L integrazione delle funzioni razionali fratte

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1 L integrazione dee funzioni razionai fratte Ci occuiamo de integrazione dee funzioni f ðxþ che si resentano nea forma x ð Þ essendo x ð Þe Bx ð Þ due oinomi. Ricordiamo che una frazione agebrica si dice: roria se i grado de numeratore è minore di queo de denominatore imroria in caso contrario. Una frazione imroria uò semre essere esressa come a somma di un oinomio con una frazione agebrica roria. Per esemio, a frazione x þ x þ 7, eseguendo a divisione fra i due oinomi riortata a ato, assume a forma x þ 4 þ x þ. x x x þ x þ x þ x þ 7 x þ 4 In generae quindi, dati due oinomi x ð Þe risettivamente di grado m e n, conm n, èsemre ossibie scrivere a frazione x ð Þ nea forma x ð Þ ¼ Qx Rx ð Þþ ð Þ dove Qx ð Þ è i quoziente dea divisione ed Rx ð Þ i resto. Poiché i grado di Rx ð Þ è minore di queo di a frazione Rx ð Þ è semre una frazione roria. Questo significa che i cacoo de integrae indefinito di una frazione imroria è ricondotto a quei di un oinomio e di una frazione roria: x ð Þ Rx ð Þ dx ¼ Qx ð Þdx þ dx Vediamo aora come si integra una frazione roria. 4x þ 7 4x 4 L integrazione dee frazioni rorie Per integrare una frazione roria si attuano rocedimenti diversi a seconda dea forma dea frazione e dee sue caratteristiche; vediamo e rinciai. n Funzioni dea forma ax þ b con a 6¼ 0 L integrae di questa funzione ci è già noto ed è immediato ax þ b dx ¼ a a ax þ b dx ¼ n ax þ b a j jþc Integrai Q ISTITUTO ITLINO EDIIONI TLS

2 Per esemio: x dx ¼ n j x j x þ 4 dx ¼ x þ 4 dx ¼ n j x þ 4 j n Funzioni dea forma con k > 0 ^ k 6¼ ^ a 6¼ 0 ðax þ bþ k La funzione uò essere integrata come una otenza: ðax þ bþ dx ¼ k Per esemio: ðax þ bþ k dx ¼ a ðx Þ dx ¼ aðax þ bþ k dx ¼ a k þ ðax þ bþ kþ ðx Þ dx ¼ þ ðx Þ þ þc ¼ ðx Þ Con questo metodo si uò integrare anche una funzione non razionae come ad esemio: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x ð þ 4Þ dx ¼ ðx þ 4Þ ðx þ 4Þ þ þc ¼ þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 4 n Funzioni dea forma mx þ n ax þ bx Per integrare questa funzione occorre distinguere tre casi a seconda de discriminante de denominatore. I caso: i discriminante è nuo Questo significa che i oinomio a denominatore è i quadrato di un binomio e ci si uò ricondurre quindi a forme note. Per esemio: x 6x þ 9 dx ¼ ðx Þ dx ¼ ðx Þ dx ¼ x x x þ 4 4 x þ 4x þ 4 dx ¼ x þ 4x þ 4 dx ¼ ðx þ Þ dx 7 ðx þ Þ dx ¼ njx þ jþ 7 ðx þ Þ x þ x þ 4 dx x þ 4x þ 4 7 ðx þ Þ dx ¼ II caso: i discriminante è ositivo Questo significa che i oinomio a denominatore si uò scomorre ne rodotto di due fattori di rimo grado; ossiamo aora vedere a funzione integranda come i risutato dea somma di due frazioni rorie aventi come denominatori tai fattori. Vediamo come si deve rocedere mediante quache esemio. x þ x 6 dx scomonendo i denominatore otteniamo ðx Þðx þ Þ Se e souzioni de equazione ax þ bx ¼ 0 sono x ex, si ha che ax þ bx ¼ aðx x Þðx x Þ Integrai Q ISTITUTO ITLINO EDIIONI TLS

3 e dobbiamo cercare due numeri e B tai che sia x þ B x þ ¼ ðx Þðx þ Þ er trovari sommiamo e due frazioni a rimo membro xþ ð ÞþBx ð Þ ðx Þðx þ Þ svogendo i cacoi a numeratore e raggruando i termini in x e i termini noti abbiamo ð þ BÞx þ ð BÞ ðx Þðx þ Þ La frazione ottenuta è uguae a quea data se i numeratori sono identicamente uguai, cioè se ( þ B ¼ 0 uguagianza fra i coefficienti di x B ¼ uguagianza fra i termini noti vae a dire, risovendo i sistema, se ¼ ^ B ¼. In definitiva x þ x þ 6 ¼ x þ x þ È ora immediato i cacoo de integrae dea funzione data: x þ x 6 dx ¼ x dx dx ¼ n jx j n jx þ j ¼ n x x þ x þ Princiio di identità dei oinomi: due oinomi sono identici se hanno o stesso grado e se sono uguai i coefficienti dei termini deo stesso grado. III caso: i discriminante è negativo nche in questo caso iustriamo come rocedere mediante un esemio. x þ x þ dx Possiamo vedere i oinomio a denominatore come somma de quadrato di un binomio con un numero reae in questo modo: x þ x þ ¼ x þ x þ þ 4 ¼ ðx þ Þ þ4 ¼ ðx þ Þ þ4 e scrivere quindi integrae nea forma x þ x þ dx ¼ ðx þ Þ þ4 dx f 0 ðxþ da cui, tenendo resente a regoa di integrazione ½f ðxþš þk dx ¼ ffiffiffi k Se < 0, i trinomio ax þ bx si uò vedere come somma di due quadrati in questo modo: " a x þ b # þ a 4a arctan f ðxþ ffiffiffi otteniamo: k In definitiva: arctan x þ x þ x þ dx ¼ arctan x þ. Integrai Q ISTITUTO ITLINO EDIIONI TLS

4 ESERCII 4 Cacoa i seguenti integrai in cui a funzione integranda ha a forma ðax þ bþ. k ðx þ Þ dx x 4 dx 8ðx þ Þ ; n jx 4jþc 4 x þ dx ðx þ Þ dx n jx þ jþc; x þ ð4x Þ 4 dx x 4x þ 4 dx ; ð 4xÞ x Cacoa i seguenti integrai in cui a funzione integranda ha a forma mx þ n ax þ bx. x x þ x þ 6 dx I discriminante de oinomio a denominatore è ositivo e scomonendoo otteniamo che: x x þ x þ 6 ¼ x ðx þ Þðx þ Þ Dobbiamo quindi riscrivere a funzione integranda nea forma: x þ þ B x þ Svogiamo i cacoi: Deve quindi essere: In definitiva: x x þ x þ 6 dx ¼ x þ þ B x þ ¼ xþ ð ÞþBxþ ð Þ ¼ xþ ð B Þþ ð þ B Þ ðx þ Þðx þ Þ ðx þ Þðx þ Þ þ B ¼ þ B ¼ cioè 7 x þ þ 0 dx ¼ 7 x þ ¼ 7 B ¼ 0 dx þ 0 x þ x þ dx ¼ ¼ 7njx þ jþ 0njx þ j 6 7 x x dx x 9 dx x þ x dx x þ x dx x þ 6x þ 9 dx x þ x þ dx n jx j n jxjþ n jx jþc; njxj n jx þ jþc 6 n jx j n jx þ jþc; 6 x þ n jx þ jþc; njx þ j n jx þ jþc 8 x 6x þ 0 dx I discriminante de oinomio a denominatore è negativo; dobbiamo quindi cercare di scrivere i de- Integrai Q ISTITUTO ITLINO EDIIONI TLS

5 nominatore come somma de quadrato di un binomio con un numero ositivo: L integrae roosto diventa: x þ x þ 6 dx 4x þ 4x þ 0 dx x þ x þ dx x x þ x dx x þ 4x 4x þ dx x þ x þ x dx x 6x þ 0 ¼ x 6x þ 9 þ ¼ ðx Þ þ ðx Þ þ x x þ 6 dx x þ x þ 4 dx 6 x x x þ 6 dx x þ x x dx ¼ arctan ð x Þ ffiffiffi arctan x þ ffiffiffi ffiffiffi ; arctan x ffiffiffi arctan x þ ; ffiffiffiffiffi arctan x ffiffiffiffiffi þ ½ arctan ðx þ Þþc; njx j njx jþc Š dx 4n j x þ j n jxj; n j x j n j x þ j x þ x 4 dx 4 n jx j 4ðx Þ ; n x 4 j jþ 4 n jx þ jþ c x x 6x þ 9 dx 8 n jx jþ n jx þ 4jþc; njx j x x þ x 4 dx x I numeratore ha grado maggiore de denominatore; eseguendo a divisione otteniamo: x þ þ 6 dx ¼ x x þ x þ 6n jx j 6 7 x 4 x þ dx x þ x x þ dx x dx x 7n x þ x þ j j; n x þ 4 j j x x x dx x þ x n jx þ j; x þ 4x þ n jx j Integrai Q ISTITUTO ITLINO EDIIONI TLS