4^C - Esercitazione recupero n 7

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "4^C - Esercitazione recupero n 7"

Fortunato Colella
5 anni fa
Visualizzazioni

1 4^ - Esercitazione recupero n 7 1. Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, prendi su di essa tre punti,,, tali che =. a. alcola, in funzione dell'angolo O=, la quantità, verificando che risulti f = 4 cos 4 cos 8. b. Studia la funzione ricavata e tracciane il suo grafico nell'intervallo 0. c. Verifica che tale grafico è simmetrico rispetto alla retta di equazione =.. In un triangolo, l'angolo è doppio dell'angolo, e =a. a. Dette e L, rispettivamente, le altezze del triangolo uscenti dai vertici e, considera il rapporto L espresso in funzione di =. a b. Studia la funzione f così ottenuta e traccia il suo grafico g nell'intervallo 0, mettendo poi in evidenza la parte del grafico compatibile con i dati del problema. c. Dimostra che g è simmetrico rispetto alla retta di equazione =. 3. Data una circonferenza di diametro =, conduci per la retta tangente alla circonferenza, e su di essa considera un punto M tale che M =. Da M traccia l'ulteriore retta tangente alla circonferenza e sia il punto in cui essa incontra il prolungamento di. Posto = y, esprimi y in funzione di e studia la funzione così ottenuta. 4. In cima ad una roccia a picco su un fiume è stata costruita una torretta di osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18 e 4. Determina la larghezza del fiume in quel punto. 5. Su un piano orizzontale a vengono posti un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e l'altezza r, ed una sfera di raggio r. quale distanza dal piano a bisogna tagliare i due solidi con un piano orizzontale b perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima? 6. Determina i parametri a e b in modo che il grafico della funzione y=a b passi per i punti di coordinate 1, 4 e 3,8. 7. Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Dimostra che il volume dell'ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. 8. Dimostra che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei quadrati delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo.

2 4^ orrezione recupero n 7 1. onsideriamo il caso in cui / e, quindi, il lato sta sotto il centro O. In questo caso, le misure degli angoli sono: O= O=, O =, O =, O = =. Dal teorema della corda, otteniamo: == sen e dai teoremi sui triangoli rettangoli: = = sen = sen. Quindi: f = =8 sen 4 sen = 4 cos 4 cos 8, applicando le formule di bisezione e la 1^ relazione fondamentale della goniometria. E' semplice verificare che il caso / porta allo stesso risultato. pplicando il teorema di arnot, è possibile evitare di considerare due casi distinti, a prezzo di qualche complicazione di calcolo. La funzione è definita R, ed ha periodo T =. pplicando la scomposizione del trinomio di secondo grado o, al limite, con Ruffini, otteniamo: f =4 cos 1 cos. I primi due fattori sono strettamente positivi R, mentre il terzo si annulla per cos =1 = k. Possiamo affermare con sicurezza che per 0 la funzione avrà un massimo assoluto per il teorema di Weierstrass, ma non abbiamo sufficienti informazioni per dedurre il grafico corretto, che è rappresentato in figura. La simmetria rispetto alla retta di equazione = è definita da: { '= y '= y. Nel nostro caso, poiché cos =cos, si ha: f = f c.v.d.. Dai teoremi sui triangoli rettangoli, ricaviamo: =a sen, L=a sen. Quindi: f = L a = 1 1 cos a a a sen = cos cos 3

3 avendo applicato le formule di bisezione. Dalla scomposizione del trinomio di secondo grado, infine: L f = 1 1 cos cos 3. nche in questo caso, possiamo affermare che il primo ed il terzo fattore sono strettamente positivi R, mentre il / secondo si annulla per cos =1 = k. Quindi, come nell'esercizio precedente, possiamo affermare che per 0 la funzione avrà un massimo assoluto per il teorema di Weierstrass, ma non abbiamo sufficienti informazioni per dedurre il grafico corretto, che riportiamo solo per completezza. nche la dimostrazione della simmetria è del tutto analoga a quella dell'esercizio precedente. 3. nche in questo caso, dobbiamo considerare due casi: se 1, l'ulteriore tangente condotta da M alla circonferenza interseca il prolungamento del diametro dalla parte di ; se 0 1, l'ulteriore tangente condotta da M alla circonferenza interseca il prolungamento del diametro dalla parte di. onsiderando il primo caso, dal triangolo rettangolo OM ricaviamo: tg = O M = 1. Dal triangolo rettangolo M, ricaviamo invece: tg = M y 1= tg = tg 1 tg = / 1 1/ = 1 per 1. Ragionando in maniera analoga, nel secondo caso otteniamo: y = 1 per 0 1. Nota che y = y 1, quindi possiamo tracciare il grafico di y 1 e, nell'intervallo 0 1, applicarvi la simmetria rispetto all'asse delle ascisse. M a a T 1 O y 4. Indichiamo con h=11 m l'altezza della torre, con =18 e =4 le ampiezze dei due angoli di depressione, con l'altezza della roccia e con l la larghezza del fiume. Per i teoremi sui triangoli rettangoli: tg e h tg, da cui, eliminando la :

4 h l= tg tg = 11 tg 4 tg m. h b a l b a 5. La sezione del cono è una circonferenza di raggio. Imponendo la similitudine dei triangoli: r = r r =r. r r La sezione della sfera è una circonferenza di raggio r. Per il secondo teorema di Euclide: r = r r = r. r r Osserva che, applicando il teorema di Pitagora, pur ottenendo lo stesso risultato finale, dovrei distinguere i casi r e r. La somma delle aree delle sezioni è data da: S = r = 3 4 r r per 0. Trattandosi di una funzione di secondo grado, il suo grafico è un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso.di conseguenza, essa assume valore massimo nel vertice, ovvero quando: V = = r 3/ = 3 r. 6. Impongo il passaggio per i due punti: { ab 1 =4 a b 3 =8. Divido membro a membro le due equazioni: a = a= (scarto la radice negativa). Sostituisco nella prima equazione: b 1 b 1 =4 = b=3. 7. onsideriamo il tetraedro come una piramide avente base il triangolo equilatero, la cui area misura: S 3 4. L'apotema DK è dato dall'altezza del triangolo equilatero di lato l, ovvero: DK 3.

5 Nel triangolo equilatero, l'ortocentro coincide con il baricentro, per cui: K = K Dal teorema di Pitagora ricavo: D = DK K 3. Il volume del tetraedro è quindi: V tetr = 1 3 l 3 4 l onsideriamo l'ottaedro come formato da due piramidi congruenti a base quadrata, la cui area è l. L'apotema misura K 3, mentre O = l. Dal teorema di Pitagora ricavo: O= O = l. Il volume dell'ottaedro è quindi: V ott = 3 l l 3 3 quadruplo di quello del tetraedro., per cui il volume dell'ottaedro è il 8. Dal teorema di Pitagora ricavo: =, =. Quindi, sottraendo membro a membro, o sostituendo: = c.v.d.

Documenti analoghi

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 010 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta d osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli