CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

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1 CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 5 Premettiamo una Definizione: si chiama atto i moto i un sistema materiale in un ato istante t, l insieme elle velocità i tutti i punti el sistema all istante t. E errato parlare i velocità i un sistema, perchè in generale i punti non hanno la stessa velocità. Bisogna parlare i velocità. Il moto i un sistema i punti materiali si ice rigio se le istanze fra essi sono costanti nel tempo, ovvero P 1 P 2 =cost P 1,P 2 S (1) Tuttelevoltecheleimensionielcorposonotrascurabilirispettoalcampoincui avviene il moto, si può parlare i punto materiale. Corpo Rigio: corpo soggetto solo a moti rigii. Schematizza, entro certi limiti, il comportamento i molti solii naturali. Punto Soliale: i punti fissati attorno al corpo seguono il corpo rigio nel suo movimento. Osservazione: anche un corpo eformabile può muoversi rigiamente. Problema: come iniviuare la posizione i un C.R. nello spazio? Stuiamo prima il caso piano (2) ³ I versori i, j sono soliali con il corpo rigio e sono efiniti a piacere. Ruotano X i θ verso x, si ottiene la sovrapposizione egli ³ assi che iniviua l orientazione ella terna soliale. La posizione ella coppia i, j rispetto alla coppia i versori ³ I, J si iniviua nel seguente moo: ½ i = α 11 I + α 12 J j = α 21 I + α 22 J, (3) con le conizioni i ortogonalità ½ i i = j j =1 i j =0 = α α 2 12 =1 α α 2 22 =1 α 11 α 21 + α 12 α 22 =0, (4)

2 6 ove i coefficienti α ij (t) sono 4 funzioni el tempo legate alle 3 conizioni preceenti. Esiste un parametro inipenente. Dal isegno possiamo ricavare che i = α 11I + α121j =cosθ {z} I +sinθ {z} J α 11 α 12 j = α 21I + α22j = sin {z θ } I +cosθ. (5) {z} J α 21 α 22 Descriviamo ora le coorinate el punto P tramite la coppia (x, y) elacoppia (X, Y ). P (x, y) escrive la posizione el punto P in un sistema i coorinate soliale con il C.R., per cui P (x, y) è rappresentato a elle costanti. Scriviamo la posizione i P rispetto all origine O P O =(P A)+(A O) =x i + y j + X A I + Y A J. (6) Introuceno la ipenenza al tempo t, possiamo scrivere (P O)(t) =x i (t)+y j (t)+x A (t) I + Y A (t) J. (7) La coppia (x, y) è costante, mentre i (t) e j (t) sono noti se è noto θ (t). La posizione el C.R. nel piano è nota se sono noti (X A,Y A,θ). Nello spazio esistono gli angoli i Eulero (θ, φ, ψ). Si ricavano con un proceimento analogo a quello el piano, ma con un grao i complessità superiore. Moti Rigii Particolari Moto Traslatorio Def. Si ice che un C.R. si muove i moto traslatorio se P 1,P 2 C.R. = P 2 P 1 è un vettore costante nel tempo in moulo, irezione e verso. 1. Il moto è traslatorio se i versori ella terna sono costanti. Infatti P 2 P 1 =[(P 2 A)+(A O)] [(P 1 A)+(A O)] = (P 2 A) (P 1 A) x 2 i + y 2 j + z 2 ³ x 1 i + y 1 j + z 1 = cost. (8) 2. Il moto è traslatorio se i punti el sistema hanno la stessa velocità (variabile istante per istante, in generale), enominata velocità el moto traslatorio v. Dim. Il moto è traslatorio = P 1,P 2 C.R P 2 P 1 = cost. Ma anche (P 2 O) (P 1 O) =cost. Derivano rispetto al tempo t si ottiene v P2 v P1 =0 = v P2 = v P1. (9) Viceversa, se v è costante, allora tutti i punti si muovono i moto rettilineo uniforme.

3 Moto Rotatorio Def. Un moto rigio si ice rotatorio se rimangono fissi nel moto i punti i una retta (asse i rotazione) In realtà, basta che siano fissi ue punti appartenenti alla retta. Detti P punto fuori all asse e Q piee ella perpenicolare, tutti i punti escrivono in un intervallo t archi i circonferenza con angoli al centro θ. Si efinisce la velocità angolare el moto rotatorio il vettore ω = θ. 7 La velocità i P si calcola con v P = ω (P Q) = ω [(P O)+(O Q)] = ω (P O)+ ω (O Q) (10) con O punto qualunque ell asse z. Ma ω (O Q) = ω (P Q) = ω (P O). Vogliamo ora calcolare la velocità i un punto P soliale con il C.R. che si muove rispetto a un sistema i riferimento con origine O. v P = t (P O) = t [(P O)+(A O)] = v A + (P A). (11) t P A =x i + y j + z con (x, y, x) costanti. Quini v P = v A + t ³ x i + y j + z = v A + x t i + y t j + z t. (12) Ricoriamo che i = α 11 (t) I+α 12 (t) J+α 13 (t) K, j = α 21 (t) I+... α ij (t)sono funzioni egli angoli i Eulero. Vogliamo calcolare i, j,. Ricaviamo le seguenti t t t ientità alle regole el prootto scalare per i versori i, j e i i =1 = i i =0 t j j =1 = j j =0 (13) t =1 = =0 t e i j =0 = i j = i j t t j =0 = j = j t t i =0 = i = i t t (14)

4 8 Teorema i Poisson Sia C un corpo rigio in moto, i, j e siano i versori i una terna ortonormale estra soliale con il corpo. Esiste e è unico un vettore ω, inipenente alla terna scelta tale che le erivate ei versori i, j e rispetto al tempo t siano espresse a: i = ω i t j = ω j t = ω t tale vettore viene etto velocità angolare., (15) Dim. La imostrazione si basa su tre punti: 1) esistenza, 2) unicità e 3)inipenenza alla terna prescelta. 1. Dimostriamo che esiste un vettore ω tale che µ µ µ ω = t j i + t i j + t i j. (16) Verifichiamo tale formula calcolano ω i, ω j e ω. µ µ µ ω i = t j i + t i j + t i j i µ h µ t h µ i j ii + t i j ii h µ = t i h i + t i j ji. (17) Utilizzano le tabelle 13 e 14, scambiamo i fattori tra loro, per cui µ h i t i µ h µ µ + t i j ji = t i + t i j µ µ µ = t i i i + t i j j + t i j = t i. (18) Si noti che nell ultimo passaggio abbiamo inserito un coefficiente nullo t i i =0. (19) Questa aggiunta ci ha permesso i poter ricostruire il vettore i.analogamente l esistenza si imostra per gli altri ue t versori. 2. ³ Unicità. Dimostrazione per assuro. Supponiamo che per la terna assegnata A; i, j, esista un secono vettore ω 0 6= ω tale che valgano le equazioni i Poisson. Questo vuol ire che i = ω 0 i = ω i = t ω 0 ω i =0 = ω 0 ω i j = ω 0 j = ω j = t ω 0 ω j =0 = ω 0 ω j = ω 0 = ω = t ω 0 ω =0 = ω 0 ω (20) Poichè il vettore ω 0 ω risulta essere parallelo a tutti e tre i versori = ω 0 ω = 0, infatti il vettore nullo è l unico che può essere contemporaneamente parallelo a tutti e tre i versori..

5 9 3. Inipenenza alla terna soliale prescelta. Premettiamo un Lemma Lemma Sia P un punto soliale al C.R., allora v P = v A + ω (P A). (21) Dim.el Lemma Consieriamo P A =x i + y j + z con (x, y, x) costanti P A =(P O)+(O A) =x i + y j + z (22) e erivo rispetto al tempo t v P v A = x t i + y t j + z t ³ ³ ³ = x ω i + y ω j + z ω ³ ³ ³ = ω x i + ω y j + ω z ³ = ω x i + y j + z = ω (P A). C.V.D. (23) L equazione 21 può essere messa nella forma (P A) = ω (P A). (24) t Scegliamo una secona terna con origine in A i versori i 0, j 0 e 0 echiamiamo ω 0 il vettore che verifica le formule i Poisson t i 0 = ω 0 i 0 t j 0 = ω 0 j 0 t 0 = ω 0 0. (25) Consiero P soliale al C.R. tale che P A = i 0 ; grazie al Lemma t (P A) = ω (P A) = ³ 0 ³ 0 i = ω i, (26) t ma poichè valgono le Eq.(25) t i 0 = ω 0 i 0. (27) Quini ω 0 i 0 = ω i 0 = ω 0 i 0 ³ ω 0 i = ω ω 0 i 0 = 0. (28) Aesso sia P il punto sull asse y 0 che ista 1 a A tale che P A = j 0.Dal Lemma abbiamo che t (P A) = ω (P A) = ³ 0 ³ 0 j = ω j, (29) t ma poichè valgono le Eq.(25) t j 0 = ω 0 j 0. (30)

6 10 Quini ω 0 j 0 = ω j 0 = ω 0 j 0 ³ ω 0 j = ω ω 0 j 0 = 0. (31) Ancora una volta possiamo ire ½ ω 0 ω i 0 =0 = ω 0 ω j 0 =0 = ω 0 ω i 0 ω 0 ω j 0 (32) = ω 0 ω = 0 e ω 0 = ω. Osservazione Cambiano punto a A a B, ω non cambia. Il vettore velocità angolare non ipene all origine ella terna soliale ω 0 = ω. (33) ω A = ω B Preneno infatti in B assi paralleli ai corrisponenti assi in A, l espressione i ω legata ai versori egli assi che sono gli stessi per le ue terne è la stessa. Stuiamo le conseguenze el teorema i Poisson nel caso piano. Riconsieriamo la fig.2. In questo esempio = K (versori al piano) e t = 0. (34) Richiamiamo l Eq.(5) ½ i =cosθ I +sinθ J j = sin θi +cosθj. (35) Calcoliamo le erivate rispetto al tempo t ½ i = sin θ θ I +cosθ θ J t j = cos θ θ I sin θ θ (36) J t e µ ω = t ³ i j = sin 2 θ θ +cos 2 θ θ = θ. (37) Conseguenza (el Lemma) el Teorema i Poisson è che esiste uno e un solo vettore ω tale che v P = v A + ω (P A). (38) Se cambiamo punto soliale sostituteno A con B, otteniamo v P = v B + ω (P B). (39) Questa legge lega la velocità i ue punti qualsiasi soliali al C.R. Se consieriamo il caso particolare ω = 0 v P = v A P, A C.R. (40) Si ice che l atto i moto ètraslatorio. Invece, se esiste un punto A soliale con il C.R. con velocità nulla v P = ω (P A), (41) si ice che l atto i moto è rotatorio.

7 Invarianti Cinematici Se un corpo ha in ogni istante un atto i moto rototraslatorio, il suo moto è rigio. Dim. Siano P e Q C.R. qualsiasi. Calcoliamo P Q 2 t = t [(P Q) (P Q)] = t [(P Q)] (P Q)+(P Q) (P Q) t =2 [(P Q)] (P Q). (42) t Ma P Q =(P O) (Q O) con O punto fisso e la preceente formula iventa =2( v P v Q ) (P Q) =2[ ω (P Q)] (P Q) = 0 (43) equini P Q = costante. 1. Sia ω 6= 0 e consieriamo v P = v Q + ω (P Q), (44) moltiplichiamo scalarmente per ω v P ω =[ v Q + ω (P Q)] ω = v Q ω +[ ω (P Q)] ω {z } =0 = v P ω = v Q ω P, Q C.R. (45) La quantità I = v P ω (46) si chiama invariante scalare cinematico 11 secono il vettore ω hanno uguale componente 2. Punti che stanno su una stessa retta parallela a ω hanno uguale velocità. Infatti sia r ω esia u il versore i ω, allora v P = v Q + ω (P Q) =α u α R

8 12 = ω (α u) =0 perchè paralleli = v P = v Q. (47) 3. Sono uguali le componenti elle velocità i ue punti qualsiasi el C.R. secono la retta che li congiunge. Se la velocità fosse iversa i 2 punti varierebbero la loro istanza. Quini il moto non sarebbe più rigio. Infatti a moltiplichiamo scalarmente per u v P = v Q + ω (P Q), v P u = v Q u +[ ω (P Q)] u = v Q u, (48) ove abbiamo usato il parallelismo tra (P Q) e u. Seinuncertoistante esiste un punto Q soliale al C.R. con velocità nulla, allora si può riurre l atto i moto rototraslatorio a atto i moto rotatorio attorno a Q. P C.R. v P = /v Q + ω (P Q). (49) Se esiste Q tale che v Q =0allora esiste una retta i punti soliali al C.R. con velocità nulla. Problema Come facciamo a riconoscere l atto i moto rotatorio? v Q =0.PresoA soliale prefissato, Cerchiamo Q tale che 0= v Q = v A + ω (Q A) = ω (Q A) = v A. (50) L equazione vettoriale è stata già stuiata e le sue soluzioni sono: a) Se v A =0 = Q = A. b) Se v A 6=0, C.N.S. per l esistenza è che ω v A =0. Questo vuol ire che l invariante cinematico eve annullarsi. La soluzione generale ell equazione vettoriale è: Q A = ω v A ω 2 + λ ω. (51)

9 La soluzione è formata a tutti i punti che stanno su una retta parallela a ω 13 Se l invariante cinematico I 6= 0, non esiste alcun punto soliale al C.R. con velocità nulla. Tuttavia esiste la retta Q A efinita nella preceente equazione, la quale ha la particolarità i avere i punti che hanno velocità parallela a ω. Dim. Dall equazione v Q = v A + ω (Q A); v Q ω v Q ω =0 v Q ω = v A ω +[ ω (Q A)] ω = v A ω + ω 2 (Q A) [(Q A) ω] ω µ µ ω = v A ω + ω 2 va ω va + λ ω + λ ω ω ω ω 2 ω 2 = v A ω + ω v A + λω 2 ω λω 2 ω = v A ω + ω v A =0. (52) IpuntiQ r hanno velocità parallela a ω. Sono i punti el C.R. che hanno la minore velocità. I 6= 0 v P ω = v Q v Q 6=0 v P = v Q + ω (P Q) ω (P Q) v Q v P 2 = v Q 2 + ω (P Q) 2 (53) Osservazione Se ω 6= 0e I =0, tutti i punti hanno velocità perpenicolare a ω. In questo caso, l asse el Mozzi, che in generale è costituito a punti con velocità parallela a ω, saràcostituitoapuntiavelocitànulla,ovvero:sei =0e ω 6= 0 = l atto i moto è rotatorio (Asse el Mozzi Asse i Istantanea Rotazione).

10 14 Viceversa, se l atto i moto è rotatorio = I =0. Infatti, esisterà un punto C tale che v C =0 = I = v P ω = v C ω =0. (54) Inoltre, l asse istantanea rotazione (passante per C e parallelo a ω) coinciecon l asse el Mozzi. Quini per veere se l atto i moto con ω 6= 0è riucibile a un atto i moto rotatorio, basta veere se I =0. Cosa succee nel piano. Sia ω 6= 0, ω nel caso piano è normale al piano el moto ( ω π). Consieriamo l invariante cinematico I = v P ω. Poichè il moto è piano, v P è un vettore parallelo al piano (piano irettore) = I = v P ω =0( v P ω). Dalla preceente imostrazione, possiamo ire che esiste un punto C π con v C =0. C è etto centro istantanea rotazione. Se ω 6= 0un moto rigio piano è in ogni istante rotatorio ½ vp = ω (P C) v P = ω P C e v P P C (55) Teorema i Chasles Dato un moto rigio piano, sia ω 6= 0. Note le irezioni ella velocità i ue punti soliali al C.R., P e Q, in un istante il centro istantanea rotazione si trova sulle rette perpenicolari a tali irezioni nei punti O è il centro istantanea rotazione Esempio: Asta rigia Consieriamo l asta i lunghezza l nel piano (x, y). Calcoliamo la velocità v A e preniamo come versore uscente. Allora ω = θ (il vettore ω è entrante nel piano) e v A = ω (A C) = θ ( l sin θ) J = θl sin θ I (56)

11 15 oppure x A = l cos θ A O =l cos θ I ¾ = v A = l θ sin θ I. (57) Accelerazioni ei punti i un C.R. Siano P e A ue punti soliali con il C.R. Scriviamo la formula ella velocità per i ue punti v P = v A + ω (P A) (58) e eriviamo rispetto al tempo t a P = a A + ω (P A)+ ω ( v P v A ) = a A + ω (P A)+ ω [ ω (P A)]. (59) Cinematica Relativa (Teorema i Galilei o legge i composizione elle velocità) Velocità Sia O un osservatore fisso, O 0 un osservatore mobile e P in moto relativo rispetto a entrambi gli osservatori. Costruiamo il vettore posizione P O =(P O 0 )+(O 0 O) =x (t) i + y (t) j + z (t) +(O 0 O). (60) Derivo rispetto al tempo t ambo i membri v {z} P = ẋ i + ẏ j + ż + x t i + y t j + z t + v O 0. assoluta La quantità v P,rel = ẋ i + ẏ j + ż (61) rappresenta la velocità relativa el punto rispetto all osservatore mobile. Segue che ³ ³ ³ v {z} P = v P,rel + x ω i + y ω j + z ω + v O 0 assoluta ³ ³ ³ = v P,rel + ω x i + ω y j + ω z ³ + v O 0 = v P,rel + ω x i + y j + z + v O 0 = v P,rel +[ ω (P O 0 )+ v O 0]. (62) ω rappresenta la velocità angolare ella terna mobile rispetto a quella fissa. Il termine tra parentesi quare rappresenta la velocità i trascinamento i P,cioèla velocità i P come se fosse soliale con la terna mobile. In sisntesi scriviamo v {z} P = v P,rel + v P,trasc = v P,rel + v S. (63) assoluta

12 16 Accelerazione i Coriolis Dall Eq.(63), eriviamo rispetto al tempo t per ricavare le accelerazioni a {z} P = t v P,rel + t v S, (64) assoluta ma v P,rel = ẋ i + ẏ j + ż, quini t v P,rel =ẍ i +ÿ j + z + ẋ t i + ẏ t j + ż t. (65) Il termine a P,rel =ẍ i +ÿ j + z rappresenta l accelerazione relativa e l Eq.(65) si può scrivere t v P,rel = a P,rel + ẋ t i + ẏ t j + ż t ³ ³ ³ = a P,rel +ẋ ω i +ẏ ω j +ż ω ³ ³ ³ = a P,rel + ω ẋ i + ω ẏ j + ω ż ³ = a P,rel + ω ẋ i + ẏ j + ż = a P,rel + ω v P,rel. (66) Calcoliamo la erivata rispetto al tempo t ella velocità i trascinamento t v S = t [ ω (P O0 )+ v O 0] a O 0 + ω (P O 0 )+ ω t [P O0 ] = a O 0 + ω (P O 0 )+ ω h x (t) i + y (t) j + z (t) t i = a O 0 + ω h (P O 0 )+ ω ẋ i + ẏ j + ż ³ ³ ³ + x ω i + y ω j + z ω i = a O 0 + ω h³ ³ ³ (P O 0 )+ ω v P,rel + ω ω x i + ω y j + ω z i = a O 0 + ω h³ ³ ³ (P O 0 )+ ω v P,rel + ω ω x i + ω y j + ω z i = a O 0 + ω h ³ (P O 0 )+ ω v P,rel + ω ω x i + y j + z i = a O 0 + ω (P O 0 )+ ω v P,rel + ω [ ω (P O 0 )]. (67) Il termine a S = a O 0 + ω (P O 0 )+ ω [ ω (P O 0 )], (68) viene chiamato accelerazione i trascinamento e corrispone all acelerazione el punto P come se questo fosse rigiamente collegato alla terna mobile. Quini t v S = a S + ω v P,rel (69) e, in totale a {z} P = a P,rel + ω v P,rel + a S + ω v P,rel = a P,rel + a S +2 ω v P,rel. (70) assoluta Il termine a C =2 ω v P,rel (71) si chiama accelerazione i Coriolis

13 17 Legge i composizione elle velocità angolari Denotiamo con ω ass, la velocità angolare vista all osservatore fisso ω rel, la velocità angolare vista all osservatore mobile Ω, la velocità angolare ella terna mobile rispetto a quella fissa Segue che presi ue punti P e Q C.R., l osservatore fisso vee l osservatore mobile vee. (72) v P,ass. = v Q,ass. + ω ass (P Q), (73) v P,rel. = v Q,rel. + ω rel (P Q). (74) Sottraeno membro a membro le ue uguaglianze si ottiene: v P,ass. v P,rel. = v Q,ass. v Q,rel. + ω ass (P Q)+ ω rel (P Q) v P,ass. v P,rel. = v Q,ass. v Q,rel. + ω ass (P Q)+ ω rel (P Q). (75) Dall Eq.(63) si ricava v P,rel. + v P,S v P,rel. = v Q,rel. + v Q,S v Q,rel. +( ω ass ω rel ) (P Q) = v P,S = v Q,S +( ω ass ω rel ) (P Q). (76) La velocità i trascinamento può essere trasformata teneno conto el vettore Ω. Questo ci conuce a ½ vp,s = v A,ass. + Ω (P A) v Q,S = v A,ass. + Ω (Q A), (77) ove A è l origine ella terna mobile. Sostitueno nell Eq.(76), si ottiene v A,ass. + Ω (P A) = v A,ass. + Ω (Q A)+( ω ass ω rel ) (P Q). (78) Raccoglieno Ω a primo membro, possiamo scrivere Ω (P Q) =( ω ass ω rel ) (P Q). P, Q soliali col C.R. (79) Portano tutto a primo membro si ottiene ³ Ω ωass + ω rel (P Q) =0 = Ω ωass + ω rel P Q P, Q = Ω ωass + ω rel = 0 = ω ass = Ω + ω rel. (80) ω ass è la somma ella velocità angolare vista all osservatore mobile e alla velocità angolare i trascinamento ella terna mobile. La relazione nell Eq.(80) trauce la legge i composizione elle velocità angolari.