Cap 1. L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI

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1 Ca 1. L'EQUIVALENZA DEI POLIGONI Rivedi a teoria Figure equivaenti Due figure A e B sono equivaenti se hanno a stessa estensione e in questo caso si scrive A ˆ: B. Per stabiire se due figure sono equivaenti si uoá vedere se sono equicomoste, cioeá se eá ossibie scomore in arti a due a due congruenti oure a due a due equivaenti. I criteri di equivaenza I seguenti ossono essere considerati dei criteri che ci ermettono di stabiire quando due oigoni sono equivaenti. Due araeogrammi sono equivaenti se hanno basi e atezze congruenti. Un araeogramma eá equivaente a un triangoo che ha a stessa base de araeogramma e atezza doia di quea de araeogramma, oure che ha a stessa atezza de araeogramma e base doia, oure ancora eá equivaente a doio di un triangoo che ha a stessa base e a stessa atezza. Due triangoi sono equivaenti se hanno basi e atezze congruenti. Un traezio eá equivaente a un triangoo che ha er base a somma dee basi de traezio e atezza congruente a quea de traezio. Un oigono circoscritto a una circonferenza eá equivaente ad un triangoo che ha er base i erimetro de oigono e er atezza i raggio dea circonferenza. Fai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA Sia ABC un triangoo isoscee e rettangoo in A; costruito i quadrato avente er ato 'iotenusa, dimostriamo che esso eá equivaente a quadruo de triangoo ABC. Tracciamo e diagonai de quadrato e osserviamo che ciascuno dei triangoi ottenuti eá congruente a triangoo ABC. Di conseguenza i quadrato eá equivaente a quattro triangoi. Dato un triangoo isoscee di base BC, traccia a bisettrice de'angoo esterno di vertice A e da C a erendicoare a tae bisettrice che a incontra in H. Tracciato i segmento BH, dimostra che i triangoi AHB e AHC sono equivaenti. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 1

2 Disegna un araeogramma ABCD, indica con M i unto medio de ato AB e traccia i segmenti che congiungono M con i unti C e D. Dimostra che a somma dei triangoi AMD e BMC eá equivaente a triangoo DMC. 4 In un traezio ABCD rettangoo in A eind, a base maggiore CD eá doia dea base minore AB; tracciata a diagonae BD dimostra che i triangoo DBC eá equivaente a doio de triangoo ABD. Rivedi a teoria I triangoi rettangoi godono di rorietaá articoari enunciate dai seguenti teoremi. n Teorema di Pitagora. In ogni triangoo rettangoo i quadrato costruito su'iotenusa eá equivaente aa somma dei quadrati costruiti sui cateti. n I rimo teorema di Eucide. In ogni triangoo rettangoo i quadrato costruito su un cateto eá equivaente a rettangoo che ha er ati 'iotenusa e a roiezione di que cateto su'iotenusa. n Secondo teorema di Eucide. In ogni triangoo rettangoo i quadrato costruito su'atezza reativa a'iotenusa eá equivaente a rettangoo che ha er ati e roiezioni dei cateti su'iotenusa. Fai gi esercizi 5 ESERCIZIO GUIDA Disegniamo due circonferenze tangenti esternamente in P e sia r una tangente comune ae due circonferenze non assante er P; tae retta incontra e due circonferenze in A einb. Dimostriamo che i quadrato costruito su AB eá equivaente aa somma dei quadrati costruiti sui segmenti PA e PB. Basta dimostrare che i triangoo ABP eá rettangoo in P. Osserva aora che, indicato con T i unto di intersezione dea retta tangente in P con a retta r, 'angoo APT d eá metaá de'angoo ACP d ercheâ...; anaogamente 'angoo BPT d eá metaá de'angoo PC d0 B ercheâ... Aora 'angoo APB d eá retto ercheâ... 6 Un traezio rettangoo ha i ato obiquo che eá erendicoare aa diagonae. Dimostra che i quadrato costruito sua base maggiore eá equivaente aa somma dei quadrati costruiti sugi atri tre ati. 7 Due circonferenze aventi i raggi uno i doio de'atro sono tangenti esternamente in P; tracciata una dee tangenti comuni non assante er P, siano A e B i unti di tangenza. Dimostra che i quadrato costruito su segmento AB eá 8 vote i quadrato de raggio dea circonferenza minore. (Suggerimento: a figura de robema eá strutturamente simie a quea de'esercizio 5; tieni resenti quindi i risutati ottenuti in que'esercizio e che inotre anche i triangoo CTC 0 eá rettangoo in T ) 8 ESERCIZIO GUIDA Sia AB i diametro di una circonferenza e P un unto ad essa esterno che aartiene aa retta AB (B eá iuá vicino a P di A). Tracciamo una retta er P tangente aa circonferenza e indichiamo con C i unto di tangenza; sia oi H a roiezione di C sua retta AB. Dimostriamo che i rettangoo che ha er ati i segmenti OH e HP eá equivaente a rettangoo che ha er ati i segmenti AH e HB. Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

3 I triangoo OCP eá rettangoo in C ercheâ...; aora q CH ˆ: :::::::::::: I triangoo ABC eá rettangoo in C ercheâ...; aora q CH ˆ: :::::::::::: Confrontando e due reazioni si ottiene... 9 Sia AB una corda di una circonferenza di centro O e sia CD i diametro ad essa erendicoare che a incontra in M. Dimostra che qam ˆ: rcm, MD. 10 Su roungamento de diametro AB di una circonferenza di centro O, daaartedib, rendi un unto P e traccia a tangente PT. IndicataconH a roiezione di T su diametro AB, dimostra che q AB ˆ: 4r OH, OP. 11 Un traezio isoscee eá circoscritto a una circonferenza; dimostra che i quadrato de raggio eá equivaente a rettangoo avente er ati a metaá dee basi de traezio. (Suggerimento: dimostra darima che i triangoo che ha er vertici i centro dea circonferenza e gi estremi di uno dei ati obiqui eá rettangoo) Ca. GRANDEZZE, MISURA, PROPORZIONALITAÁ E AREE Rivedi a teoria Grandezze omogenee e misure Un insieme A di eementi costituisce una casse di grandezze omogenee se: tutti gi eementi di A si ossono confrontare fra oro in modo che, resi due di essi a e b, si uoá semre stabiire se a > b, a ˆ b oure a < b sommando due quasiasi eementi di A si ottiene ancora un eemento di A : a b ˆ c e c A. Per misurare una grandezza A occorre scegierne un'atra U ad essa omogenea come unitaá; si ossono resentare due situazioni: e grandezze A e U hanno un sottomutio comune ed in questo caso a misura di A risetto a U eá esressa da un numero razionae che si trova in questo modo: se i sottomutio comune eá contenuto m vote in A e n vote in U aora a misura di A eá m n e grandezze A e U non hanno un sottomutio comune ed in questo caso a misura di A risetto a U eá esressa da un numero irrazionae. In ogni caso a misura di una grandezza si esrime semre mediante un numero reae. I raorti I raorto fra due grandezze A e B eá i numero reae che esrime a misura di A quando B raresenta 'unitaá di misura. Tuttavia, se e misure di A edib sono esresse in funzione di una stessa unitaá U comune ad entrambe, aora i raorto fra A e B eá uguae a quoziente fra e oro misure. Per esemio, se un segmento AB eá ungo 6cm e un segmento CD eá ungo 8dm, aora i raorto fra i due Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO

4 segmenti si uoá cacoare se riortiamo entrambe e misure aa stessa unitaá, er esemio i centimetro; in questo caso, oicheâ 8dm ˆ 80cm: AB CD ˆ 6 80 ˆ 9 0 Le roorzioni Quattro grandezze A, B, C e D (A e B omogenee tra oro, C e D omogenee tra oro) sono in roorzione se i raorto fra e rime due eá uguae a raorto fra e seconde due, cioeá se A B ˆ C ; quest'utima reazione viene di soito scritta nea forma D A : B ˆ C : D Inotre, visto che i raorto fra due grandezze eá uguae a quoziente fra e oro misure, se quattro grandezze sono in roorzione o sono anche e oro misure. Aora, indicando con a, b, c, d tai misure, daa reazione recedente si deduce che a : b ˆ c : d Le rorietaá dee roorzioni Se a, b, c, d sono quattro numeri non nui in roorzione, cioeá tai che a : b ˆ c : d aora vagono e seguenti rorietaá: a. fondamentae bc ˆ ad b. de ermutare a : c ˆ b : d oure d : b ˆ c : a c. de'invertire b : a ˆ d : c d. de comorre a b : b ˆ c d : d oure a b : a ˆ c d : c e. deo scomorre a b : b ˆ c d : d oure a b : a ˆ c d : c se a > b e c > d Tai rorietaá, ad escusione di quea fondamentae ercheâ non ha senso in generae motiicare due grandezze omogenee (ad esemio due esi o due angoi), vagono anche er e corrisondenti roorzioni fra grandezze se assumiamo che esse siano tutte omogenee fra oro. Fai gi esercizi 1 Di tre grandezze omogenee A, B, C si sa che A eá i trio di B e che B, a sua vota, eá i 4 di C. Cacoa i seguenti raorti: B C A A B C. 1, 4,4 Se A, B, C, D sono quattro grandezze omogenee fra oro e se A : B ˆ C : D, quai fra e seguenti roorzioni sono vere? a. A : B ˆ C : D b. A : B ˆ C : D c. A : 4B ˆ C : 4D 1 d. A : C ˆ B : D e. D : B ˆ 1 C : A f. B : 6A ˆ C : 6D [a., c., d., e.] Daa roorzione A : B ˆ C : D, se D B ˆ 5 6, che cosa si uoá dire de raorto A C? A C ˆ Un segmento AB ungo 5cm eá diviso in due arti da un unto P ad esso interno tai che PA PB ˆ 7. Quanto sono unghi i segmenti PA e PB? [4,5cm; 10,5cm] 5 I raorto fra 'angoo a vertice e 'angoo aa base di un triangoo isoscee eá uguae a 5.Quantomisurano gi angoi de triangoo? 75,75,0 Š 4 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

5 Rivedi a teoria Grandezze roorzionai Due insiemi di grandezze sono direttamente roorzionai se sono in corrisondenza biunivoca e se i raorto fra due grandezze quasiasi de rimo insieme eá uguae a raorto fra e corrisondenti due de secondo. Due insiemi di grandezze sono inversamente roorzionai se sono in corrisondenza biunivoca e se i raorto fra due grandezze quasiasi de rimo insieme eá uguae a raorto inverso fra e corrisondenti due de secondo. Saiamo oi che, er verificare a roorzionaitaá diretta fra due insiemi di grandezze, ossiamo ricorrere a criterio generae di roorzionaitaá che dice: condizione necessaria e sufficiente affincheâ due insiemi di grandezze in corrisondenza biunivoca siano direttamente roorzionai eá che venga conservata a congruenza e a somma. I teorema di Taete e e sue conseguenze I teorema di Taete ci garantisce che se abbiamo un fascio di rette araee, tagiato da due trasversai, i segmenti che si individuano sua rima trasversae sono roorzionai a quei corrisondenti che si determinano sua seconda (figura a): AB : A 0 B 0 ˆ BC : B 0 C 0 ˆ CD : C 0 D 0 ˆ ::::: Conseguenza di questo teorema eá che, se in un triangoo si traccia una corda araea ad uno dei ati, aora (figura b): gi atri due ati restano divisi in arti roorzionai AD : DB ˆ AE : EC i triangoo che si ottiene ha i ati roorzionai a quei de rimo AD : AB ˆ AE : AC ˆ DE : BC a. b. Fai gi esercizi 6 Stabiisci se i seguenti insiemi di grandezze sono direttamente o inversamente roorzionai o se non esiste roorzionaitaá fra essi. a. A ˆ {segmenti}; B ˆ {erimetri dei quadrati che hanno er ato i segmenti de'insieme A} b. A ˆ {quantitaá di materiae necessaria er a roduzione} B ˆ {costo comessivo de materiae er a roduzione di un oggetto} c. A ˆ {temi necessari a ercorrere una certa distanza s} B ˆ {veocitaá media tenuta er ercorrere a distanza s} d. A ˆ {segmenti}; B ˆ {aree dei quadrati che hanno er ato i segmenti de'insieme A} 7 ESERCIZIO GUIDA Per un unto D de ato AB di un triangoo ABC traccia a araea a ato BC che incontra AC in E e a araea a ato AC che incontra BC in F; sia oi G i unto di intersezione di AF con DE. Dimostra che AE : DF ˆ AG : GF. Se consideriamo i triangoo AFC, essendo GE k FC, ossiamo scrivere a roorzione AE : :::::: ˆ :::::: : :::::::: Osserviamo oi che i quadriatero DECF eá un..., quindi EC :::::::::: Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 5

6 8 Disegna un quadriatero ABCD e traccia e sue diagonai che si incontrano in P; da P traccia a araea ad AB che incontra AD in Q e a araea a BC che incontra CD in R. Dimostra che: a. DQ : DA ˆ DR : DC b. QR eá araeo ad AC (Suggerimento: considera i triangoo DAB e, tenendo conto che PQ k AB, scrivi a roorzione fra e arti in cui restano divisi i suoi ati; considera oi i triangoo DCB e rieti o stesso ragionamento. Confrontando e roorzioni ottenute...) 9 Sono dati due segmenti AB e CD ed un terzo segmento PQ. Siega come uoi trovare un unto S su PQ in modo che PS e SQ siano roorzionai ad AB e CD. (Suggerimento: traccia una semiretta di origine P e riorta su di essa, a artire da P, i segmenti AB e CD in modo che siano adiacenti; se ora tracci...) 10 Ne triangoo ABC isoscee di base BC conduci a mediana BM reativa a ato AC e, detto N i unto medio di BC, traccia i segmento MN. Dimostra che anche i triangoo MNC eá isoscee. Come deve essere i triangoo ABC affincheâ anche i triangoo BNM sia isoscee? Rivedi a teoria Le formue er i cacoo dee aree dei oigoni I teoremi su'equivaenza e e considerazioni sua misura ermettono di individuare dee regoe er i cacoo dee aree S dei oigoni fondamentai; e ricordiamo di seguito: area de quadrato di ato ` : S ˆ ` area de rettangoo di ati a e b : S ˆ a b area de araeogramma di base b e atezza h : S ˆ b h area de triangoo di base b e atezza h : S ˆ 1 b h area de traezio di basi b1 e b e atezza h : S ˆ 1 h b 1 b area de rombo di diagonai d1 e d : S ˆ 1 d 1 d area de oigono di erimetro circoscritto ad una circonferenza di raggio r : S ˆ 1 r ˆ r Reazioni fra i ati di oigoni articoari Ricordiamo acune fra e reazioni iuá significative che intervengono sesso nea risouzione di robemi sorattutto di tio numerico: in un quadrato, fra i ato ` e a diagonae d sussiste a reazione d ˆ ` ` in un triangoo equiatero, fra i ato ` e 'atezza h sussiste a reazione h ˆ i ato ` de quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r eá ` ˆ r i ato ` de triangoo equiatero inscritto in una circonferenza di raggio r eá ` ˆ r i ato ` de'esagono regoare inscritto in una circonferenza di raggio r eá ` ˆ r 6 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

7 Fai gi esercizi 11 ESERCIZIO GUIDA In un traezio isoscee di erimetro ˆ 4` a base maggiore eá i doio di quea minore ed inotre i raorto fra a somma dei ati obiqui e a somma dee basi eá 5. Cacoiamo i erimetro de rombo 1 equivaente a traezio che ha e diagonai una i doio de'atra. Con riferimento aa figura, indichiamo con x a base minore de traezio e con y i ato obiquo e riscriviamo e informazioni de robema in funzione di queste variabii (utiizzando due incognite ci servono due equazioni): AB ˆ x CD ˆ x AD ˆ BC ˆ y 8 < x y ˆ 4` erimetro de traezio : y x ˆ 5 1 raorto fra a somma dei ati obiqui e dee basi Risovendo i sistema otteniamo che x ˆ 8` y ˆ 5` cioeá AB ˆ 8` CD ˆ 16` AD ˆ BC ˆ 5` Di conseguenza, aicando i teorema di Pitagora a triangoo BHC, ottieni che BH ˆ :::::::::::::::::: L'area de traezio, e quindi anche quea de rombo, eá ercioá S ˆ :::::::::::::::::: Se adesso indichi con x a diagonae minore de rombo EFGM si ha che: MF ˆ x EG ˆ x con x > 0! S ˆ 1 x x ˆ x e deve essere x ˆ :::: da cui x ˆ ::::::::::::: Per trovare a unghezza de ato de rombo basta adesso aicare i teorema di Pitagora a triangoo EOF. I erimetro risuta quindi essere uguae a 1 5 `. 1 ESERCIZIO GUIDA Le basi di un traezio rettangoo misurano 16cm e 5cm e a diagonae minore eá erendicoare a ato obiquo. Trova i erimetro e 'area de traezio. Dati de robema: AB ˆ 16 DC ˆ 5 DB? BC AD? DC Per trovare i erimetro devi rima cacoare e misure de ato AD, che raresenta anche 'atezza de traezio, e de ato BC. Tracciata anche 'atezza BH e considerato che DH ˆ :::::::::: e che HC ˆ ::::::::::, uoi aicare i secondo teorema di Eucide a triangoo DBC e trovare cosõá a misura di BH che eá anche quea di AD. Per trovare BC uoi adesso aicare i teorema di Pitagora a triangoo BHC oure i rimo teorema di Eucide a triangoo DBC. ˆ 68cm; area ˆ 46cm Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 7

8 1 Un rettangoo eá inscritto in una circonferenza i cui raggio misura 5cm; trova a sua area saendo che un ato eá i 4 de diametro. 100cm Š 5 14 Di un triangoo rettangoo si sa che un cateto misura 0cm e 'atezza reativa a'iotenusa misura 1cm. Trova i erimetro e 'area de triangoo. ˆ 60cm; area ˆ 150cm 15 Un triangoo ABC isoscee di base BC eá circoscritto ad una circonferenza e di esso si sa che i ato AC eá 10,4cm; sia N i unto di tangenza de ato AC con a circonferenza. Se AN NC ˆ 8 5, cacoa: a. 'area de triangoo ABC b. a unghezza de raggio dea circonferenza. a. 8,4cm ; b. 8 cm 16 ESERCIZIO GUIDA Due circonferenze congruenti di raggio r ˆ 15cm sono secanti e ognuna di esse assa er i centro de'atra. Doo aver dimostrato che i triangoo avente er vertici i due centri e uno dei unti di intersezione dee circonferenze eá equiatero, cacoa a misura dea corda comune ae due circonferenze. Osserviamo che i segmenti CO, CA e OA sono raggi e quindi i triangoo COA eá equiatero ed i suo ato eá ungo 15cm. 15 Aora 'atezza ha misura h ˆ La corda AB eá i doio de'atezza de triangoo e quindi AB ˆ 15 cm. 17 Un triangoo rettangoo ha un angoo che misura 60 e 'atezza reativa a'iotenusa che misura 15cm. Trova 'area de triangoo. 150 cm 18 Un triangoo equiatero eá inscritto in una circonferenza di raggio r ;doo aver dimostrato che a congiungente i unti medi di due suoi ati individua un atro triangoo equiatero, cacoa 'area di quest'utimo. 16 r 19 In un traezio rettangoo a base minore e 'atezza sono segmenti congruenti e a diagonae minore eá erendicoare a ato obiquo. Se 'area de traezio eá 16m quanto misura i suo erimetro? 1 4 m 0 La somma dee aree dei due quadrati in figura eá 85m mentre i rettangoo che ha er ati e diagonai dei due quadrati ha area 800m. Quanto misura i ato di ciascun quadrato? [40m, 5m] es. 0 Rivedi a teoria La unghezza dea circonferenza Saiamo che i erimetri dei oigoni regoari inscritti in una circonferenza sono minori dei erimetri dei oigoni regoari ad essa circoscritti e che i due insiemi costituiscono una coia di cassi contigue. Viene naturae aora ensare aa circonferenza come a'eemento searatore dee due cassi, vae a dire che, a crescere indefinitamente de numero dei ati dei oigoni, a circonferenza tende a confondersi con 8 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

9 i contorno di tai oigoni. Questa unghezza searatrice si dice circonferenza rettificata e, indicata con C tae unghezza e con r i raggio dea circonferenza, si ha che C ˆ r dove eá un numero irrazionae i cui vaore arossimato a meno di 0,01 eá,14. L'area de cerchio L'area dei oigoni inscritti in un cerchio eá minore de'area dei oigoni ad esso circoscritti; i due insiemi costituiscono una coia di cassi contigue che ammette i cerchio come eemento searatore. Abbiamo oi dimostrato che un cerchio ha a stessa area di un triangoo che ha er base un segmento congruente aa circonferenza rettificata e er atezza un segmento congruente a raggio; indicata con S 'area de cerchio, si ha quindi che S ˆ r Fai gi esercizi Cometa e seguenti tabee determinando gi eementi mancanti (e misure indicate sono tutte riferite aa stessa unitaá). 1 raggio diametro C ,8 raggio diametro S , 1,44,4 Un triangoo equiatero di ato a eá inscritto in una circonferenza; esrimi, in funzione di a, a unghezza di ciascuno degi archi in cui i vertici de triangoo dividono a circonferenza. 9 a 4 In un rombo una diagonae ed i ato misurano risettivamente 18cm e 1cm. Cacoa a unghezza dea circonferenza in esso inscritta. 9 7 cm 5 Due circonferenze sono tangenti esternamente ed entrambe sono tangenti ad una terza circonferenza che e contiene a suo interno (vedi a figura). Verifica che a unghezza dea circonferenza iuá esterna eá congruente aa somma dee atre due. es. 5 6 Due circonferenze sono tangenti internamente e i raggio dea maggiore eá doio di queo dea minore. Indicato con r i raggio dea circonferenza iuá iccoa, trova 'area dea arte di iano deimitata dae due circonferenze in funzione di r. r Š 7 I centri O e O 0 di due circonferenze secanti distano 10cm; a corda comune AB eá unga 9,6cm e i raggi OA e O 0 A sono erendicoari. Cacoa i raorto fra e aree dei due cerchi Due circonferenze congruenti di raggio r sono secanti e ognuna di esse assa er i centro de'atra. Cacoa i raorto fra 'area dea arte comune ai due cerchi e 'area dea suerficie da essi occuata. 4 8 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 9

10 Verifica de recuero 1 Cometa e seguenti roosizioni in modo che risutino vere. a. Due araeogrammi sono equivaenti se... b. Un araeogramma ed un rettangoo sono equivaenti se... c. Un araeogramma ed un triangoo sono equivaenti se... d. Due triangoi sono equivaenti se... e. Un oigono circoscritto ad una circonferenza ed un triangoo sono equivaenti se... f. Un traezio ed un triangoo sono equivaenti se... 1 unto Due araeogrammi ABCD e PQDC sono uniti er i ato CD e si trovano in semiiani oosti risetto aa retta di tae ato. Ricordando che anche i quadriatero ABPQ eá un araeogramma, dimostra che a somma di ABCD con PQDC eá equivaente a araeogramma ABPQ. 1 unto Disegna un traezio e traccia una dee sue diagonai; dimostra che una retta araea ae basi divide a diagonae in arti roorzionai a quee individuate sui ati. 1 unto 4 Riferendoti ae figure raresentate di seguito, cometa e uguagianze rooste. a. AB ˆ HB :::::::::::::::: AH ˆ :::::::::: :::::::::: b. BC ˆ AB :::::::::::::::: AH ˆ AB :::::::::::::::: c. BH ˆ AC :::::::::::::::: HC ˆ BH :::::::::::::::: 1,5 unti 5 In un cerchio di diametro 150 cm eá inscritto un triangoo isoscee che contiene i centro de cerchio e che ha a base di 144 cm. Cacoa i erimetro e 'area de triangoo. 1 unto 6 Un traezio isoscee, a cui area misura 000cm,eÁ circoscritto ad una circonferenza di diametro 40cm. Cacoa a misura dee basi de traezio. 1,5 unti 7 Considera un quadrante di una circonferenza di raggio r e inscrivi in esso due semicirconferenze aventi er diametro i raggi che o deimitano (osserva a figura a ato); cacoa a unghezza de contorno dea arte in coore. 1,5 unti es. 7 8 Sui ati di un quadrato ed esternamente ad esso costruisci e semicirconferenze che hanno er diametro i ati stessi. Dimostra che a somma dee quattro semicirconferenze sta a erimetro de quadrato come a oro area sta a'area de quadrato. 1,5 unti 10 Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

11 Souzioni 1 a. hanno e basi e e atezze congruenti b. hanno e basi e e atezze congruenti c. hanno e basi congruenti e 'atezza de triangoo eá doia di quea de araeogramma (oure hanno atezze congruenti e a base de triangoo eá doia di quea de araeogramma) d. hanno basi ed atezze congruenti e. i triangoo ha a base congruente a erimetro de oigono e 'atezza congruente a'aotema (i raggio de cerchio inscritto) f. hanno a stessa atezza ed i triangoo ha come base a somma dee basi de traezio. L'atezza de araeogramma ABPQ eá congruente aa somma dee atezze degi atri due araeogrammi ed inotre tutti e tre i araeogrammi hanno a stessa base. Si aica i teorema di Taete ai due triangoi in cui a diagonae divide i traezio. 4 a. AB ˆ HB CB, AH ˆ HB HC b. BC ˆ AB, AH ˆ AB c. BH ˆ AC, HC ˆ BH 5 ˆ 84cm; area ˆ 691cm 6 80cm; 0cm 7 r 8 Indicata con ` a unghezza de ato de quadrato, a somma dee quattro semicirconferenze eá `; i erimetro de quadrato eá 4`; 'area dee quattro semicirconferenze eá 1 `; 'area de quadrato eá `. La reazione ` : 4` ˆ 1 ` : ` eá una roorzione ercheâ soddisfa a rorietaá fondamentae. Esercizio Punteggio Vautazione in decimi Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema 4 - ATTIVITA Á DI RECUPERO 11

12 chord dodecagon secant corda dodecagono (retta) secante shaded square tangent ombreggiato quadrato (retta) tangente 1 In the circe shown, AB is the diameter. Chords CD and EF are erendicuar to AB. The enghts AP, PQ and QB are 5, 7 and 9 resectivey. Determine the sum of the enght of CP and EQ. a. 4 5 d. 5 b. 5 1 e. 6 5 c ex. 1 Consider the region on the right hand formed by three semicirces with diameters AB, BC and AC, where oint B ies on the semicirce defined by diameter AC. Find the area of the shaded region. ex. Circe A and circe B are externay tangent and have radii of 4cm and 10cm resectivey. If an externa tangent is drawn to the two circes that intersects circe A at oint C and intersects circe B at oint D, find the ength of CD. 4 In the figure shown, P 1, P, P, P 4, P 5 is a section of a reguar dodecagon with each side enght of. Find the area of triange P 1 P P 5. a. b. 5 4 c. 6 d. 8 4 e. 8 ex. 4 5 In the figure shown, ABCD is a square. AB ˆ 1, AC and BD are arcs with radius 1 and centres at D and A resectivey. What is the difference between the areas of the two shaded regions? a. 1 b. 1 4 d. 1 6 e. 1 c. 1 ex. 5 1 c. 0cm 4 10 cm 4 a. 5 a. 1 Tema 4 - MATH IN ENGLISH Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA