Dispense di Fisica Matematica. Prof. Maura Ughi

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1 Dispense i Fisica Matematica Prof. Maura Ughi 13 febbraio 2005

2 Capitolo 1 Equazioni ella Dinamica 1.1 Introuzione, Principio i D Alembert Una grossa scorciatoia mentale valia in Meccanica Classica è il Principio i D Alembert: Ogni problema i inamica si può consierare come un problema i statica aggiungeno alle forze agenti su ogni punto B, el sistema in esame, le forze p B, p B quantità i moto i B Il principio è una interpretazione intelligente e utile elle leggi i Newton F B = p B F B p B Per un singolo punto materiale o per un rigio il Principio si può interpretare come il punto i vista i un osservatore soliale. Per tale osservatore il sistema è in equilibrio purchè si tenga conto elle forze inerzia, appunto ( pb ). = 0 Le questioni i statica si affrontano, essenzialmente, in 3 moi: 1. stazionarietà ell energia potenziale per i sistemi conservativi, 2. Principio ei Lavori Virtuali, 1

3 3. Equazioni Carinali ella Statica, usate con intelligenza. Il Principio i D Alembert ci permette i usare gli stessi 3 metoi in inamica. Precisamente 1. equazioni i Lagrange conservative, 2. equazioni i Lagrange non conservative, 3. Equazioni Carinali ella Dinamica, Nelle applicazioni consiereremo i sistemi costituiti a rigii e è quini necessario calcolare l energia cinetica K e il momento angolare totale L(O) per i rigii Un altro strumento importante è il teorema elle forze vive ( K = potenza elle forze ) che supponiamo noto alla Fisica e useremo nelle applicazioni al caso particolare e importante ei sistemi a un grao i libertà. 1.2 Sistemi olonomi conservativi Dato un sistema olonomo conservativo a l grai i libertà, il moto naturale a una ata configurazione i partenza q(t 0 ) = (q 1 (t 0 ),..., q l (t 0 )) a una ata configurazione i arrivo q(t 1 ) = (q 1 (t 1 ),..., q l (t 1 )) è ato al principio i minima azione o i Hamilton cioè minimizza l azione A = t1 t 0 L, L = K V tra tutti i possibili moti che hanno le stesse configurazioni i partenza e i arrivo. Useremo le seguenti notazioni K = energia cinetica el sistema V = energia potenziale el sistema L = lagrangiana el sistema Poichè L ipene a q, q e t, proceeno come nel capitolo sulla statica ei continui elle ispense i Meccanica Razionale si ottengono le equazioni 2

4 i Eulero per il funzionale A, ette più frequentemente equazioni i Eulero - Lagrange, cioè ( ) L L = 0, i = 1,... l (1.1) Si ottengono irettamente in moo automatico tante equazioni i moto quanti sono i grai i libertà el sistema. 1.3 Sistemi olonomi generali Dal Principio ei Lavori Virtuali e al Principio i D Alembert otteniamo: ( l i=1 ( F B ) p δx B B = 0, δx B virtuale ( esseno δx B = p B x B ) δq i = l i=1 x B δq i ( l i=1 ) F B x B Notiamo ora che: F B x B = Q i = forza generalizzata i esima Definiamo: (Ṗ) Le quantità i (Ṗ) = ( pb p B x (Ṗ) B = i i = Q i, i = 1,..., l ) δq i x B ), che potremmo chiamare erivate elle quantità i moto generalizzate, sono legate all energia cinetica nel seguente moo: 3

5 Lemma (Ṗ) i = ( ) K K Otteniamo quini per i sistemi olonomi le equazioni ( ) K K = Q i (1.2) Equazioni i Lagrange non conservative. Notiamo subito che, se invece il sistema è conservativo, si ritrovano le equazioni i Lagrange ottenute al principio i minima azione nel caso conservativo. Infatti: ( ) L L = ( ) (K V ) ( poichè V non ipene alle q i, V = 0 ) = ( ) K K + V ( poichè per i sistemi conservativi Q i = V ) = ( ) K K Q i = 0 (K V ) Nota i Approfonimento Per chi è interessato iamo la imostrazione el Lemma, che si basa su un uso intelligente elle erivate parziali e elle regole i erivazione i una funzione composta. Dimostrazione el Lemma 4

6 1. (Ṗ) i = p B x B = = [ ( p B x ) B ( ) = p B x B p B p B ( )] xb ( ) xb 2. p B x B = K Infatti: v B = x B(q(t), t) = l j=1 x B q j q j + x B t v B = x B = ( ) m B v B v B = 1 m B v 2 q B 2 i = K ( esseno K = 1 m B v 2 B 2 ) p B x B = 3. p B ( ) xb = K Infatti si ha che: ( ) xb = v B 5

7 ( posto f(q(t), t) = x B si ha infatti che: ( vei sopra la forma i v B ) v B. l f(q(t), t) = f q j + f q j t j=1 l 2 x = B q j + 2 x B q j=1 j t = ( l ) = x B q j + x B = q j t j=1 Segue che p B ( ) xb = m B v B v B ( ) = 1 m B v 2 B 2 = K 1.4 Equazioni Carinali ella Dinamica Dalle Equazioni Carinali ella Statica e al Principio i D Alembert si ha: R e ṗ B = 0 etto P = m B v B = = ( per efinizione el centro i massa G ) M v G R e = P = (M v G). Passiamo all equazione per i momenti: 6

8 M e (O) (x B x O ) ṗ B = 0 M e (O) = (x B x O ) ṗ B = { ] ( ) } [(x B x O ) p B (x B x O ) p B ( etto L(O) = ) (x B x O ) p B = L(O) (v B v O ) m B v B = ( esseno v B v B = 0 ) = L(O) + v O m B v B = L(O) + v O P. Riassumeno, etti: P = m Bv B = M v G L(O) = (x B x O ) m B v B quantità i moto el sistema momento angolare el sistema E.C.D. R e = M e (O) = P L(O) + v O P 7

9 Notiamo subito un ennesima proprietà el centro i massa: M e (G) = L(G) + v G M v G = L(G) cioè se il polo O coincie con il centro i massa G la erivata el momento angolare el sistema è pari al momento elle forze esterne ( rispetto a G ovviamente ) anche se il centro i massa si muove. Ovviamente se il polo O è fisso il termine con v O è nullo. 1.5 Energia cinetica e momento angolare per i rigii Per calcolare entrambe le quantità useremo la formula i Poisson ( vei Cap. 3 elle Dispense i Mecccanica Razionale ) per le velocità ei punti i un rigio, quini ricorare bene che quanto segue è applicabile solo a un sistema rigio. Energia Cinetica K K = 1 m B v 2 B 2 ( formula i P oisson : v B = v O + ω (x B x O ) ) = 1 m B (v 2 O + ω (x B x O )) (v O + ω (x B x O )) = 1 m B v 2 O 2 ( = I 1 ) + 1 m B (ω (x 2 B x O )) (ω (x B x O )) ( = I 2 ) + m B v O ω (x B x O ) ( = I 3 ) I 1 = 1/2Mv 2 O M massa totale ( termine ovuto alla traslazione ) 8

10 I 2 : ( usano la solita proprietà a b c = a b c e raccoglieno a fattor comune il primo ω ella formula ) I 2 = 1 2 ω m B (x B x O ) [ω (x B x O )] ( ricorano la efinizione elle trasformazioni inerzia I O ( vei Cap. 7 elle Dispense i Meccanica Razionale ) ) = ( termine ovuto a precessione ) 1 2 ω I O ω I 3 : ( raccoglieno a fattor comune v O e ω ) v O ω m B (x B x O ) ( solita efinizione el centro i massa G ) = v O ω M(x G x O ) ( termine misto traslazione - precessione ) Ulteriore proprietà i G è quini che il termine misto I 3 è nullo se si prene O G ( questa è un applicazione ai rigii el Teorema i Kőnig più generale ) Notiamo inoltre che, se urante il moto il rigio ha un punto fisso O, I 1 e I 3 sono nulli esseno v O = 0 in tal caso. Se il rigio ruota intorno a un asse fisso, preso O un punto i tale asse e u il versore i tale asse, ritroviamo la formula elementare ( esseno ω = ω u ) K = 1 2 ω u I O (ω u) = 1 2 ω2 u I O u = 1 2 ω2 I r, (r = asse i rotazione fisso) 9

11 Se il rigio trasla, tutti i suoi punti hanno la stessa velocità e ω è nullo, quini I 2 e I 3 sono nulli, O è un punto qualsiasi el rigio, a esempio G. Riassumeno: moto rigio generico K = 1 2 Mv2 G ω I G (ω) moto rigio con un punto O fisso ( precessione ) K = 1 2 ω I O (ω) moto rigio con un asse fisso, ( r = asse fisso ) K = 1 2 I rω 2 moto rigio i traslazione K = 1 2 Mv2 G Per i sistemi rigii piani in moto sul loro piano, il calcolo è semplificato notevolmente perchè ω ha sempre irezione normale al piano el moto, etto al solito e 3 l asse ortogonale al piano el moto avremo che ω I O (ω) = ω 2 e 3 I O (e 3 ) = ω 2 I 3O ove I 3O è il momento inerzia rispetto alla retta per O ortogonale al piano el moto 10

12 Riassumeno per i rigii piani: moto rigio piano generico K = 1 2 Mv2 G I 3Gω 2 moto rigio piano con un punto O fisso K = 1 2 I 3Oω 2 moto rigio piano i traslazione K = 1 2 Mv2 G Esempio 1.1 ( Biella Manovella, calcolo i K ) Figura 1.1: aste omogenee, uguali, lunghezza l e massa m K = K OA + K AB 11

13 K OA : OA ruota intorno a O con velocità angolare ϕ e 3 K OA = 1 2 I 3O ϕ 2 = 1 ml ϕ2 K AB : AB ha moto rototraslatorio con velocità angolare ϕ e 3 K AB = 1 2 m v2 G ml ϕ2 Per calcolare v 2 G 2 si possono seguire varie strae, a esempio scrivere le coorinate el centro i massa i AB e erivarle rispetto al tempo per ottenere v G : x G2 (t) = 3 2 lcosϕ(t) e 1 + l 2 sinϕ(t) e 2 v G2 = x G 2 vg2 2 = l 2 ( 3sinϕ e 1 + cosϕ e 2 ) ϕ = l2 4 ϕ2 ( 9sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) = l2 4 ϕ2 ( 8sin 2 ϕ + 1 ) Sommano i vari contributi si ottiene: K = 1 ( ) 2 2 ml2 ϕ sin2 ϕ Momento Angolare L(O) Distinguiamo ue casi: 1. Se il polo O, rispetto a cui si calcola il momento, è un punto el rigio allora per ogni altro punto B el rigio v B = v O +ω (x B x O ), quini: O R, L(O) = (x B x O ) m B v B 12

14 = m B (x B x O ) [v O + ω (x B x O )] [ ] = m B (x B x O ) v O + + m B (x B x O ) [ω (x B x O )] = ( per la efinizione i G e ella trasformazione inerzia I O ) = M(x G x O ) v O ( termine i traslazione ) +I O (ω) )( termine i precessione ) Notiamo che: O fisso L(O) = I O (ω) O G L(G) = I G (ω) 2. Se il polo O non appartiene al rigio non si può usare la formula i Poisson, si può però usare la formula i trasporto ei momenti per trasportare in un conveniente punto A el rigio, quini O / R, A R, L(O) = (x B x O ) m B v B = [(x B x A ) + (x A x O )] m B v B ( con A R fissato a piacere ) = L(A) + (x A x O ) m B v B = ( esseno P = m B v B = M v G ) = L(A) + (x A x O ) M v G ( Consiglio: non provare a manare a memoria le formule preceenti, cercare i capire il proceimento ) 13

15 Notiamo che nella inamica i un rigio le informazioni essenziali sulla sua inerzia sono quelle relative sia al centro i massa che alla trasformazione inerzia. Esempio 1.2 Figura 1.2: S(O; i, j, k) terna soliale, rettangolo omogeneo in rotazione intorno a AD, ϕ angolo i rotazione, cerniera cilinrica in O L(O) = I O (ω) = I 11 I 12 0 I 12 I I 33 ω = ϕ j 0 ϕ 0 = I 12 ϕ I 22 ϕ 0 = I 12 ϕ i + I 22 ϕ j Notare che L(O) non è parallelo a ω se 0, a causa el momento eviatore I 12, ( vei Cap. 7 elle Dispense i Meccanica Razionale, ( 7.24 ) ) che fa sì che j non sia asse principale inerzia relativo a O. 14

16 Nel caso ei rigii piani ( in moto nel loro piano, quini non nell esempio preceente ) c è al solito una grossa semplificazione. Infatti in tal caso ω è sempre iretto ortogonalmente al piano e l asse ortogonale è sempre un asse principale. Quini per i rigii piani L(O) = I O (ω) = I 3O ω aveno al solito chiamato e 3 = k l asse ortogonale al piano. Esempio 1.3 ( Biella - manovella, calcolo i L(O) ) ( vei esempio 1.1 ) L(O) = L OA (O) + L AB (O) L OA (O) : O OA L OA (O) = ml2 3 ϕ e 3 L AB (O) : O / AB, L AB (O) = L AB (G 2 ) + (x G2 x O ) m v G2 L AB (G 2 ) = ml2 12 ϕ e 3 ( ricorare che la velocità angolare i AB è ϕ e 3 ) i j k (x G2 x O ) m v G2 = 3 2 lcosϕ l 2 sinϕ 0 m 3lsinϕ ϕ m l cosϕ ϕ = 3 4 ml2 ϕ e 3 L(O) = ml 2 ϕ e 3 15