FUNZIONE ESPONENZIALE e INTERESSE COMPOSTO. Ipotizziamo di avere a nostra disposizione all'inizio del primo anno (tempo in ascissa

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1 FUNZIONE ESPONENZIALE e INTERESSE COMPOSTO Ipotizziamo di avere a nostra disposizione all'inizio del primo anno (tempo in ascissa t o = 0 ) una somma C o (detta capitale iniziale ) e di volerla investire in un'attività (o banca, assicurazione, titoli di stato...) che garantisca un certo interesse annuo. Significa che l'attività o ente ci garantisce ogni anno una percentuale del capitale investito, che il primo anno è il capitale iniziale, negli anni successivi il capitale totale, accumulato fino all'istante considerato, somma di quello iniziale e degli interessi. Vogliamo trovare la funzione che ci permetta di conoscere, ad un certo istante qualsiasi, il capitale accumulato. In sostanza, detto x l'istante temporale, vogliamo esprimere la funzione C = C x L'interesse composto consiste in questo : all'inizio possiedo una somma C o. Detto i il tasso di interesse, alla fine del primo anno avrò una somma pari a C o, aumentata della percentuale i della somma investita: questa somma la chiamo C : pertanto C = C o C o i = C o i Durante il secondo anno riceviamo la percentuale i del capitale C accumulato alla fine del primo anno; pertanto ci troviamo con la seguente somma: C 2 = C C i = C i però, essendo C = C o i si ottiene: C 2 = C i = C o i i cioè: C 2 = C o i 2 se la vogliamo esprimere attraverso il capitale iniziale C o Un altro passo: alla fine del terzo anno ci troviamo C 2 sommato all'interesse sulla somma C 2 e quindi avremo: C 3 = C 2 C 2 i = C 2 i però, essendo C 2 = C o i 2 si ottiene: C 3 = C 2 i = C o i 2 i C 3 = C o i 3 E' ORA POSSIBILE RIPETERE LA MEDESIMA PROCEDURA PER QUALUNQUE PERIODO x : alla fine dell'anno x troveremo capitalizzata la seguente somma: C x = C x = C o i x

2 Esaminiamo ora la funzione; essa è esponenziale nella variabile x perché sia C o sia i sono costanti: C x = C o i x Il grafico è il seguente; si tenga presente che di solito i è una percentuale abbastanza piccola, raramente si arriva nella realtà ad un interesse del 0%, cioè pari a nel seguente grafico: i = 0,, che è quello rappresentato C o In questo esempio il capitale iniziale è 2 (per esempio 2 ) ; investiti al 0 %, alla fine del primo anno possediamo * 0/00 = 2,2 Alla fine del secondo anno possediamo: 2,2 + 2,2 * 0 /00 = 2 ( + 0/00) ^ 2 = 2,43 Alla fine del terzo anno possediamo 2 ( + 0/00) ^ 3 = 2,66 e così via Nella tabella sinistra (0 %) vediamo che dopo il quinto anno abbiamo un capitale di 3,22 euro, mentre dopo il decimo anno abbiamo 5,9 euro. Nella tabella di destra si vede che con il 7,7 % di interesse, dopo dieci anni il capitale è raddoppiato.

3 ESEMPI DI PROBLEMI Abbiamo un capitale iniziale di 000 e lo investiamo con un interesse annuo composto del 4 %. Quanto abbiamo alla fine del 0 anno? E alla fine del 20 anno? In questo caso l'utilizzo della formula è diretto; bisogna soltanto fare attenzione a convertire correttamente il tasso d'interesse, perché 4% significa che il capitale aumenta di 4 / 00 del proprio valore e quindi: i = 4 00 = 0,04. Pertanto la risposta alla prima domanda è la seguente: C 0 = 000 0,04 0 = 000,04 0 =.480,24 Vediamo che abbiamo guadagnato una media di 48 euro per ogni anno; questo è solo un valore medio, in quanto nel primo anno ricaviamo 40 euro, negli anni successivi gli interessi sono più alti, perché calcolati su un capitale che è aumentato; per esempio nel 2 anno l'interesse è del 4% su 040 = 4,6 2. La risposta alla seconda domanda è la seguente: C 20 = 000 0,04 20 = 000,04 20 = 2.9,2 In questo caso abbiamo più che raddoppiato il capitale iniziale e ogni anno la quota di interesse è stata in media di 9,2 / 20 = 59,56 Abbiamo un capitale iniziale di 000 e lo investiamo con un interesse annuo composto del 2 %. Quanto tempo impieghiamo per raddoppiare il capitale iniziale? E per triplicarlo? In questo caso l'utilizzo della formula è inverso; l'interesse è 0,2 e l'incognita è l'esponente x, cioè il numero di anni (che per il momento ricaviamo per tentativi con la calcolatrice; in futuro vedremo che l'operazione di ricerca dell'esponente verrà effettuata mediante il LOGARITMO ). Nel primo caso abbiamo: C x = 000 0,2 x = 2000 cioè 2 =,2 x per tentativi, elevando la base ad esponenti crescenti (e maggiori di, evidentemente) si ottiene: x = 6,6 circa ovvero 6 anni, mese e 2 giorni 2. Nel secondo caso abbiamo: C x = 000 0,2 x = 3000 cioè 3 =,2 x per tentativi, elevando la base ad esponenti crescenti otteniamo: x = 9,693 circa ovvero 9 anni, 8 mesi e 9 giorni

4 Abbiamo un capitale iniziale di 000 e lo investiamo con un interesse annuo composto i. Quale interesse devo avere per raddoppiare il capitale in 6 anni? e in 4 anni? Qui l'incognita è l'interesse i posto dentro la parentesi.. Nel primo caso, sostituendo i dati nella formula, otteniamo: 2000 = 000 i 6 da cui: i = i = 2 e infine: i 0,225 cioè un interesse del 2,25 % circa 2. Nel secondo caso, con analoghi calcoli, si ricava: 2000 = 000 i 4 da cui: i = i = 2 e infine: i 0,892 cioè un interesse del 8,92 % circa In base alla loro legge di riproduzione, le ninfee di uno stagno durante ogni giornata aumentano la loro superficie in percentuale fissa rispetto alla superficie occupata all'inizio della giornata. Immaginiamo di avere una superficie iniziale di 0 m 2 e di aver misurato, dopo un solo giorno, una superficie di 20 m 2. (a) Vogliamo, anzitutto, calcolare il tasso di crescita percentuale giornaliero i (b) Vogliamo, inoltre, calcolare quanti giorni impiegherebbero le ninfee per riempire completamente la superficie di uno stagno di 3200 m 2 In questo problema il tasso di crescita è giornaliero. Quindi x rappresenta non il numero di anni ma il numero di giorni. Detta A l'area occupata dalle ninfee, la legge è sempre la stessa: A x = A o i x (a) Per calcolare il tasso di crescita i, scriviamo i dati nella formula: 20 = 0 i Si ottiene i =, ovvero un tasso del 00 % Ogni giorno l'area aumenta del 00%; per esempio il secondo giorno sarà di 40 m 2, il terzo 80 m 2... Con questi dati, la legge di accrescimento dell'area diventa: A x = 0 x ovvero: A x = 0 2 x m 2 Per risolvere il problema cerchiamo per quale valore di x l'area raggiunge il valore 3200: 3200 = 0 2 x da cui, con la calcolatrice: x 8,32 giorni che equivale esattamente a: 8 giorni, 7 ore, 40 minuti e 48 secondi

5 Esercizio simile al precedente. Abbiamo una piscina di 0 metri di larghezza e 25 di lunghezza. Un giorno vediamo un gruppo di ninfee, che formano una macchia di cui non conosciamo la superficie. Dopo 6 giorni, però, vediamo che esse hanno ricoperto tutta la piscina. Quanto valeva la superficie iniziale delle ninfee? Inseriamo i dati e la legge di accrescimento diventa la seguente: A x = A o x = A o 2 x dove l'incognita sarà la superficie A o Ponendo A = 250 m 2 e x = 6, abbiamo: 250 = A o 2 6 e quindi A o = = 3,906 m 2 Esercizio con il denaro, leggermente diverso dai precedenti Possediamo i 000 di capitale e li investiamo con interesse annuo composto del 7 %. Quanto abbiamo accumulato alla fine del 0 anno? Ora una variante: immaginiamo che alla fine del 5 anno riceviamo una somma di 500 e che la vogliamo investire aggiungendola al capitale finora accumulato: quanto avremo capitalizzato alla fine del 0 anno? Quanto avranno reso i 500 aggiunti?. La prima parte è invariata: accumulando fino al 0 anno abbiamo: A 0 = 000 0,07 0 = 000,07 0 = 967,5 2. Se invece alla fine del quinto anno aggiungiamo 500, dobbiamo dapprima calcolare il capitale accumulato fino ad allora, aggiungere i 500 e ricominciare il calcolo, su altri 5 anni, considerando come capitale iniziale la somma del capitale accumulato e dei 500 aggiunti: A 5 = 000 0,07 5 = 000,07 5 = 402,55 Aggiungiamo 500 e otteniamo: 902,55, che è il nuovo valore di A o per i prossimi 5 anni. A 5 = 902,55 0,07 5 = 902,55,07 5 = 2668,42 Alla fine del 0 anno ci troviamo con una somma che supera di 70,27 la somma che avremmo capitalizzato se non avessimo aggiungo i 500. Pertanto i 500 aggiunto sono in pratica diventati 70,27, con una resa complessiva pari a 20,27, ovvero una media di 40,25 per anno, cioè, espressa in percentuale, dell' 8,05 % SE INVECE i 500 fossero stati a nostra disposizione fin dall'inizio e avessimo investito subito 500, alla fine del 0 anno avremmo ottenuto: (v. linea tratteggiata superiore) A 0 = 500 0,07 0 = 500,07 5 = 2950,73