CAP.3. P (x,y,z(x,y)) Y O

Transcript

1 CAP. Gradi di ibertà e vincoi inora ci siamo occupati di stabiire e condiioni per cui punti materiai e corpi rigidi considerati iberi neo spaio siano in equiibrio. Nea pratica però situaioni di questo genere sono piuttosto rare in quanto moto più spesso si trovano probemi in cui i corpi non sono competamente iberi di muoversi neo spaio ma risutano in quache modo vincoati. Per definire in modo preciso i concetto di vincoo è opportuno definire i concetto di grado di ibertà. e consideriamo un punto materiae P neo spaio, sappiamo che a sua posiione è definita, in modo univoco, da grandee scaari (e sue coordinate). i dice per questo che i punto neo spaio ha gradi di ibertà in quanto, quaunque sistema di riferimento si consideri, anche non cartesiano, a sua posiione è definita da tre coordinate indipendenti. P (,,) P (,,(,)) Q P ((t),(t),(t)) t O O O e i punto materiae è vincoato a stare su di una superficie (ad es. un piano), i gradi di ibertà sono. In questo caso a condiione di appartenena aa superficie può essere interpretata come una triione dei gradi di ibertà de punto ed è esprimibie anaiticamente da un equaione che ega e coordinate de punto, ad es. equaione de piano: a b c d e i punto è vincoato a stare su di curva, ad es. una retta, nt q nt q nt q dove n, n n sono i eni direttori dea retta e q, q, ) e coordinate di un punto dea retta stessa,, ( q ascissa curviinea t, che individua a posiione de punto, corrisponde a unico grado di ibertà. I vincoi sono quindi condiioni (spesso esprimibii con equaioni) che imitano i gradi di ibertà dei punti. Passando da un punto materiae ad un sistema di n punti materiai, i gradi di ibertà risutano in generae pari a n. e però si tratta di un sistema rigido si ha una notevoe riduione degi effettivi gradi di ibertà a causa dee reaioni esistenti tra e coordinate dei vari punti, a cui distana reativa è tante. Più sempicemente per una vautaione dei gradi di ibertà è opportuno considerare i sistema nea sua gobaità. i consideri prima i probema ne piano. Per individuare a posiione de corpo rigido ne piano, basta considerare due punti arbitrari distinti A e. A( A, A ) ϕ Β ϕ C θ A ϕ ( A, A, A ) C

2 Conoscendo e oro coordinate è possibie determinare e coordinate di quasiasi atro punto de corpo. issando A, cioè fissando e sue coordinate (, ) A A, i punto è vincoato a muoversi su una circonferena attorno ad A. Quindi fissando inotre a posiione angoare di, ϕ, si finisce per definire competamente a posiione de corpo. Perciò si dice che i corpo rigido ne piano ha gradi di ibertà. Ripetendo o stesso ragionamento neo spaio bisogna considerare ameno punti (A,,C), non aineati, per compessivamente gradi di ibertà. issando i punto A di coordinate (,, A A A ), i punto può muoversi su di una sfera di centro A e raggio A. issando e sue coordinate sferiche ( ϕ, ϑ ), i punto C risuta potersi muovere su una circonferena attorno ad una retta passante per A e. issando infine a sua coordinata angoare ϕ, a posiione de corpo risuta competamente determinata. C e i corpo non è competamente vincoato si dice abie ed i suo moto sotto aione dee fore agenti è oggetto de corso di eccanica. e i vincoi sono necessari e sufficienti a fissare i gradi di ibertà si dice che i corpo è isostatico. e invece sono esuberanti, i corpo si dice iperstatico. Questi due utimi casi saranno oggetto di particoare trattaione ne ambito di questo corso. Caratteriaione statica dei vincoi. Caso piano. I vincoi agiscono però non soo come imitaione cinematica ma anche come agenti statici, cioè capaci di esercitare fore su corpo. upponiamo infatti di avere un corpo isostatico ed esercitiamo su di esso dee fore arbitrarie. Dato che i corpo rimane nea sua posiione di quiete, insieme dee fore è equiibrato, cioè e aioni esercitate dai vincoi (reaioni vincoari) controbianciano esattamente e fore appicate. L insieme dei vincoi esterni viene comunemente indicato con i termine teaio, inteso come que eemento esterno rigido e di resistena infinita, capace di esercitare fore comunque intense, uguai e contrarie a quee esercitate da corpo sui vincoi. Da notare infine che i sistema di fore esterne ed i sistema di aioni su teaio sono staticamente equivaenti. Pertanto i vincoi possono essere interpretati come degi eementi attraverso i quai e fore appicate a corpo si trasmettono a teaio. i vedano in ab. i più comuni vincoi piani. I probemi di statica consistono esseniamente ne determinare, date e fore agenti su corpo, e reaioni vincoari. I procedimento di souione consiste in: ) sostituione dei vincoi con e rispettive reaioni vincoari, fissando arbitrariamente i verso (diagramma de corpo ibero) ) imposiione dee condiioni di equiibrio (equaioni cardinai) ) souione de sistema di equaioni Ne caso piano e equaioni di equiibrio, per ogni corpo, si tradurranno in R (equiibrio aa trasaione ungo ) R (equiibrio aa trasaione ungo ) (equiibrio aa rotaione attorno a ) Da notare che essendo a risutante dee fore nua, i momento risutante risuta indipendente da poo. Esempio Data a trave incernierata ad un estremo ed appoggiata a atro e caricata come mostrato in figura, si procede innani tutto aa sostituione dei vincoi con e corrispondenti reaioni incognite, cioè a disegno de iddetto diagramma de corpo ibero. / / i noti che e incognite sono. Dopo di che si impongono e equaioni di equiibrio: 4

3 INCOLO REAIONE NUERO INCOGNIE IOLO rui appoggio iscio ora di direione nota cavo bieetta ora di direione nota manicotto guida asoa ora di direione nota cerniera appoggio ruvido ora di direione incognita manicotto guida ora di direione nota emomento incastro ora e momento ab. incoi ne piano 5

4 sen R R cioè in forma matriciae: sen Detta A a matrice dei coefficienti e a matrice composta da coefficienti e termini noti, si verificano diverse situaioni, a seconda dea caratteristica o rango dee matrici A e, cioè de ordine massimo dee matrici quadrate estraibii con determinante non nuo. I teorema di Capei dice che condiione necessaria e sufficiente per avere una souione è che i rango di A sia uguae a rango di. e IOAICO sistema souione det R A R A e / π Quindi R A mentre R sistema impossibie IPOAICO, LAILE e invece < R A R numero incognite souioni sistema IPERAICO Quindi in generae, date e equaioni di equiibrio nee incognite reaioni vincoari, in forma matriciae: b A [ ] A b si hanno sistemi isostatici: R A R numero incognite una souione sistemi abii: R A <R mancano vincoi sistemi iperstatici: R A R <numero incognite infinite souioni e poi per un sistema isostatico R A è pari a numero di gradi di ibertà si dice che i sistema è intrinsecamente isostatico, cioè ha una souione indipendentemente da carico. Un esempio di sistema isostatico ma non intrinsecamente isostatico è i seguente: P P i può facimente verificare che i sistema ha una souione, ottenibie imponendo equiibrio aa trasaione verticae e aa rotaione. R A R < numero di gradi di ibertà (). L equiibrio dipende però daa condiione di carico. Infatti se aa trave è appicato un carico oriontae, questo non può essere equiibrato dae reaioni vincoari che non hanno componenti oriontai. In ta caso i sistema sarebbe abie.

5 Un esempio di sistema intrinsecamente isostatico è invece i seguente: H H R R A La caratteristica dea matrice A è, indipendentemente da carico. eguono atri esempi, di cui si ascia ao studente o studio dettagiato. istema abie se trave soggetta a fora verticae o a momento, isostatico se soo a fora oriontae istema intrinsecamente isostatico Questo caso differisce da precedente perché è interrotta a continuità dea trave. I sistema è abie per carichi verticai o momenti appicati aa primo tratto di trave, isostatico atrimenti. istema abie per carichi oriontai, iperstatico atrimenti. istema intrinsecamente isostatico per kπ, abie per kπ e carichi verticai appicati, iperstatico per kπ e carichi verticai nui. a a 45 istema isostatico se momento risutante appicato nuo, abie atrimenti, in quanto non è impedita a rotaione attorno a punto di convergena dee rette d aione dee reaioni vincoari. Per rendero intrinsecamente isostatico basterebbe incinare i vincoo diversamente da 45 o diversificare e unghee dei due bracci. In particoare si nota che i fatto che i numero di reaioni gobai sia maggiore o uguae a numero di gradi di ibertà non impica necessariamente che i sistema sia iper- o iso-statico. Importante è a disposiione dei vincoi. In generae si può dire che un corpo non è vincoato correttamente se e rette d aione dee reaioni vincoari sono paraee o concorrenti in un punto. L equiibrio aora dipende da carico esterno. 7

6 Cenni ai probemi di statica neo spaio La metodoogia sviuppata per i probemi piani può essere direttamente estesa ai probemi spaiai. Da punto di vista pratico, ne impostaione e souione di probemi spaiai sorgono in genere maggiori difficotà egate aa più difficie rappresentaione grafica deo schema e a fatto che i numero di gradi di ibertà per un corpo rigido neo spaio è i doppio di queo ne piano. utti i probemi reai sono di fatto tridimensionai ma spesso a oro approssimaione piana può fornire indicaioni sufficienti per gi scopi pratici. In acuni casi invece non è ecito prescindere daa tridimensionaità e, in ta caso si deve ricorrere a tutte e condiioni di equiibrio che, in termini scaari sono per un generico corpo rigido : equaioni per e componenti dea risutante dee fore (R R R ) e equaioni per e componenti de momento risutante ( ). La casistica di vincoi neo spaio è ovviamente più ampia di quei ne piano, in ab. ne vengono riportati i più importanti per e appicaioni. Esempio È dato un porteone di massa pari a kg, di dimensioni 8cmcm, vincoato in basso da una cerniera piana in O e da una cerniera sferica in O, e sostenuto neo spigoo da un cavo agganciato in A. Determinare, nea posiione rappresentata, e reaioni vincoari, compresa a tensione de cavo. A A 4 4 G P94N G O O Le incognite sono : - e componenti e dea reaione dea cerniera piana - e componenti,, dea reaione dea cerniera sferica - a tensione de cavo. sono anche i gradi di ibertà de porteone neo spaio che risutano pertanto vincoati. sono quindi e equaioni di equiibrio che possono essere scritte. Prima di tutto occorre esprimere a tensione de cavo nee sue componenti cartesiane,ossia tramite i moduo (incognito) e i suoi eni direttori (quei de segmento A ). n r r n n n. r OA O n OA. OA O. Le equaioni di equiibrio aa trasaione risutano: O.8. n r

7 Le equaioni di equiibrio aa rotaione possono essere scritte in forma vettoriae oppure direttamente in termini di componenti cartesiane. Ne primo caso si ha: r ' k j i k j i k j i O R OO P OG O r r che sviuppata dà e equaioni scaari reative ae componenti cartesiane de momento risutante O O O A questo punto si può risovere i sistema compessivo di equaioni (per sostituione):

8 INCOLO REAIONE NU. INCOGN. cavo sfera appoggio iscio ruo su sup. ruvida ruo su rotaia cuscinetto orientabie ibero assiamente appoggio ruvido cerniera sferica cuscinetto orientabie boccato assiamente cerniera spaiae scorrevoe (bronina) 4 5 cerniera spaiae fissa (forcea con perno, bronina con cuscinetto di spinta) incastro ab. incoi neo spaio