Maturità Scientifica 2014 Problema 1 Corso di Ordinamento. Problema 1

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1 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento Problema Pagina di

2 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento dal grafico Γ della funzione integrale ( ) ( ) g = f t dt dobbiamo dedurre le principali caratteristiche della funzione integranda f ( ). Dal teorema fondamentale di Torricelli-Barrow del calcolo integrale deduciamo che: g ( ) = f ( ) L asse delle ascisse è tangente orizzontale a Γ nel punto ( ) = ( ) = in quanto la funzione ( ) f k g k assoluto. La funzione f ( ) g ( ) = è positiva per k >. crescente e quindi risulta g ( ) La funzione f ( ) g ( ) = è negativa per k w <. decrescente e quindi risulta g ( ) ( ) ( ) f = g h g ( ) = f ( h) = ; quindi risulta: f ( ) g ( ) = = f presenta nel punto = k un punto di massimo < < perché in tale intervallo ( ) < < perché in tale intervallo ( ) = è un punto di flesso discendente per la funzione integrale ( ) = h = è un punto stazionario per la funzione f ( ) Per stabilire la natura di questo punto stazionario dobbiamo studiare il segno di f ( ) g è strettamente g è strettamente g. h w + _ O f ( ) = g ( ) = h è un punto di massimo assoluto per la funzione f ( ) In base alle nostre conoscenze il grafico della funzione f ( ) potrebbe essere quello indicato in figura: Pagina di

3 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento g( ) polinomio di terzo grado g( ) = a + b + c+ d ( ) g = a + bc+ d con a g ( ) = d= g ( ) = c= g ( ) = a + b g ( ) = a + b ( ) = 6 + g( w ) = ( a b) g ( h) = ( ah b) w w+ = con w + = g ( k ) = k( ak b) + = con k g a b Il sistema da risolvere è il seguente: aw+ b= ak+ b= ah+ b= b w = a b k = a b h = a h = w kk = w Abbiamo così dimostrato che i numeri hk, dividono l intervallo [ ; w ] in tre parti uguali.. g ( ) = a+ b= w= b = a a + b = b= a a = b = g( ) =- + y = + y = = + y = + = y = ( )( ) = y = = = + = Pagina di

4 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento A ; B + ; g ( ) =- + ( ) g = y ya= g ( ) ( ) A A equazione della retta normale a Γ nel punto A ; y = ( ) 5 y=-+ g ( + ) = B + ; y yb= g ( ) ( ) B y = ( + ) La regione R colorata in giallo genera, in una rotazione completa attorno all asse delle ordinate, il solido W di volume V. La sezione del solido col piano y è quella colorata. B equazione della retta normale a Γ nel punto y= Dividiamo il solido W in gusci cilindrici, cioè in cilindri cavi, ognuno dei quali ha come base una corona circolare di raggio e spessore ded altezza g( ) =- +. Il volume del cilindro interno di raggio vale: V=π g( ), mentre quello esterno vale: ( ) ( ) i V=π +d g. e Pagina di

5 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento Guscio cilindrico di raggio interno e raggio esterno + d Il volume V del guscio cilindrico infinitesimo considerato vale: Spessore ed altezza di una sezione del guscio cilindrico ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dv= Ve Vi= π g + d+ d = π g d+ d = π g ( ) d è trascurabile in quanto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto all infinitesimo d. Il volume V del solido W si ottiene sommando tutti questi gusci cilindrici infinitesimi al variare della nell intervallo [ ; ] W= dv= π g( ) d π d π π = + = + = W= πdm = πlitri 5,5litri Pagina 5 di

6 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento ( ) - f ( ) = + = = = - ( ) f = = =± _ + O O _ f '() = punto di minimo assoluto f ( ) = minimo assoluto = punto di massimo assoluto f ( ) = massimo assoluto Pagina 6 di

7 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento f ( ) ( ) f ( ) = = = f ( ) = è una funzione dispari il cui grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi cartesiani, come risulta anche osservando la figura del problema. Abbiamo dimostrato che l origine O è centro di simmetria per la curva Γ. m= tgα = f ( ) = = a = arctg 6, Poiché risulta y l equazione y ( ) = ammette radici reali solo se cioè se: = ( ) y=± ( ) =± =± f ( ) La curva di equazione y = ( ) y è l unione dei grafici delle due funzioni y=± f ( ). Ricordando che il grafico della funzione f ( ) grafico della funzione f ( ), la curva richiesta è quella indicata in figura. è il simmetrico rispetto all asse delle ascisse del Pagina 7 di

8 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento ( ) S = d= ( ) = 6 = ( ) ( ) d) d= = [ ;] h dom f = codom f = [ ;] h( ) sin = con ( ) = sin f ( ) = sin = h( ) = sin f ( ) = sin = [ ;] f ( ) [ ;] h( ) ( ) = sin ( ) = f ( ) h f π = = π Le soluzioni di questa equazione coincidono con le ascisse dei punti comuni alla curva Γ ed alla retta di equazione y = π. Come risulta dalla figura otteniamo = α con < α < = β con < β < π = ( ) π = π + Pagina 8 di

9 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento π = α =,87 π β,8 = = + ( ) ( ) h = cos ( ) h = = = α punto di massimo assoluto = = β punto di massimo assoluto = punto di minimo assoluto Il minimo assoluto della funzione h( ) vale zero e si ottiene per = e per = Il grafico della funzione h( ) è quello indicato in figura. Pagina 9 di

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11 Maturità Scientifica Problema Corso di Ordinamento L equazione h( ) = k ammette soluzioni se sin < k < in quanto la retta di equazione y= k incontra, in tale intervallo, in punti distinti il grafico della funzione h( ). Pagina di

12 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento BC AC Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC otteniamo: sin α = sin sinα = sinα = a arcsin,8 9 α 8 Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni. Pagina di

13 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento Definizione di angoloide: V Dato un poligono qualsiasi ABCDE ed un qualunque punto V non appartenente al piano del poligono, si considerino gli angoli convessi AVB ˆ, BV ˆ C, CV ˆ D, DV ˆ E, EV ˆ A formati dalle semirette che congiungono V con i successivi vertici del poligono. La superficie formata da tali angoli piani limiterà una parte di spazio che prende il nome di angoloide. Diversamente chiamiamo angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono. E A B C D Quindi un angoloide è la parte di spazio delimitata da tre o più angoli a due a due consecutivi ed aventi il vertice in comune. Il punto V si dice vertice dell angoloide, le V semirette VA, VB, VC, VD, VE si dicono spigoli dell angoloide, gli angoli piani AV ˆ B, BVC ˆ, CV ˆ D, DV ˆ E, EV ˆ A sono le facce dell angoloide. Un angoloide con,, 5 facce dicesi rispettivamente triedro, tetraedro, pentaedro. Un angoloide si dice convesso o concavo se il poligono che serve per la sua costruzione è a A B E a C D d convesso o concavo. b c Angoloide concavo Teorema: In ogni angoloide convesso la somma delle facce è minore di quattro angoli retti BVC ˆ + CVD ˆ + DVE ˆ + EVA ˆ < 6 Pagina di

14 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento Definizione di poliedro: Dicesi poliedro la regione finita di spazio delimitata da un numero finito di poligoni convessi, giacenti su piani diversi ed aventi a due a due un lato in comune. I poligoni che delimitano il poliedro, i loro vertici si chiamano rispettivamente facce, vertici, spigoli del poliedro. Ogni segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia prende il nome di diagonale del poliedro. L insieme delle facce si dice superficie del poliedro. Un poliedro si dice convesso, se ogni sua faccia appartiene ad un piano che non interseca il poliedro, si dice concavo se almeno una sua faccia appartiene ad un piano che interseca il poliedro. Elementi caratteristici di ogni poliedro sono gli angoli piani (cioè gli angoli di ciascuna faccia), i diedri (cioè gli angoli formati dalle facce che escono da ogni spigolo), gli angoloidi formati dagli angoli piani i cui lati partono da uno stesso vertice. Teorema: In ogni poliedro convesso il numero delle facce più il numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di due. f + v = s + Pagina di

15 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento Definizione: Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari uguali ed i suoi angoloidi sono uguali fra loro. I poligoni regolari, detti solidi di Platone, sono soltanto 5 in quanto le loro facce possono essere triangoli equilateri (tetraedro), quadrati (cubo), pentagoni regolari (dodecaedro). Un poligono regolare non può avere come faccia un esagono in quanto avremmo come somma = 6 in contrasto con quanto detto prima. E questo ci consente di affermare che non esiste un poliedro regolare a facce esagonali. Si hanno le seguenti possibilità:. Le facce del poliedro sono triangoli equilateri: le facce dei quattro angoloidi possono esere ( 6 =8 < 6, ( 6 = < 6 ), 5 ( 5 6 = < 6 ). Con più di 6 facce avremmo un valore 6. Esistono tre poliedri regolari con le facce triangolari; sono il tetraedro, l ottaedro, l icosaedro.. Se le facce del poliedro sono quadrate, le facce degli angoloidi non possono essere più di ( 9 = 7 < 6 ). Abbiamo l esaedro (cubo). Nel caso di facce avremmo: 9 = 6 ; con non possibile per quanto detto in precedenza.. Un poliedro con facce pentagoni regolari può avere al massimo facce; risulta 8 = < 6. Abbiamo il dodecaedro regolare. n h= h Il termine ( n a b ) = ( a ) ( b ) n h n h 9 8a b si ottiene se risulta: ( ) h= n h = 9 Risolvendo il sistema h = n h= 9 otteniamo: h= n = 5 Verifichiamo che per questi valori otteniamo il coefficiente contenente il fattore coefficiente si ottiene applicando la seguente formula: 9 a b. Tale Pagina 5 di

16 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento 5 = = ( ) 7 8 ( ) 5 5! 5 = 5!! = = La regione R di piano compresa tra il grafico della funzione ( ) f = e e l asse delle ascisse con [ ; ] è quella indicata nella figura a fianco e In quanto risulta: f ( ) = ( ) f = e V( Ω ) = A( ) d= f( ) h( ) d= e d= e d = e V( Ω) = e + e = = e- e e e A( ) rappresenta l area di una generica sezione di base f ( ) ed altezza h( ) perpendicolare all asse delle ascisse. Della successione di numeri,,,,,5999,6 considero i primi numeri e stabilisco quanti di essi non sono divisibili per,,5. Di questi numeri quelli non divisibili per,,5 sono 8, come indica la seguente successione:,7,,,7,9,,9. Se a =,,,,9, rappresenta la successione dei primi numeri anche la successione di numeri b =,,6 presenta 8 numeri non divisibili per,,5 e questo si verifica per ogni gruppo successivo di numeri. I numeri,,,,,5999,6 divisi in gruppi successivi di elementi sono 6 =. Pagina 6 di

17 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento Questo ci consente di affermare che 8 = 6 dei numeri proposti considerati non sono divisibili per,,5. Altra isoluzione I numeri divisibili per sono 6 = I numeri divisibili per sono 6 = I numeri divisibili per 5 sono 6 = Il totale fa: = Da questi 6 numeri dobbiamo sottrarre i numeri divisili per 6, e per 5 in quanto già presenti nei numeri divisibili per,,5 ed aggiungere quelli divisibili per 5= non presenti nei numeri trovati in precedenza. Pertanto i numeri divisibili per,,5 sono: = I numeri non divisibili per,,5 sono: 6 = 6 come trovato in precedenza. Pagina 7 di

18 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento Si tratta di trovare la superficie totale minima di un parallelepipedo a base quadrata di dato volume V = 5litri = 5dm. Indichiamo con il lato della base quadrata e con h l altezza della lattina. V V = h h = V St = + S = + h t = V + = V S t + con > V 5 5 St = = = S = 5= 5 = punto di minimo assoluto 5 _ O + 5 S t 5 = = = Il parallelepipedo che soddisfa la richiesta è un cubo il cui lato vale: 5 h 5 dm h = = 5 dm,7dm 7mm Per calcolare il valore medio f della funzione f ( ) nell intervallo [ ; ] b f = f d b a che, nel caso nostro, diventa: a seguente formula ( ) ( ) ab basta applicare la k k d = 9 k = k 9 k = 9 k = 6 k = 6 P( ) = a + b + c + d+ e è la forma algebrica del polinomio di quarto grado richiesto Pagina 8 di

19 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento ( ) P = a + b + c+ d Le condizioni richieste portano al seguente sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = P = P = P = P = a+ b+ c+ d+ e= 6a+ 8b+ c+ d+ e= 8a+ 7b+ 9c+ d+ e= a+ b+ c+ d= 8a+ 7b+ 6c+ d= a = 5 d = 5 b = e = c = 5 P( ) = Grafico del polinomio di quarto grado trovato 5 P( ) = = = Per calcolare il dominio della funzione proposta bisogna imporre la condizione di realtà sia della radice quadrata che del logaritmo. Tale dominio coincide con la soluzione del seguente sistema di inequazioni: + 5> log ( + 5) < 5 log ( + 5) < 5 log( + 5) log8 > > 5 domf = ]-5;] Pagina 9 di

20 Maturità Scientifica Questionario Corso di Ordinamento 5. Si determinino i valori reali di per cui ( ) = 5 ( ) = ( ) 6 + ln + 6 = ln ln + 6 = 5 ( ) ( ) Ottengo: ( ) ln = = = + 5 Applico la legge di annullamento di un prodotto di fattori = ( + ) = ln ( + 6) = ln ( ) + 6= 5 + = = = 7 I valori richiesti sono: =- ; =+ ; =; =7 Pagina di