che consentono di eseguire le diverse oerazioni sui radicali in R þ 0. T Il rodotto di iù radicali in R þ 0, aventi lo stesso indice, è un radicale del medesimo indice, avente er radicando il rodotto dei radicandi. Si ha cioè n ffi n n ffi a b ab a 0 b 0 n N 0 () Si osservi che la () si uò leggere anche da destra a sinistra n ffi n ffi n ab a b a 0 b 0 n N 0 ðþ È oi evidente che la () si uò estendere al caso di tre o iù radicali e così ure la () si uò estendere al caso di tre o iù fattori. ffi ffi ffi ffi Quoziente di radicali Per la () si ha analogamente ffi ffi Calcolare ð þ Þ a ffi ffi ffi ffi a a a 8a b ffi 8 a b ffi a b Alicando la formula del quadrato di un binomio, si ha ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ð þ Þ ð Þ þð Þ þ þ þ þ T Il quoziente di due radicali in R þ 0 aventi lo stesso indice è un radicale del medesimo indice, avente er radicando il quoziente dei radicandi. In simboli n ffi a n a n b b o anche, in forma equivalente a 0 b > 0 n N 0 () n ffi n n ffi a b a b Naturalmente anche la () si uò leggere da destra a sinistra r n a n a b n a 0 b > 0 n N 0 ðþ b Radicali TEORIA Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

16 ffi 8 8 ffi ffi ffi a a ffi a a a ffi 0 0 ffi ffi ffi ffi ffi ffi 7 7 a bc ac 7 a bc 7 ab ac c Per la () si ha 7 ffi 7 ffi 7 ffi 7 ffi ffi Risolvere l equazione a coefficienti irrazionali Si ha ffi x ffi ffi! x ffi ffi ffi a a ffi ffi x ffi Prodotto e quoziente di radicali di indice diverso Le regole ora enunciate (n. e n. ) ermettono di determinare rodotti e quozienti di radicali che hanno lo stesso indice. Ma anche il rodotto e il quoziente di radicali con indici diversi si uò eseguire basterà ridurre, er rima cosa, tali radicali allo stesso indice (n. ). I seguenti esemi indicheranno i rocedimenti da seguire. TEORIA Radicali Somma e differenza di radicali Eseguire le seguenti oerazioni e semlificare i risultati ffi a ffi ffi a b ða bþ a a b ða bþ ffi ffi a a b ða bþ 9 a 0 b ða bþ ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi 8 ffi ffi 8 ffi 9 8 ffi ffi ffi ffi 0 ffi 0 ffi 0 ffi ab ffi a b a b a b ffi 8a b b a b a È imortante osservare che le oerazioni di addizione e sottrazione tra radicali non godono di rorietà simili a quelle delle oerazioni di moltilicazione e divisione studiate nei recedenti aragrafi. In altre arole, mentre moltilicazioni o divisioni ossono essere eseguite, indifferentemente, dentro o fuori del segno di radice (urché i radicali abbiano lo stesso indice), ciò non è vero er le oerazioni di addizione e sottrazione. Ad esemio si ha 9 þ ffi þ 7 ffi 9 þ ffi 0 Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

17 7 ffi ffi Si noti quindi che 9 þ è diverso da 9 þ. ffi In generale quindi n a þ n b non è eguale a n a þ b In alcuni casi erò èossibile rendere iù semlici esressioni in cui sia indicata la somma o la differenza di radicali aventi lo stesso indice e lo stesso radicando, eseguendo il raccoglimento a fattore comune di tale radicale. Così, ad esemio, si ha þ ðþþ ffi ffi ffi þ þ ffi 0 ffi ffi ffi ffi ffi þ 7 0 þ 0 0 þ 0 ffi ffi ffi ffi ffi þ þ ffi ffi ffi ffi ð0 þ Þ þð7 Þ 0 þ 0 ffi ffi Trasorto di un fattore sotto il segno di radice 7 Talvolta è utile trasortare sotto il segno di radice un fattore moltilicativo che si trova al di fuori. Ciò èsemre ossibile se tale fattore è maggiore o uguale a zero. Consideriamo, infatti, l esressione a n b con a 0 e b 0 Ricordando che, er la () del n. 8, è a n ffi a n, si uò scrivere n a ffi b n n n ffi a n b a n b Si ha quindi n a n ffi b a n b a 0 b 0 n N 0 () cioè, quando un radicale è moltilicato er un numero ositivo si uò ortare tale numero entro radice, quale fattore del radicando, doo averlo elevato alla otenza di esonente uguale all indice della radice. Nel caso che fuori della radice si trovi un fattore negativo, si otrà trasortare sotto il segno di radice il suo valore assoluto, elevato alla otenza di esonente uguale all indice della radice, lasciando fuori della radice il segno meno (esemio ). ffi ffi ffi ffi ffi ffi 0 a 9a a ffi ffi a ða Þ a a a ffi 0a ffi a a b a ffi a b a b ffi a b ffi a a a sffi ða bþ ffi ða bþ a b a 7 Si osservi che in questo caso il fattore sotto il segno di radice, cioè a b, si deve suorre ositivo erché esista la radice e quindi è a b > 0. Perciò essendo Radicali TEORIA Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

18 8 b a ða bþ, il fattore fuori del segno di radice si deve considerare negativo inoltre dovrà essere a b 0 erché figura al denominatore. Consideriamo l esressione x ffi con x R. Per trasortare il fattore esterno al radicale sotto il segno di radice, occorre esaminare il suo segno ) se è x > 0, si ha x ffi x ) se è x < 0, si ha x ffi ffi ffi ð xþ ð xþ x si osservi che in questo caso essendo x < 0 è ð xþ > 0 Si noti che se fosse x 0 l esressione x ffi sarebbe nulla. Trasorto di un fattore fuori del segno di radice 8 La () del aragrafo recedente uò anche essere letta da destra a sinistra n ffi n a n b a b a 0 b 0 n N 0 () Tale eguaglianza ermette di trasortare fuori dalla radice un fattore, ositivo, del radicando che sia una otenza con esonente eguale all indice della radice. ffi ffi ffi ffi 7 ffi ffi ffi ffi ffi 80 ax þ ax þ a ffi 8 9 ffi a b c ðabþ c ab ffi c ffi aðx þ x þ Þ ffi ffi ffi ð Þ ffi aðx þ Þ a a ffi ðx þ Þ a TEORIA Radicali Calcolare ffi a b 0bc ffi a b ffi bc ffi ðaþ b ffi ðcþ b a b c b b ða cþ 9 Nel caso che sotto il segno di radice comaia un fattore che sia una otenza con esonente multilo dell indice della radice, tale fattore uò essere trasortato fuori dalla radice, con esonente eguale al quoziente tra il suo esonente rimitivo e l indice della radice. Infatti si ha ossia n a nq b ffi n a nq n ffi b n ða q Þ n n ffi n a nq b a q b n b a q n b () 9 ffi ffi ffi a a ffi ða bþ 8 x ða bþ ffi x Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

19 9 0 Vediamo, con un esemio, come si uò rocedere se sotto il segno di radice comare un fattore che sia una otenza con esonente maggiore, ma non multilo, dell indice della radice. Consideriamo il seguente radicale ffi ffi 7 Il fattore, avendo esonente minore dell indice della radice, non uò essere trasortato fuori dal segno di radice. Il fattore 7 invece ha un esonente che è maggiore, ma non multilo, dell indice. Tale esonente uò erò essere ensato come somma di, che è multilo di, e di, che è minore di 7 Si uò allora alicare la () del numero recedente ffi ffi ffi 8 Il rocedimento seguito uò essere generalizzato, ervenendo alla seguente regola se sotto il segno di radice comare un fattore con esonente maggiore dell indice, si uò trasortare fuori dal segno di radice il fattore avente la stessa base ed esonente eguale al quoziente tra l esonente rimitivo e l indice della radice, lasciando sotto il segno di radice quel fattore, avente la stessa base, con esonente eguale al resto della divisione effettuata. ffi ffi a 7 a a a ffi 7 ffi ffi a 8a b þ 0þ a ab a ab ffi ffi Osservazione Potenza di un radicale Alicando direttamente la regola rima formulata si ha subito ffi ffi x 7 y x y x y Nei aragrafi recedenti si è visto come sia ossibile ortar fuori radice nel caso in cui nel radicando figurino solo rodotti o quozienti. Se invece il radicando è una somma algebrica non è assolutamente lecito ortar fuori radice un addendo di tale somma ffi ffi 9 þ non è 9 þ ffi Infatti 9 þ ffi ffi e 9 þ þ 7 Analogamente a þ b non è a þ b T Per elevare a otenza un radicale in R þ 0 si eleva a quella otenza il radicando. In simboli ð n a Þ m n a m a 0 n N 0 () Radicali TEORIA Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

20 Se si legge la () da destra verso sinistra, er la rorietà simmetrica dell uguaglianza, si ha n a m ð n a Þ m ða 0Þ ðþ ffi ð Þ ffi ffi ffi ffi 9 ð Þ ffi ð a bþ 0 a b ffi ffi ffi ffi 9a b ð ffi Þ 8 ffi ffi ffi 8 Radice di un radicale T La radice di un radicale in R þ 0 è uguale alla radice del medesimo radicando, avente er indice il rodotto degli indici. In simboli q m n a mn a a 0 n m N 0 () L eguaglianza () si uò ovviamente anche leggere da destra a sinistra q mn m a n a a 0 ðþ TEORIA Radicali Razionalizzazione del denominatore di una frazione Il teorema recedente si uò, con rocedimento ovvio, estendere al caso di iù radici r q ffi m n a mn a a 0 Osservazione. Può avvenire che vi siano fattori esterni a qualcuna delle radici che figurano nel radicando del radicale dato in questo caso er alicare il teorema bisogna, rima di tutto, ortare sotto il segno di radice i fattori esterni nel modo che già abbiamo areso nel n. 7. ffi ffi ffi 8 ffi ffi 8 ffi ffi a 0 ffi ffi a a 0 a qffi 9a q 0 ffi 9a n n n x ffi ffi n x ffi ffi 8 qffi ffi qffi ffi ffi 0 ffi qffi a a ffi qffi ffi a a ffi a þ a 0 a 7 0 a 0þ7 0 ffi a 7 0 ffi a 9. Si oteva rocedere anche nel seguente modo qffi a a ffi qffi ffi a a ffi þ a a a a þ 0 ffi a 7 ffi 0 a 9. D Un esressione contenente radicali si dice intera quando i radicali non comaiono nei denominatori. a þ b Per esemio, l esressione è un esressione radicale intera, mentre c l esressione a þ b c non lo è. Un esressione radicale si uò semre trasformare a con oortune oerazioni in un altra intera. Vedremo ora solo i casi iù comuni. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

21 o caso. Sia data l esressione a b Per liberare il denominatore dal radicale, basta moltilicare numeratore e denominatore della frazione er b si ottiene infatti a a b a b b b b ð b a ffi b Þ b Si suol dire che il denominatore della frazione a è stato razionalizzato. b ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi þ ð þ Þ þ ffi ffi ffi a a ffi ffi a ffi ffi ffi a a ffi a ffi ð Þ x ffi ð x ffi Þ x þ ð xþð þ xþ ffi x þ ffi ð xþ x þ x þ ð x þ Þ x þ o caso. Sia data la frazione a m ffi e suoniamo m > n, con m N 0, n N. b n Per liberare il denominatore dal radicale, basta moltilicare numeratore e denominatore della frazione er m b m n si ottiene infatti a m ffi a m b b m ffi m n n m a m b m m n a m b m n b b n b m n b m ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi a a ffi a a ffi a ffi a a a ffi a o caso. Sia data una frazione dove, al denominatore, figuri la somma o la differenza di due termini di cui almeno uno sia un radicale quadratico sia data, cioè, una frazione del tio Si osservi che si ha c a b c a b c a b ð a þ b Þð a b Þð a Þ ð b Þ a b ða þ b Þða b Þa ð b Þ a b ð a þ bþ ð a bþ a b. Radicali TEORIA Per rendere razionale il denominatore della frazione basterà allora moltilicare numeratore e denominatore er la somma (ove nella frazione figuri la differenza) o er la differenza (ove nella frazione figuri la somma) dei termini del denominatore, come illustrano i seguenti esemi. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

22 ffi ffi ð Þ ffi ffi ffi ffi ffi ffi ð ffi ffi Þ ffi ffi þ ð þ Þð Þ ffi ð þ ffi Þ ð ffi ffi ð þ ffi Þ þ ffi. Þðþ Þ 9 ffi ffi x x Vogliamo ora razionalizzare il numeratore della frazione. Avremo ffi ffi x x ð ffi ffi ffi ffi x x Þð x þ x Þ ffi ffi ð ffi ffi x Þ ð x Þ ffi ffi ð x þ x Þ ð x þ x Þ x x þ ffi ffi ð x þ x Þ ffi ffi ð x þ x Þ ffi ffi x þ x Radicali doi D Un esressione della forma q a þ b oure q a b ðþ si dice radicale quadratico doio o, semlicemente, radicale doio. TEORIA Radicali In alcuni casi tali esressioni ossono essere trasformate nella somma o differenza di due termini, di cui, erò, almeno uno è ancora un radicale. Per meglio comrendere questa affermazione facciamo un esemio e calcoliamo ffi ð þ Þ ð Þ þð Þ þ þ þ þ ertanto þ ð þ Þ ossia, estraendo la radice quadrata da entrambi i membri ffi þ þ ffi L esressione þ, che è un radicale doio erché uò essere scritto nella ffi forma () e cioè þ,èstato quindi trasformato nella somma di con. ffi Naturalmente er trasformare il radicale doio þ occorrerebbe eseguire il rocedimento inverso a quello rima eseguito e recisamente qffi þ qffi þ þ qffi ð Þ þð Þ þ qffi ð þ Þ þ In generale questo rocedimento non è affatto immediato ed è quindi utile ricorrere a una formula. Consideriamo dunque le () se a b è ositivo, si hanno le seguenti identità (formule di trasformazione dei radicali doi) Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

23 s q a þ a þ ffi s a b b a ffi a þ b s q a a þ ffi s a b b a ffi a b () () che si ossono facilmente verificare elevandone ciascuno dei due membri al quadrato e constatando che si ottengono risultati uguali. Se a bèun quadrato erfetto, allora le uguaglianze () e() sorascritte ermettono di trasformare un radicale doio nella somma di due radicali semlici sea b non è un quadrato erfetto ciò non è ossibile e erciò, in tal caso, è oortuno lasciare il radicale nella forma assegnata. Trasformare il radicale doio 8 þ 8 nella somma di due radicali semlici. In questo caso è a 8eb 8 e quindi a b che è un quadrato erfetto. Possiamo quindi alicare la () sffi q 8 þ ffi 8 þ ffi sffi 8 8 ffi 8 8 þ 8 þ 8 þ ffi ffi þ Si voglia trasformare l esressione 7. Osserviamo, ffi innanzi tutto, che tale esressione er la resenza del fattore davanti a, non è della forma (). Occorre, erciò, rima di rocedere, trasortare il fattore sotto la radice quadrata contenente il q 7 ffi qffi 7 ffi q 7 ffi ffi A questo unto abbiamo ottenuto un esressione del tio a b con a 7e b oiché 7 è il quadrato di, ossiamo utilmente alicare la () s q 7 ffi q 7 ffi 7 þ ffi s 7 ffi ffi Si oteva anche oerare così q 7 ffi q þ ffi q ffi ffi þð Þ qffi ð ffi qffi ffi Þ (*) ð Þ ffi Radicali TEORIA (*) Si noti che er oter alicare la seconda rorietà fondamentale (n. 8) i fattori del radicando devono essere ositivi e quindi, essendo ffi ffi ffi < 0, occorre trasformare ð Þ in ð Þ Infatti la scrittura q ð Þ ffi è errata erché il rimo membro è ositivo mentre il secondo è negativo. Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

24 Radicali Radicali quadratici e cubici QUESITI a. Perché è? b. Che cosa s intende er radice quadrata di un numero reale a 0? c. Che cos è un radicale quadratico? d. Quando la radice quadrata di un numero a è un numero irrazionale? e. Esiste la radice quadrata di un numero negativo? Perché? f. Perché 8 e 8? g. Definire la radice cubica di un numero reale. h. Esiste semre la radice cubica di un numero reale a? Perché? i. Come deve essere il radicando a affinché il radicale cubico a dia luogo a un numero razionale? ESERCIZI Radicali Calcolare, se ossibile ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi 000 ffi ð Þ sffi non esiste non esiste 7 ffi ffi ½ 0 0 7Š 8 ffi ffi s r sffi qffi 0 þ þ 0 þ 9 þ ffi r q þ þ 8 ½ Š 0 þ þ ffi q ffi þ 0 þ þ þ ffi ½Š Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

25 7 sffi r q þ þ þ þ 9 sffi r qffi 0 þ þ 0 þ 8 ½ Š ffi 8 Si sieghi erché èerrato scrivere Saendo che è scrivere il valore arossimato er eccesso a meno di 0,0 e quello abbreviato alla terza cifra decimale di 9 Qual è il suo valore arrontondato alla rima cifra decimale? Radicali con radicandi a fattori ositivi o nulli radicali in R + 0 Avvertenza imortante. Ricordiamo, come è stato detto nel testo (n. ), che er radicali in R þ 0 s intendono i radicali i cui radicandi sono rodotti di fattori ositivi o nulli. Pertanto scrivendo ffi ab a b b b si intende che sia a 0 ^ b 0 ffi a a a si intende che sia a 0 x y ðx yþ si intende che sia x y 0 n a si intende che sia a 0 ^ ðc þ dþ > 0 c þ d ecc... Per i radicali in R þ 0 numero. valgono le rorietà e i teoremi che sono stati esosti nel testo dal numero 7 al QUESITI a. Definire la radice n-esima di un numero ositivo o nullo. b. Giustificare le scritture n e n 0 0, essendo n N0. c. Considerando solo radicali in R þ 0, come devono essere i risettivi radicandi? d. Quali condizioni s intendono verificate, considerando i seguenti radicali come radicali in R þ 0 n ffi a b a þ ffi n a b xy ða bþ? e. Enunciare la rorietà invariantiva er i radicali in R þ 0. f. Che cosa vuol dire semlificare un radicale? g. Quando un radicale si dice irriducibile? h. Come si ottiene il rodotto di due radicali in R þ 0? E il loro quoziente? i. Come si uò giustificare l uguaglianza a n b n a n b n, saendo che è a 0, b 0, n N 0? ffi l. Come si uò giustificare l uguaglianza n a nþ a n ffi a, con a 0, n N0? m. Quando un esressione contenente radicali si dice intera? n. Che cosa intendiamo er razionalizzazione del denominatore di una frazione? Radicali ESERCIZI Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

26 Radice n-esima di un numero ositivo o nullo Calcolare ffi ffi ffi 8 ffi ½ Š ffi q þ ffi qffi ffi 8 7 ffi 8 ffi ½0 0 Š q ffi ffi þ 0 8 ½ Š ESERCIZI Radicali Prorietà fondamentali dei radicali in R + 0 Alicando la rima rorietà fondamentale, cioè ð n a Þ n a a 0 n N 0 calcolare ffi ffi ffi ð Þ ð Þ 7 7 ð a bþ ½ 7 a bš ð ffi þ þ ffi ffi þ ffi þ ½7 Š ffi ab Þ ð ffi a bþ ffi þ ð Þ ½ab a b þ Š qffi ð þ Þ þ þð Þ ½Š ffi ffi ð þ Þ ð þ ffi Þ ð Þ ½0Š ð ffi Þ ð a þ bþ ð Þ n ð aðx yþþ n 7 ð Þ ð x Þ ð 7 a bþ ð 8 Þ ð n a Þ n ½ x ða bþ a Š ffi ffi 8 ð a bþ þð 8 b þ aþ ð ffi a bþ 9 ð a b Þ ½ða þ b Þ abðb aþš 9 Semlificare la frazione ð x yþ ffi þð x þ yþ þð x Þ ffi q ffi ð þ xþ þ ð ffi x Þ ð ½xŠ x Þ Ricordando anche la seconda rorietà fondamentale, cioè n ffi a n a a 0 n N0 calcolare ffi ffi 0 y ða bþ a b 7 7 a 7 ffi n a n n b n Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

27 ffi ffi x ðx Þ ffi a 8 7 x y 7 ffi ffi ffi 0 0 ½x a x y 7 00Š q ð þ ffi Þ þð 7 Þ ½Š qffi ð þ qffi Þ þ ð ffi ffi Þ ½ð 0 Þð 0 þ ÞŠ ½Š Semlificare la frazione Si giustifichi erché l uguaglianza 7 ffi ffi x 8 þ y ð xy Þ 0 ffi ffi x 0 ð 0 y Þ 0 ð Þ èerrata. qffi Si giustifichi erché l uguaglianza ð Þ è errata. x y x þ y 7 Ricordando che ð aþ ðþaþ e che ða bþ ðb aþ, calcolare ð Þ qffi ðþþ ð Þ qffi ð qffi qffi Þ ð Þ ð Þ qffi 8 Calcolare ð qffi qffi Þ þ ð Þ ð Þ ½0Š COMPLETARE... Ricordando la rorietà invariantiva, cioè n ffi a m n a m a 0 n m N 0 comletare le seguenti uguaglianze ffi 9 ffi ffi 8 ffi 0 ffi ffi a 8 a b ffi ffi ffi a ffi ab ffi aðx yþ ffi a b ffi a b a qffi ða bþ 7 a b 9 ffi Radicali ESERCIZI Semlificazione di radicali in R + 0 Semlificare i seguenti radicali in R þ 0 ffi 8 ffi 0 ffi ffi 8 ffi 9 ½ Š Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

28 ffi 8 ffi ffi 8 8 ffi 79 ½ 9 ffi 7 8 Š ffi ffi ffi 00 ffi 9 ffi ffi 8 ½ ffi 9 Š r r 7 þ ffi r ffi r 7 r ffi ffi 8 ffi 9 ffi ffi 9 9a 7a ½0 7 a a Š 7 9x y 8 8a b 9 ffi x y z ffi ffi ffi x ðx yþ a b a 7ab ffi 9 a þ a þ a þ 8 a þ 9b 8 þ a b 8 x y a b 0 x ðx yþ ffi x þ þ x ½ a þ 0 ab x y z a b a þ b x þ Š 0 x y ða þ a þ Þ ffi 0 a þ a x þ 9x ½xy ða þ Þ a þ x Š ESERCIZI Radicali Semlificare i seguenti radicali suonendo soddisfatte le condizioni a fianco indicate ffi a con a < 0 ffi ½ a ð aþ a Š a ab þ b con a b > 0 ½a bš a ab þ b con a b < 0 ½b aš ffi 8 y y þ con y > 0 ½ y Š VERO O FALSO.. ffi 7 þ 7 ffi. ffi 8. 9 a b ab. ffi 0 a þ b a þ b. ffi a þ a b þ b a þ b. V V V V V V V F F F F F F F Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

29 9 ffi a b 0 ab ab 7 x x. ffi a 8 b a b a þ b. a þ b s ffi x y z x y yz 9 z. qffi 0 0ðx yþ 0 a b 0 a bðx yþ. V V V V F F F F COMPLETARE... ffi ffi ffi 7 a 9 b ðx þ yþ a b ðx þ yþ sffi ðx þ þ x Þ 0 09a b 0ð þ Þ a b sffi sffi a 8 b c a b c ða þ þ a Þb ða þ Þ. a a. ffi 0 ffi. a 7 b 8 c 0 a b ab c. sffi a 9 b ðx þ Þ 7 a b Riduzione allo stesso indice di iù radicali in R + 0 ab ðx þ Þ. Ridurre al minimo indice comune i radicali in R þ 0 di ciascuno dei grui seguenti ffi ffi a ffi a ffi a ffi ab ab ffi a ffi a ffi ab ab ffi ffi ffi ffi ab ab a b a þ b ab a þ b qffi ða þ bþ a þ b ab x þ y x þ y xy þ x x þ x ffi Confrontare ffi 7 con ffi e oi confrontare tra loro 8 7 e. ffi ½ ffi 7 < 8 ffi 7 > Š Radicali ESERCIZI Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara

30 0 7 8 Disorre in ordine crescente i numeri dei seguenti grui, doo aver ridotto i radicali allo stesso indice r r r 8 r r r r r Prodotti e quozienti di radicali in R + 0 ESERCIZI Radicali Eseguire le seguenti oerazioni di moltilicazione e divisione tra radicali quadratici in R þ 0 8 ð Þ ½ Š ffi 7 ffi ð Þ ½9 Š ffi ffi ffi 7 ½ 0Š ffi ffi 8 ffi 7 ½ 0Š ffi ffi ffi r r r r ffi 7 7 ffi ffi ½ Š ffi ffi ffi ffi 0 7 r ffi 90 ffi 90 ð ffi Þ ffi ffi ffi ffi ffi a ð a 7 Þ a b sffi ffi ab a 7a 8 ½ Š b a Eseguire le seguenti oerazioni di moltilicazione e divisione tra radicali in R þ 0 9 ffi 9 ffi 0 ffi ffi ffi ab a b ½ 0 abš þ r 0 Gli argomenti di matematica - Ghisetti e Corvi 009 De Agostini Scuola S..A. - Novara