METODO DEGLI SPOSTAMENTI

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1 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI.. Introuzione ee conizioni a contorno e souzione Per trovare gi spostamenti incogniti ei noi bisogna introurre nea reazione matriciae i equiibrio e conizioni a contorno, espresse come forze e/o spostamenti ai noi e quini risovere i sistema i equazioni utiizzano, per strutture a moti eementi, un metoo per a souzione i grani sistemi i equazioni. Consierati i proceimenti seguiti per a eterminazione ee equazioni i equiibrio e'eemento e ea struttura, a souzione che si ottiene è equiibrata e congruente. Le reazioni per i cacoo egi spostamenti incogniti possono ottenersi partizionano a matrice [K] e i vettori {F} e {} in moo a separare i carichi appicati ai noi iberi F (noti) a quei appicati ai noi vincoati F v (incogniti) e gi spostamenti ei noi iberi (incogniti) a quei vincoati v (noti): F F v K Kv K K v vv v (.) La matrice i rigiezza risuta così formuata per mezzo i sottomatrici reative ai ue sistemi i forze e ai ue sistemi i spostamenti.

2 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI Daa (.) può scriversi: F K K v v che consente i ricavare gi spostamenti incogniti ei noi iberi: K F K v v Noti gi spostamenti, possono cacoarsi e reazioni vincoari a'atra reazione matriciae ricavabie aa (.): e e eformazioni e e tensioni. F K K v v vv v

3 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI.. sempi... Souzione i una struttura a ue aste a tre grai i ibertà A =; = A =; = Sia ato i sistema a g... i figura. per i quae, con riferimento aa fig..8, vagono e conizioni: =? =? = F = F = F =X Figura. Figura. Scomponeno i sistema nei ue eementi che o compongono, secono o schema i fig..9 moificato nea numerazione come in figura., e ricorano a., si possono scrivere e equazioni i equiibrio egi eementi:

4 MTODO DGLI SPOSTAMNTI Corso / Osservano che, per esempio, è (punto..): si può scrivere a reazione matriciae i equiibrio ea struttura: che, opo 'introuzione ee conizioni a contorno, iventa: () () () q q Q Q () () () q q 5 Q Q 5 k k K k K () () () F F F X

5 Corso / Da questa si può scrivere: MTODO DGLI SPOSTAMNTI X ( ) Daa prima reazione si ricavano ue equazioni nee ue incognite quai si cacoano: 5 Daa secona si ottiene: X = - 5 Le eformazioni e e tensioni nee aste vagono pertanto: e, ae ( ) q q () () () () ( ) q q 5 σ =ε = σ =ε =5

6 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI Si osservi che i grai i ibertà non vincoati sono stati numerati prima i queo vincoato. Tae moo i numerare può contribuire a riurre o sforzo computazionae perché consente i assembare e processare sotanto a porzione ea matrice i rigiezza necessaria per trovare gi spostamenti: ne esempio soo quattro ei nove coefficienti i rigiezza sono richiesti per a souzione. Inotre può servire per assegnare una numerazione ei noi iberi che consenta a migiore progressione a fine i riurre ampiezza ea arghezza i bana, con obiettivo utimo i minimizzare o sforzo i cacoo nea souzione e sistema i equazioni conformemente a quanto etto in... opportuno notare che a reazione i equiibrio (.) è inipenente ae conizioni a contorno, che intervengono nea trattazione e probema sotanto a momento ea partizione ea matrice i rigiezza. Inotre a matrice i rigiezza ea (.) è singoare e, quini, non invertibie. Aora tae reazione non consente i ricavare irettamente gi spostamenti ei noi perché non si può risovere i sistema i equazioni: questo corrispone a fatto che non si sono ancora efiniti i vincoi, per cui a struttura è ibera i muoversi i un moto rigio arbitrario. Sotanto a efinizione i appropriati vincoi consente i trasformare a matrice, privanoa ee righe e ee coonne corrisponenti a essi, in una con eterminante positivo (efinita positiva), invertibie, cioè nea matrice partizionata [K ] ea (.) e, quini, a un punto i vista fisico, consente i eiminare a abiità ea struttura.

7 Corso / Figura. MTODO DGLI SPOSTAMNTI... Risouzione in forma matriciae e'esempio e punto. La struttura i fig.. si può schematizzare come in fig.. nea quae F =P, F = e F,.,F 8 coinciono con e reazioni ei vincoi esterni X,,Y. Ipotizzano e A uguai per e tre aste, aa (.6) possono scriversi e matrici i rigiezza ee tre aste: - eemento : 5 6 k A 5 6

8 MTODO DGLI SPOSTAMNTI Corso / - emento : - eemento : - eemento : Figura. A k A k k A

9 MTODO DGLI SPOSTAMNTI Corso / Assembano si ottiene a matrice 8x8: Si può scrivere infine, introuceno i vettori carichi e spostamenti ai noi: A K K Y X Y X Y X P

10 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI Partizionano a matrice [K] e isoano i termini reativi agi spostamenti incogniti si ottiene: P A che permette i cacoare: P.5858 A A che coincie co vaore cacoabie con 'espressione trovata in.: A P cos 5 Non si riporta per brevità i cacoo ee reazioni vincoari e ee tensioni nee aste. A

11 Corso / MTODO DGLI SPOSTAMNTI. PROCDIMNTO GNRAL DI ANALISI Riassumeno, a souzione i una struttura reticoare meiante a formuazione matriciae i equiibrio può essere ottenuta con i seguente proceimento: ) erivazione ee equazioni i equiibrio ei singoi eementi: {Q} = [k]{q} nea quae {Q} è i vettore ee forze noai (forze normai e i tagio, momenti fettenti e torcenti), {q} è i vettore egi spostamenti noai e [k] è a matrice i rigiezza e'eemento; ) assembaggio egi eementi nea struttura competa e erivazione ee equazioni i equiibrio ai noi: {F} = [K]{} nea quae {F}e {} sono rispettivamente i vettore ee forze esterne agenti nei noi e i vettore egi spostamenti noai; [K] è a matrice i rigiezza ea struttura; ) introuzione ee conizioni a contorno e souzione: K F K v v

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