= r.(porre AH=x, dove H è la proiezione di P su AB)

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1 Liceo Scientifico Statale M. Curie Classe A Scienze Applicate aprile Verifica di Matematica: sommativa durata della prova : ore ome Cognome Leggete attentamente le seguenti istruzioni: Anche i disegni hanno un punteggio, quindi li dovete eseguire a matita e in maniera accurata. Sarà penalizzato il punteggio delle disequazioni di secondo grado risolte con la scomposizione in fattori di primo I grafici dei sistemi e dello studio dei segni devono indicare a caporiga l elemento che si sta valutando ei problemi G e G ne dovete eseguire uno solo, a vostra scelta. CACELLATE QUELLO CHE O AVETE SCELTO. G Problema di geometria elementare el triangolo (ABC) rettangolo in A, la bisettrice dell angolo in B incontra il lato AC in P. Traccia da P la perpendicolare all ipotenusa CB e indica con Q il punto di intersezione con l ipotenusa stessa. imostra che PQ : CP = AB: CB. voto Punt. Ma. Punt. attr. G Problema di geometria da risolversi con l algebra Un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza ha la base maggiore AB che misura 8 a e gli angoli alla base di. Calcola perimetro e area del trapezio. G* Problema di geometria da risolversi con una incognita ata una semicirconferenza di centro O e diametro AB=r, traccia il raggio OC perpendicolare al diametro. Indicato con P un generico punto dell arco AB, sia K la sua proiezione su OC. etermina per quale posizione di P si ha AP PK = r.(porre AH=, dove H è la proiezione di P su AB) G* Problema di geometria da risolversi con una incognita ato un segmento OP = a, tracciare una semicirconferenza γ di centro O in modo che P sia esterno ad essa. Tracciata da P la retta tangente a γ, indicare con C il punto di tangenza e con H la proiezione di C su OP. Qual è il raggio di γ se OC OH = a? G opo aver trovato le coordinate del vertice, le coordinate degli eventuali punti di intersezione con l asse e con l asse y, l equazione dell asse di simmetria e le coordinate di alcuni punti, esegui un accurato disegno della parabola di equazioney =. Risolvi poi la disequazione A A Risolvi le seguenti disequazioni: Risolvi il seguente sistema: 8 totale

2 Problema di geometria elementare el triangolo (ABC) rettangolo in A, la bisettrice dell angolo in B incontra il lato AC in P. Traccia da P la perpendicolare all ipotenusa CB e indica con Q il punto di intersezione con l ipotenusa stessa. imostra che PQ : CP = AB: CB. Ip: ABˆP PBˆ C π C ÂB PQ CB Ts: PQ : CP = AB: CB IM: Per il teorema della bisettrice, si può scrivere la proporzione AP : CP = AB: CB. Ma i triangoli ( APB) e ( QPB) sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Infatti, oltre all angolo retto, hanno congruenti l ipotenusa PB (in comune) e gli angoli ABˆP PBˆ C (per IP) In particolare, siccome in triangoli congruenti ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, si ha PA PQ. ella proporzione ricavata dal teorema della bisettrice possiamo sostituire AP con PQ e la tesi è cosi verificata. Problema di geometria da risolversi con l algebra (es. 8 pag 69 del libro di geometria) Un trapezio isoscele circoscritto a una semicirconferenza ha la base maggiore AB che misura 8 a e gli angoli alla base di. Calcola perimetro e area del trapezio. Per un teorema che abbiamo studiato, il lato obliquo di un trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza è uguale alla metà della base maggiore. Perciò A = BC = a. L altezza si trova applicando le formule relative ai triangoli 69. Avere un disegno fatto come si deve, potrebbe aiutare a riconoscere le formule da applicare. In particolare: CH = K = A = a HB = AK = A = a = 6a La base minore C si trova sottraendo dalla base maggiore le due proiezioni dei lati obliqui: C = AB AK = 8 a a. A questo punto siamo in grado di trovare gli elementi richiesti: 8 a a a 8 a a = a a = ( ) ( 8 a 8 a a) / a = a 6 ( a a) = a ( 8 ) = ( ) p = a A = a /

3 Problema di geometria da risolversi con una incognita (es. pag 78 del libro di geometria) ata una semicirconferenza di centro O e diametro AB=r, traccia il raggio OC perpendicolare al diametro. Indicato con P un generico punto dell arco AB, sia K la sua proiezione su OC. etermina per quale posizione di P si ha AP PK = r.(porre AH=, dove H è la proiezione di P su AB) Come indicato dal testo, dobbiamo porre AH= che è sottoposto alle limitazioni soluzioni trovate rientrano in questo intervallo. r : dovremo ricordarci di controllare se le Se P appartiene alla semicirconferenza, si viene a formare un triangolo rettangolo (APB) al quale possiamo pensare di applicare o il teorema di Pitagora o uno di quelli di Euclide. Tenendo conto dei dati richiesti, dobbiamo costruire l equazione che risolve il problema esprimendo in funzione dell incognita le lunghezze dei segmenti AP e PK. Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo (APB) si ha AP = r.b. per poter applicare Pitagora o Euclide dobbiamo accertarci che il triangolo sia rettangolo e (APO) non lo è!! Invece PK = AOAH = r. el caso in cui P si trovasse a destra del raggio OC si avrebbe PK = AH AO = r. In ogni caso il risultato sarà lo stesso dal momento che dovremo elevarlo al quadrato..b. se non si dovesse elevare al quadrato, potendo teoricamente P stare sia a destra sia a sinistra del raggio CO, dovremmo considerare il valore assoluto della differenza per evitare di avere valori negativi. Sostituendo nell equazione data: AP PK = r r ( r ) = r r r r = r r r = Applichiamo la formula ridotta: r 6r ± 6r r 6r ± r, = = = r La soluzione = r non è ovviamente accettabile in quanto H si troverebbe fuori dal diametro. L unica soluzione accettabile è r pertanto =

4 Problema di geometria da risolversi con una incognita (es. pag 79 del libro di geometria) ato un segmento OP = a, tracciare una semicirconferenza γ di centro O in modo che P sia esterno ad essa. Tracciata da P la retta tangente a γ, indicare con C il punto di tangenza e con H la proiezione di C su OP. Qual è il raggio di γ se OC OH = a? al momento che il problema chiede qual è il raggio di γ ci sta suggerendo di indicare con il raggio OC=OB. è sottoposto alle limitazioni a. Anche se ottenuto in modo apparentemente diverso, il disegno è sempre il solito: c è un triangolo rettangolo (la tangente è perpendicolare al raggio) e c è l altezza relativa all ipotenusa. Per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo (OCP) si ha CO CO = OH HP da cui si può ricavare HO. OH = =. Sostituendo nell equazione = a da cui a a =. Le HP a a soluzioni sono: a a ± a a a ± a, = = = a delle quali è accettabile solo quella positiva che rientra nell intervallo delle limitazioni.. opo aver trovato le coordinate del vertice, le coordinate degli eventuali punti di intersezione con l asse e con l asse y, l equazione dell asse di simmetria e le coordinate di alcuni punti, esegui un accurato disegno della parabola di equazione y =. Risolvi poi la disequazione Cominciamo trovando le coordinate del vertice = b V a = Per trovare l ordinata o ci ricordiamo la formula y V = = oppure a (meglio) SOSTITUIAMO = nell equazione della parabola. y V = = Ricordo che l equazione della parabola stabilisce la relazione tra le ascisse dei suoi punti e le rispettive ordinate: un punto appartiene ad una retta, a una parabola o, in generale ad una curva, se le coordinate del punto soddisfano l equazione della retta, della parabola o, in generale della curva. L equazione dell asse di simmetria è =, retta verticale avente i punti tutti con la stessa ascissa del vertice. Siccome c = rappresenta l intercetta della parabola con l asse y, il punto di intersezione con l asse y ha coordinate ( ; ) y = Per trovare le coordinate degli eventuali punti di intersezione con l asse dobbiamo risolvere il sistema y = che conduce all equazione = scomponibile in ( )( ) = da cui = e = I punti di intersezione con l asse sono pertanto ( ;) e ( ; ). Completare con altri punti per i quali le coordinate devono essere ordinate in un opportuna tabella. Senza ulteriori calcoli, la disequazione è verificata per i valori ITERI all intervallo delle radici.

5 Risolvi le seguenti disequazioni: 6 = ± = ± =, trovate le radici (che corrispondo alle ascisse dei punti di intersezione della parabola con l asse ) osserviamo che a e il trinomio sono concordi, quindi dobbiamo prendere i valori ESTERI all intervallo delle radici. 6 Siccome c è un solo modulo e oltre ad esso solo un numero, la disequazione può essere considerata elementare e non è necessario distinguere i due casi ma si ha solo: 6 : S fin 6 /.. ( ) attenzione ( ) = = ( ) ho cambiato segno e quindi il verso della diseguaglianza ( ) 8 8 ( ) 8 8.B. va specificato che è 8 : S fin

6 Risolvi il seguente sistema: Procediamo con ordine, risolvendo una disequazione alla volta, prima e poi. isequazione A. Infatti = annulla gli argomenti di entrambi i moduli quindi anche la loro somma. Per ogni altro valore di si tratta di una somma di quantità positive e quindi è (quasi) sempre positivo. La frazione è negativa quando lo è. on era proprio il caso di distinguere casi e sottocasi, cercate sempre la via d uscita più breve., = ± = ± = per avere dobbiamo prendere i valori ITERI S A : con isequazione B R ( ) (perché è dispari e quindi si può estrarre la radice cubica senza condizioni) / S B : = non dimentichiamo lo zero!! Facciamo ora il grafico finale del sistema A B : S fin