Lezioni di Scienza delle Costruzioni (Ing_Ed_Arch) Diagrammi delle sollecitazioni. Lezione. Diagrammi delle sollecitazioni

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1 ezioni di Scienza dee ostruzioni (Ing_d_rch) iagrammi dee soecitazioni semio Ricerca graica reazioni iagramma momento iagramma tagio IR2S4 1 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni quazioni di rierimento er i tracciamento dei diagrammi dee soecitazioni si a rierimento ae equazioni indeinite di equiibrio dee travi d dz d dz ( z) che egano i momento e i tagio tra oro e con i carico (z) trasversae a' asse dea trave er strutture comesse, e equazioni si intendono ovviamente vaide su ogni tratto dea struttura a tai equazioni si deduce che: 2 d 2 dz () z 2

2 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni d dz d dz a tai equazioni si deduce che: ( z) 2 d 2 dz 1) Su un tratto in cui i carico (z) è nuo i tagio è costante e i momento varia con egge ineare 2) Su un tratto in cui è aicata una orza concentrata con una comonente ortogonae a tratto i diagramma de tagio resenta una discontinuità e i diagramma de momento resenta un unto angooso 3) Su un tratto in cui i carico (z) è costante i tagio varia con egge ineare e i momento varia con egge quadratica (araboica) 4) Su un tratto in cui è aicata una coia concentrata i diagramma de tagio resta insensibie aa resenza dea coia e i diagramma de momento resenta una discontinuità () z 3 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio I tracciamento dei diagrammi de momento e de tagio resuone a identiicazione (graica) dee reazioni vincoari 4

3 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio reiminare: Riconoscimento roungamento a "terra" I II endoo esterno r a sezione è incastrata e quindi i tratto raresenta un roungamento dea "terra" I tratto non è caricato e o si uò quindi considerare come un endoo di asse con vincoo a terra ertanto a struttura si uò considerare costituita di due tratti: I tratto I: direttamente vincoato a terra co doio endoo I tratto II: ; e si ha t 2 er i comuto dei vincoi si ha: I doio endoo : gdv 2 I endoo : gdv 1 a cerniera : gdv 2 I endoo : gdv 1 In deinitiva: s t s 0 i i 5 ezioni di Scienza dee ostruzioni semio reiminare: Riconoscimento ezione iagrammi dee soecitazioni roungamento a "terra" I II endoo esterno r Si uò constatare che a struttura non ha gradi di ibertà e quindi 0 Inatti considerando i tratto, questo è vincoato a terra da endoo e daa cerniera che vincoa i unto imrorio oichè ' asse r de endoo non contiene (non è araeo a"), ogni rotazione de tratto è imedita, e i unto è un unto isso questo unto i tratto II è vincoato a terra daa cerniera e da endoo i cui asse non contiene, e quindi non esiste ossibiità di rotazione Se ne concude che 0, quindi anche i 0, 6 e a struttura è isostatica

4 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio - Reazioni vincoari r r 1) er ' equiibrio de tratto a reazione dea cerniera assa er e ertanto a retta di azione dea reazione R è a retta r che interseca a retta di azione di ne unto 2) er ' equiibrio de tratto a interazione R nea cerniera giace sua retta r congiungente con (er ' equiibrio di tre orze è necessario che siano concorrenti neo 7 stesso unto) ezioni di Scienza dee ostruzioni semio - Reazioni vincoari ezione iagrammi dee soecitazioni 3) Verso e intensità dee reazioni R e R, che trattandosi di una interazione si comone dea reazione R dea cerniera su tratto e dea reazione R su tratto, si determinano attraverso i oigono di equiibrio de tratto soggetto aa orza e ae reazioni R e R Ovviamente oi R R R //r r r R R //r R R 8

5 ezioni di Scienza dee ostruzioni semio - Reazioni vincoari ezione iagrammi dee soecitazioni 4) Si consideri quindi ' equiibrio de tratto, soggetto aa reazione R de endoo, aicata aa retta r, aa interazione R e aa interazione de doio endoo interno, che si intende aicata ad una retta r araea aa direzione de doio endoo rattandosi di tre orze, er ' equiibrio queste devono concorrere neo stesso unto, er cui a retta r dovrà assare er i unto di intersezione tra r e r r r R r R r 9 ezioni di Scienza dee ostruzioni semio - Reazioni vincoari ezione iagrammi dee soecitazioni 5) i eementi in qui identiicati sono necessari e suicienti er i tracciamento de diagramma dei momenti ome si otrà constatare sono suicienti e rette di azione dee singoe reazioni e interazioni, e non è necessario cacoare e oro intensità, a arte ameno una reazione, er esemio a R già cacoata, che è necessaria er identiicare i ato dee ibre tese e a scaa de diagramma r r r R r 10

6 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento 6) Si inizi a tracciare i diagramma de momento reativamente a tratto on rierimento ad un quasiasi unto di tae tratto i momento è rodotto daa soa reazione R, e er a recisione daa sua comonente tagiante R t, da cui si deduce che i momento tende e ibre su ato esterno di er convenzione i diagramma de momento si riorta semre daa arte dee ibre tese Inotre esso varia con egge ineare (essendo nuo i carico distribuito) ed è nuo nea cerniera e quindi, a meno dea scaa che si otrà determinare in seguito, i diagramma su è come riortato in igura r r r r R 11 R t ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento 7) Occorre ora roseguire i diagramma su tratto orizzontae Si osserva che ino aa sezione ove è aicata a orza, i momento risetto a quasiasi unto de tratto è semre dato daa reazione R, a quae, intersecando i tratto nea cerniera roduce (ovviamente) momento nuo in tae sezione er disegnare i diagramma (che è ancora ineare) occorre identiicare i momento nea sezione, ato ta ine si consideri ' equiibrio de nodo (v igura) oiche sua sezione de ato i momento è dato daa ordinata, er ' equiibrio i momento sua sezione de ato dovrà essere uguae e contrario a e quindi e ibre tese si troveranno daa arte sueriore I diagramma si rosegue dunque riortando una ordinata ari a (i r che uò arsi er semice ribatamento r dea ordinata ) e oi roseguendo i diagramma tramite congiungente co unto quiibrio odo r - 0 r R R t 12

7 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento 8) er roseguire i diagramma daa sezione a, occorre considerare che e orze che recedono un quasiasi unto di sono a reazione R e a orza, a cui risutante è a reazione R aicata aa retta r ae risutante roduce momento nuo risetto aa cerniera (come ovvia condizione di equiibrio), mentre i diagramma non resenta discontinuità nea sezione, ove si maniesta un unto angooso a causa dea resenza dea orza concentrata I diagramma rocede quindi con andamento ineare ino a sua congiungente ' ordinata in con a cerniera r r r r R R t 13 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento I robema de nodo trio 9) Si è tracciato i diagramma daa sezione aa sezione a sezione è un nodo ne quae concorrono due tratti ( e ) anaogamente a quanto si è visto reativamente a nodo ne quae conuivano soo due tratti quiibrio odo ' equiibrio aa rotazione de nodo ornisce immediatamente i momento su tratto, in quanto a equazione di equiibrio aa rotazione contiene a unica incognita r - 0 r r r R R t 14

8 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento 10) ssodata a continuità de momento e quindi ' uguagianza, reativamente a tratto si osserva che e orze che roducono momento risetto ai unti di tae tratto sono R e a reazione de endoo R, due orze a cui risutante è aicata aa retta r ertanto i diagramma si cometa congiungendo i unto di intersezione di r co roungamento di con ' ordinata momento r r r r R R t 15 ezioni di Scienza dee ostruzioni semio iagramma de momento ezione iagrammi dee soecitazioni In uito quindi i diagramma si resenta così, ed è esatto in roorzioni e segno, savo deinire a scaa nea quae va etto Si osserva i unto angooso in corrisondenza dea orza concentrata, che risuta semre orientato come a reccia dea orza 16

9 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento In base a tae osservazione si uò dedurre daa semice osservazione de diagramma de momento anche che a comonente tagiante (cioè ortogonae a' asse dea trave) V dea reazione de endoo deve essere concorde con i unto angooso de diagramma e quindi è diretta verso ' ato; da che si deduce anche i verso di R (azione de endoo su tratto ) e quindi che i endoo stesso è teso, cioè è un tirante Si uò anche attribuire un segno ae ordinate, convenendo che i momento è ositivo quando i diagramma si trova aa destra di un osservatore che ercorre ' asse dea struttura da verso e da verso H R V 17 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de momento 11) er deinire a "scaa" nea quae i diagramma va etto, occorre e basta cacoare i vaore de momento in una sezione dea trave e conrontara con a reativa ordinata etta er esemio in cm Si consideri ad esemio a sezione, e si egga a ordinata ' in cm (o quaunque atra unità di unghezza) Sia v a ordinata ' esressa in cm srimendo e orze in Kg e e unghezze in metri, i momento in vae R d R h (Kgm) etta S a scaa de diagramma si ha: S v S S t v Kgm cm osicchè, considerata una quasiasi sezione S dea struttura e misurata a ordinata vs in cm reativa aa sezione S, i momento è dato da: Kgm S vs S cm Kgm cm d v (cm) ' R h R t 18

10 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de tagio 12) I diagramma de tagio uò dedursi direttamente da queo de momento, ricordando che i agio è a derivata de omento Questo metodo è articoarmente eicace quando, come in questo caso i diagramma de momento è ovunque ineare a tratti, in quanto in questo caso i tagio è costante a tratti e coincide con a tangente de' angoo di incinazione de diagramma de momento risetto a tratto cui si rierisce Introducendo e grandezze che misurano a geometria dea struttura si ha > 0 ; > < 0 ; h 2 > 0 h ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de tagio 13) uò ora tracciarsi i diagramma de tagio er tratti, riortando aa destra de' osservatore i tagio ositivo e ricordando a convenzione su segno deo sorzo di tagio agio ositivo tratto verso ositivo di ercorrenza 1 3 > 0 ; tratto < 0 ; h 2 > 0 > 0 20

11 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio iagramma de tagio Si osserva che in corrisondenza dea sezione di aicazione dea orza, detti s e d i tagio sue sezioni de concio a sinistra e destra dea orza, er ' equiibrio si ha: agio ositivo tratto verso ositivo di ercorrenza tratto concio eementare a cavao dea orza s > 0 d > 0 0 ; d s d s 21 ezioni di Scienza dee ostruzioni ezione iagrammi dee soecitazioni semio ometamento cacoo reazioni 14) Si ossono agevomente cacoare e reazioni R, R e R e inine a reazione di incastro R, costruendo i oigoni di equiibrio dei tratti e er ' equiibrio de tratto, e orze agenti sono a reazione R, ormai nota, a reazione de endoo e a interazione de doio endoo ' equiibrio si risove attraverso a chiusura de oigono dei vettori che interreta a equazione vettoriae R R R 0 a reazione R è banamente uguae a R R //r r R r R R //r //r r R R R r R R R //r R R 22