Le funzioni goniometriche

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1 CAPITOLO 1 MATEMATICA PER LA FISICA Le funzioni goniometriche Obiettivi definire e funzioni goniometriche fondamentai in riferimento ai triangoi rettangoi e aa circonferenza goniometrica risovere triangoi rettangoi 1. ANGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 1.1 Le funzioni goniometriche nei triangoi rettangoi Intraprendere o studio dea Fisica puoá essere difficotoso se non si hanno a disposizione acuni strumenti matematici, quai e equazioni, e funzioni, a rappresentazione cartesiana dee curve, i grafici; tutti questi argomenti vengono acquisiti man mano ne primo biennio, ma per poter comprendere megio acuni concetti, eá opportuno avere conoscenze reative ae reazioni che intercorrono fra i ati e gi angoi di un triangoo. Lo scopo di questo capitoo eá queo di competare queste conoscenze di base a fine di rendere piuá sempice o studio dea Fisica. Dato un triangoo ABC rettangoo in C, consideriamo 'insieme di tutti i triangoi che sono ad esso simii (in figura 1 ne sono rappresentati acuni); anche se e unghezze dei ati sono diverse nei vari triangoi, a oro simiitudine ci consente di affermare che si mantiene costante i rapporto fra i ati corrispondenti (e quindi anche queo fra e oro misure rispetto ad una stessa unitaá), cioeá: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 14 Figura 1 rapporto tra un cateto e 'ipotenusa: rapporto tra 'atro cateto e 'ipotenusa: rapporto tra i due cateti: CB AB ˆ C 0 B 0 AB 0 ˆ C 00 B 00 AB 00 ˆ ::::::::: AC AB ˆ AC 0 AC 00 ˆ ˆ ::::::::: AB 0 AB 00 CB AC ˆ C 0 B 0 AC 0 ˆ C 00 B 00 AC 00 ˆ ::::::::: Queo che caratterizza questi triangoi eá quindi 'ampiezza degi angoi, che eá a stessa in ciascuno di essi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1

2 Si puoá aora pensare di dare un nome a tai rapporti in modo che sia evidente che essi non dipendono da particoare triangoo sceto, ma soo dae ampiezze degi angoi acuti di uno quasiasi di essi. Consideriamo aora un triangoo ABC rettangoo in C e chiamiamo con 'angoo acuto di vertice A (figura ); diamo e seguenti definizioni: Figura n seno de'angoo, e scriviamo sin, i rapporto fra i cateto opposto ad e 'ipotenusa: sin ˆ BC AB n coseno de'angoo, e scriviamo cos, i rapporto fra i cateto adiacente ad e 'ipotenusa: cos ˆ AC AB n tangente de'angoo, e scriviamo tan, i rapporto fra i cateto opposto ad ed i cateto adiacente: tan ˆ BC AC. Per esempio, se AC ˆ 6, BC ˆ 8 e di conseguenza AB ˆ 10, si ha che: sin ˆ BC AB ˆ 8 10 ˆ 4 cos ˆ AC AB ˆ 6 10 ˆ tan ˆ BC AC ˆ 8 6 ˆ 4 I vaori di sin, cos e tan dipendono sostanziamente da'ampiezza de'angoo, sono cioeá funzioni di, e si dicono percioá funzioni goniometriche de'angoo. Osserviamo subito che, poicheâ in un triangoo rettangoo ciascun cateto eá minore de'ipotenusa, i rapporti BC AB mentre i rapporto BC AC e AC AB sono numeri positivi minori di 1,, essendo i rapporto fra i cateti, puoá essere sia minore che maggiore o anche uguae a 1 e non eá soggetto a imitazioni. Dunque, per quaunque angoo acuto : sin ecos sono numeri positivi minori di 1 tan eá un numero reae positivo quasiasi. Le funzioni goniometriche di un angoo acuto non sono vaori indipendenti uno da'atro ma sono egati da reazioni precise che discendono proprio daa oro definizione. Osserviamo infatti che: i rapporto BC esprime sostanziamente a misura de segmento BC quando si AB eá sceto AB come unitaá di misura; a stessa cosa si puoá dire per i rapporto AC AB. Aora, se appichiamo i teorema di Pitagora a triangoo ABC abbiamo che: BC AC ˆ AB BC cioeá AC ˆ 1 AB AB ed essendo BC AC ˆ sin e ˆ cos, otteniamo a prima reazione fondamentae che ega i seno e i coseno di uno stesso angoo AB AB : LE RELAZIONI FONDAMENTALI sin cos ˆ 1 Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 i rapporto BC AC AC AB : puoá essere visto come i quoziente dei rapporti BC AB e BC AC ˆ BC AB : AC AB. Ma BC BC AC ˆ tan, ˆ sin, ˆ cos, quindi una seconda reazione AC AB AB fondamentae che ega queste tre funzioni eá a seguente: tan ˆ sin cos Queste due reazioni consentono, nota una dee funzioni goniometriche, di trovare e atre. Per esempio, se sin ˆ, aora: da sin cos ˆ 1 ricaviamo che cos ˆ da tan ˆ sin cos ESEMPI ricaviamo che 1 sin ˆ tan ˆ p ˆ p 1. In un triangoo rettangoo i cateto AC misura 0cm, 'ipotenusa AB misura 0cm (figura ). Cacoiamo i vaori dee funzioni goniometriche degi angoi acuti di questo triangoo. Troviamo per prima cosa 'atro cateto de triangoo appicando i teorema di Pitagora: p BC ˆ 0 0 ˆ 40 Appicando e definizioni date si ha subito che: sin ˆ 40 0 ˆ 4 sin ˆ 0 0 ˆ cos ˆ 0 0 ˆ cos ˆ 40 0 ˆ 4 tan ˆ 40 0 ˆ 4 tan ˆ 0 40 ˆ 4 Osserviamo che, in questo caso, sin ˆ cos e sin ˆ cos, mentre tan ˆ 1 ; queste reazioni non sono casuai, ma dipendono da tan fatto che gi angoi e sono compementari. r 1 4 ˆ 9 Figura Figura 4. Cacoiamo i seno, i coseno e a tangente de'angoo di 4 : Per trovare i vaori richiesti ci riferiamo ad un triangoo rettangoo isoscee che ha gi angoi acuti di 4 (figura 4). Quaunque sia a misura ` p dei cateti, quea de'ipotenusa eá `. Aora considerando 'angoo acuto A b otteniamo: sin 4 ˆ BC AB ˆ ` ˆ cos 4 ˆ AC ` AB ˆ ` ˆ tan 4 ˆ BC ` AC ˆ ` ` ˆ 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

4 . Procedendo in modo anaogo a queo de'esempio precedente, cacoiamo i vaori de seno, de coseno e dea tangente degi angoi di 0 edi60. Conviene far riferimento ad un triangoo rettangoo i cui angoi acuti misurano 0 e60. Tenendo presente che, posto AB ˆ `, si ha che AC ˆ ` e BC ˆ 1 ` (figura ), si trova subito che: sin 0 ˆ BC AB ˆ cos 0 ˆ AC AB ˆ tan 0 ˆ CB AC ˆ 1 ` ` ˆ 1 ` ˆ ` 1 ` ˆ ` sin 60 ˆ AC AB ˆ cos 60 ˆ BC AB ˆ tan 60 ˆ AC CB ˆ ` ˆ ` 1 ` ` ` 1 ` ˆ 1 ˆ p Figura 1. Le funzioni goniometriche e a circonferenza goniometrica Le funzioni seno, coseno e tangente sono state definite soo per gi angoi acuti di un triangoo rettangoo; viene peroá spontaneo chiedersi se non sia possibie definire anaoghe funzioni anche per angoi che non sono acuti. Consideriamo aora a circonferenza che ha centro ne vertice A de triangoo e raggio uguae aa sua ipotenusa e riferiamo questa circonferenza ad un sistema di assi cartesiani ortogonai che ha centro in A e 'asse dee ascisse coincidente con a retta de cateto AC (figura 6). Se fissiamo come unitaá di misura i raggio dea circonferenza, poniamo cioeá AB ˆ 1, i seno de'angoo eá proprio a misura de cateto CB, mentre i coseno di eá a misura di AC. Aora i seno e i coseno di un angoo si possono anche interpretare rispettivamente come 'ordinata e 'ascissa de punto B in cui a semiretta che definisce 'angoo insieme aa semiretta positiva Ox dee ascisse interseca a circonferenza: x B ˆ cos y B ˆ sin Questa considerazione ci consente di definire i seno e i coseno di un angoo quasiasi riferendoci non piuá a un triangoo rettangoo ma a una circonferenza. Consideriamo dunque una circonferenza con centro ne'origine O di un sistema di assi cartesiani ortogonai e raggio unitario; chiameremo goniometrica questa circonferenza. Una semiretta uscente da O incontra a circonferenza in A e definisce, insieme aa semiretta positiva Ox, un angoo. Si conviene di dare misura positiva agi angoi nei quai a semiretta OA segue in senso antiorario a semiretta Ox, misura negativa agi angoi nei quai a semiretta OA segue in senso orario a semiretta Ox (figura 7). Chiamiamo (figura 8): n seno de'angoo 'ordinata de punto A: n coseno de'angoo 'ascissa de punto A: sin ˆ y A cos ˆ x A Figura 6 Figura 7 angoo positivo, angoo negativo Figura 8 4 Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Ne consegue che i seno ed i coseno di un angoo quasiasi sono numeri reai compresi fra 1 e 1 e in particoare: i seno di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 0 e 180 eá un numero positivo (figura 9a): 0 <<180 ) 0 < sin 1 i seno di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 180 e 60 eá un numero negativo (figura 9b): 180 <<60 ) 1 sin <0 e si ha poi che (figura 9c): sin 0 ˆ 0 sin 90 ˆ 1 sin 180 ˆ 0 sin 70 ˆ 1 sin 60 ˆ 0 i coseno di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 0 e90 oppure fra 70 e 60 eá un numero positivo (figura 10a): 0 <<90 _ 70 <<60 ) 0 < cos <1 i coseno di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 90 e 70 eá un numero negativo (figura 10b): 90 <<70 ) 1 cos <0 e si ha poi che (figura 10c): cos 0 ˆ 1 cos 90 ˆ 0 cos 180 ˆ 1 cos 70 ˆ 0 cos 60 ˆ 1 Figura 9 a. b. Figura 10 c. Figura 11 a. b. c. Anche a tangente di un angoo puoá essere definita per un angoo quasiasi mediante a circonferenza goniometrica; tracciata a retta r tangente aa circonferenza ne punto di coordinate (1, 0), chiamiamo (figura 11): n tangente di 'ordinata de punto B di intersezione dea retta r con a semiretta OA: tan ˆ y B Anche in questo caso, a definizione precedente come rapporto fra i cateti di un triangoo rettangoo tan ˆ HB eá rispettata percheâ i cateto OH eá i OH raggio di misura unitaria; questa definizione eá peroá piuá ampia percheâ ci permette di definire a tangente anche di angoi non acuti. Reativamente a vaore di tan possiamo dire che: a tangente di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 0 e90 eá un numero positivo (figura 1a): 0 <<90 ) tan >0 a tangente di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 90 e 180 eá un Figura 1a Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

6 Figura 1 b. c. d. e. numero negativo (figura 1b: occorre proungare i ato de'angoo fino ad incontrare a retta r): 90 <<180 ) tan <0 a tangente di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 180 e 70 eá un numero positivo (figura 1c: anche in questo caso occorre proungare i ato de'angoo fino ad incontrare a retta r ): 180 <<70 ) tan >0 a tangente di un angoo a cui ampiezza eá compresa fra 70 e 60 eá un numero negativo (figura 1d ): 70 <<60 ) tan <0 In particoare (figura 1e): tan 0 ˆ tan 180 ˆ tan 60 ˆ 0 tan 90 e tan 70 non esistono percheâ a retta r e i secondo ato de'angoo sono paraei. Le reazioni fondamentai sono ancora vaide percheâ: riferendoci ancora aa figura 8: Figura 1 KA OK ˆ OA cioeá sin cos ˆ 1 riferendoci aa figura 1 nea quae i triangoi OAK e OBH sono simii: HB OH ˆ KA OK cioeá tan ˆ sin cos VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Ne triangoo ABC in figura: a. sin ABC d ˆ 4 b. cos ACB d ˆ c. tan ABC d ˆ 4 d. sin ACB d ˆ 4 V V V V F F F F. I seno di un angoo acuto eá uguae a 1, i coseno deo stesso angoo eá uguae a: 1 a. b. c. d. nessuno dei precedenti vaori 4 6 Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 . Indica quai dee seguenti reazioni reative a un angoo sono possibii: a. sin ˆ b. cos ˆ 10 1 c. tan ˆ 8 d. cos ˆ e. sin ˆ 1 f. tan ˆ 1 8 g. cos ˆ 7 8 h. sin ˆ 1 1. Le funzioni goniometriche e a cacoatrice Negi esempi e precedenti abbiamo visto come cacoare e funzioni goniometriche degi angoi di 0,4,60 mediante considerazioni geometriche. Purtroppo non eá possibie cacoare i vaore de seno, de coseno o dea tangente di angoi di ampiezze diverse se non in casi moto particoari; eá peroá possibie determinare un vaore approssimato dee funzioni goniometriche di un quasiasi angoo usando una cacoatrice scientifica. Ogni cacoatrice ha dee procedure di cacoo proprie ed eá per questo consigiabie consutare i ibretto dee istruzioni; nea maggior parte dei casi, tuttavia, a procedura eá simie a quea che descriviamo di seguito. Dopo aver acceso a tua cacoatrice accertati che a modaitaá di misurazione degi angoi sia in gradi: su dispay deve comparire a dicitura DEG (DEG sta per degree). Vediamo come procedere attraverso degi esempi. Da'angoo a vaore dee funzioni goniometriche n Vogiamo cacoare i vaore di sin 8 1. Premi i tasto sin. Digita 'ampiezza in gradi de'angoo: 8. Premi i tasto ˆ Ottieni che sin 8 ˆ 0,616614:::::: E' possibie che in acuni modei i passi 1 e debbano essere invertiti, che cioeá si debba prima digitare 'ampiezza de'angoo e poi premere i tasto dea funzione goniometrica. n Vogiamo cacoare i vaore di cos 1 1. Premi i tasto cos. Digita 'ampiezza in gradi de'angoo: 1. Premi i tasto ˆ Ottieni che cos 1 ˆ 0, :::::: n Vogiamo cacoare i vaore di tan Premi i tasto tan. Digita 'ampiezza in gradi de'angoo: 109. Premi i tasto ˆ Ottieni che tan 109 ˆ,904108:::::: n Vogiamo cacoare i vaore di sin 1. Premi i tasto sin. Digita 'ampiezza in gradi de'angoo:. Premi i tasto ˆ Ottieni che sin ˆ 0,4618::::::::::::: Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 7

8 Quando 'angoo eá espresso in gradi, primi e secondi occorre prima trasformare a misura in soi gradi. In genere a conversione avviene in modo automatico mediante a pressione di un particoare tasto funzione; se a tua cacoatrice non dovesse possedere questo tasto dovrai eseguire i cacoo impostandoo in questo modo: ˆ ˆ 0,88::::: 600 Vediamo anche qui acuni esempi. n Cacoiamo i vaore di sin Premi i tasto sin. Trasforma 'angoo in gradi digitando separatamente e cifre dei gradi, dei primi e dei secondi intercaando i tasto funzione contrassegnato con i simboo 0 00 : Premi i tasto ˆ Si ottiene che sin ˆ 0, :::::: In acune cacoatrici i tasto 0 00 eá sostituito da tasto funzione DMS n Cacoiamo i vaore di cos Premi i tasto cos. Trasforma 'angoo in gradi: Premi i tasto ˆ Si ottiene che cos ˆ 0,96904:::::::::::: Dai vaori dee funzioni goniometriche a'angoo Questo probema eá 'inverso de precedente, vae a dire che si conosce i vaore di una funzione goniometrica e si vuoe sapere qua eá 'ampiezza de'angoo; per esempio se sin ˆ 0,, quanto vae? Occorre precisare che a risposta data daa cacoatrice si riferisce ad uno dei possibii angoi i cui seno vae 0,; ne'intervao che va da 0 a 60 ci sono infatti due angoi che rispondono a questa caratteristica: 'angoo acuto ed i suo suppementare 180 (figura 14). A seconda de probema che si sta affrontando si potraá decidere a quae angoo ci si deve riferire. Vediamo acuni esempi. n Cacoare 'angoo acuto tae che sin ˆ 0,. 1. Premere in successione i tasti funzione INV e sin In mote cacoatrici i tasto INV eá sostituito da SHIFT oppure -nd. Digitare i vaore dea funzione goniometrica usando i punto decimae: 0.. Premere ˆ I vaore trovato, cioeá 14,477119, esprime a misura de'angoo in gradi; voendo avere i vaore in gradi, primi e secondi: premere in successione i tasti funzione INV e Si ottiene cosõá che un vaore approssimato di eá Figura 14 L'angoo ottuso eá 'angoo di ampiezza cioeá 'angoo di In acuni modei si deve invertire 'ordine dei tasti digitando prima i vaore dea funzione goniometrica; reativamente a nostro esempio: 0, INV sin 8 Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 n Cacoare 'angoo acuto tae che cos ˆ 0,1. 1. Premere in successione i tasti funzione INV e cos. Digitare i vaore dea funzione goniometrica: 0.1. Premere ˆ 4. Premere in successione i tasti funzione INV e 0 00 Si ottiene cosõá che un vaore approssimato di eá n Cacoare 'angoo acuto tae che tan ˆ 6,. 1. Premere in successione i tasti funzione INV e tan. Digitare i vaore dea funzione goniometrica: 6:. Premere ˆ 4. Premere in successione i tasti funzione INV e 0 00 Si ottiene cosõá che un vaore approssimato di eá LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Le reazioni che abbiamo stabiito fra i ati di un triangoo rettangoo che ci hanno permesso di definire e funzioni goniometriche seno, coseno e tangente degi angoi acuti possono essere riscritte in modo da mettere in evidenza e unghezze de ati; riferendoci a triangoo in figura 1 possiamo dire che: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 16 Figura 1 poicheâ sin ˆ BC AB aora BC ˆ AB sin poicheâ cos ˆ AC AB aora AC ˆ AB cos poicheâ tan ˆ BC AC aora BC ˆ AC tan Queste tre reazioni possono essere cosõá enunciate in forma generae. In ogni triangoo rettangoo a misura di un cateto eá uguae: n a prodotto de'ipotenusa per i seno de'angoo acuto opposto a cateto stesso n a prodotto de'ipotenusa per i coseno de'angoo acuto adiacente a cateto stesso n a prodotto de'atro cateto per a tangente de'angoo opposto a cateto stesso. I TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI Usando queste tre reazioni eá possibie risovere moti probemi che riguardano i triangoi; negi esempi che seguono ti proponiamo acuni casi significativi. Conveniamo di approssimare e unghezze dei segmenti a meno di 0,01, cioeâ con due cifre decimai. ESEMPI 1. In un triangoo ABC, rettangoo in C, 'ipotenusa AB eá unga 1cm e 'angoo di vertice B ha ampiezza 6. Vogiamo risovere i triangoo. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 9

10 Risovere i triangoo significa determinare e unghezze dei suoi ati e e ampiezze dei suoi angoi. Poiche 'angoo C b eá retto, ricaviamo subito che (figura 16) ba ˆ 90 6 ˆ 4 : Per determinare e misure dei cateti (in centimetri) usiamo e prime due reazioni: AC ˆ ipotenusa seno de'angoo opposto ˆ AB sin 6 ˆ ˆ 1 0,8778::::: ˆ 8,8 CB ˆ ipotenusa coseno de'angoo adiacente ˆ AB cos 6 ˆ ˆ 1 0,80901::::: ˆ 1,14 Figura 16. Di un triangoo rettangoo sono note a unghezza di un cateto, 8,4cm, e 'ampiezza de'angoo acuto opposto, 46 '18''. Vogiamo risovere i triangoo. Con riferimento aa figura 17, poniamo AC ˆ 8,40 e ˆ ; di conseguenza ˆ ˆ Per trovare a misura (in cm) de cateto BC usiamo a terza reazione: BC ˆ AC tan ˆ 8,40 tan ˆ 7,0 Per trovare a misura (in cm) de'ipotenusa possiamo usare indifferentemente: q p ± i teorema di Pitagora: AB ˆ AC BC ˆ 8,40 7,0 ˆ 9,0 ± a prima reazione: AC ˆ AB sin! AB ˆ AC sin ˆ 9,0 I secondo metodo eá di soito preferibie percheâ usa i dati de probema e non introduce atri errori di arrotondamento dei risutati.. Di un triangoo rettangoo sono note e misure in cm di due cateti: b ˆ 1,40, c ˆ 9,60. Vogiamo risovere i triangoo e determinare a misura de'atezza reativa a'ipotenusa. Con i teorema di Pitagora possiamo subito determinare a misura de'ipotenusa: p a ˆ b c ˆ 1,40 9,60 1,68 Daa terza reazione ricaviamo poi che (figura 18): tan ˆ b c cioe tan ˆ da cui ˆ Possiamo ora cacoare ˆ ˆ Per trovare 'atezza reativa a'ipotenusa, basta appicare i primo teorema a uno dei due triangoi rettangoi che si ottengono tracciando 'atezza; reativamente a triangoo in coore arancio nea figura, dove c rappresenta a misura de'ipotenusa, si ha che h ˆ c sin ˆ 9,60 sin ˆ 7,9 (cm) Figura 17 Figura Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. De triangoo in figura, ottenuto mediante 'accostamento di due triangoi rettangoi, si conoscono gi eementi indicati. Cacoa quanto indicato di seguito: BH ˆ ::::: AH ˆ ::::: HC ˆ ::::: AC ˆ :::::. De trapezio ABCD si hanno e informazioni indicate in figura, dove e misure dei segmenti sono espresse mediante a stessa unitaá. Considera e seguenti uguagianze: BC ˆ,4 DC ˆ 8,8 AD ˆ 1,17 Di esse sono vere: a. tutte e tre b. soo a c. tutte tranne a d. nessuna percheâ i dati sono insufficienti per determinare e misure dei ati de trapezio. Souzioni verifica di comprensione pag. 6 1 a. F, b. V, c. V, d. V; c.; b., c., e., f., g., h. pag. 11 p 1 BH ˆ AH ˆ 4; HC ˆ 4 ; AC ˆ 8; c. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 11

12 I concetti e e regoe Le funzioni goniometriche Tutti i triangoi rettangoi i cui angoi hanno e stesse ampiezze hanno i ati proporzionai e i vaori dei rapporti fra cateti e ipotenusa e fra cateti dipendono dagi angoi acuti de triangoo. Si possono quindi introdurre acune funzioni reative a questi angoi, dette funzioni goniometriche, che, con riferimento aa figura a ato, sono cosõá definite: n BC AB ˆ sin n AC AB ˆ cos n BC AC ˆ tan Le funzioni seno, coseno e tangente di un angoo si possono definire per quasiasi angoo, non necessariamente acuto. Considerata a circonferenza avente centro ne'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonai e raggio 1 (circonferenza goniometrica): indicato con A i punto di intersezione di tae circonferenza con a semiretta di origine O che, insieme a semiasse positivo dee ascisse, deimita 'angoo indicato con B i punto di intersezione dea retta tangente aa circonferenza ne punto H 1, 0 con a semiretta OA si definisce: n sin 'ordinata de punto A n cos 'ascissa de punto A n tan 'ordinata de punto B In conseguenza dea definizione data si verifica che: a funzione seno e a funzione coseno assumono vaori compresi tra 1 e1 a funzione tangente puoá assumere quasiasi vaore reae, ma non eá definita per angoi di 90 e 70. Le reazioni fondamentai e i vaori dee funzioni goniometriche Tra e funzioni goniometriche di uno stesso angoo sussistono e seguenti reazioni: sin cos ˆ 1 e tan ˆ sin cos I vaori dee funzioni goniometriche di un angoo si possono determinare in modo approssimato con una cacoatrice scientifica. Soo di acuni angoi particoari si possono dare i vaori esatti e si ha che: sin 4 ˆ cos 4 ˆ tan 4 ˆ 1 sin 0 ˆ 1 cos 0 ˆ tan 0 ˆ sin 60 ˆ cos 60 ˆ 1 tan 60 ˆ p 1 Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 La risouzione dei triangoi rettangoi Risovere un triangoo di cui sono noti acuni eementi, fra i quai ameno uno deve essere un ato, significa trovare e misure di tutti gi atri ati e angoi. Le reazioni fra ati e angoi di un triangoo rettangoo sono espresse da acuni teoremi che derivano direttamente dae definizioni di seno, coseno e tangente di un angoo acuto. In ogni triangoo rettangoo: un cateto eá uguae a prodotto de'ipotenusa per i seno de'angoo acuto ad esso opposto un cateto eá uguae a prodotto de'ipotenusa per i coseno de'angoo acuto ad esso adiacente un cateto eá uguae a prodotto de'atro cateto per a tangente de'angoo acuto opposto a cateto stesso. Con riferimanto a triangoo in figura: n BC ˆ AB sin n BC ˆ AB cos n BC ˆ AC tan Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 1 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 1