Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Modulo di PRESTAZIONI

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1 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 1 Corso i Laurea in Ingegneria Aerospaziale Moulo i PRESTAZIONI Docente : Ing. F. NICOLOSI CAP. 7 CALCOLO DELLA VELOCITA IN VOLO LIVELLATO

2 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 7.1 PRESTAZIONI DI VOLO Nel capitolo 5 abbiamo trattato le caratteristiche necessarie, cioè il calcolo ella spinta o ella potenza necessarie al volo livellato. Nel capitolo 6 abbiamo invece trattato le caratteristiche isponibili, cioè la spinta e la potenza isponibili all impianto propulsivo. Quano si hanno a isposizione i ati geometrici, i massa, aeroinamici e propulsivi i un velivolo possono essere valutate le sue prestazioni. Dall analisi effettuata già nel cap. 5, abbiamo visto che si possono scrivere elle equazioni generali el moto i un velivolo nel quale le forze agenti (aeroinamiche e propulsive), insieme alle forze i inerzia (accelerazioni) vanno a costituire un equilibrio istante per istante. In generale le prestazioni i un velivolo possono essere suivise in ue gruppi : prestazioni in volo non accelerato (cioè senza che ci siano accelerazioni in gioco) e prestazioni in volo accelerato. Le prestazioni in volo non accelerato (accelerazioni nulle nelle equazioni 5.5, 5.8, 5.11 el cap. 5) i un velivolo sono espresse solitamente alle seguenti : PRESTAZIONI IN VOLO NON ACCELERATO - Velocità massima in volo livellato - Velocità i crociera (a un grao i ammissione <1, a es. 0.75) in volo livellato - Velocità i stallo - Rateo i salita - Angolo i salita - Quota i tangenza pratica e teorica - Tempo i salita - Volo librato - Autonomia oraria e i istanza Mentre quelle in presenza i accelerazioni sono : PRESTAZIONI IN PRESENZA DI ACCELERAZIONI - Prestazioni i ecollo (corsa i ecollo) - Prestazioni i atterraggio - Virata - Manovra nel piano longituinale (cabrata) Nei cap. 7,8,9 tratteremo il primo gruppo.

3 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 3 7. VOLO LIVELLATO Le prestazioni in volo livellato si basano sul consierare la conizione i equilibrio in volo TD e L, cioè portanza uguale al peso e spinta uguale alla resistenza aeroinamica. La fig. 7.1 ripropone quanto già etto nel cap. 5. L D T Fig. 7.1 Il calcolo elle prestazioni in volo livellato consiste nel calcolare la velocità alla quale si equilibra l aereo in corrisponenza i un certo livello i spinta. Questo corrispone al fatto che il pilota, a una certa quota, stabilisce il livello i spinta (o i potenza) ei motori e il velivolo accelererà fino a stabilizzarsi a una certa velocità i equilibrio in corrisponenza ella quale TD. Ovviamente, per volare in volo livellato la portanza ovrà eguagliare il peso e quini, in corrisponenza i quella velocità i volo, il velivolo si troverà a un assetto (angolo i attacco) tale che L CL q S [7.1] quini a velocità elevate ovranno corrisponere CL bassi (assetti meno cabrati) e a velocità basse assetti elevati. E chiaro che quini il problema ella valutazione elle prestazioni in volo livellato (crociera o velocità massima) consisterà nel valutare a quale velocità i volo la spinta isponibile (nel caso el getto) o la potenza isponibile (nel caso ell elica) eguagliano la spinta o la potenza necessaria al volo orizzontale. Abbiamo visto come i motori ei velivoli a getto forniscono una spinta, mentre nei velivoli propulsi a elica la combinazione motore+elica fornisce una potenza propulsiva isponibile pari alla potenza all albero per il renimento ell elica. Sarà perciò naturale, per il calcolo elle velocità i equilibrio, consierare il iagramma ella spinta in funzione ella velocità nel caso el velivolo a getto e il iagramma elle potenze nel caso el velivolo propulso a elica. Nella fig. 7. è mostrata la curva ella potenza isponibile e necessaria per un velivolo a elica a ue quote iverse, mentre in fig. 7.3 sono mostrate le stesse curve per un velivolo a getto. Nella fig. 7. non si è consierato il caso i motore turboelica (vei cap. 6) altrimenti la potenza sarebbe stata funzione ella velocità i volo (effetto ram). E chiaro come a ogni quota, la velocità alla quale si ha l equilibrio varia. Ovviamente, se la spinta (o la potenza) sono quelle in corrisponenza el massimo grao i ammissione avrò le velocità massime in volo livellato alle varie quote. Se invece il grao i ammissione è quello i crociera (a es. 0.75) avrò le velocità i crociera alle varie quote.

4 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 4 DTn T z V [Km/h] Fig. 7.3 PnDV P ηπ a z V[Km/h] Fig. 7.4

5 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato VELOCITA MASSIMA E DI CROCIERA APPROCCIO GRAFICO VELIVOLI A GETTO Se riportiamo su i un iagramma la curva ella spinta necessaria al volo livellato e quella massima isponibile all impianto propulsivo in volo potremo ottenere la velocità i equilibrio. A esempio consieriamo il velivolo MD-80, con i seguenti ati : TO Kg peso massimo al ecollo S118 m b33 m AR9.3 CDo0.018 e0.80 CL MAX 1.5 Imp. propulsivo : motori P JT8D a 8400 Kg i spinta ciascuno, cioè T o 8400 Dai ati geometrici e aeroinamici el velivolo ho : E MAX Da cui la minima spinta necessaria al volo sarà : Kg D MIN E MAX 3538 Kg Anche se non è imensionalmente corretto, esprimeremo le spinte in Kg, inteneno Kgforza (sistema tecnico) perché i più facile comprensione ei Newton. Faremo l approssimazione i consierare la spinta costante con la velocità e ipenente alla quota tramite la relazione T To σ ϕ [7.] ove il valore 0.80 tiene conto ella spinta massima utilizzabile in volo (T o è quella massima utilizzabile in ecollo). A esempio, a quota 0 (S/L) la spinta massima isponibile ai ue motori sarebbe T Kg ben al i sopra ella spinta necessaria. Dai ati preceenti è possibile calcolare la curva ella spinta necessaria a quota 0, a una quota i e anche alla quota i crociera i ft. In fig. 7.5 sono riportate le tre curve in funzione ella velocità i volo e in fig. 7.6 in funzione el Mach i volo. Si vee come la spinta necessaria minima non varia al variare ella quota e che la spinta isponibile è funzione ella quota in ipenenza el rapporto elle ensità. Dall intersezione elle curve è possibile ricavare la velocità massima (o il Mach i volo massimo) alle varie quote. Tutte le curve ella spinta necessaria a ogni quota partono alla corrisponente velocità minima o velocità i stallo 1 Vs [7.3] ρ S CL MAX

6 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato T [Kg] S/L ft ft V [Km/h] Fig T [Kg] S/L ft ft Mach Fig. 7.6

7 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 7 Dalle curve notiamo anche che a quote elevate le intersezioni tra le curve iventano ue. Infatti alla quota i ft (quote i crociera i velivoli i questo tipo) la curva ella spinta massima isponibile (retta orizzontale) interseca sia a sinistra che a estra la curva ella spinta necessaria al volo livellato. Questo significherebbe che ci possono essere ue possibili velocità i volo, una alta e una molto bassa. Questo aspetto è già stato introotto nel cap.5 e si è chiarito che la velocità i equilibrio el ramo sinistro ella curva è una velocità i equilibrio instabile. In ogni caso noi saremo interessati principalmente alla velocità massima (intersezione ramo estro ella curva). E altresì eviente che l intersezione sul ramo sinistro elimita la velocità minima i equilibrio, cioè la velocità minima possibile in volo livellato. Questo a significare che alle quote basse (ove le curve sono istanti sul lato sinistro) la velocità minima è la velocità i stallo ata alla 7.3, ma alle alte la velocità minima i volo livellato corrispone al secono punto i equilibrio. Difatti in corrisponenza ella velocità i stallo il volo livellato non sarebbe possibile in quanto la spinta richiesta (necessaria) è maggiore i quella isponibile. Le velocità minime e massime in volo livellato ricavabili alle figure sopra sono : S/L Vs73 Km/h V MAX 1130 Km/h M ft Vs316 Km/h V MAX 110 Km/h M ft Vs490 Km/h V MAX 994 Km/h M0.93 Si può osservare come la velocità massima in volo livellato non è molto iversa tra le basse e le alte quote. Ovviamente, se si consiera un altro grao i ammissione (a esempio ϕ 0.75; 75% ella spinta, tipiche conizioni i crociera) si ricavano allo stesso moo le velocità i crociera alle varie quote. Al posto ella fig. 7.5 possiamo consierare la fig. 7.7, consierano solo il 75% ella spinta isponibile in volo, cioè il 75% i quella riportata nella 7.5 stessa. Come si vee le velocità i equilibrio (questa volta corrisponenti alla velocità i crociera) alle varie quote sono riotte. In particolare per la quota i ft non ci può essere equilibrio, ciò significa che alla quota i crociera il velivolo potrà volare solo utilizzano una spinta almeno pari al 85-90% ella spinta massima. A esempio al livello el mare la velocità i crociera è i 970 Km/h e a ft sarebbe i 960 Km/h. C è a fare un altra consierazione importante. Nell analisi preceente abbiamo assunto la legge approssimata per la spinta isponibile senza variazione ella spinta con la velocità i volo. Come evienziato al cap.6, i motori turbofan come il JT8D sono caratterizzati a una variazione ella spinta con la velocità alle quote basse. In ogni caso, anche a quote elevate, anche la variazione con la quota espressa alla relazione 7., cioè una variazione proporzionale a σ, non è esattamente quella che invece sembra essere la escrizione migliore el comportamento i un motore turbofan escritta alle relazioni el cap. 6. Se si utilizzano le leggi ella spinta isponibile i motori turbofan el cap. 6 (fig. 6.0) con variazione ella spinta con la velocità, si ottengono elle altre curve i spinta isponibile. Le curve, insieme a quelle approssimate ate alla relazione 7. sono riportate nella fig Si vee come le velocità massime, a quota 0 e ft sono alquanto iverse a prima. La velocità massima a quota 0 risulta pari a M0.67 e a quota ft M0.73. Alla quota i crociera i ft, invece le ue relazioni forniscono risultati abbastanza simili. Come già osservato nel cap. 6, infatti non costituisce una grossa approssimazione il fatto i consierare la spinta i un turbofan costante con la velocità alle quote elevate.

8 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato T [Kg] 1000 S/L ft ft V[Km/h] Fig. 7.7 : conizioni i crociera (ammissione 0.75) T [Kg] S/L ft ft Mach Fig. 7.8

9 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 9 In altri termini consierare la relazione semplice 7. anziché le curve rappresentative i un motore turbofan (fig. 6.0) non è un errore alle quote elevate. Si eve anche osservare che in effetti non si è interessati alle velocità massime alle quote basse. Un velivolo a trasporto a getto solitamente opera a quote elevate (massima autonomia e migliori velocità i volo) e opo il ecollo continua a acquistare velocità e nello stesso tempo sale. In efinitiva non si trova a transitare a quote basse a velocità elevate (ell orine i M.70). Quini non si è assolutamente interessati alla valutazione elle prestazioni i velocità massima o i crociera a quota 0. In relazione a quanto etto, assumere la relazione 7. (spinta costante) rappresenta una buona assunzione quano si è interessati al calcolo elle prestazioni i volo (velocità massima o i crociera) in crociera ei velivoli a trasporto. Si eve però fare una osservazione importante. Anche se si fa riferimento alla sola velocità massima alla quota i crociera i ft, si vee come il valore i tale velocità massima fornisce un valore i Mach paria Quini il Mach massimo i volo, secono i nostri calcoli sarebbe i In effetti siamo in un regime i numeri i Mach (prossimi al valore sonico i 1.0) per i quali le one urto iniziano a iventare molto intense e la resistenza ona cresce i molto. In effetti per ogni velivolo a trasporto a getto esiste un valore el Mach i volo, etto Mach i ivergenza ella resistenza M DD (compreso tra 0.83 e 0.87 e ipenente al velivolo, all angolo i freccia e al profilo alare) in corrisponenza el quale la resistenza inizia a crescere vertiginosamente, in relazione a un incremento notevole ella resistenza parassita associata alla resistenza ona. E quini eviente che la velocità massima a ft i 0.93 per il velivolo MD-80 non è accurata, in quanto è valutata ai grafici i pag. 6 consierano il CDo el velivolo costante e pari a Ciò non è corretto, in quanto per valori el Mach maggiori el M DD (che per il velivolo MD-80 è i circa 0.83) il Co non è più in quanto la resistenza ona risulta crescere sensibilmente. E quini chiaro che la curva ella spinta necessaria i fig. 7.5 e 7.6 sarà valia sino a MM DD 0.83 (per il velivolo MD-80). Non esiste un moo rapio e efficace per calcolare la curva i resistenza per Mach maggiori, ma si può utilizzare una relazione che statisticamente risulta una escrizione valia per la resistenza a M>M DD. La relazione approssimata consiste nel consierare, per M>M DD, un incremento ella resistenza pari a 1.4 volte la resistenza a M DD, chiamiamola D DD, per ogni 0.1 i incremento i Mach a M DD. In altri termini si consiera un anamento lineare ella resistenza con il Mach per M>M DD. Se inichiamo con D DD la resistenza (relativa alla polare parabolica) in corrisponenza i M DD, si può utilizzare la relazione : T no DD DD ( M M ) D D + D 14 [7.4] DD per M>M DD Come si vee la relazione 7.4 fornisce un incremento i 1.4 volte i D DD in corrisponenza i un incremento (M-M DD )0.10. Nel caso el velivolo MD-80, in corrisponenza i MM DD 0.83, a quota i ft la resistenza è: D DD 3746 Kg.

10 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 10 A Mach i volo i 0.93 la resistenza, secono la relazione 7.4 sarebbe pari a : D (M0.93) ( ) 8990 Kg Come si vee questo valore i resistenza non può essere compatibile con la spinta totale isponibile massima, che alla quota i ft risulta pari a 416 Kg. E chiaro quini che la relazione 7.4 (e la retta che ne eriva) fornirà un altra velocità massima a quota i ft, iversa ( e minore) el valore 0.93 i pag. 6. Quanto etto è escritto alla fig. 7.9 ove sono riportate, alla quota i ft, la curva ella spinta isponibile (costante e pari a 416 Kg) e le ue curve ella spinta necessaria (ella resistenza). La curva tratteggiata corrispone alla polare parabolica anche per M>M DD (il che significa ignorare l incremento i resistenza ona), la curva continua invece tiene conto ella relazione 7.4 e quini ell incremento notevole i resistenza ona per M>M DD ft resistenza effettiva (incremento res. 'ona) T [Kg] T 4000 resistenza polare parabolica (CDo cost) Mach Fig. 7.9 Come si può veere la velocità i volo massima a quota ft risulta pari a Mach 0.84 circa, con la nuova curva i resistenza (quella corretta). Questo è un Mach i volo plausibile per un velivolo come l MD-80, al contrario i Mach0.94 che è impossibile a raggiungere a tale velivolo.

11 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 11 E anche eviente come, anche per il velivolo a getto possano essere riportate anche le curve elle potenze necessarie e isponibili al posto elle spinte e che in corrisponenza ei punti i intersezione si abbiano le stesse velocità ricavate alle curve elle spinte. Si noti come la potenza isponibile sia linearmente variabile con il Mach i volo P [hp] S/L ft ft Mach Fig. 7.10

12 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato VELIVOLO AD ELICA L approccio grafico può fornire la velocità i equilibrio anche per i velivoli a elica. In questo caso consiereremo il iagramma elle potenze. Anche qui assumiamo ei ati relativi a un certo velivolo a elica. Consieriamo un velivolo bimotore a elica (a 8-10 posti) (Beechcraft KingAir C90A) caratterizzato ai seguenti ati : 4380 Kg peso massimo al ecollo S 7.3 m b15.3 m AR8.57 CDo0.06 e0.78 CL MAX 1.6 Motori Pratt&ithney PT6A1, ciascuno a 550 hp all albero, cioè Πo hp I motori sono turboelica. Renimento propulsivo elle eliche η P 0.80 Svolgimento Calcoliamo le curve elle potenze necessarie e isponibili alle varie quote. Assumiamo per il calcolo le seguenti quote : S/L, 6000 ft e 1000 ft (crociera). E chiaro che la curva ella potenza necessaria va calcolata con il proceimento esposto nel cap. 5, quini : A ogni quota : per ogni velocità (a partire alla velocità minima corrisponente con la velocità i stallo a quella quota, sempre ata alla 7.3) : - calcolo la pressione inamica q - calcolo il CL - calcolo il CD - calcolo Dq S CL - calcolo Π no D V Per quanto riguara la potenza isponibile, si assume elica a passo variabile, quini renimento costante con la velocità. Faremo inizialmente l approssimazione i consierare anche la potenza all albero costante con la velocità (ricoriamo che per la turboelica non è così ma vale la relazione riportata nel cap.6 che fornisce una variazione parabolica ella potenza all albero per effetto ram). La potenza isponibile sarà quini ata alla relazione assunta per i motori a pistoni cioè : Π Π ϕ σ η (7.5) o P Calcoliamo ora : E MAX 14.1 La minima resistenza el velivolo in volo livellato risulterà pari a DMIN 30.5 Kg E MAX La V E a quota 0 sarà V E 10.3 Km/h Si possono calcolare i valori i D e V per il punto E e P :

13 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 13 D V 3 E Kg P MAX 4 P E E V / 3 V / Km/h La minima potenza a quota 0 sarà : Π Π D V / K 04 hp MIN P P P Ovviamente il valore ella potenza minima sarà iverso alle altre quote per l effetto ell aumento ella V P al crescere ella quota. Nella fig è riportata la curva ella efficienza aeroinamica in funzione ella velocità i volo alle 3 quote. Nelle figure 7.1, 7.13 riporto le curve che rappresentano la spinta e la potenza necessaria e isponibile (massima isponibile, cioè ϕ1) alle 3 quote preceentemente citate. Le velocità massime i volo livellato sono evienziate ai punti neri nel iagramma elle potenze. Si vee come le velocità massime i volo sono ell orine ei 400 Km/h. Più precisamente troviamo le seguenti velocità massime : S/L V MAX 40 Km/h 6000 ft V MAX 398 Km/h 1000 ft V MAX 391 Km/h E V [Km/h] Fig. 7.11

14 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato D [Kg] V [Km/h] Fig P [hp] V [Km/h] Fig. 7.13

15 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 15 I calcoli effettuati risentono ella approssimazione i aver consierato la potenza all albero costante con la velocità. In realtà, come sappiamo il motore turboelica fornisce una potenza variabile con V con legge parabolica (vei cap.6). Consierano la potenza isponibile corretta(cioè variabile), per il velivolo in esame si ottengono le curve i potenza ella fig Dall analisi grafica elle nuove curve si ottengono le seguenti velocità massime : VELOCITA MASSIME IN VOLO LIVELLATO Potenza isponibile variabile (turbolica) S/L V MAX 41 Km/h 6000 ft V MAX 413 Km/h 1000 ft V MAX 407 Km/h Come si vee, consierano la potenza all albero i un turboelica e non i un equivalente motore a pistoni si ottiene una velocità massima circa 5% più elevata. Veremo come anche nell analisi analitica può essere tenuto in conto il fatto che il motore è turboelica. Ovviamente, se consieriamo un grao i ammissione pari a 0.75, cioè ϕ0.75, possiamo trovare le velocità i crociera (al 75% ella potenza) alle 3 quote. Il iagramma i fig mostra le curve elle potenze isponibili al 75% ella potenza. VELOCITA DI CROCIERA (AL 75% DELLA POTENZA) IN VOLO LIVELLATO S/L V MAX 378 Km/h 6000 ft V MAX 37 Km/h 1000 ft V MAX 359 Km/h

16 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato P [hp] V [Km/h] Fig Velocit i crociera P al 75% ella potenza 800 P [hp] V [Km/h] Fig. 7.15

17 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato VELOCITA MASSIMA E DI CROCIERA APPROCCIO ANALITICO VELIVOLI A GETTO L equazione TD che escrive l equilibrio in volo livellato può essere sviluppata per fornire una soluzione analitica al problema che è stato risolto graficamente al par Scriveno l equazione sopra in termini ella pressione inamica q1/ρv e notano che DT, si ottiene: KS T qsc Do + q S (7.6) Moltiplicano l Eq. 7.6 per q abbiamo: q SC Do qt + KS 0 (7.7) S Si noti che esseno un equazione i secono grao in q, l Eq. 7.7 porta a ue soluzioni per q: q ( / S) T / S ± ( T / S) 4SC K( / S) T ± T 4SC DoK Do (7.8) SC Sostitueno q con 1/ρV si ottiene: Do C Do V ( T / S) 4SC K( / S) T / S ± Do (7.9) ρc Do Nell Eq. 7.9 appare il parametro T/S; analogamente al parametro carico alare /S la quantità T/S è talvolta chiamata il carico i spinta. Comunque, nella gerarchia ei parametri importanti per la performance el velivolo, T/S non è cosi fonamentale come il carico alare /S o il rapporto spinta-peso T/. Infatti il rapporto T/S non è altro che una combinazione i queste ultime ue quantità. T R TR (7.10) S S Sostitueno l Eq nella 7.9 e faceno la raice quarata si ottiene l espressione finale per la velocità: V ( T / )( / S) ± ( / S) ( T / ) 4C DoK (7.11) La stessa relazione, osservano che : 4 CDo 4 K CDo π AR e 1 E MAX ρc Do 1 può essere scritta come :

18 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 18 In effetti l equazione 7.11 fornisce ue soluzioni corrisponenti alle soluzioni graficamente rappresentate in fig V ( T / )( /S) ± ( /S) ( T / ) 1/ EMAX [7.1] ρc Do 1 Fig L equazione 7.11 fornisce le ue velocità i volo associate con un ato valore i T. Per esempio, come mostrato in Fig. 7.16, per un ato T ci sono generalmente ue valori i velocità i volo che corrisponono a questo valore i T, precisamente,il più alto valore i velocità V 1 si ottiene con il segno + nell Eq e il valore più basso V con il segno -. È importante sottolineare le caratteristiche ell aeroplano alle quali ipenono queste velocità. Dall Eq. 7.11, V per un ato T ipene a: 1. il rapporto spinta-peso T /. il carico alare /S 3. La polare (C Do,K), cioè il Co e il fattore i Oswal, oltre a AR Chiaramente V ipene anche all altituine con ρ. Quano il iscriminante nell Eq è uguale a zero, si otterrà una sola soluzione per V. Questa corrispone al punto 3 in Fig. 7.16, vale a ire il punto i minimo per T R. Discriminante nullo vuol ire: TR 4C la 7.13 corrisponene anche con Do K 0 (7.13) T E 1 MAX o anche T, quini T DMIN E MAX in pratica ritroviamo analiticamente quanto visto graficamente nel cap.5. Quini affinchè si possa avere equilibrio la spinta isponibile rapportata al peso eve essere maggiore o uguale a 1/E MAX

19 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 19 Quini la conizione i equilibrio, che fisicamente è legata la fatto che la spinta isponibile sia almeno uguale a quella minima necessaria al volo, si trauce nella conizione matematica che il ell equazione sia maggiore o uguale a zero. Quini l equilibrio in volo livellato a una certa quota è garantito se e solo se : T 1 (7.14) E MAX La velocità, in corrisponenza ella situazione T 1, sarà ata a (vei eq. 7.1). 1 T V, tale velocità corrisponerà, ovviamente alla velocità el punto E. ρ CDo S E MAX Sostitueno a T l espressione T E MAX 4 π CDo AR e Si vee come la velocità i equilibrio (unica perché si ha una e una sola soluzione) corrispone proprio con la V E. cioè la V in corrisponenza ell assetto i massima efficienza, infatti : V 1 ρ 1 CDo S 4 π CDo AR e 1 / 1 ρ S 1 π AR e CDo 1 / ρ S 1 CL E T 1 Quini se a una certa quota, a quella quota si avrà solo una possibile velocità i EMAX equilibrio, corrisponente con la V i efficienza massima (punto E). La (7.1) può essere anche scritta in un altro moo, che chiarisce in moo più facile la ipenenza ai parametri e ne facilita la memorizzazione : V ( T / ) ( /S) 1+ 1 CDo T (7.15) ρ E MAX In particolare non si è consierata interessante la soluzione corrispoonente al segno negativo ella 7.1, riteneno i interesse solo il calcolo ella velocità massima, quini si è preso solo il segno positivo. Ancora, la relazione 7.15 mette in evienza come la ipenenza ella velocità massima (o in generale ella velocità i equilibrio) ipenaai seguenti parametri : Rapporto spinta peso T / Carico alare /S 1 1 /

20 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 0 Quota (tramite ρ) CDo el velivolo Efficienza massima, o in particolare CDo, AR e e. Tuttavia, si può veere che a un punto i vista aeroinamico, l influenza principale ce l ha il CDo e non il fattore i Oswal. Infatti il ruolo i E MAX nella 7.15 non è così eterminante come quello i CDo (compare irettamente). Esempio Proviamo a calcolare la velocità massima in volo livellato a ft el velivolo a getto MD-80. Dai ati ei paragrafi preceenti (pag. 5), che riportiamo : TO Kg peso massimo al ecollo S118 m b33 m AR9.3 1 CDo0.018 e0.80 K π AR e CL MAX 1.5 Imp. propulsivo : motori P JT8D a 8400 Kg i spinta ciascuno, cioè T o 8400 Dai ati geometrici e aeroinamici el velivolo ho : E MAX La resistenza minima (è iniopenente alla quota) vale : Kg D MIN E MAX 3538 Kg Calcoliamo la spinta massima isponibile alla quota i ft. T To σ ϕ Kg Il fatto che T sia > ella minima resistenza garantisce che ci possa essere equilibrio. Calcoliamo con la 7.15 la velocità massima i volo alla quota i ft : Calcoliamo T T S 118 N 579 m ( ) ( ) ( ) ( 17.95) V 77 m/s 997 Km/h che risulta ovviamente uguale (a meno i 3 Km/h, ovuti ai ecimali trascurati) alla velocità eterminata graficamente a ai grafici 7.5 e 7.6. La velocità massima i equilibrio trovata comporta (sempre a ft) un Mach i volo pari a : M 77/ !!! 1 /

21 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 1 Anche analiticamente bisogna consierare l aspetto el Mach i ivergenza ella resistenza. Se il Mach i ivergenza ella reistenza è M DD e la resistenza calcolata in corrsiponenza i questo Mach a ft è : Mach0.83 a ft > V0.83 a m/s886 Km/h Si valuta la resistenza ella polare parabolica (che vale fino a M DD )in corrisponenza i M DD : Bisogna prima valutare il CL in corrisponenza i V DD 46 m/s. La ensità a ft vale ρ0.379 Kg/m 3 1 CL DD ρ S V DD ( 0. ) CDDD CDo + KCLDD D DD ρvdd S CDDD 3676 N 3744 Kg o anche D D DD E DD CD CL DD DD La resistenza per M>M DD sarà ata alla relazione : DD DD ( M M ) D D + 14 D (7.16) Ovviamente, imponeno che la resistenza sia uguale alla spinta isponibile, possiamo trovare come soluzione all equazione 7.16 la massima velocità i volo a ft (il massimo Mach i volo). Infatti, poneno la resistenza pari alla spinta isponibile DT 4166 Kg ( M M ) ( T D ) ( ) DD DD 14 DDD a cui il Mach massimo i volo a quota i ft risulta pari a MM DD Il che risulta in accoro con il risultato ottenuto per via grafica a pag. 10. DD

22 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 7.4. VELIVOLI AD ELICA Nel caso ei velivoli a elica la spinta isponibile T risulta funzione ella velocità i volo e quini un approccio analitico che fornisca una relazione chiusa per il calcolo ella massima velocità i un velivolo a elica risulta più complesso. Infatti se consieriamo l equazione ella potenza (nel caso el velivolo a elica è la potenza isponibile a essere costante) : 3 Π Π no a V + b V sviluppata in V fornisce l equazione : 4 a V Π V + b 0 (7.17) che risulta un equazione i 4 grao. La risoluzione ella equazione è complessa (al contrario ella risoluzione ell equazione quaratica in q trovata nel caso el velivolo a getto). Per trovare la velocità massima (o la velocità i crociera al 75% ella potenza, cioè ϕ0.75) per un velivolo a elica, invece possiamo affrontare il problema per via ingegneristica, attraverso una proceura iterativa. In pratica si tratta i trovare proprio la soluzione numerica i una espressione (la 7.17, appunto). Per le potenze possiamo scrivere che : ove la potenza isponibile è a P O P 1 S CD V 3 Π Πno ρ (7.18) Π Π η Π σ ϕ η nel caso i motore a pistoni e Π nel caso i motore turboelica Πa ηp ΠO Kv σ ϕ ηp La proceura che si può aottare è la seguente : La relazione 7.18 può essere risolta in V : V Π ρ S CD 3 (7.19) Ovviamente la 7.19 non è una formula chiusa in quanto anche il CD, esseno funzione el CL, è funzione ella velocità i volo V, quini la 7.19 non può essere risolta con un solo calcolo in quanto CD non è noto. La soluzione viene trovata per via iterativa :

23 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 3 Si assume inizialmente CD1.1 CDo, il che è ragionevole in quanto in corrisponenza ella velocità massima i valori i CL e i CD sono bassi e ci troviamo vicino al CDo el velivolo. Comunque parteno a un valore pari a 1. CDo si raggiungerebbe lo stesso risultato, magari con una iterazione in più. Veiamo come si procee : PROCEDURA PER VELIVOLI CON MOTORI A PISTONI Per il calcolo ella velocità massima (ϕ1) o i crociera (ϕ0.75, a esempio) a una certa quota (fissata ensità ρ): Si valuta la potenza massima isponibile alla quota consierata tramite la Π Π η Π σ ϕ η Si assume inizialmente CD1.1 CDo a P O 1) Si calcola con tale valore i CD il valore i V alla 7.19 alla quota in esame e in corrisponenza ella potenza isponibile V Π ρ S CD P 3 (7.0) 1 ) Dalla V ricavata si può ricavare il CL : CL ρ S V 3) Dal CL si ricava il CD: CD CDo + K CL Con il valore i CD trovato si ritorna al punto 1 e si ricalcala un nuovo valore ella velocità. Si procee fino a che la velocità ricavata al ciclo corrente ifferisce i poco (a esempio 1 Km/h) a quella relativa all iterazione preceente. Esempio Rifacciamo il caso el velivolo Beechcraft King Air trattato per via grafica a pag Riportiamo ancora i ati el velivolo : 4380 Kg peso massimo al ecollo S 7.3 m b15.3 m AR8.57 CDo0.06 e0.78 CL MAX 1.6 Motori Pratt&ithney PT6A1, ciascuno a 550 hp all albero, cioè Πo hp I motori sono turboelica. Renimento propulsivo elle eliche η P 0.80 Inizialmente assumiamo i non consierare l effetto ram ella turboelica.

24 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 4 La potenza isponibile al livello el mare è : Π Π η hp o P Nella relazione 7.19 obbiamo ovviamente utilizzare la potenza in e ρ e S in unità stanar. Riportiamo i calcoli effettuati in tabella ai vari cicli i iterazione : Iteraz. CD V (calcolata alla 7.19) CL CD 1 1.1*CDo m/s 400 Km/h m/s 40.6 Km/h m/s 40.9 Km/h Si vee come già alla secona iterazione la velocità è praticamente pari a quella finale. Dai calcoli effettuati risulta che la velocità massima al livello el mare risulta pari a 403 Km/h. Si può veere come si è ottenuto per via analitica il risultato ottenuto per via grafica a pag. 13 (si era ottenuto come velocità massima in volo livellato il valore i 40 Km/h. Questa proceura vale praticamente per ogni velivolo a elica con motore a pistoni. Per calcolare la velocità i crociera, basta utilizzare nella proceura, cioè nell equazione 7.19, una potenza all albero pari, a esempio al 75% (cioè ϕ 0.75). La proceura è ientica. La proceura rimane invariata anche se vogliamo calcolare la velocità massima ( o i crociera) a quote iverse, basterà cambiare la ensità (e la potenza isponibile che ipene a essa). Chiaramente basterà consierare la potenza all albero giusta e il valore giusto ella ensità nell equazione 7.19 e nella relazione el punto per il calcolo el CL. Infatti, sempre assumeno potenza all albero costante con V (cioè motore a pistoni), per il velivolo in esame si può ripetere il calcolo per valutare la velocità i crociera alla quota i crociera i 1000 ft. La ensità a 1000 ft è 0.85 Kg/m 3 (σ0.69) La potenza isponibile in conizioni i crociera al 75% (quini ϕ0.75) a questa quota è : Π Π σ ϕ η hp 3409 o P Iteraz. CD V (calcolata alla 7.19) CL CD 1 1.1*CDo m/s Km/h m/s Km/h m/s Km/h m/s 344 Km/h Quini la velocità i crociera (75% el grao i ammissione) alla quota i 1000 ft risulta pari a 344 Km/h. Si vee come è stato necessario effettuare una iterazione in più. Il motivo è che, quano si consierano conizioni i crociera (esseno le velocità meno elevate e anche i CL un po più elevati) sarebbe più opportuno partire a valori pari a 1. CDo. In effetti ciò non influisce minimamente sul risultato finale.

25 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 5 Qualsiasi sia il valore iniziale assunto per il CD il proceimento porta a convergenza. Quanto effettuato, analogamente a quanto visto alle pagine rappresenta una approssimazione, in quanto il motore el velivolo è un motore turboelica e quini la potenza all albero aumenta con V per l effetto ram presente. La proceura per velivoli turboelica si moifica nel moo seguente (si tiene semplicemente in conto la presenza el Kv ) :

26 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 6 PROCEDURA PER VELIVOLI CON MOTORI TURBOELICA Per il calcolo ella velocità massima (ϕ1) o i crociera (ϕ0.75, a esempio) a una certa quota (fissata ensità ρ): Si valuta la potenza massima isponibile alla quota consierata tramite la Π Πa ηp ΠO Kv σ ϕ ηp assumeno inizialmente un valore i Kv1.0 (infatti, poiché non conosco la velocità i volo (che è proprio la mia incognita) non conosco Kv. Inichiamo con Π la potenza isponibile con Kv1 Π η Π σ ϕ η 1 Si assume inizialmente CD1.1 CDo Π 1 1) Si calcola con tale valore i CD il valore i V alla 7.19 alla quota in esame e in corrisponenza ella potenza isponibile V Π ρ S CD 3 1 ) Dal valore i V ricavato si ricava il Kv (questa volta >1) a (7.1) 3) Si ricava nuovamente la velocità alla relazione sopra, questa volta consierano la potenza isponibile che è stata moltiplicata per il Kv (in genere significa potenza isponibile incrementata el 10-0%), cioè : P O P V Π Kv ρ S CD 3 1 (7.) 1 4) Dalla V ricavata si può ricavare il CL : CL ρ S V 5) Dal CL si ricava il CD: CD CDo + K CL Con il valore i CD trovato si ritorna al punto 3 e si ricalcala un nuovo valore ella velocità. Si procee fino a che la velocità ricavata al ciclo corrente ifferisce i poco (a esempio 1 Km/h) a quella relativa all iterazione preceente. Si noti come non è necessario anare a moificare il Kv (viene calcolato solo all inizio, cioè al primo ciclo) se il valore ella velocità varia tra un ciclo e l altro meno i 5 Km/h. Infatti la figura 6.4 el cap. 6 mostra chiaramente comne variazioni i velocità i volo così riotte non comportano variazioni significative el Kv.

27 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 7 Esempio Sempre per il velivolo Beechcraft, calcoliamo la velocità massima in volo livellato al livello el mare, consierano questa volta la proceura per motore turboelica. Assumeno inizialmente Kv1 la potenza isponibile risulta pari a 880 hp Π 1 Iteraz. CD V (calcolata alla 7.1 o 7.) Kv CL CD pre 1.1*CDo m/s Km/h (7.1) *CDo m/s Km/h (7.) m/s Km/h (7.) m/s Km/h (7.) La velocità massima quini risulta 40 Km/h (prima, consierano un equivalente motore a pistoni era stata calcolata i 403 Km/h. Veiamo anche come il risultato (41 Km/h) è in pieno accoro con il risultato ottenuto per via grafica a pag. 15 (analisi fig. pag. 16). Sempre assumeno motore turboelica (proceura pagina preceente), possiamo calcolare la velocità massima alla quota i 1000 ft. La potenza isponibile a consierare (per l effetto el σ) è : sempre assumeno inizialmente Kv1 la potenza isponibile risulta pari a Π σ 610 hp (il rapporto elle ensità a 1000 ft è 0.69). Kv CL CD Iteraz. CD V (calcolata alla 7.1 o 7.) ma con ρρ(1000 ft)0.85 Kg/m 3 pre 1.1*CDo m/s Km/h (7.1) *CDo m/s Km/h (7.) m/s Km/h (7.) m/s Km/h (7.) Quini la velocità massima alla quota i 1000 ft risulta pari a 411 Km/h.

28 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato INVILUPPO DI VOLO Abbiamo visto che a ogni quota è possibile valutare (sia per via grafica che per via analitica) la velocità minima e la velocità massima. La velocità minima risulterà pari alla velocità i stallo se le curve non si intersecano sul lato sinistro (curve i spinta nel caso el jet e i potenza nel caso ell elica) e pari alla velocità i intersezione nell altro caso (segno nella relazione 7.1 per il velivolo a getto). A ogni quota è possibile valutare la velocità minima e la velocità massima e quini si può ottenere quello che viene chiamato inviluppo i volo, cioè l area che racchiue tutte le possibili conizioni i volo (in termini i V e quota) livellato per il velivolo in esame. Riportiamo a esempio l inviluppo i volo per il velivolo a getto MD-80. (fig. 7.17) Nel calcolo non è stato tenuto in conto il Mach i ivergenza. Chiaramente, teneno conto i M DD il ramo estro ella curva sarà spostato verso sinistra (le velocità massime risultano sensibilmente minori) Nella stessa figura è rappresentato con la curva tratteggiata il luogo elle velocità massime teneno conto ella proceura relativa alla ivergenza ella resistenza (vei pagine preceenti). Si può veere come a una certa quota (3900 ft) le curve confluiscono in un solo punto (le curve ella spinta isponibile e necessaria sono tangenti), cioè T D MIN. Tale quota (alla quale veremo che il velivolo non ha riserva i potenza e i spinta per salire) viene etta quota i tangenza teorica el velivolo Quota (ft) V [Km/h] Fig : Inviluppo i volo per il velivolo MD-80

29 Moulo Prestazioni Docente F. Nicolosi CAP. 7 Volo livellato 9 Si può calcolare anche l inviluppo i volo per il velivolo bimotore a elica Beechcraft KingAir. Vengono riportate in tabella le velocità minime e massime per tale velivolo, così come ricavate alla proceura ella pagina 7 (cioè consierano il motore turboelica). I risultati ricalcheranno quelle che sono le velocità massime trovate nei grafici i fig e Quota (ft) V MIN (Km/h) V MAX (Km/h) Quota (ft) V [Km/h] Fig : Inviluppo i volo el velivolo turboelica Beechcraft KingAir C90 Per tale velivolo la quota i tangenza teorica risulta pari a 3000 ft.