PROBLEMA 1 RISOLUZIONE. Punto 1

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1 PROBLEMA Data una circonerenza di centro O e raggio unitario, si prendano su di essa tre punti A, B, C, tai che AB = BC.. Si cacoi, in unzione de angoo AÔB =, a quantità: AB BC CA controando che risuti: 4cos 4cos. Si studi a unzione e si tracci i suo graico γ ne intervao π. Si veriichi che a curva γ è simmetrica rispetto aa retta di equazione = π 4. Si cacoi i vaore medio dea unzione ne intervao π. RISOLUZIONE Punto Consideriamo a igura di seguito. Posto A ÔB si ha A Bˆ C ABˆ O e BÂC BĈA. Appicando i teorema dea corda a triangoo ABC si ha: AC sin Quindi: sin, AB BC sin A B O C

2 cos AB BC CA 4sin sin 4 cos 4cos 4cos Punto Studiamo a unzione 4cos 4cos Dominio:,; Intersezione asse ascisse: 4cos cos in, cos cos cos Intersezione asse ordinate: cos, Simmetrie: a unzione è periodica di periodo T e pari in quanto 4cos 4cos 4cos 4cos ; Positività: cos cos, ; Asintoti verticai: nessuno perché a unzione è periodica e imitata; Asintoti orizzontai: nessuno, a unzione è periodica e imitata; Asintoti obiqui: nessuno, a unzione è periodica e imitata; Crescenza e decrescenza: a derivata prima è ' sincos 4sin 4sin cos ; di seguito o studio dei segni dea derivata. sin 4 cos

3 sin cos 4 ' Da quadro soprastante deduciamo che a unzione presenta un minimo m, e due massimi reativi in reativo in 4 M,9,M, 9 ; Concavità e convessità: a derivata seconda è '' 4 4cos cos per cui '' arccos cos cos arccos arccos arccos Quindi a unzione presenta concavità verso ato in 4

4 4, arccos arccos, arccos, arccos e presenta quattro essi a tangente obiqua in 6,4 arccos,, arccos, 47, arccos,,6 arccos I graico è di seguito presentato:

5 Punto Una unzione è simmetrica rispetto aa retta k. Ne caso in esame 4cos 4cos k se 4cos 4cos per cui Punto 4 è simmetrica rispetto aa retta. I vaor medio di una unzione in b Ne caso in esame VM 4cos 4cos d cos 4 4cos d cos 4cos 6d sin 4sin 6 6 a, è VM d. b a b a

6 PROBLEMA Sia data a unzione. Si determini i dominio di e si dica se a unzione è continua e derivabie in ogni punto di esso.. Si studi a unzione e se ne tracci i graico γ.. Si cacoi area dea parte di piano R racchiusa da graico γ e da semiasse positivo dee ascisse. 4. La regione R genera, nea rotazione attorno a asse dee ascisse, un soido S. In S si inscriva un cono circoare retto con vertice ne origine. Si determinino raggio e atezza de cono, ainché i suo voume sia massimo. Punto RISOLUZIONE I dominio dea unzione è dato da:. Ne dominio a unzione è continua. La derivata prima è ' da cui deduciamo che a unzione non è derivabie nei punti in cui presenta una tangente verticae; inatti im ' im '. In concusione a unzione è derivabie in tutti i punti de dominio escusi i punti con ascisse. 6

7 Punto Studiamo a unzione Dominio: ; Intersezione asse ascisse: Intersezione asse ordinate: Simmetrie: a unzione è dispari in quanto Positività: Asintoti verticai: non ve ne sono in quanto im im ; Asintoti orizzontai: non esistono visto i dominio chiuso, ; Asintoti obiqui: non esistono visto i dominio chiuso, ; Crescenza e decrescenza: a derivata prima è ' ; da quadro dei segni deduciamo a presenza di un minimo reativo m, ed un massimo reativo M, ; 7

8 Concavità e convessità: a derivata seconda è 4 '' 4 per cui, ricordando che i dominio è, si ha '' cioè a unzione presenta concavità verso ato in, e verso i basso in, ; a unzione presenta quindi un esso a tangente obiqua F, con tangente inessionae di equazione y. Di seguito i graico:

9 9 Punto L area richiesta è d d d d S Punto 4 Sia, P con un punto generico appartenente a ramo de primo quadrante dea unzione. I raggio de cono inscritto sarà pari a ordinata de punto P e cioè R mentre atezza sarà pari a ascissa e cioè h. I voume de cono sarà aora h R V. Studiamo a derivata per trovare i massimo 4 V' per cui a unzione voume, ricordando a imitazione geometrica è strettamente crescente in, e strettamente decrescente in, da cui deduciamo che i voume è massimo quando atezza è pari a ed i raggio è pari a 6 R. I vaore massimo è pertanto pari a 9 V.

10 QUESTIONARIO Quesito In cima ad una roccia a picco sua riva di un iume è stata costruita una torretta d osservazione ata metri. Le ampiezze degi angoi di depressione per un punto situato sua riva opposta de iume, misurate rispettivamente daa base e daa sommità dea torretta, sono pari a e 4. Si determini a arghezza de iume in que punto. Consideriamo a igura a ato. Dobbiamo cacoare a unghezza de segmento PO. Appicando i teorema dei triangoi rettangoi ai triangoi POT e POH si ha a reazione m T H O 4 P 4 PO tan PO tan da cui PO 9m tan 4 tan

11 Quesito a Considerata a unzione, dove a è una costante reae 6 positiva, si determini tae costante, sapendo che im. I imite richiesto si presenta nea orma indeterminata per cui possiamo appicare i teorema di de Hospita: 7 n a n n a a n n a im im a. 6 n 6 6 n n 6 n 6 n a Imponendo im si ha 6 7 n a n n n n a. 6 a a a 4 n

12 Quesito Su un piano orizzontae α si pongono un cono circoare retto, i cui raggio di base è r e atezza r, e una sera di raggio r. A quae distanza da piano α bisogna segare questi due soidi con un piano orizzontae ß, perché a somma dee aree dee sezioni così ottenute sia massima? Si consideri a igura seguente: A O K L D E B H C F Indichiamo con, r, a distanza tra piani e. Le intersezioni de piano con i cono e a sera sono due circonerenze rispettivamente di raggio R C KL e R S DE. La somma dee aree dee sezioni è quindi S R C R S. Cacoiamo ora i due raggi: Raggio R C I triangoo AKL e AHC sono simii essendo entrambi rettangoi con un angoo in comune per cui vae a seguente proporzione tra ati omooghi: AK : KL AH : HC da cui

13 AK HC r r KL r per cui area dea AH r circonerenza di raggio KL r è A Raggio R S I triangoo ODE è rettangoo per cui C RC r ; r r R S DE OE OD r per cui area dea circonerenza di raggio AS La somma dee aree è quindi RS r. R S DE r è S r r r r con 4 r. Notiamo che a unzione S è una paraboa con concavità verso i basso che presenta i massimo ne ascissa de vertice b r r V a ; quindi a somma dee due aree è massima 4 4 per V r e vae S r r r r r r. 4 9 Aternativamente possiamo proseguire mediante derivazione: a derivata prima dea unzione S è S' r per cui S' r da cui deduciamo che S è strettamente crescente in, r e strettamente decrescente in r, r ; inotre S '' per cui r è ascissa de massimo.

14 Quesito 4 Si dimostri che per gi zeri e di una unzione a b c ' ' vae a reazione e si dia una interpretazione geometrica dea aermazione dimostrata. Gi zeri de equazione a b c sono b b 4ac b b 4ac, ; a a a b è ' a b per cui a derivata prima di c ' b a b 4ac b a 4ac b b 4ac ' a b b 4ac a da cui deduciamo che ' '. Per dare un interpretazione geometrica a risutato ottenuto riscriviamo a somma ' ' : essa è pari a ' ' a b a b a b e imponendo b che sia nua otteniamo o equivaentemente a b. a La reazione appena ricavata ci dice che a semisomma dee souzioni b è pari a che è ascissa de vertice; in atri termini gi zeri dea a b paraboa sono simmetrici rispetto aa retta coincidente con a asse di simmetria dea paraboa. b 4

15 Quesito e Si cacoi i vaore medio dea unzione, ne intervao. in b I vaor medio di una unzione a, è VM d. b a a e Ne caso in esame VM d ; appicando integrazione per parti si ha V M e e e d e e e Quesito 6 e e d e e e e e e b d Si determinino a e b in modo tae che i graico dea unzione passi per i punti de piano y di coordinate,4 e,. y b a La base a dea unzione potenza deve essere a a. Imponendo,4,, si ha: i passaggio per i punti b b b b a 4 a 4 a 4 a 4 b b a a a 4a a a a a b b b in cui a souzione a è stata scartata in quanto non soddisa a condizione a a.

16 Quesito 7 Un tetraedro ed un ottaedro regoari hanno gi spigoi dea stessa unghezza. Si dimostri che i voume de ottaedro è i quadrupo di queo de tetraedro. Consideriamo i tetraedro e ottaedro sottostanti: C D B A H C O A H K B Cacoiamo i due voumi. Voume tetraedro L atezza di ognuno dei 4 triangoi equiateri componenti è DK ; ricordando che ortocentro di un triangoo equiatero divide ognuna dee tre atezze in due parti di cui una doppia de atra si ha 6

17 7 6 KH per cui atezza de tetraedro è pari a 6 6 KH DK DH ; i voume è aora 6 4 h A V b T ; Voume ottaedro I voume de ottaedro può essere visto come a somma dei voumi dee due piramidi componenti. In accordo con a igura soprastante si ha,, OH CH CO CH OH per cui i voume di una dee due piramidi è 6 h A V b P per cui i voume de ottaedro è V V P O che corrisponde a quadrupo de voume de tetraedro. Quesito Si trovi equazione dea retta tangente aa curva di equazioni parametriche = t e t y ne suo punto di coordinate,. Le equazioni parametriche possono essere scritte come t y t

18 da cui deduciamo a curva 4 y ; equazione dea retta tangente in, è m y con y' m ; a derivata prima dea unzione 4 y è 4 6 ' y per cui ' y m ; in concusione equazione dea retta tangente è y. Quesito 9 Si dimostri che se una unzione è derivabie ne punto, ivi è anche continua; si porti un esempio di unzione continua in un punto e ivi non derivabie. Dimostrazione Ipotesi: ' im imite i inito Tesi: im Scriviamo: Segue: ' im im im im im ' come voevasi dimostrare.

19 Se a derivabiità in un punto ne impica a continuità, non vae i viceversa. Basta prendere in considerazione a unzione se che risuta essere continua ma non se derivabie in in cui presenta un punto angooso in quanto im ' im im ' im Quesito Si dimostri che a dierenza dei quadrati di due ati di un triangoo è uguae aa dierenza dei quadrati dee rispettive proiezioni dei ati stessi su terzo ato de triangoo. Consideriamo a igura a ato. I triangoi AHB ed AHC sono rettangoi in H. Appicando i teorema di Pitagora ad entrambi si ha: AB AH BH AC AH HC Sottraendo membro a membro si ha: AH BH AH HC BH HC AB AC che coincide con quanto voevamo dimostrare. B A H C 9