Introduzione alla trigonometria

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1 Introduzione alla trigonometria Angoli e loro misure In questa unità introdurremo e studieremo una classe di funzioni che non hai ancora incontrato, le funzioni goniometriche. Esse sono imortanti sorattutto erché costituiscono uno strumento matematico indisensaile er l ideazione e lo studio di modelli matematici con i quali si raresentano numerosi fenomeni fisici. Per introdurre queste funzioni è necessario rivedere anzitutto i concetti di angolo edimisura di un angolo. Definizione dinamica di angolo In vista delle nozioni che introdurremo nel roseguimento di questa unità, d ora in avanti sarà utile osservare un angolo da un nuovo unto di vista, non «statico», ma «dinamico»: sarà utile cioè ensare un angolo come descritto dalla rotazione di un suo lato intorno al vertice. In quest ottica la semiretta che viene fatta ruotare viene chiamata rimo lato dell angolo (o lato origine) e la semiretta ottenuta doo aver effettuato la rotazione viene chiamata secondo lato dell angolo (o lato termine), come illustrato in fig.. Un angolo viene allora detto in osizione normale quando è riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali risetto al quale il vertice coincide con l origine degli assi e il rimo lato coincide con il semiasse delle ositive, come illustrato in fig.. V secondo lato rimo lato Figura Definizione «dinamica» di angolo. a vertice secondo lato rimo lato Figura Un angolo in osizione normale. Misure di angoli in gradi Fino a questo unto dei tuoi studi hai misurato gli angoli in gradi. Il grado, ricordiamo, è definito come la trecentosessantesima arte dell angolo giro ed è indicato nelle misure con un iccolo cerchietto che segue il valore numerico:. Il sistema di misurazione degli angoli in cui l unità di misura è il grado è detto sistema sessagesimale. In esso ogni grado viene suddiviso in 0 arti, ciascuna chiamata minuto, indicata con un aice: minuto ¼ 0 ¼ 0 gni minuto viene a sua volta suddiviso in 0 arti, ciascuna delle quali è chiamata secondo ed è indicata con due aici: secondo ¼ 00 ¼ 0 ¼ 0 0 ¼ 0 00 Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

2 Per esemio, er indicare che un angolo misura 0 gradi, minuti e secondi si scrive che la sua misura è: In sintesi: angolo giro ¼ 0 ; ¼ 0 0 ; 0 ¼ 0 00 Come sottomultili del grado, invece dei rimi e dei secondi si uò considerare la sua decima arte, la sua centesima arte, e così via. In tal caso si ottiene una misura in gradi esressa in forma decimale. Poiché le calcolatrici scientifiche eseguono le oerazioni sulle misure in gradi esresse in forma decimale, si one talvolta il rolema di convertire una misura in gradi, rimi e secondi in gradi decimali, e viceversa. Vediamo come rocedere tramite un esemio. ESEMPI Dai gradi decimali ai gradi, rimi e secondi e viceversa Convertiamo: a. la misura di 0 00 in gradi decimali;. la misura di,7 in gradi, rimi e secondi. a. Poiché 0 ¼ ¼ e 00 ¼, aiamo: 00 ¼ þ 0 þ 00 ¼ ¼ þ þ 0 00 þ 0, þ 0,008 ¼ Con una calcolatrice si trova che 0 ¼ 0, e 00 ¼ 0,008 ¼,08. Procediamo come segue:,7 ¼ þ 0,7 ¼ ¼ þ 0,7 0 0 ¼ Ricorda che ¼ 0 0 ¼ þ 0,8 0 ¼ þ 0 0 þ 0,8 0 ¼ ¼ þ 0 0 þ 0, ¼ Ricorda che 0 ¼ 0 00 ¼ þ 0 0 þ 9, Arrotondando il numero dei secondi a meno dell unità Il sistema di misura in gradi decimali viene detto sessadecimale, anziché sessagesimale. Misure di angoli in radianti Le misure degli angoli esresse in gradi vengono utilizzate sorattutto nelle alicazioni ratiche. Nelle disciline scientifiche e nel roseguimento dei tuoi corsi di Matematica (er esemio nello studio dell analisi matematica che intrarenderemo nel rossimo volume) è iù conveniente invece misurare gli angoli in radianti. Per definire la misura in radianti di un angolo ensiamo che l angolo sia in osizione normale e consideriamo la circonferenza avente centro nel vertice dell angolo (cioè nell origine) e di raggio : tale circonferenza viene detta circonferenza goniometrica. Si uò allora dare la seguente definizione. Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

3 m misura di un angolo in radianti La misura di un angolo in radianti è la misura dell arco che esso intercetta sulla circonferenza goniometrica, una volta che l angolo sia osto in osizione normale (fig. ). Figura Misura in radianti di ESEMPI Misure di angoli in radianti a. Un angolo retto individua sulla circonferenza goniometrica un arco la cui misura è un quarto della circonferenza, cioè ¼, quindi la misura in radianti di un angolo retto è.. Un angolo iatto individua sulla circonferenza goniometrica una semicirconferenza, la cui misura è ¼, quindi la misura in radianti di un angolo iatto è. c. Un angolo giro individua sulla circonferenza goniometrica l intera circonferenza, la cui misura è, quindi la misura in radianti dell angolo giro è. Per convertire la misura di un generico angolo, esressa in gradi, nella corrisondente misura rad in radianti si uò usare la seguente roorzione: : 0 ¼ rad : Da essa seguono le seguenti formule di conversione: ¼ rad 80 rad ¼ 80 ESEMPI Conversione dai gradi ai radianti e viceversa Determiniamo: a. la misura in gradi dell angolo che misura radianti;. la misura in radianti dell angolo che misura. a. Per la rima formula [] aiamo: ¼. Per la seconda formula [] aiamo: rad ¼ 0 80 ¼ 0 [] Come avrai notato, quando gli angoli vengono misurati in gradi si è soliti indicare eslicitamente l unità di misura (cioè il grado, indicato con il simolo ), mentre quando vengono misurati in radianti si è soliti ¼ trascurare l unità di misura 80 (cioè l angolo di radiante, indicato con rad). Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

4 Nella fig. sono invece visualizzate le misure, in gradi e radianti, degli angoli iù comuni. = 0 = 80 = 0 = 7 0 = = 0 = Figura Misure di angoli notevoli. 90 = 70 = 0 = 00 = = 0 = 0 = = 7 Misura relativa di un angolo e misure di angoli maggiori dell angolo giro L interretazione «dinamica» di un angolo come descritto dalla rotazione di una semiretta intorno al suo vertice are alcuni nuovi scenari:. da una arte, one il rolema di recisare il concetto di misura di un angolo in modo da tenere conto del verso della rotazione e orta così a introdurre il concetto di misura relativa di un angolo;. dall altra, are la ossiilità di estendere il concetto stesso di angolo considerando angoli maggiori di un angolo giro. Vediamo, nell ordine, come sia ossiile affrontare questi due argomenti.. Per assegnare a un angolo una misura relativa (cioè con segno) occorre anzitutto orientare l angolo, cioè fissare il suo rimo lato; doodichè si considera la misura assoluta (cioè senza segno) dell angolo (in gradi o in radianti) e si attriuisce a essa: segno iù se la rotazione che occorre comiere er sovraorre il rimo lato dell angolo al secondo è antioraria; segno meno se la rotazione che occorre comiere er sovraorre il rimo lato dell angolo al secondo è oraria. sserva gli esemi in fig.. Figura 70 V secondo lato 90 rimo lato V secondo lato rimo lato V 0 = 0 rimo lato secondo lato Sesso identificheremo un angolo con la sua misura (in gradi o in radianti); scriveremo er esemio ¼, er indicare che è un angolo la cui misura (in radianti) è, oure ð0, Þ er indicare che è un angolo la cui misura (in radianti) è comresa tra 0e.. Per introdurre angoli maggiori di un angolo giro fissiamo l attenzione su un angolo (orientato) in cui il rimo lato è la semiretta a e il secondo lato è la semiretta, descritto dalla rotazione in senso antiorario della semiretta a. Sia la misura in gradi dell angolo (fig. a). Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

5 Se suoniamo che la semiretta a, nella sua rotazione in senso antiorario, non si fermi la rima volta che raggiunge ma ercorra un giro comleto fino a ritornare nuovamente in, si genera ancora un angolo in cui il rimo lato è a eil secondo lato è, ma a questo nuovo angolo dovremo assegnare una misura che tenga conto del giro in iù fatto. È naturale assegnare a tale angolo la misura (in gradi) di þ 0 (fig. ), dove il segno ositivo tiene conto del fatto che il giro in iù è stato effettuato in senso antiorario. Se la semiretta a ruotasse invece in senso orario fino a raggiungere, allora verree descritto un angolo la cui misura, in gradi, saree 0 : infatti la misura assoluta dell angolo saree 0, mentre la misura relativa è l oosto erché tiene conto del fatto che la rotazione della semiretta a è avvenuta questa volta in senso orario, cioè nel verso negativo (fig. c). Più in generale, se la semiretta a ruota in senso antiorario fino a sovraorsi alla semiretta, in funzione del numero di giri effettuati otterremo angoli le cui misure in gradi sono, ordinatamente:, þ 0, þ 0, þ 0, þ 0, ::: Se invece la semiretta a ruota in senso orario fino a sovraorsi alla semiretta, in funzione del numero di giri effettuati otterremo angoli le cui misure in gradi sono, ordinatamente: 0, 0, 0, 0, ::: Gli infiniti angoli che così si ottengono ossono dunque essere raresentati in forma sintetica con la scrittura: þ k0 al variare di k in Z Se la misura dell angolo fosse esressa in radianti anziché in gradi, la scrittura sintetica saree invece: þ k al variare di k in Z ESEMPI Misure di angoli orientati e di angoli maggiori di un angolo giro Nelle seguenti figure uoi osservare alcune misure di angoli orientati, osti in osizione normale (ricorda che il rimo lato è semre quello sull asse Þ. rova tu Qual è la misura in radianti di un angolo di 0? E di un angolo di 0?. Qual è la misura in gradi di un angolo che, in radianti, misura?edi un angolo che misura 7 8?. Considera due semirette a e, fra loro ortogonali, di origine. La semiretta a (semiretta origine) ruota intorno a in senso antiorario fino a raggiungere, oi effettua, a artire da, altri giri comleti intorno a e si arresta. Quanto misura, in radianti, l angolo così generato?. Risondi a un quesito analogo a quello recedente nel caso in cui la semiretta a ruoti in senso orario. 0 V V 0 V Figura 0 a ESERCIZI Gli esercizi relativi a questo aragrafo sono a. 9 c a a a Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

6 Le funzioni goniometriche In questo secondo aragrafo vedremo come sia ossiile associare a ogni angolo tre numeri, detti seno, coseno e tangente dell angolo, che diendono esclusivamente dall amiezza dell angolo stesso. L introduzione del seno, del coseno e della tangente di un angolo ci consentirà di definire delle nuove funzioni e, come vedremo iù avanti, di mettere in relazione le misure dei lati di un triangolo con le misure dei suoi angoli. Definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo Dato un angolo, riferiamolo a un sistema di assi cartesiani ortogonali in modo che si trovi in osizione normale e tracciamo la circonferenza goniometrica. Il seno, il coseno e la tangente di sono definiti come segue (fig. 7). Figura 7 Funzioni goniometriche di un angolo. m P P P (, 0) seno di = P coseno di = P tangente di = P seno, coseno e tangente di un angolo Dato un angolo in osizione normale, sia P il unto di intersezione del secondo lato dell angolo con la circonferenza goniometrica. Chiamiamo: seno di l ordinata di P; coseno di l ascissa di P; tangente di il raorto tra l ordinata e l ascissa di P. Indicheremo il seno di con il simolo sin, il coseno di con il simolo cos e la tangente di con il simolo tan. Poiché il seno, il coseno e la tangente di un angolo variano in funzione dell angolo, vengono chiamate funzioni goniometriche di. È imortante fare suito alcune osservazioni. Il unto P, le cui coordinate definiscono il coseno e il seno di, viene detto unto associato all angolo. Poiché P aartiene alla circonferenza goniometrica (che è di raggio ), l ascissa di P (cioè il coseno di ) e l ordinata di P (cioè il seno di ) variano tra e, otendo anche essere uguali a oa. Dunque er ogni angolo si ha: sin e cos La tangente di un angolo, essendo definita come raorto tra seno e coseno dell angolo, è definita urché il coseno dell angolo sia diverso da zero: tan ¼ sin cos è definita er tali che cos ¼ 0 P Alcuni testi utilizzano er il seno la notazione sen e er la tangente la notazione tg. Noi aiamo utilizzato le notazioni iù diffuse nella moderna letteratura scientifica; tali notazioni sono anche quelle utilizzate dalle calcolatrici. Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

7 Calcolo delle funzioni goniometriche di un angolo Dato un angolo, come ossiamo determinarne il seno, il coseno e la tangente? In generale, er determinare i valori delle funzioni goniometriche di un angolo qualsiasi isogna ricorrere a una calcolatrice. In alcuni casi articolari, che caitano di frequente, è ossiile tuttavia ricavare le funzioni goniometriche dell angolo direttamente dalla definizione.. Seno, coseno e tangente degli angoli che hanno i lati sugli assi Determiniamo, se esistono, il seno, il coseno e la tangente degli angoli di misura uguale a 0,90, 80, 70. Misura dell angolo (in gradi e in radianti) ¼ 0 ¼ 0 Misura dell angolo (in gradi e in radianti) ¼ 90 ¼ ¼ 80 ¼ ¼ 70 ¼ Funzioni goniometriche Raresentazione grafica Il secondo lato dell angolo coincide con il semiasse delle ositive e incontra la circonferenza goniometrica nel unto Pð, 0Þ, quindi: sin 0 ¼ sin 0 ¼ 0 cos 0 0 ¼ cos 0 ¼ tan 0 ¼ tan 0 ¼ 0 ¼ 0 Funzioni goniometriche Il secondo lato dell angolo coincide con il semiasse delle ositive e interseca la circonferenza goniometrica nel unto Pð0, Þ, quindi: sin 90 ¼ sin ¼ cos 90 ¼ cos ¼ 0 tan 90 ¼ tan ¼ non esiste! 0 La tangente di 90 non è definita, erché non è definita la divisione er 0. Il secondo lato dell angolo coincide con il semiasse delle negative e interseca la circonferenza goniometrica nel unto Pð, 0Þ, quindi: sin 80 ¼ sin ¼ 0 cos 80 ¼ cos ¼ tan 80 ¼ tan ¼ 0 ¼ 0 Il secondo lato dell angolo coincide con il semiasse delle negative e interseca la circonferenza goniometrica nel unto Pð0, Þ, quindi: sin 70 ¼ sin ¼ cos 70 ¼ cos ¼ 0 tan 70 ¼ tan ¼ non esiste! 0 La tangente di 70 non è definita, erché non è definita la divisione er 0. Raresentazione grafica P(, 0) 70 P(0, ) P(0, ) P(, 0) Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara 7

8 . Seno, coseno e tangente degli angoli di 0, e0 Determiniamo il seno, il coseno e la tangente degli angoli di misura uguale a 0, e0. Misura dell angolo (in gradi e in radianti) ¼ 0 ¼ Misura dell angolo (in gradi e in radianti) ¼ ¼ ¼ 0 ¼ Funzioni goniometriche sserviamo che nel triangolo PH è P ¼. Ricordando le relazioni che sussistono tra le misure dei lati di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 0 e0, deduciamo che: PH ¼ e H ¼. Dunque P,, quindi: sin 0 ¼ sin ¼ cos 0 ¼ cos ¼ tan 0 ¼ tan ¼ ffiffiffi Funzioni goniometriche ¼ ffiffiffi ¼ sserviamo che nel triangolo PH è P ¼. Ricordando le relazioni che sussistono tra le misure dei lati di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di, deduciamo che: H ¼ PH ¼ ¼ Dunque P,, quindi: sin ¼ sin ¼ cos ¼ cos ¼ tan ¼ tan ¼ ffiffiffi ¼ sserviamo che nel triangolo PH è P ¼. Ricordando le relazioni che sussistono tra le misure dei lati di un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 0 e0, deduciamo che: H ¼ e PH ¼ Dunque P,, quindi: sin 0 ¼ sin ¼ cos 0 ¼ cos ¼ ffiffiffi tan 0 ¼ tan ¼ ¼ ffiffiffi Raresentazione grafica 0 P H Raresentazione grafica P H 0 H P Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara 8

9 sintesi: funzioni goniometriche di angoli notevoli Angoli con i lati sugli assi cartesiani sin cos tan Non definita Non definita Angoli di 0,,0 sin cos tan 0 0. Seno, coseno e tangente di angoli qualsiasi Vediamo infine come si uò utilizzare una calcolatrice er il calcolo del seno, del coseno della tangente di angoli qualsiasi. ESEMPI Calcolo di funzioni goniometriche tramite la calcolatrice Calcoliamo, ricorrendo a una calcolatrice: a. sin,. cos ð Þ c. tan a. ccorre anzitutto controllare che sul disla della calcolatrice comaia la scritta «DEG»: ciò significa che stiamo lavorando con misure di angoli esresse in gradi. In caso contrario, isogna assare al sistema sessadecimale utilizzato dalla calcolatrice, remendo iù volte sulla calcolatrice il tasto DRG. Una volta che ciò sia stato accertato, digitiamo. e oi remiamo il tasto SIN. tteniamo così che sin, ¼ 0, Arrotondando a meno di un centesimo, ossiamo scrivere che sin, 0,. ccorre reliminarmente trasformare la misura data da gradi, rimi e secondi a gradi decimali. Possiamo effettuare questa oerazione ricordando che: ¼ þ 0 0 þ 0 00 Calcoliamo: þ 0 0 þ 0 00, ttenuto questo valore, è sufficiente remere il tasto CS. La trasformazione da gradi, rimi e secondi a gradi decimali uò essere effettuata anche in modo automatico, se la calcolatrice che stiamo utilizzando ossiede il tasto DMS-DD. In tal caso isogna digitare le cifre dei gradi, oi il unto decimale, quindi far seguire le cifre dei rimi e dei secondi. La 9 Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

10 sequenza di oerazioni da svolgere è quindi la seguente: si digita.00, si reme il tasto DMS-DD e infine il tasto CS. In ogni caso, otterremo: cos ¼ 0,990988::: Arrotondando a meno di un centesimo: cos ,9 c. Controlliamo che sul disla comaia la scritta RAD (in caso contrario, remiamo il tasto DRG finché non comare tale scritta). Poi remiamo la seguente sequenza di tasti: TAN tterremo così: tan ¼, Arrotondando a meno di un centesimo: tan,08 Dalla funzione goniometrica all angolo Se è dato il seno o il coseno o la tangente di un angolo acuto, ossiamo risalire alla misura dell angolo con l aiuto della calcolatrice, come mostriamo nel rossimo esemio. ESEMPI Determiniamo con l aiuto della calcolatrice la misura arossimata, sia in radianti sia in gradi, dell angolo acuto il cui seno è :. Misura in radianti Controlliamo anzitutto che sul disla comaia la scritta RAD. Per determinare l angolo richiesto, devi attivare la funzione inversa del seno, remendo, rima del tasto SIN, il tasto INV o il tasto NDF a seconda della calcolatrice che stai utilizzando. La sequenza di oerazioni che dovrai svolgere è quindi la seguente:. eseguire la divisione. remere il tasto contrassegnato con INV oto NDF. remere il tasto SIN Si ottiene come risultato 0,98909 quindi, arrotondando alla seconda cifra decimale, ossiamo scrivere che 0,.. Misura in gradi Procediamo in modo analogo al caso recedente, con l accortezza erò di imostare all inizio la modalità DEG anziché RAD. Si ottiene che 9,7. Il risultato esresso dalla calcolatrice in gradi decimali, uò oi eventualmente essere convertito in gradi, rimi e secondi. Attenzione! In alcune calcolatrici er attivare le funzioni inverse del seno, del coseno e della tangente occorre utilizzare i tasti sin, cos, tan indicati talvolta con asin, acos, atan. Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara 0

11 Prime rorietà delle funzioni goniometriche Si uò dimostrare che il seno e il coseno di un angolo (qualsiasi) sono legati dalla relazione fondamentale: cos þ sin ¼ In articolare, se è acuto, la giustificazione di questa relazione è immediata: asta alicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PH nella figura 8, osservando che: Figura 8 P ¼ H ¼ cos PH ¼ sin H P (, 0) Notiamo che la relazione fondamentale cos þ sin ¼ consente di determinare il seno di un angolo, se è noto il coseno o, viceversa, di determinare il coseno, se è noto il seno. Dalle definizioni di seno e coseno segue immediatamente che l angolo di misura þ k, con k Z, ha lo stesso seno e lo stesso coseno di, ossia valgono le relazioni: sin ð þ kþ ¼sin e cos ð þ kþ ¼cos Per esrimere questa rorietà, si dice che il seno e il coseno sono funzioni eriodiche di eriodo. Si uò dimostrare inoltre che l angolo di misura þ k, con k Z, hala stessa tangente di, ossia vale la relazione: tan ð þ kþ ¼tan Per esrimere questa rorietà si dice che la tangente è una funzione eriodica di eriodo. rova tu Calcola il valore delle seguenti esressioni: a. sin cos cos þ sin. sin 0 tan sin 0 þ tan I grafici delle funzioni goniometriche ESERCIZI Gli esercizi relativi a questo aragrafo sono a. 0 Aiamo definito le funzioni goniometriche come funzioni che associano a un dato angolo in osizione normale un numero reale (il seno, il coseno o la tangente dell angolo). In ase a queste definizioni il dominio delle funzioni gonio- Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

12 metriche è quindi l insieme formato dagli angoli in osizione normale, con l esclusione degli angoli di misura þ k er la funzione tangente. Vogliamo ora staccarci da questa definizione geometrica e considerare le funzioni seno, coseno e tangente come funzioni reali di variaile reale. Il assaggio dagli angoli ai numeri reali è naturale ed è già stato imlicitamente comiuto nei aragrafi recedenti, ogniqualvolta aiamo identificato un angolo con la sua misura. Saiamo infatti che er ogni numero reale esiste uno e un solo angolo (orientato) la cui misura, in radianti, è. Possiamo quindi definire le tre funzioni: ¼ sin ; ¼ cos ; ¼ tan che, dato un numero reale, associano a esso risettivamente il seno, il coseno e la tangente dell angolo la cui misura, in radianti, è. In questo aragrafo studiamo le rorietà di queste funzioni e ne tracciamo il grafico nel iano cartesiano. La funzione ¼ sin Studiamo inizialmente la funzione ¼ sin. Saiamo che il seno è eriodico di eriodo, quindi è sufficiente tracciare il grafico di ¼ sin nell intervallo ½0, Š e oi comletare il grafico su tutto l asse reale tenendo conto della eriodicità. Costruiamo anzitutto la taella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli del seno, aiamo elencato le coordinate di alcuni unti aartenenti al grafico della funzione. 0 ¼ sin La taella mostra, come aiamo già osservato nel Paragrafo studiando come varia il seno, che: quando cresce da 0 a il valore di ¼ sin cresce da 0 a ; quando cresce da a il valore di ¼ sin decresce da a 0; quando cresce da a il valore di ¼ sin decresce da 0 a ; quando cresce da a il valore di ¼ sin cresce da a0. Tracciando la curva che assa er i unti le cui coordinate sono riortate in taella otteniamo il grafico della funzione seno nell intervallo ½0, Š (fig. 9). Figura 9,,, 7,, = sin 0, 0 Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

13 Rietendo il grafico di ¼ sin in tutti gli intervalli di lunghezza recedenti e successivi a ½0, Š otteniamo il grafico della funzione seno (detto sinusoide) su tutto l asse reale (fig. 0). Figura 0 m,, = sin,, rorietà della funzione ¼ sin a. La funzione ¼ sin è definita er ogni valore reale di, quindi il suo dominio è R; èeriodica di eriodo.. La funzione ¼ sin interseca l asse in infiniti unti, di ascissa ¼ k; la funzione seno ha quindi infiniti zeri. c. Il grafico della funzione ¼ sin è simmetrico risetto all origine, quindi la funzione ¼ sin è disari. d. La funzione ¼ sin ha come immagine l intervallo [, ], quindi è limitata. e. Vi sono infiniti unti, di ascissa ¼ þ k, in cui la funzione ¼ sin assume valore massimo (uguale a ) e infiniti, di ascissa ¼ þ k, in cui assume valore minimo (uguale a ). La funzione ¼ cos Anche er tracciare il grafico della funzione ¼ cos ci limitiamo inizialmente a considerare l intervallo ½0, Š. Costruiamo a questo roosito la taella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli del coseno, aiamo riortato le coordinate di alcuni unti aartenenti al grafico della funzione. 0 ¼ cos 0 La taella mostra che: quando cresce da 0 a il valore di ¼ cos decresce da a 0; quando cresce da a il valore di ¼ cos decresce da 0 a ; quando cresce da a il valore di ¼ cos cresce da a0; quando cresce da a il valore di ¼ cos cresce da 0 a. Tracciando la curva che assa er i unti aventi le coordinate in taella otteniamo il grafico della funzione coseno nell intervallo ½0, Š (fig. ). (0, ),, = cos 0, (, ), (, ) Figura 0 Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

14 Rietendo il grafico di ¼ cos in tutti gli intervalli di lunghezza recedenti e successivi a ½0, Š otteniamo il grafico della funzione coseno (detto cosinusoide) su tutto l asse reale (fig. ). Figura m (,) (0, ) (, ) (, ) = cos (,) rorietà della funzione ¼ cos a. La funzione ¼ cos è definita er ogni valore reale di, quindi il suo dominio è R; èeriodica di eriodo.. La funzione ¼ cos interseca l asse in infiniti unti di ascissa ¼ þ k, quindi ha infiniti zeri. c. Il grafico della funzione ¼ cos è simmetrico risetto all asse, quindi la funzione ¼ cos è ari. d. La funzione ¼ cos ha come immagine l intervallo [, ], quindi è limitata. e. Vi sono infiniti unti, di ascissa ¼ k, in cui la funzione ¼ cos assume valore massimo (uguale a ) e infiniti unti, di ascissa ¼ þ k, in cui assume valore minimo (uguale a ). La funzione ¼ tan Tracciamo ora il grafico della funzione ¼ tan. Saiamo che la tangente è eriodica di eriodo, quindi asterà tracciarne il grafico nell intervallo, e comletare oi tale grafico su tutto l asse reale tenendo conto della eriodicità. Costruiamo anzitutto la taella seguente in cui, ricordando alcuni valori notevoli della tangente, aiamo determinato le coordinate di alcuni unti aartenenti al grafico della funzione ¼ tan nell intervallo rescelto. ¼ tan ffiffiffi 0 0 Come aiamo osservato nel Paragrafo studiando le variazioni della tangente di un angolo: quando cresce da retta di equazione ¼ quando cresce da 0 a a 0 il valore di ¼ tan cresce da a 0, erciò la è un asintoto verticale er la funzione; il valore di ¼ tan cresce indefinitamente, da 0 a Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara þ, erciò la retta di equazione ¼ è un asintoto verticale er la funzione.

15 Tenendo conto di queste osservazioni e dei unti er cui assa il grafico della funzione forniti dalla taella (oortunamente arossimati), ossiamo tracciarne il grafico (fig. ). Rietendo il grafico di ¼ tan in tutti gli intervalli di lunghezza (recedenti e successivi a, Þ otteniamo infine il grafico della funzione tangente (detto tangentoide) su tutto l asse reale (fig. ). = tan < <,,, =,,, = = Figura Figura m = = tan = = rorietà della funzione ¼ tan a. La funzione ¼ tan è definita er ogni ¼ þ k, quindi il suo dominio n è Rn o þ k ;èuna funzione eriodica di eriodo.. La funzione ¼ tan interseca l asse in infiniti unti, di ascissa ¼ k, quindi ha infiniti zeri. c. La funzione ¼ tan resenta infiniti asintoti verticali, di equazioni ¼ þ k. d. Il grafico della funzione ¼ tan è simmetrico risetto all origine; ossia la funzione ¼ tan è disari. e. La funzione ¼ tan ha come immagine tutto R, quindi non è una funzione limitata. rova tu Traccia, er unti, il grafico delle seguenti funzioni, nell intervallo indicato a fianco.. ¼ sin in ½0, Š. ¼ cos in ½0, Š. ¼ tan in, [Suggerimento: nella taella dei valori di e che devi costruire er tracciare il grafico della funzione, assegna a i valori 0,,,, er le funzioni ESERCIZI e e i valori,,0,, Gli esercizi relativi er la funzione.] a questo aragrafo sono a. Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

16 I teoremi sui triangoli rettangoli In recedenza aiamo introdotto le funzioni goniometriche degli angoli e aiamo studiato alcune delle loro rorietà. ra inizieremo lo studio della trigonometria, cioè di quella arte della matematica che tratta le relazioni fra le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo. Premettiamo che d ora in avanti adotteremo le seguenti convenzioni er indicare gli elementi di un triangolo di vertici A, e C (fig. ): con le lettere minuscole a,, c indicheremo le misure dei lati oosti, risettivamente, ai vertici A,, C; con le lettere greche,, indicheremo gli angoli aventi vertici, risettivamente, in A,, C, o le loro misure. I teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli Iniziamo la nostra eslorazione della trigonometria a artire da una figura geometrica en nota: il triangolo rettangolo. Suoniamo che il triangolo aia l angolo retto in A e indichiamo le misure dei lati e degli angoli secondo le convenzioni stailite (fig. ). Riferiamo il triangolo a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale risetto al quale l angolo si trovi in osizione normale; indichiamo con P il unto in cui la semiretta C interseca la circonferenza goniometrica e con H la roiezione di P sull asse. A seconda che la misura dell iotenusa del triangolo sia minore o maggiore di si ossono ottenere i due casi raresentati nelle figg. 7a e 7. a Figura 7 β A cosβ C P H sinβ a β cosβ H c P γ sinβ In entrami i casi (fai riferimento alla seconda delle figure), il triangolo AC è simile al triangolo HP (erché?), quindi ossiamo scrivere la roorzione: a ¼ sin da cui si ricava: AC : C ¼ PH : P ¼ a sin [] Analogamente si otree dimostrare che: C A A Figura C γ A Figura C γ c a c β a β Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara ¼ a cos []

17 Riflettiamo ora sulle due uguaglianze [] e [], osservando la fig. 8. C Angolo acuto adiacente a Figura 8 Ci ossiamo rendere conto che: ¼ a sin misura di misura seno dell angolo un cateto dell iotenusa oosto al cateto ¼ a cos A γ a c β Angolo acuto oosto a misura di misura coseno dell angolo un cateto dell iotenusa acuto adiacente al cateto Ragionando in modo del tutto simile si otree rovare che valgono analoghe relazioni circa la misura c dell altro cateto. Vale quindi il seguente teorema. Primo teorema sui triangoli rettangoli TEREMA In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell iotenusa moltilicata er il seno dell angolo oosto al cateto, o moltilicata er il coseno dell angolo acuto adiacente al cateto. Dal teorema seguono in articolare le due uguaglianze: ¼ a sin c ¼ a cos Dividendole memro a memro otteniamo: c ¼ a sin a cos ¼ tan cioè: ¼ c tan [] Riflettendo sulla [], osservando ancora la fig. 8, ci rendiamo conto che: ¼ c tan misura di misura tangente dell angolo un cateto dell altro cateto oosto al rimo cateto Ragionando in modo del tutto simile si otree rovare che valgono analoghe relazioni circa la misura c dell altro cateto. Vale quindi il seguente teorema. Secondo teorema sui triangoli rettangoli TEREMA In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell altro cateto moltilicata er la tangente dell angolo oosto al rimo cateto. Risoluzione di un triangolo rettangolo I teoremi sui triangoli rettangoli ossono essere utilizzati sia er determinare le misure dei lati di un triangolo rettangolo, sia (inversamente) er risalire alle misure degli angoli acuti di un triangolo rettangolo. Ciò consente di risolvere un 7 Introduzione alla trigonometria f 00 De Agostini Scuola SA Novara

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