Ènoto ad un qualunque studente di matematica Un criterio di divisibilità generalizzato. di Paolo La Rocca 1. matematicamente.

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1 1. Un criterio i ivisibilità generalizzato SUNTO In questo articolo viene presentato un criterio i ivisibilità per un qualunque numero purché sia coprimo i. Di questo criterio si offre una imostrazione basata sulla soluzione i un equazione iofantea lineare. Il metoo per risolvere l equazione offre un esempio significativo i utilizzo el foglio i calcolo elettronico. ABSTRACT In this paper a ivisibility criterion for any number coprime of is presente. A proof base on the solution of a liner iophantine equation is given. The equation is solve with the ai of the spreasheet, showing a significant example of the use of this tool. 1 Introuzione Ènoto a un qualunque stuente i matematica che esistono ei criteri per eterminare se un numero naturale N è ivisibile per un numero naturale < N. Tali criteri sono utili in quanto permettono una verifica ella ivisibilità meno laboriosa ella ivisone iretta i N per. A esempio, un numero è ivisibile per 2 se e solo se la cifra elle unità è pari; un numero è ivisibile per 3 se e solo se la somma elle sue cifre è ivisibile per 3 (un analogo criterio esiste per il 9); un numero è ivisibile per 5 se e solo se la cifra elle unità è 0 oppure 5. In generale utilizzare un criterio i ivisibilità per un numero, significa sostituire a N una sua funzione f (N) che assume valori interi e tale che f ( N) < N, che sia ivisibile per se e solo se N i Paolo La Rocca 1 è ivisibile per. A esempio, nel criterio i ivisibilità per 3 la funzione f è somma i tutte le cifre (vei Vorob ev [1] e per alcune notizie storiche e un confronto tra iversi criteri vei anche Di Stefano [2]). Consieriamo il seguente criterio i ivisibilità per 7, meno noto egli altri: Un numero naturale N è ivisibile per 7 se e solo se è ivisibile per 7 il numero che si ottiene rimuoveno a N la cifra elle unità e sottraeno il prootto i tale cifra per 2 al numero formato alle rimanenti cifre i N. A esempio per eterminare se è ivisibile per 7 si cancella il 5, otteneno 4126; si sottrae (prootto ella cifra eliminata 5 per 2) otteneno Reiterano la proceura si ottengono i numeri 399 e 21. Poiché 21 è ivisibile per 7, lo è anche il numero originario (si può anche reiterare un altra volta arrivano a 0, che è ivisibile per 7). In questo articolo iscuteremo una imostrazione elementare i tale criterio, che può essere proposta come percorso i approfonimento a livello i scuole superiori, e che può essere facilmente generalizzata per prourre criteri i ivisibilità per qualunque numero che termini con le cifre 1,3,7,9; in particolare unque per qualunque numero primo (eccetto 2 e 5). È eviente l interesse che tale tipo i problematiche ha anche per la eterminazione ella primalità i un numero (vei D Anrea [3]). Useremo la notazione N per inicare che è un ivisore i N, ovvero che N è un multiplo i ; a esempio 3 24, in quanto 3 8=24. 1 Docente presso il Liceo Scientifico J.F.Kenney, Roma; paololar@libero.it 19

2 2 Il criterio i ivisibilità per 7 Premettiamo la seguente Proposizione 1 Siano, A, B N, A e B se e solo se (Ax + By) per ogni x, y Z In altre parole se un numero è ivisore i un numero A e i un numero B, è anche ivisore i una qualunque combinazione lineare i A e B a coefficienti interi (e viceversa). Il teorema iretto segue alla proprietà istributiva ella ivisione; quello inverso si ottiene poneno 1 e y =0, oppure 0 e y =1. La imostrazione consiste nel trovare una combinazione lineare ei ue numeri che sia ivisibile per 7. Si può proceere sottraeno ripetutamente a N il numero a + b 2c finché non si arriva a un numero ivisibile per 7. Sono necessari 3 passi: 0a+ b+ c a + b 2c 90a + 9b + 3c a + b 2c 80a + 8b + 5c a + b 2c 70a + 7b + 7c Veiamo come si può riformulare il criterio i ivisibilità per 7 sopracitato utilizzano la scrittura polinomiale ei numeri in base. Consieriamo un generico numero i tre cifre N = abc (veremo che ciò non comporta alcuna perita i generalità), cioè in forma polinomiale N = 0a +b + c. La funzione f su cui si effettua la verifica i ivisibilità per 7, espressa in termini elle tre cifre a,b,c è: f ( N)= a+ b 2c; infatti cancellano la cifra ell unità, a iventa la cifra elle ecine mentre b quella ella unità. Il criterio i ivisibilità per 7, riferito a numeri i 3 cifre, viene unque espresso alla seguente: PROPOSIZIONE 2 Sia N = abc un numero naturale scritto in forma ecimale, esseno a, b e c cifre comprese tra 0 e 9; si ha: 7 a+ b 2c seesolose 7 0a+ b+ c. In realtà si potrebbe utilizzare una notazione più compatta, scriveno il generico numero come q+u, ove q è il quoziente ella ivisione per e u il resto, cioè le unità. Si è però preferito utilizzare la notazione ecimale estesa per ragioni i chiarezza, pensano questo come un percorso iattico i approfonimento per le scuole superiori, coerentemente con la scelta aottata a ottimi libri i testo in commercio come a esempio quello i Lamberti, Mereu e Nanni [4]. L equazione a cui si perviene, la (3) nelle pagine seguenti, che è la base per i risultati ottenuti, risulta comunque inipenente a tale scelta. Si ha unque: 70a+ 7b+ 7c+ 3( a+ b 2c) = 0a+ b+ c Poiché 70a + 7b +7c è ivisibile per 7, se a + b 2c è ivisibile per 7 lo è anche il secono membro, cioè N (Proposizione 1). Viceversa, sempre per la Proposizione 1, se N è ivisibile per 7 lo è anche 3(a + b 2c) e unque a + b 2c, esseno 3 e 7 primi tra loro. La Proposizione 2 è così imostrata. Si può osservare che si sarebbe arrivati allo stesso risultato anche parteno a un numero con più i 3 cifre, a esempio con 4 cifre, a, b, c, saremmo arrivati a 700a + 70b + 7c + 7 ecc. Dunque nel seguito, per semplicità, faremo riferimento a numeri i 3 cifre. 3 Il criterio i ivisibilità in generale Ci proponiamo i stabilire in quali casi vale la seguente: PROPOSIZIONE 3 Un numero naturale N è ivisibile per se e solo se è ivisibile per il numero che si ottiene rimuoveno a N la cifra elle unità e aggiungeno il prootto i tale cifra per un opportuno numero intero x (moltiplicatore) al numero formato alle rimanenti cifre i N. Questo criterio è menzionato a esempio nell ar- 20

3 ticolo Divisibility criterion ell Enciclopeia ella matematica [5] ove si parla però i una sua possibile generalizzazione solo per numeri ella forma k c±1, ove c è un numero intero. Il caso = 7 rientra in questa formulazione più generale se si pone 2 (sottrarre 2 volte un numero equivale a aggiungere 2 volte lo stesso numero). Veiamo qual è la conizione che eve essere soisfatta affinché esista tale numero. Consieriamo prima il caso i ivisori <. La funzione su cui verificare la ivisibilità vale f ( N)= a+ b+ xc. Il numero i passi, cioè il numero i volte che eve essere sottratta f(n)per arrivare a un numero ivisibile per, è n =. Il coefficiente i c a cui si arriva opo tale numero i passi è 1 n x. Si ha un crite- rio i ivisibilità se e solo se tale numero è uguale a o a un suo multiplo intero, in moo che tutti i coefficienti siano ivisibili per. Ciò avviene quano è soisfatta la seguente equazione: cioè, (1) 1 n m con m Z, 1 ( ) m Si ha un criterio i ivisibilità per ella forma ella Proposizione 3, se e solo se tale equazione ammette soluzioni (x,m) intere. Consieriamo ora il caso i ivisori >. Il numero i passi è n = e per arrivare a un numero ivisibile per occorre ora aggiungere a N il numero f ( N)= a+ b+ xc. Si arriva unque all equazione: 1+ n m con m Z, cioè, (2) 1+ ( ) m, che è equivalente alla (1). Le equazioni (1) e (2) possono essere riscritte come: (3) ( ) x+ m = 1, che è un equazione iofantea lineare (un equazione iofantea è un equazione a coefficienti interi), per cui si cercano soluzioni intere nelle incognite x e m, ella forma ax + bm = c, ove i coeffi- 21 cienti a e b ipenono a, mentre c è uguale a 1. Sappiamo alla teoria elle equazioni iofantee, vei a esempio Courant e Robins [6], oppure Anrews [7] che tale equazione ammette soluzioni se e solo se c è un multiplo i M.C.D.(a,b). Nel caso ell equazione (3), poiché c = 1, essa ammetterà soluzioni se e solo se M.C.D.(, )= 1, cioè ancora se e solo se e solo primi tra loro, il che si verifica per tutti e soli i numeri che terminano con le cifre 1,3,7,9. Sappiamo inoltre che se (x 0, m 0 ) è una soluzione particolare ell equazione, la soluzione generale è ella forma: x + k (4) m = m k( ), 0 0 ove k è un qualunque numero intero. Rimane il problema i trovare una soluzione particolare ell equazione. Poiché per il criterio i ivisibilità in stuio siamo interessati in particolare all incognita x, abbiamo esplicitato l equazione (3) rispetto a x, otteneno: m 1 (5) Questa può essere consierata una funzione aritmetica nelle variabili m,, che può essere stuiata con l ausilio el foglio i calcolo. Nella Tabella 1 si riportano i valori i x ottenuti con il foglio i calcolo per valori i 8 m 5 e valori i 1 41(prima colonna). A ciascun valore intero i x corrispone un criterio i ivisibilità per il corrisponente numero. Dalla tabella risulta che si ha 3 per = 29 (in corrisponenza i m = 2). Consieriamo il numero = 8112 (che quini sappiamo essere ivisibile per 29). Verifichiamo che l algoritmo el criterio i ivisibilità (Proposizione 3) ci fornisce la ivisibilità el numero; applicanolo ripetutamente a 8112 si ottengono i numeri: 817, 12, 116, 29; unque 8112 è ivisibile per 29. Dalla tabella risulta 4 per = 41. Consieriamo il numero = Applicano a tale numero l algoritmo otteniamo in successione: , 40426, 4018, 369, 0; quini è ivisibile per 41.

4 m=-8 m=-7 m=-6 m=-5 m=-4 m=-3 m=-2 m=-1 m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m= , , , , , , , , , , , , ,125 1,875 1,625 1,375 1,125 0,875 0,625 0,375 0,125-0,125-0,375-0,625-0,875-1, , , , , , , , , , , , , ,5 4, , ,5 2, , ,5 0, , ,5-1, , ,5-3, ,2 7,2 6,2 5,2 4,2 3,2 2,2 1,2 0,2-0,8-1,8-2,8-3,8-4,8 6 12,25,75 9,25 7,75 6,25 4,75 3,25 1,75 0,25-1,25-2,75-4,25-5,75-7, , , , , , , , , , ,5 28,5 24,5 20,5 16,5 12,5 8,5 4,5 0,5-3,5-7,5-11,5-15,5-19, ,5-42,5-36,5-30,5-24,5-18,5-12,5-6,5-0,5 5,5 11,5 17,5 23,5 29, , , , , , , , , , ,25-24,75-21,25-17,75-14,25 -,75-7,25-3,75-0,25 3,25 6,75,25 13,75 17, ,2-21,2-18,2-15,2-12,2-9,2-6,2-3,2-0,2 2,8 5,8 8,8 11,8 14, ,5-18, , ,5 -, , ,5-2, , ,5 5, , ,5 13, , , , , , , , , , , , , ,125-15,875-13,625-11,375-9,125-6,875-4,625-2,375-0,125 2,125 4,375 6,625 8,875 11, , , , , , , , , , , , , ,1-14,1-12,1 -,1-8,1-6,1-4,1-2,1-0,1 1,9 3,9 5,9 7,9 9, , , , , , , , , , , , , , ,75-12, , ,25-7, , ,75-1, , ,75 3, , ,25 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5-1, , , , , , , ,4-11, , ,4-6, , ,4-1, , ,6 3, , ,6 8, , ,4375-9,8125-8,1875-6,5625-4,9375-3,3125-1,6875-0,0625 1,5625 3,1875 4,8125 6,4375 8, , , , , , , , , , , , , , ,5 -, , , , , , , , ,5 3, , , , , , ,2526-7, , , ,5263-1, , , , , , ,05 -,55-9,05-7,55-6,05-4,55-3,05-1,55-0,05 1,45 2,95 4,45 5,95 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,375-9, , ,125-5, , ,875-1, , ,375 2, , ,625 7, ,24-9,84-8,44-7,04-5,64-4,24-2,84-1,44-0,04 1,36 2,76 4,16 5,56 6, , , , , , , , , , , , , ,5 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7143-2,75-1, , , , , , , ,7931-9, ,3448-6, , , , , , ,3345 2, , , ,7-9, , ,7-5, , ,7-1, , ,3 2, , ,3 6, ,6129-9, , , , , , , , , , , , Tabella 1. I valori i x ottenuti con il foglio i calcolo. I risultati ella tabella suggeriscono alcune consierazioni. OSSERVAZIONE 1. Come ci aspettavamo, si ottengono criteri i ivisibilità per tutti e soli i numeri che terminano con le cifre 1,3,7,9. OSSERVAZIONE 2. A ciascun valore i corrisponono iversi valori interi i x, che sono congrui moulo ; ciò è eviente a esempio nelle righe corrisponenti a = 11 e a = 9, ma si può rilevare anche per = 3, =7 o = 13. Come etto sopra questa è una proprietà generale elle soluzioni elle equazioni iofantee, vei equazioni (4), che si può comunque imostrare anche a partire all equazione (5). Infatti, supponiamo che per un ato ci sia un x intero in corrisponenza i un certo m 0. Aggiungeno k, con k intero, a entrambi i membri ella (5) si ottiene: m 1 m 1+ k( ) 0 0 x+ k = + k = = ( m + k( )) 1 0 = ; unque anche x + k soisfa la (5) con un valore iverso i m, e è un altro possibile moltiplicatore nel criterio i ivisibilità per. 22

5 OSSERVAZIONE 3. Si osservano anamenti lineari el valore el moltiplicatore x, per numeri che terminano con la stessa cifra. A esempio per = 3,13,23 si ottengono i valori i x rispettivamente i 1,4,7 (incrementano i 3 per ogni ecina) e i corrisponenti valori i m sono rispettivamente 2,1,4. Si può imostrare che tali anamenti proseguono all infinito. Consieriamo appunto il caso ei ivisori che terminano con la cifra 3. I iversi valori i e i m si possono scrivere in termini i un numero n 0 che rappresenta in numero i ecine presenti in : e m = 1+ 3( n 1) ; il corrisponente valore i x, per la (5), vale: m 1 n n = 1+ 3( 1) ; n + 3 svolgeno il prootto a numeratore e scriveno i polinomi in forma normale si ottiene: 2 30n 11n 7 = 3n + 1; n 7 ove nell ultimo passaggio si è utilizzato l algoritmo ella ivisione tra polinomi. Quini x è intero per ogni n e il suo valore incrementa i 3 unità per ogni ecina i. Ricoriamo che questo è solo un valore el moltiplicatore per (quello più piccolo in valore assoluto) e ce ne sono infiniti altri congrui a esso moulo. Si possono unque scrivere elle funzioni lineari che forniscono irettamente i valori ei moltiplicatori per ogni che termina con le cifre 1,3,7,9. 1º CASO. ( termina con la cifra 1) Dalla tabella si ha 1 per = 11, e il valore i x iminuisce i una unità per ogni ecina i ; si ha unque: 11 ( 1) 1; cioè: = n+ 3 x = +1 2º CASO. ( termina con la cifra 3) Come visto prima si ha 1 per = 3 e si ha un incremento i 3 unità per ogni ecina i : cioè ; º CASO. ( termina con la cifra 7). Dalla tabella si ha 2 per = 7, e il valore i x iminuisce i tre unità per ogni ecina i ; ragionano come negli altri casi si arriva a: º CASO. ( termina con la cifra 9). Dalla tabella si ha 1 per = 9, e il valore i x aumenta i una unità per ogni ecina i ; i nuovo come negli altri casi si arriva a: +1 Determiniamo un criterio i ivisibilità per Il numero termina con la cifra 7 e unque rientra nel 3º caso. Dalla formula per x si ottiene 845. Verifichiamo la valiità el criterio sul numero = Rimuoveno la prima cifra abbiamo ; aggiungeno = 2535 otteniamo Reiterano la proceura otteniamo i numeri , , 19719, 5634; poiché l ultimo numero è chiaramente ivisibile per 2817, lo è anche il numero originario Determiniamo un criterio i ivisibilità per 319. Il numero termina con la cifra 9 e unque rientra nel 4º caso: 32. Verifichiamo la valiità el criterio sul numero = Applicano ripetutamente l algoritmo el criterio con 32 otteniamo: , 26982, , 27115, 2871, 319. Dunque è ivisibile per 319. I risultati ottenuti possono essere riassunti nel seguente: 23

6 TEOREMA (CRITERIO DI DIVISIBILITÀ) Sia > 1 un numero naturale la cui scrittura ecimale termina con le cifre 1,3,7,9. Un numero N > è ivisibile per se e solo se è ivisibile per il numero che si ottiene rimuoveno a N la cifra elle unità e aggiungeno il prootto i tale cifra per un opportuno numero intero x (moltiplicatore) al numero formato alle rimanenti cifre i N. I valori ei moltiplicatori sono: ± k ± k, per ivisori che terminano con le cifre 9 (+) o 1 ( ), per ivisori che terminano con le cifre 3 (+) o 7 ( ) ove k è un qualunque numero intero. Osserviamo che per = 11 oltre al valore 1 (che corrispone a rimuovere l ultima cifra e sottrarla al numero formato alle rimanenti cifre) si può utilizzare il valore che fornisce un criterio altrettanto pratico e che tra l altro può essere utilizzato anche per =9. A esempio, parteno a = otteniamo molto rapiamente 2178, 297, 99, che infatti è ivisibile sia per 9 sia per 11. Infine poiché vale anche il teorema inverso, possiamo usare l algoritmo per imostrare la non ivisibilità i un numero per un altro. A esempio aggiungeno 9 al numero preceente si ottiene 21492, che non è più ivisibile per 11, ma è ancora ivisibile per 9. Il criterio con fornisce 2169, 306, 90, che infatti è ivisibile per 9 ma non per 11. Bibliografia [1] Vorob ev, N.N. (1980) Criteria of ivisibility, University of Chicago Press. [2] Di Stefano, C. (1998) Nuovi criteri i ivisibilità?, in: Diattica elle scienze e informatica nella scuola, Anno XXXIII n.193. [3] D Anrea, A.(2003) Complessità e numeri primi, Archimee, 3, [4] Lamberti, L., Mereu, L., Nanni A. (2007) Corso i matematica, Algebra 1, Etas, Milano. [5] Nechaev, V.I. (1989) Divisibility criterion, in: Encyclopaeia of mathematics, Kluwer Acaemic Publishers, Dorrecht, The Netherlans, 3, [6] Courant, R., Robbins, H. (1996) What is Mathematics, Oxfor University Press. [7] Anrews,G.E. (1971) Number theory, Dover Publications, New York. 24