Il piano cartesiano, la retta e le funzioni di proporzionalità

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1 MATEMATICAperTUTTI I piano cartesiano, a retta e e funzioni di proporzionaità ESERCIZIO SVOLTO I piano cartesiano. Per fissare un sistema di riferimento ne piano si considerano due rette orientate fra oro perpendicoari e si fissa su ognuna di esse un sistema di ascisse avente come origine i oro punto di intersezione; se unità di misura fissata è a stessa per e due rette i sistema si dice monometrico, atrimenti dimetrico. Convenzionamente un asse viene disegnato orizzontae e prende i nome di asse dee ascisse o asse x, atro si disegna verticae e prende i nome di asse dee ordinate o asse y. In questo modo ad ogni punto de piano viene associata una coppia ordinata di numeri ðx, yþ e, viceversa, ad ogni coppia ordinata di numeri resta associato un soo punto. Per esempio, nea figura a ato sono rappresentati i punti Að, Þ, Bð, Þ, Cð, 3Þ, Dð3, Þ. ESERCIZIO GUIDATO Ricordiamo che: n a misura di un segmento AB di estremi Aðx A, y A Þ, Bðx B, y B Þ,èdata daa reazione qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ ðx B x A Þ þðy B y A Þ Se poi i segmento AB è paraeo ad uno degi assi coordinati, a formua si sempifica e diventa: AB ¼jx B x A j se i segmento è paraeo a asse x AB ¼jy B y A j se i segmento è paraeo a asse y x n i punto medio M de segmento AB ha coordinate A þ x B y, A þ y B Per esempio, dati i punti A,, B 3, 3, C 3,, cacoiamo e misure dei segmenti AB, AC, BC e e coordinate dei oro punti medi: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p AB ¼ ð3 Þ þ 3 ffiffiffi p ¼ ffiffiffi 9 ¼ 3 AC ¼j3 j ¼ perché i punti A e C, avendo a stessa ordinata, individuano un segmento paraeo a asse x

2 BC ¼j 3 j¼ perché i punti B e C, avendo a stessa ascissa, individuano un segmento paraeo a asse y Punto medio M de segmento AB M þ 3 þ 3, Punto medio N de segmento AC N þ 3 þ, Punto medio S de segmento BC S 3 þ 3 p 3 ffiffiffi þ, cioè M, cioè N, p cioè S 3, ffiffiffi 3 Dopo aver rappresentato in un sistema di riferimento monometrico ciascuno dei punti indicati, competa a frase ad essi reativa: a. Að, 0Þ; tutti i punti che hanno ordinata nua, appartengono... b. Bð0, 4Þ; tutti i punti che hanno ascissa nua, appartengono... c. Cðþ3, þ 4Þ; tutti i punti che hanno entrambe e coordinate positive appartengono... d. Dð 4, 3Þ; tutti i punti che hanno entrambe e coordinate negative appartengono... e. Eð, þ Þ; tutti i punti che hanno ascissa negativa e ordinata positiva appartengono... f. Fðþ3, 4Þ; tutti i punti che hanno ascissa positiva e ordinata negativa appartengono... 4 I punti Að, 3Þ, Bð3, Þ, Cð3, Þ individuano un triangoo; cacoa: a. i suo perimetro b. e coordinate dei punti medi dei suoi ati c. a unghezza dee mediane de triangoo. De triangoo isoscee ABC di base BC si sa che Bð 4, 3Þ, Cð0, Þ; si sa inotre che i punto medio M de ato AB ha coordinate, 9. Trova e coordinate de vertice A e a misura de perimetro de triangoo. 6 Dato i triangoo ABC di vertici Að, Þ, Bð, Þ, Cð6, 3Þ, verifica che è isoscee e determinane i perimetro e area. 7 ESERCIZIO SVOLTO La retta ne piano cartesiano. Abbiamo visto che ad una retta corrisponde sempre un equazione ineare nee due variabii x e y; in particoare si ha che: n un equazione de tipo x ¼ k n un equazione de tipo y ¼ h n un equazione de tipo y ¼ mx n un equazione de tipo y ¼ mx þ q rappresenta una retta paraea a asse y rappresenta una retta paraea a asse x rappresenta una retta passante per origine de sistema di riferimento rappresenta una retta generica non paraea a asse y I parametro m, che non esiste per e rette paraee a asse y, è i coefficiente angoare dea retta ed è un indicatore de incinazione dea retta rispetto aa direzione positiva de asse dee ascisse (figura a di pagina seguente):

3 n se m è negativo a retta forma un angoo ottuso con a direzione positiva de asse dee ascisse n se m ¼ 0 a retta è paraea a asse x n se m è positivo a retta forma un angoo acuto con a direzione positiva de asse dee ascisse. I parametro q rappresenta ordinata de punto di intersezione dea retta con asse dee ordinate e prende i nome di ordinata a origine (figura b). Per esempio (figura c): equazione a : x ¼ rappresenta una retta paraea a asse y equazione b : y ¼ 3 rappresenta una retta paraea a asse x (coefficiente angoare uguae a zero) 3 equazione c : y ¼ x rappresenta una retta per origine di coefficiente angoare 3 equazione d : y ¼ x rappresenta una retta di coefficiente angoare e ordinata a origine Quando equazione di una retta è data nea forma ax þ by þ c ¼ 0, si dice che è espressa in forma impicita; quando è data nea forma y ¼ mx þ q si dice che è espressa in forma espicita; si può passare da una forma a atra mediante sempici cacoi. Per esempio: equazione in forma impicita 3x 4y þ ¼ 0 equazione in forma espicita corrispondente si ottiene ricavando espressione di y : y ¼ 3 4 x þ 4 Figura a. b. c. equazione in forma espicita y ¼ 3x equazione in forma impicita corrispondente si ottiene trasportando tutti i termini a primo membro e cacoando eventuamente i m.c.m. fra i denominatori: 6x y ¼ 0. 8 Individua a tipoogia dee rette che hanno e seguenti equazioni; trova, quando esistono, i coefficiente angoare e ordinata a origine e traccia i oro grafico: a. 3x ¼ 0 b. y þ ¼ 0 c. y ¼ 3 4 x d. x þ 3y ¼ 0 e. 3y ¼ 0 f. y ¼ x 9 ESERCIZIO GUIDATO Se di una retta sono note e coordinate di due punti, P ðx, y Þ e P ðx, y Þ, i coefficiente angoare m dea retta passante per P e P è dato daa seguente reazione: m ¼ y y x x 3

4 Per esempio, i coefficiente angoare dea retta che passa per i punti di coordinate ð3, Þ e ð, Þ è: m ¼ 3 ¼ 3 Cacoa ora da soo i coefficiente angoare dee rette che passano per e seguenti coppie di punti: a. Að0, Þ Bð, 3Þ b. Pð, Þ Qð 3, Þ c. R, 3 Sð, Þ Ricordiamo poi a condizione di paraeismo e quea di perpendicoarità di due rette di coefficienti angoari m e m 0 : n due rette sono paraee se e soo se m ¼ m 0 n due rette sono perpendicoari se e soo se m m 0 ¼ cioè m 0 ¼ m Individua se e seguenti coppie di rette sono paraee, perpendicoari o se non si trovano in nessuna di queste situazioni: r : 3x 6y ¼ s : x y þ ¼ 0 r : x 3y ¼ s : 3x þ y ¼ 0 r : x þ y ¼ 4 s : x y 3 ¼ 0 r : x þ y þ ¼ 0 s : y þ x 3 ¼ 0 r : 3x 3y ¼ s : 3x 3y ¼ r : x þ 3 ¼ 0 s : y ¼ 0 0 ESERCIZIO GUIDATO Ricordiamo infine e formue che permettono di scrivere equazione di una retta conoscendo: n e coordinate ðx 0, y 0 Þ di un suo punto ed i coefficiente angoare m : y y 0 ¼ mðx x 0 Þ n e coordinate ðx, y Þ e ðx, y Þ di due suoi punti: y y y y ¼ x x x x La seconda formua non è utiizzabie se a retta è paraea a asse x o a asse y. Per esempio: a retta che passa per i punto di coordinate ð, Þ ed ha coefficiente angoare ha equazione: y þ ¼ ðx Þ cioè y ¼ x 6 a retta che passa per i punti di coordinate ð, 3Þ e ð, Þ ha equazione: y 3 3 ¼ x þ þ cioè x þ 3y 4 ¼ 0 Scrivi equazione dea retta che passa per i punto Pð 3, Þ ed ha coefficiente angoare ; scrivi poi equazione dea retta che passa per i punti Að0, Þ e Bð, Þ. 4

5 Scrivi equazione dea retta che passa per i punto Pð0, 3Þ ed è paraea aa bisettrice de primo e terzo quadrante. (Suggerimento: i coefficiente angoare dea retta è uguae a...) Scrivi equazione dea retta che passa per i punto Að, 4Þ ed è perpendicoare aa retta di equazione x þ y ¼ 0. 3 Scrivi equazione dea retta che passa per i punti di coordinate ð, Þ e ð, 6Þ. 4 Scrivi equazione dea retta che passa per i punto Pð, 4Þ e per i punto Q in cui a retta di equazione y þ x þ ¼ 0 interseca asse y. Scrivi equazione dea retta che passa per i punto Að0, 3Þ ed è perpendicoare aa retta passante per i punti Pð, Þ e Qð3, Þ. (Suggerimento: trova i coefficiente angoare dea retta PQ con a formua y y e poi scrivi equazione dea retta) x x 6 ESERCIZIO GUIDATO Ricordiamo che per determinare e coordinate de punto di intersezione di due rette si deve risovere i sistema formato dae oro equazioni; in particoare: se i sistema è determinato e rette sono incidenti se i sistema è indeterminato e rette sono coincidenti se i sistema è impossibie e rette sono paraee e distinte. Trova, se esiste, i punto di intersezione dee rette che hanno e seguenti equazioni: a. r : x þ y 7 ¼ 0 s : 3x þ y þ ¼ 0 b. r : x 3y ¼ 0 s : x þ 6y þ ¼ 0 c. r : y ¼ 0 s : x þ 3 ¼ 0 7 Trova e coordinate dei vertici de triangoo i cui ati appartengono ae rette di equazioni 3x y ¼ 0, x þ 4y þ 4 ¼ 0, x 6y þ 8 ¼ 0. 8 ESERCIZIO SVOLTO La distanza de punto Pðx 0, y 0 Þ daa retta di equazione ax þ by þ c ¼ 0èdata daa formua jax 0 þ by 0 þ cj ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ b Ricordiamo che, per appicare correttamente tae formua, equazione dea retta deve essere data in forma impicita. Per esempio, cacoiamo a distanza de punto Pð3, 4Þ daa retta di equazione y ¼ 3x þ 6. Scriviamo equazione dea retta in forma impicita: 3x þ y 6 ¼ 0 j3 3 þ 4 6j Appichiamo a formua: ffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ p 7 ffiffiffiffiffi ¼ 7 p ffiffiffiffiffi 0 9 þ Cacoa a distanza de punto Pð 3, Þ daa retta di equazione x þ y ¼ 0. 0 Le rette di equazioni r : y ¼ x, s : y ¼ x þ 7, t : y ¼, v : y ¼ x intersecandosi individuano un quadriatero. Verifica che si tratta di un trapezio e cacoane i perimetro e area.

6 Cacoa area de triangoo di vertici Að0, 3Þ, Bð, Þ, Cð, Þ. (Suggerimento: sceta a base, per esempio, i ato BC, devi determinare atezza ad essa reativa, quindi devi cacoare a distanza de vertice A daa retta BC ) ESERCIZIO SVOLTO Le funzioni di proporzionaità. Ricordiamo che due grandezze variabii x ed y si dicono direttamente proporzionai quando i oro rapporto è costante, cioè y ¼ m o equivaentemente y ¼ mx, con m x costante di proporzionaità diversa da zero; a reazione data è graficamente rappresentata da una retta passante per origine. La reazione di proporzionaità inversa fra due grandezze variabii x ed y si esprime, invece, con equazione: xy ¼ k o equivaentemente y ¼ k x con k 6¼ 0 che rappresenta un iperboe equiatera i cui grafico ha a forma indicata nea figura a ato a seconda che sia k > 0 oppure k < 0. Per tracciare i grafico di un iperboe equiatera, per esempio, queo corrispondente a equazione y ¼ 9, si determinano e coordinate di x acuni punti: x y Sappiamo, invece, che se a grandezza variabie y è direttamente proporzionae a quadrato dea grandezza variabie x a reazione che ega e due variabii mediante una costante di proporzionaità k è a seguente: y x ¼ k o equivaentemente y ¼ kx con k 6¼ 0 L equazione y ¼ kx esprime una proporzionaità quadratica che graficamente corrisponde ad una curva ne piano cartesiano detta paraboa. Tae curva passa per origine degi assi e tae punto è detto vertice dea paraboa. Inotre se k > 0 a paraboa ha a concavità verso ato, se k < 0 a concavità è rivota verso i basso. Per tracciare i grafico di una paraboa, per esempio, de tipo y ¼ 3x, si determinano e coordinate di acuni punti: x 0 y

7 Facciamo un utima osservazione. y ¼ mx (m 6¼ 0) y ¼ k x (k 6¼ 0) y ¼ kx (k 6¼ 0) Daa figura notiamo che e curve ne piano cartesiano che esprimono a proporzionaità diretta, inversa e quadratica e cioè rispettivamente a retta (per origine), iperboe e a paraboa (con vertice ne origine) vengono intersecate, da rette paraee a asse y, in un soo punto; siamo, dunque, di fronte a grafici di particoari funzioni, cioè di reazioni che associano ad ogni x reae uno ed un soo y reae. Possiamo concudere che e tre reazioni di proporzionaità che abbiamo richiamato brevemente sono in reatà dee funzioni, dette rispettivamente funzione di proporzionaità diretta, inversa e quadratica. 3 Costruisci i grafici dee seguenti funzioni di proporzionaità: a. y ¼ x b. y ¼ 4 x e. y ¼ x f. y ¼ x g. c. y ¼ 6 x y x ¼ d. y ¼ 3 x 4 Un certo bene viene venduto a E 3 a pezzo; indicando con x i numero di pezzi venduti e con y i corrispondenti ricavi, scrivi a reazione che ega e due variabii e rappresentaa graficamente. Un triangoo ha area di cm ; se a misura dea base è x e quea de atezza è y, scrivi a reazione che ega e due variabii e rappresentaa graficamente. Risutati di acuni esercizi. ffiffi ffiffi 4. 4 þ 9 þ 6; b.,, ð3, Þ,,4 ; c.. Að3, 6Þ; p ¼ ffiffiffiffiffi 8 p þ 4 ffiffi p ffiffiffiffiffi 89 6,, 4 p 9. pðabcþ ¼ 0 ffiffiffi p ffiffiffi 4 þ ; areaðabcþ ¼ 0. x þ y þ ¼ 0; 3x y 0 ¼ 0. y ¼ x þ 3. y ¼ x 6 3. x ¼ 4. y ¼ 6x. 7y þ x þ ¼ 0 6. a. 4, ; b. paraee; c. 3, 7. ð, Þ, ð 4, 4Þ, ð0, Þ 9. 9 p ffiffiffi p 0. p ¼ þ 4 ffiffiffi ; area ¼ y ¼ 3x, retta per origine. xy ¼ 4, iperboe equiatera 7