r i =. 100 In generale faremo riferimento al tasso unitario.

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1 . Operazioni finanziarie Si efinisce operazione finanziaria (O.F.) ogni operazione relativa a impegni monetari e si efinisce operazione finanziaria elementare uno scambio, tra ue iniviui, i capitali iversi. Quini una O.F. avviene tra ue operatori economici ognuno ei quali assume un impegno finanziario. Una volta che lo scambio viene accettato alle ue parti si può ritenere che lo scambio stesso porti beneficio a entrambi i contraenti. Una operazione finanziaria può essere: a) certa quano è caratterizzata a importi a scaenza fissa; b) aleatoria quano prevee lo scambio i importi monetari esigibili a scaenze iverse, esseno gli importi e le scaenze aleatorie. Nella maggior parte ei casi i O.F. si configura la cessione i un capitale in uso a altra persona, cioè nella cosietta operazione i prestito i enaro. olui che presta il enaro si ice mutuante e è il creitore el prestito, mentre colui che riceve il prestito si ice mutuatario e rappresenta il ebitore el prestito. La somma prestata viene etta capitale. In tale operazione il ebitore si obbliga a restituire, alla scaenza t, il capitale avuto in uso pagano inoltre una somma I, etta interesse, quale compenso per l uso el capitale. Diamo quini la seguente Definizione: Si efinisce interesse il compenso che viene corrisposto a colui che concee a altri l uso i un proprio capitale per un certo perioo i tempo. L uso i un capitale altrui non trova origine solo in operazioni i prestito: esso può anche erivare a un ritarato pagamento (interessi i mora). In ogni caso l interesse è irettamente proporzionale al tempo i uso e all entità ella somma. Generalmente il compenso viene pattuito in un tot per cento el capitale per ogni unità i tempo i impiego (che i solito è l anno ma che può essere anche il semestre, il quarimestre, ecc.). La misura i tale interesse si ice tasso percentuale annuo (che inicheremo con r), oppure semestrale, oppure quarimestrale, ecc., cioè ci si riferisce all unità i tempo pattuita per il pagamento. Il tasso i interesse, anziché essere inicato in percentuale i capitale, può anche essere efinito in misura unitaria (cioè riferito all unità monetaria); in tal caso esso si irà tasso unitario annuo (che inicheremo con i), o semestrale, o quarimestrale, ecc. La relazione che lega il tasso percentuale e quello unitario è pertanto la seguente: r i =. 00 In generale faremo riferimento al tasso unitario.

2 2. apitalizzazione Si ice capitalizzazione il proceimento meiante il quale l interesse prootto a un certo capitale viene aggiunto al capitale stesso. Le forme più comuni i capitalizzazione sono ue, e precisamente: a) apitalizzazione semplice. In questo caso l interesse viene calcolato per tutto il perioo i impiego sulla somma in uso, cioè esso viene aggiunto al capitale soltanto alla fine el perioo i impiego. b) apitalizzazione composta. Si ha quano l interesse prootto al capitale impiegato si aggiunge al capitale stesso alla fine i ciascuna unità i tempo i impiego e iventa a sua volta fruttifero i interessi insieme al capitale originario. La somma el capitale con gli interessi prootti urante il tempo i impiego si ice montante in contrapposizione al capitale originariamente impiegato che viene etto valore iniziale. Si ha quini: = + I. 3. Interesse semplice Si ice che un prestito è fatto a interesse semplice quano l interesse è proporzionale al capitale impiegato e al tempo. Per calcolare l interesse semplice, inichiamo con il capitale originariamente impiegato, con i il tasso unitario i interesse e con t il tempo i impiego. Esseno i l interesse i per unità i tempo, è ovvio che l interesse el capitale, che inichiamo con I, sarà, opo una unità i tempo, ato a: e opo t unità: I = i I = i. Possiamo quini affermare che l interesse semplice è ato al prootto el capitale impiegato per il tasso unitario e per il tempo i impiego. Il perioo i impiego può essere un numero intero i anni, oppure i mesi, oppure i giorni. In ogni caso eve essere misurato in unità corrisponenti a quella cui si riferisce il tasso. ioè, se il tasso è annuale il tempo eve essere espresso in anni, se il tasso è semestrale il tempo eve essere espresso in semestri, ecc. Dalla formula fonamentale I = i si ricavano le formule per risolvere i problemi inversi. Si ha: 2

3 I =, i I i =, t I =. i L interesse semplice è una funzione el tempo i impiego. Infatti esso è una granezza variabile in ipenenza el tempo i impiego. Questa funzione è una funzione lineare (cioè graficamente rappresenta una retta). Infatti, se costruiamo un sistema i assi cartesiani riportano in ascissa il tempo i impiego e in orinate l interesse, si ha una equazione ello stesso tipo ella y = x, cioè i una retta passante per l origine: Questa retta passa per l origine egli assi poiché al tempo t = 0 gli interessi non sono stati sicuramente maturati; è una funzione crescente in quanto l interesse cresce al crescere el tempo. Il suo coefficiente angolare, cioè la sua inclinazione rispetto al verso positivo ell asse x, è ato al fattore i, cioè il coefficiente angolare ipene al valore el capitale iniziale e al tasso unitario i interesse. La linea che rappresenta l interesse semplice è sempre situata nel primo quarante perché, ovviamente, l interesse ha sempre valore positivo. 3. ontante Abbiamo etto che il montante i un capitale è costituito al capitale iniziale aumentato ell interesse maturato urante il perioo i impiego. Inicano il montante con, si ha: = + I, = + i e quini: = ( + i). Possiamo quini ire che il montante i un capitale, in regime i capitalizzazione semplice, è ato al prootto el capitale iniziale per l espressione ( + i). Tale espressione equivale al montante i un euro impiegato al tasso unitario i opo t unità i tempo e viene etta fattore i capitalizzazione semplice in quanto 3

4 rappresenta il coefficiente per il quale eve essere moltiplicato il capitale per ottenere irettamente il montante. Dalla formula preceente, per risolvere i problemi inversi, si ricavano le formule seguenti: = + i ; t I = = ; i I I i = =. Queste consierazioni valgono se il tasso i interesse è costante nel tempo. Nel caso che il tasso subisca elle variazioni, la formula el montante richiee una piccola moifica. Supponiamo che il tasso sia i per la urata t, sia i 2 per la urata t 2,.., i n per la urata t n. Il montante el capitale alla fine el perioo i urata t +t t n è ato allora a: n = ( + i + i i n n ) = + i. = Se poi il tasso potesse variare istante per istante, si avrebbe: t = + i( ). 0 ome esempio consieriamo un impiego per n anni con tassi i interesse crescenti in progressione aritmetica i ragione δ i anno in anno. Il tasso al -esimo anno è ato quini alla: Il montante risulta ato a: e infine i = i + ( ) δ. n n n = + [ i + ( ) δ ] = + i + ( ) δ = = = n( n ) = + n i + δ. 2 4

5 Allo stesso moo se supponiamo che il tasso vari istantaneamente parteno a i(0) = i si ha: a cui: i() = i + δ = ( ) + t 2 t δ + δ = = t 0 + it + δ. 2 È possibile rappresentare graficamente anche il montante. In questo caso abbiamo a che fare con una funzione lineare el tipo y = mx + q. Infatti la = i t + è analoga alla funzione che rappresenta l interesse con la sola variante che quest ultima presenta la variabile aitiva. La retta che la rappresenta eve quini risultare parallela a quella ell interesse e eve tagliare l asse elle orinate nel punto : 4. Tassi equivalenti ue tassi i interesse si icono equivalenti quano, anche se espressi in riferimento a unità i tempo iverse, proucono, nello stesso tempo i impiego, uguali montanti. Basanoci su questa efinizione ricaviamo la relazione che lega i tassi equivalenti. Inichiamo con i il tasso riferito all anno e con i il tasso riferito a -esimo i anno. A esempio inicheremo con i 2 il tasso semestrale, con i 3 quello quarimestrale, ecc. Il montante i ue capitali unitari sarà ato, nei ue casi, a: = ( + i ) = ( +). Doveno questi montanti essere uguali, ovrà aversi: 5

6 + i = + i a cui: i = i e i = i. Perciò, in regime i capitalizzazione semplice il tasso relativo a un -esimo i anno è equivalente alla -esima parte el tasso annuo, e, viceversa, il tasso annuo è equivalente a volte quello i esimo i anno. 6. Sconto commerciale Lo sconto è il compenso spettante a colui che paga una somma ovuta prima ella scaenza. ome nella capitalizzazione semplice, la sua misura viene inicata con un tot per cento ella somma a pagare per ogni unità i tempo prescelta per la misurazione el tempo i anticipo. Lo sconto può anche essere consierato come un interesse negativo calcolato sulla somma a pagare perché esso viene etratto alla somma ovuta alla scaenza. omunemente, in commercio, lo sconto si etermina come interesse calcolato sulla somma pagabile alla scaenza, cioè su quello che chiamiamo valore nominale. Tale sconto viene etto, appunto, sconto commerciale. Sia il valore nominale el creito (o el ebito) pagabile opo un tempo t e sia il tasso i sconto. ome etto sopra lo sconto commerciale è proporzionale al valore nominale e al tempo i anticipo, per cui ovrà aversi: S =. La somma scontata, che chiameremo valore attuale el capitale, in regime i sconto commerciale, è ata a: = S = = ( ). Da questa relazione si vee chiaramente che la somma scontata ecresce al crescere i t. Possiamo rappresentare graficamente la funzione = + in un piano cartesiano riportano in ascisse il tempo e in orinate il valore attuale. La funzione a rappresentare (esseno i primo grao) rappresenta una retta avente coefficiente angolare, interseca l asse elle orinate nel punto (0,) e l asse elle ascisse nel punto in cui è + = 0, cioè nel punto,0, e il suo grafico è quini: 6

7 Per l applicazione i questo regime obbiamo porre una limitazione importante perché lo sconto commerciale ha senso solo se è t <, perché se fosse t lo sconto risulterebbe uguale o superiore al valore nominale el ebito e la somma scontata sarebbe nulla per t = e, airittura, negativa per valori maggiori i. Dalla formula = ( ) si ricava immeiatamente la legge i capitalizzazione commerciale, cioè si ha: = t ove è il montante el capitale impiegato per un tempo t a un tasso i sconto (etto anche tasso i interesse anticipato). L importo ell interesse anticipato è ato a: I = = t = + I = = a cui, infine: I =. Possiamo perciò ire che l interesse anticipato prootto al capitale è uguale allo sconto commerciale applicato al montante. 7

8 Rappresentiamo graficamente la funzione montante = in un sistema i assi t cartesiani riportano in ascisse il tempo e in orinate il montante. La funzione i montante rappresenta un arco i iperbole equilatera che ha senso consierare solo per valori i t interni all intervallo 0, ; interseca l asse elle orinate nel punto (0,) (perché per t = = si ha che = ), mentre per si annulla il enominatore ella frazione e quini il ramo ell iperbole tene a + e il valore i cresce anch esso teneno rapiamente all infinito: Vogliamo ricavare, infine, la relazione che lega il tasso annuo i interesse i e il tasso i sconto. Se oggi investiamo un capitale per avere fra un anno un montante, possiamo ire che è stato investito a un tasso i interesse posticipato, e si ha: = ( + i) = + i i = i =. Possiamo anche ire che sul capitale esigibile opo un anno, è stata fatta una ritenuta i sconto (o i interesse anticipato) e si ha quini: = ( ) = = =. Ora si ha: 8

9 i = = + i =. + i Sostitueno nella espressione = si ottiene: + i = = + i + i i = + i che ci ice che < i. Parteno alla relazione = e ricavano i in funzione i, si ha: = = che sostituito nella i = à: + i = = a cui si nota che è ancora i >. i = 7. Sconto razionale Lo sconto razionale rispone all esigenza i equivalenza con l interesse che ovrebbe essere eterminato, allo stesso tasso e per lo stesso perioo i anticipo, sulla somma anticipata. Esso quini corrispone all interesse sul valore attuale el capitale esigibile alla scaenza. Determinare lo sconto razionale richiee un proceimento un po più complesso rispetto a quello usato per eterminare lo sconto commerciale. Infatti lo sconto razionale eve essere commisurato al valore attuale el capitale esigibile alla scaenza e quini il problema è quello i ricercare il valore attuale i un capitale scontato razionalmente. In regime i capitalizzazione semplice, la eterminazione el valore attuale i un capitale scontato razionalmente può essere effettuata parteno alla: = ( + i ) = + i 9

10 che può essere scritta anche nella forma = nella quale l espressione +i viene efinita fattore i sconto razionale in quanto costituisce il coefficiente +i per il quale eve essere moltiplicato il valore nominale i un capitale con scaenza futura per ottenere il valore attuale. Per eterminare l ammontare ello sconto razionale possiamo effettuare la ifferenza fra il valore nominale el capitale e il suo valore attuale, cioè: a cui, esseno =, si ottiene: + i S R = S R = + i = + i + i S R = i. + i a possiamo anche scrivere: S R = i + i S R = i Deuceno che lo sconto razionale è l interesse che la somma scontata prourrebbe se venisse impiegata allo stesso tasso per il tempo i anticipazione. La funzione = la possiamo rappresentare su i un piano cartesiano riportano + i in ascisse i tempi e in orinate il capitale : Per t = 0 si ha che = e è inoltre lim = 0. L asse t è quini un asintoto t + + i orizzontale e la funzione rappresenta un arco i iperbole situata nel primo quarante. 0

11 8. onfronto fra sconto commerciale e sconto razionale Il problema che si presenta nella pratica è quello i eterminare se a un creitore, che vuole riscuotere anticipatamente una certa somma, è più conveniente applicare lo sconto commerciale o quello razionale. i Intanto sappiamo che S R =, e che la relazione che intercorre fra i e è + i i =. Sostitueno questo valore nella S R si ottiene: S R = + = + S R =. + ( t ) Lo sconto commerciale è invece ato alla S =. Si osserva che per t = è S R =S. Per t < il fattore [+ (t )] è minore i, per cui è S R >S. Se t > (ma in ogni caso minore i ), si ha che [+ (t )] è maggiore i per cui SR <S. Graficamente: Possiamo anche veere quali sono le relazioni che legano i tassi unitari i sconto commerciale e razionale affinché si abbia equivalenza fra i ue regimi. A tale scopo inichiamo con i c il tasso unitario i sconto commerciale e con i r quello razionale. ir Poiché è S = i c e S R =, perché ci sia equivalenza occorre che sia: + ir ir ir i c = ic = + i + i r che consente i calcolare il tasso i sconto commerciale equivalente a un certo tasso i sconto razionale. Per calcolare il tasso i sconto razionale in funzione i quello commerciale, risolviamo l ultima equazione rispetto a i r. Si ha: r i r = i c ( + i r ) i r = i c + i c i r i r ( i c ) = i c

12 a cui, infine : i r ic = i c che permette i eterminare l tasso i sconto razionale equivalente a un ato tasso commerciale. È anche a notare che entrambe le relazioni sono in funzione el tempo e che la ifferenza fra sconto commerciale e sconto razionale iventa tanto più grane quanto maggiore è il tempo i anticipazione. 9. apitalizzazione composta Si ha la capitalizzazione composta quano gli interessi maturati in ciascuna unità i tempo consierata si uniscono al capitale originario per iventare essi stessi fruttiferi per il successivo tempo i impiego. È quini chiaro che nella capitalizzazione composta l interesse prootto in ciascuna unità i tempo è via via crescente perché viene eterminato su i un capitale che è continuamente in crescita. Veiamo come poter calcolare il montante in regime i capitalizzazione composta. Rappresentiamo i montanti sulla retta ei tempi: Il montante alla fine el primo perioo è ato a: = ( + i ). Questo montante iventa il capitale su cui calcolare gli interessi per il perioo successivo. Il montante 2 sarà quini: 2 = ( + i ) = ( + i ) ( + i ) = ( + i ) 2. on proceimento analogo troveremo che alla fine el terzo perioo il montante è: 3 = ( + i ) 3. osì proceeno fino all n-esimo anno si ricava la legge el montante a interesse composto: = ( + i ) t. 2

13 L espressione ( + i ) t è etta fattore i capitalizzazione composta è à il montante (a interesse composto) i un euro impiegato per n perioi a un tasso i relativo al perioo i capitalizzazione. Voleno eterminare l interesse composto, possiamo operare per ifferenza, cioè calcoliamo: I = = ( + i ) t I = [( + i ) t ]. In moo analogo a quanto fatto per il montante in regime i capitalizzazione semplice, anche il montante a interesse composto può essere consierato come una funzione el tempo e quini è suscettibile i una rappresentazione grafica riportano in ascisse i tempi e in orinate i montanti. Poiché la variabile inipenente tempo si trova a esponente, la funzione non è sicuramente una funzione lineare come avviene nel caso ella capitalizzazione semplice, ma è una funzione esponenziale avente base maggiore i (infatti la base è +i, esseno i > 0). La curva che rappresenta il montante è quini una curva sempre crescente che volge la concavità verso l alto. Interseca l asse elle orinate nel punto (0,). Per t = si ottiene il punto B(,+i), che coincie con il punto per il quale passa anche il grafico ella funzione che esprime la capitalizzazione semplice: È immeiato osservare che per t = 0 e per t = il montante calcolato a interesse semplice coincie con quello calcolato a interesse composto. Per tempi i impiego inferiori all unità scelta (cioè per perioi compresi tra 0 e ) il montante a interesse composto risulta minore i quello a interesse semplice, mentre per un tempo i impiego superiore a il montante a interesse composto supera quello a interesse semplice e la ifferenza aumenta tanto più sensibilmente quanto più lungo è il tempo i impiego el capitale. Se si eve calcolare il montante i un capitale per perioi i tempo superiori all unità i tempo i impiego e per frazioni i esso, il calcolo può essere fatto in ue moi iversi: 3

14 a) onvenzione lineare. Il calcolo va fatto in regime i capitalizzazione composta per la parte intera ei perioi e in regime i capitalizzazione semplice per la parte frazionaria resiua, cioè (nella formula ci si riferisce all anno): = + i ) t + i. 2 t ( Questo tipo i capitalizzazione è etta anche capitalizzazione mista e è il proceimento applicato alle Banche. Tale convenzione è giustificata al fatto nella capitalizzazione composta gli interessi si aggiungono al capitale solo alla fine i ciascun perioo. b) onvenzione esponenziale. Il calcolo va fatto nel moo seguente: t t + 2 = (+ i). Se t è intero è chiaro allora che lineare = esponenziale, altrimenti è sempre lineare > esponenziale. 0. Valore attuale in regime i capitalizzazione composta Il problema che ci poniamo ora è quello i eterminare il valore attuale i un capitale esigibile opo un certo perioo i tempo, il che significa eterminare il capitale iniziale che, impiegato per quel tempo e a quel tasso, prouce un montante uguale al valore nominale el capitale in questione. iò può essere fatto a partire alla relazione = ( + i) t e risolvenola rispetto a. Si ha: = ( + i ) t. Questa formula può anche essere scritta nelle forme seguenti: = e = ( +i ) t. t (+ i ) I valori, e ( +i ) t rappresentano i valori attuali i euro esigibile fra t unità t (+ i ) i tempo e sono efiniti fattore i sconto composto appunto perché servono a scontare un eterminato capitale avente scaenza futura. 4

15 . Tassi equivalenti La legge i capitalizzazione composta è valia sia quano si prene come unità i misura el tempo l anno, sia quano si prene una frazione i anno. Generalmente inichiamo, come già stabilito in preceenza, con i il tasso annuo e con i quello riferito a -esimo i anno. Il problema che si presenta è quello i trovare la relazione che lega il tasso i al tasso annuo i in moo che i montanti, calcolati con i ue tassi, risultino uguali. Si ice che ue tassi relativi a perioi iversi sono equivalenti se, applicati a capitali uguali e per lo stesso perioo i tempo, proucono montanti uguali. Assumiamo come capitale e come urata il tempo t = anno = perioi. La relazione i equivalenza che esprime l uguaglianza ei montanti è la seguente: ( + i ) = ( + i ). Da questa relazione si ricava immeiatamente la: i = ( + i ) che ci permette i ricercare il tasso annuo i interesse quano sia ato quello relativo a una certa frazione i anno. Sempre alla stessa relazione possiamo ricavare il tasso i relativo a -esimo i anno equivalente a un ato tasso annuo. Si ha infatti: + i = +i i = + i. La valiità i questa relazione si estene anche a tassi relativi a iverse frazioni i anno. Se, a esempio, vogliamo eterminare il rapporto i equivalenza fra tasso semestrale i 2 e quello quarimestrale i 3, possiamo proceere nel moo seguente: e, per la proprietà transitiva si ha: ( + i 2 ) 2 = ( + i ); ( + i 3 ) 3 = ( + i) ( + i 2 ) 2 = ( + i 3 ) 3 + i 2 = ( + i i 2 = ) 3 3 ( + i ) 3 3 oppure: + i 3 = 3 2 ( + i2) i3 = 3 2 ( + i2). 5

16 2. Tassi nominali convertibili Spesso, nelle operazioni finanziarie, accae che viene espresso un tasso annuale i interesse con capitalizzazione semestrale, quarimestrale, ecc. ioè, in questi casi, si fa riferimento a un tasso annuo e allo stesso tempo si inica che gli interessi vengono capitalizzati relativamente a frazioni i anno. In questo caso si parla i capitalizzazione frazionata in quanto il perioo i capitalizzazione è un sottomultiplo ell anno. Il tasso che viene inicato in riferimento all anno non è un tasso effettivo, ma è un tasso che viene etto nominale e che eve essere iviso per il numero i perioi i capitalizzazione esistenti nell anno. A esempio, quano si parla i un capitale impiegato al tasso el 6% annuo con capitalizzazione semestrale, si intene che il tasso semestrale è el 3% che non è equivalente a quello el 6% annuo, ma vale qualcosa i più. Il tasso 6% viene etto tasso annuo nominale convertibile semestralmente. In generale il tasso nominale convertibile volte all anno è un tasso espresso formalmente all anno ma con capitalizzazione egli interessi alla fine i ciascun - esimo i anno. Il tasso nominale convertibile volte all anno lo inicheremo con j e quini sussiste la relazione: j i =. Per risolvere i problemi che preveono questo tipo i capitalizzazione possiamo proceere in ue moi: a) misurare il tempo i impiego in numero i perioi i capitalizzazione aveno però l accortezza i convertire il tasso nominale annuo nel tasso relativo a j ciascun perioo teneno presente che i =. b) isurare il tempo i impiego in anni: in questo caso occorre usare il tasso effettivo annuo equivalente a quello nominale inicato e proceeno nel moo seguente: j i = i = ( + i ). 3. apitalizzazione continua Quano il perioo i capitalizzazione iventa molto piccolo, ossia quano iventa molto grane, si consiera un moello matematico teorico i capitalizzazione etto i capitalizzazione continua. Questo moello si presenta spesso nella realtà economica i un aziena allorché i capitali appena riscossi vengono subito reinvestiti. Osserviamo che {j } N rappresenta una successione numerica che al crescere i j 6

17 iminuisce. La successione è però limitata in quanto è sempre j > 0, e la successione è perciò convergente. Dalla i = + i, e alla j = i si trae che: j = [ + ] i. Aniamo allora a calcolare: lim [ + i ] j = lim. Questo limite si presenta nella forma ineterminata 0. La sua risoluzione può essere riconotta al limite notevole: Infatti: lim lim x 0 a x [ + i ] = ln a. x (+ i) = lim. Poneno = t, si ha che t 0, per cui è: (+ i ) t lim = ln (+ i). t 0 t Posto δ = ln (+i), si ricava che + i = e δ ove e δ è etto tasso istantaneo o anche forza i interesse. La legge i capitalizzazione continua (etta anche legge esponenziale) è quini ata a: = e δ. 7