IL PENDOLO REVERSIBILE DI KATER

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1 IL PENDOLO REVERSIBILE DI KATER I periodo dee osciazioni de pendoo sempice è dato daa formua: T 0 = π g Questa reazione è vaida per e piccoe osciazioni, quando, cioè, si può assimiare i seno de'angoo massimo α (tra i pendoo e a verticae) con i vaore de'angoo stesso espresso in radianti. I periodo risuta, quindi in queste condizioni, indipendente sia da α che daa massa m. (1) θ Se α non si può ritenere piccoo, a formua de periodo si trova mediante o sviuppo in serie e vae: T = T0 1+ θ + θ +... () Chiaramente T dipende da'angoo ed è maggiore di T o, coincide con esso soo per osciazioni infinitesime. I termine α 4 è a tutti gi effetti trascurabie per e appicazioni di aboratorio, di conseguenza i periodo è dato, in generae, daa: 1 T = T0 1+ θ (3) 16 Quindi, quando nei cacoi si usa a (1),si introduce per ogni a>0 un errore sistematico che si può ricavare daa () e vae: 1 T 1 T = T T0 = T0 θ cioè = α (4) 16 T0 16 e può risutare più o meno trascurabie a seconda dee situazioni sperimentai. I pendoo composto è, invece, costituito da un corpo rigido ibero di ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso, non verticae e non passante per i baricentro. I periodo de moto de pendoo composto è ( ancora per piccoe osciazioni) :

2 T 0 = π I mgh indicando con I i momento di inerzia de corpo rispetto a'asse di osciazione e con h a distanza di esso da baricentro. Per osciazioni non piccoe vae ancora a stessa egge espressa daa (3). I corpo si comporta esattamente come un pendoo sempice avente unghezza: = I (6) mh Sfruttando i teorema di Huygens-Steiner i memento di inerzia de corpo di può scrivere: I = I G + mh e si ottiene per a unghezza ridotta de pendoo composto 'espressione: = I mh = I G + mh = h + I G mh mh (5) (7) O h G h' O' rappresentazione schematica de pendoo reversibie I pendoo reversibie può essere messo in osciazione attorno a due assi diversi, tra oro paraei e passanti per i due cotei O e O'. I rispettivi periodi di osciazione: T = π g sono uguai quando (=') e T ' = π h + I G mh = h' + I G mh ' (8) Risovendo 'equazione di secondo grado rispetto ad h si trova: h = h 1 e h = I G mh ' (9) Ne primo caso 'interpretazione fisica è che i due assi sono simmetrici rispetto a baricentro de pendoo, ne secondo, che impica anche che: ' g

3 h ' = I G e quindi = h + I G mh mh = h + h' (10) a distanza tra i due assi di rotazione è pari aa unghezza ridotta. Ne pendoo reversibie di Kater a prima situazione è da escudere per a costruzione deo strumento, se i periodi di osciazione attorno ai due assi sono uguai e di vaore T, indicando con a distanza tra O e O' (che è facimente misurabie), si può ricavare i vaore de'acceerazione di gravità daa: g = 4 π T (11) L'errore su g sarà dato daa formua di propagazione degi errori: µ g = µ + 4 µ T ossia µ g T g = g µ + 4 µ T T (1) g a Vicenza vae : g=9.806 m/s Lo scopo de'esperienza è queo di determinare 'acceerazione di gravità g. Si deve quindi trovare a condizione per a quae i pendoo, sospeso per O e per O' ha o stesso periodo, determinato i periodo e nota a unghezza ridotta, si può vautare g. Si utiizzi o stesso pendoo nei due turni successivi di misura e, prima di effettuare e prime misurazioni, si prenda nota de numero de pendoo e dea reativa unghezza ridotta. Si pone a massa mobie ad una distanza x=10 cm da'origine, si sospende i pendoo per O e si raccogono per vote e misure dei tempi corrispondenti a 10 periodi. Si cacoa i vaor medio e si considera i vaore de periodo corrispondente. Si ripete a misura sospendendo i pendoo per O'. Si ripete a sequenza di misure spostando ogni vota a massa mobie di 10 cm. Si può, quindi, costruire una tabea con e seguenti coonne: posizione (cm) Tempo (O) Periodo (O) Tempo (O') Periodo (O) Si graficano i periodi (per O e per O') in funzione dea distanza x (in cm).

4 L andamento dei periodi in funzione dea distanza dovrebbe essere i seguente: O O' periodo (s) cm Si verifica che i periodi per i due perni si distribuiscono su due curve che si intersecano in due punti. Le due curve si intersecano ad una distanza di circa 0 cm e ae grandi distanze. Per e basse distanze 'angoo tra e due curve è maggiore che per e ate distanze e ne'intorno de'intersezione i punti appartenenti ae due curve possono essere interpoati da due rette. Per a misura non è necessario verificare andamento ungo tutto intervao di spostamenti possibii. Sarà sufficiente prendere e misure tra 10 e 40 cm e poi tra 70 e 90 cm. Verificato che intersezione a minori distanze è, in genere, tra 15 e 5 cm, si effettuano ne'intorno de'intersezione dee determinazioni de tempo ( e dei periodi corrispondenti) per 10 periodi, spostando a massa mobie ogni vota di x=.0 cm. Si procede come ne caso precedente, sospendendo i pendoo prima per O, poi per O'. Sarà sufficiente effettuare misure per distanza. Si costruisce una tabea come ne caso precedente e si graficano ancora i periodi in funzione di x. Si determina ancora i vaore dea distanza di intersezione tramite i grafico. -Si effettuano ancora, ne'intorno de'intersezione dee determinazioni de tempo ( e dei periodi corrispondenti) per 50 osciazioni, spostando a massa mobie ogni vota di x=0.3 cm. Si procede come ne caso precedente, sospendendo i pendoo prima per O, poi per O'. Sarà sufficiente effettuare 3 misure per ogni posizione. A scopo esempificativo: se intersezione pare essere a 1 cm si prende i primo punto a 1 cm, poi si prendono un punto a 0.7 cm e uno a 1.3 cm. Se, anaizzando i periodi misurati si verifica che intersezione è reamente a 1 cm si prendono due atre determinazioni a 1.6 e a 0.4 cm in modo da avere 5 punti centrati su intersezione. Se si verifica, invece, che intersezione pare spostata verso e basse o e ate distanze, si aggiustano gi spostamenti in modo da avere i punto di intersezione a centro de set di 5 misure.

5 Ne punto di intersezione i periodi corrispondenti aa sospensione per O e per O' coincidono. Se per ogni distanza si sono effettuate 3 misure di 50 periodi, per ognuna di esse di cacoi a media e errore massimo, T50 T = 50 Tmax Tmin T50 = errore da attribuire aa singoa determinazione di periodo è: T µ 50 T= 50 Si costruisce i grafico,tenendo conto de errore per ogni determinazione di periodo, i punti corrispondenti ai periodi per a sospensione per O e per O' possono ora, con buona approssimazione, essere interpoati da due rette. Si determina i punto di intersezione graficamente oppure effettuando due regressioni ineari. -Si può aora determinare i vaore de'acceerazione di gravità tramite a (11). I vaore dea unghezza ridotta, diverso per ogni pendoo, è riportato in aboratorio. -La vautazione de'errore su g procede tramite a (1), dove a µ si attribuisce 'errore con cui è stata determinata a unghezza ridotta de pendoo µ =0. mm. La reazione consterà dee tabee di dati e dei periodi come da schema aegato, dei tre grafici e dea conseguente vautazione di g co proprio errore. Nea reazione si riporti i numero de pendoo di Kater con cui si è effettuata a misura.