DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA MODULO DUE

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1 DIDTTIC DI DISEGNO E DI PROGETTZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CRELO ORN ING. LUR SGRBOSS ODULO DUE IL PROBLE DELL TRVE DI DE SINT VENNT (PRTE B) ODULI PER LO SPECILIZZNDO oduo 0 IN QUESTO ODULO: IL PROBLE DELL TRVE DI DE SINT VENNT; I QUTTRO CSI FONDENTLI.1 I quattro casi fondamentai studiati da De Saint Venant..1 Pressione sempice.. Fessione sempice e presso fessione (o sforo normae eccentrico).

2 .1 I quattro casi fondamentai studiati da De Saint Venant Si anaiano ora i quattro casi fondamentai risoti da De Saint Venant con i metodo semi inverso...1 Pressione sempice Si consideri, in reaione a sistema di assi cartesiani di riferimento come riportato in figura 4, uno stato di tensione costante e distribuito uniformemente sua superficie dee teste dea trave. figura 4 Tai fore sono così definite: f (, ) k ; f (, ) k con k > 0 ; 17) e risutanti di tai fore ammettono come unica souione: I 0 In tai condiioni, secondo i metodo semi-inverso si ipotia a souione in termini di stato di tensione che risuta: ±

3 (,, ) c conc > 0, τ (,, ) τ (,, ) 0 τ 0 cost. R 18) in termini di stato di deformaione si ha: N ε E E ε ε ε m me N me 19) Tai ipotesi di souione devono soddisfare e: a) condiioni di equiibrio indefinite; b) condiioni di congruena interna; c) condiioni di equiibrio a contorno. a) Controando e equaioni indefinite de equiibrio ) si vede subito, che ne caso di pressione sempice per cui soo 0, e prime due equaioni sono sicuramente soddisfatte; per a tera equaione: τ τ Z 0 dae ipotesi fatte si ha: τ τ Z 0, aora 0 e ciò impica,come ipotiato: costante. Essendo soddisfatte e equaioni indefinite de equiibrio ogni punto dea trave è equiibrato. Si può osservare inotre, che otre ad essere indipendente da e da o è anche da. Si giunge a verificare a soddisfaione de ipotesi di souione 18) considerando anche i parametri di soecitaione; in questo caso si ha: d cd c d c c N costante,

4 ciò significa che i parametro di soecitaione N 0 è invariante, cioè non varia a variare de punto su asse dea trave, quindi ogni punto dea trave è equiibrato. Osservaione: ne caso dea pressione sempice i dimensionamento dea trave dipende soo da parametro di area, seione dea trave, e quindi indipendente daa forma dea seione stessa. b) per o stato di deformaione si ha: ε E E c costante(,,) cioè e ε sono funioni costanti dee coordinate,, de punto generico appartenente aa superficie dea testa dea trave, aora sono soddisfatte e condiioni di congruena interna. c) in corrispondena aa base dea trave devono vaere dae equaioni a contorno 6): Z (, ) Z (, ) f (, ) f (, ) c f k c k con k>0; tae uguagiana soddisfa ipotesi di souione dea condiione di equiibrio a contorno. In concusione essendo a distribuione degi stati di tensione, dea trave, uniforme, si ha uno stato tensionae monoassiae; rappresentato secondo a convenione di ohr ne piano (, τ ) si ha a seguente figura:

5 figura 5 Osservaione: è importante osservare che uno stato deformativo di tipo biassiae, come ne caso di sforo normae, non impica che pure o stato di tensione o sia, infatti i caso di sforo normae ce o dimostra essendo o stato tensionae proprio monoassiae. Si definisce moduo di rigidea assiae, riferito a unità di unghea, i rapporto: R N N ε E NE N n E 0).. Fessione sempice e presso fessione (o sforo normae eccentrico). Scete e direioni degi assi, coincidenti con quee degi assi principai d ineria e baricentrici dee seioni traversai, si consideri a distribuione dee fore di superficie aa teste dea trave, figura 6, definite come: f (, ) o k ; f (, ) k con k > 0 ; 1) tae distribuione di fore ammette come risutante a coppia di momento 0. ±

6 figura 6 In tai condiioni, si ipotia a seguente souione in termini di stato di tensione: (,, ) c conc 0, τ (,, ) τ (,, ) 0 τ 0 cost. R ) in termini di stato di deformaione si ha: c ε E E ε ε ε m me c me 3) Tai ipotesi di souione devono soddisfare e: a) condiioni di equiibrio indefinite; b) condiioni di congruena interna; c) condiioni di equiibrio a contorno.

7 a) Controando e equaioni indefinite de equiibrio 4) si vede subito, anche ne caso di fessione sempice che e prime due equaioni sono sicuramente soddisfatte; per a tera equaione: τ τ Z 0 dae ipotesi fatte si ha: τ τ Z 0, aora c 0 costante; c costante; e ciò impica: i risutato costante esprime invariana di da seione a seione ungo asse, aora uguagiana: c costante, come ipotiato, è sicuramente verificata. b) daa 3) si osserva che e componenti deo stato di deformaione sono funioni variabii inearmente con pertanto e condiioni di congruena interna sono identicamente soddisfatte. c) in corrispondena aa base dea trave devono vaere, dae equaioni a contorno 6): Z, ) Z (, ) f (, ) ( 0 0 f (, ) c f k c k con k 0; tae uguagiana soddisfa ipotesi di souione dea condiione di equiibrio a contorno. Considerando a souione in funione dei parametri di soecitaione, nea seione trasversae corrente si trova: d cd c d cs N 0 cioè o sforo normae N è nuo essendo nuo i momento statico fatto rispetto a asse che è asse baricentrico. S d di perché

8 nche i momento fettente fatto rispetto agi assi baricentrici e : è uguae a ero poiché è nuo i momentino centrifugo d cd c 0 L unico parametro dea soecitaione diverso da ero è i momento fettente: d c d c d c dove d è i momento d ineria fatto rispetto a asse. Essendo quindi, c, sostituendo a costante c nea souione c si trova: detta formua di Navier. 4) figura 7 Fisicamente ciò sta ad indicare che ungo ogni fibra ciindrica con asse di direione paraea a asse, si trasmettono da seione a seione, sfori costanti corrispondenti aa tensione, unica tensione principae non nua, verificando e condiioni di equiibrio. Si consideri ora, a distribuione degi stati di tensione nea seione trasversae in figura 8, si osserva subito che si tratta di uno stato di tensione monoassiae ungo.

9 figura 8 In ogni seione si forma un asse, detto asse neutro n; tae asse è passante per i baricentro G, con direione, per i punti de quae a tensione è nua, e pure a deformaione è uguae a ero. L asse neutro è quindi caratteriato da annuarsi de momento statico dea seione rispetto a asse stesso: S 0 ; nea fessione retta asse neutro risuta inotre normae n aa giacitura in cui agisce a coppia di momento fettente, d atra parte quando asse neutro non è ortogonae aa giacitura de piano in cui agisce a coppia fettente si ha i caso di fessione deviata. Nea fessione retta si definiscono modui di resistena fessionae, inferiore e superiore dea seione trasversae, i rapporti (con i oro segno):

10 W,inf ; inf W,sup 5) sup aora si ha:,min sup 6a) W,sup,ma inf 6b) W,inf da cui risuta che i punti più soecitati sono quei più ontani da asse neutro. figura 9a

11 figura 9b Osservaione: ne caso di fessione sempice a differena dea pressione sempice, i parametri 6a), 6b) dipendono daa forma geometrica dea seione; quindi a parità di materiae esiste una forma che minimia e tensioni. ora a parità di momento, minimiare a tensione, equivae a minimiare i W moduo di resistena a fessione trasversae W (o parimenti a quantità dimensionae ). h Si definisce moduo di rigidea fessionae i rapporto: ( ) R f ( ) R f ϑ( ) E E 7) dove ϑ () è a curvatura dea inea d asse. Si consideri ora i caso di presso fessione o sforo normae eccentrico; si verifica questo caso quando o sforo normae appicato ae teste dea trave è eccentrico, cioè a distribuione deo sforo sua base è tae da avere una risutante N ungo asse non appicata su baricentro G ma su centro C chiamato centro di pressione di coordinate, rispetto a G, di eccentricità e, e, rispettivamente ungo e ungo.

12 figura 10 In generae non sono nue e seguenti soecitaioni: a) N,, per cui si ha i caso di presso fessione deviata; b) N,( N, ) per cui si ha i caso di presso fessione retta;, c), per cui si ha i caso di fessione deviata; questo si verifica poiché pensando aa risutante N come fora trasata da punto baricentrico G a punto C, sempre appartenente aa seione trasversae, è come se si considerassero diversi da ero anche i momenti fettenti: Ne 0 ; Ne 0. Lo stato di tensione è aora a composiione dei casi precedenti: N + + ; 8) si osserva subito che è inearmente indipendente da, è funione ineare invece di e.

13 Per determinare a reaione che descrive asse neutro, ne caso di presso-fessione si consideri a condiione (, ) 0, per cui è definito o stesso asse. Sostituendo, con i parametri indipendenti N e, e N, si ottiene a seguante equaione di una retta:,, neo stato di tensione 8) N Ne Ne ; 9) ricordando espressione che definisce i momenti d ineria ρ e ρ, dove ρ, ρ sono raggi d ineria, e sostituendo nea 9) si ha equaione de asse neutro: e e 1+ + ρ ρ 0. 30) Tae equaione è in corrispondena biunivoca con i centro di pressione C, cioè per ogni centro C esiste un asse neutro e viceversa. Inotre C non appartiene mai a asse neutro corrispondente, poiché i centro di pressione C deve avere una pressione normae diversa da ero che è in contrapposiione con a definiione stessa di asse neutro per cui (, ) 0. Infatti se si impone i passaggio di C ( e, e ) ne equaione de asse neutro si ottiene espressione dea conica: 1+ + ρ ρ e e 0 ; 31) si tratta di un eisse immaginaria, (a souione in campo reae è impossibie), quindi a reaione che ega i centro di pressione C a asse neutro è una poarità per cui non possono appartenersi. Se considero però i simmetrico di C, cioè C ( e, e ), aora ottengo una conica reae: equaione di un eisse ρ + ρ 1. 3)

14 Tae equaione è detta eisse di Cumann o eissoide principae d ineria e rappresenta antipoarità tra centro di pressione ed asse neutro, oppure possiamo dire che esprime a poarità tra i simmetrici dei centri di pressione e i reativi assi neutri. In particoare si osserva che se i centro di pressione C appartiene a eisse d ineria principae, aora asse neutro è tangente a eisse ne punto C s simmetrico a centro di pressione C. tro concetto importante è dato da noccioo centrae d ineria, definito come a ona in cui deve cadere i carico per avere soecitaioni di tipo omogeneo, per cui a seione risuta o tutta compressa o tutta in traione, in atre paroe i noccioo centrae d ineria è i uogo geometrico dei punti che hanno asse neutro esterno o tangente aa seione. Esempio in aboratorio esempi svoti.