þ k Þy ¼ ð 1 3k Þx 2 þ 21 k

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1 A I fasci di paraboe Come equazione di un fascio di rette è a combinazione ineare di due particoari rette, e sue generatrici, anche un fascio di paraboe è a combinazione ineare di due particoari di esse. Consideriamo per esempio e paraboe: Per costruire i fascio che e ha come generatrici y ¼ x 2 þ 2x 2 e y ¼ x 2 2x þ 6 scriviamo e due equazioni in forma impicita: y x2 2x þ 2 ¼ 0 y þ x 2 þ 2x 6 ¼ 0 costruiamo una oro combinazione ineare: y x2 2x þ 2 þ kyþ ð x 2 þ 2x 6Þ ¼ 0 riorganizziamo i termini: ð1 þ k Per k 6¼ 1, equazione ottenuta si può scrivere nea forma canonica: 1 k y ¼ 1 þ k x2 þ 21 ð k Þ 6k 2 x þ 1 þ k 1 þ k Þy ¼ ð 1 k Þx 2 þ 21 k ð Þx þ ð6k 2Þ Essa rappresenta quindi un fascio di paraboe che ha come generatrici quee di equazioni y ¼ x 2 þ 2x 2e y ¼ x 2 2x þ 6. Come ne caso de fascio di rette, a prima paraboa si ottiene da equazione de fascio per k ¼ 0, a seconda non si ottiene per acun vaore finito di k e si dice che è quea che corrisponde a k!1. Tutte e atre paraboe de fascio si ottengono attribuendo a parametro k particoari vaori; per esempio: per k ¼ 0 : y ¼ x2 þ 2x 2 per k ¼ 1 : y ¼ x2 þ 2 e così via. Osserviamo che per k ¼ 1 non abbiamo più equazione di una paraboa, bensì quea di una retta: per k ¼ : y ¼ þ 1 x 2 2 þ 1 þ 1 x þ 1 þ 1! y ¼ x Inotre, se consideriamo equazione de fascio nea sua forma impicita e poniamo in esso k ¼ 1, otteniamo: cioè scomponendo: ðx þ 2Þðx 1Þ ¼ 0 x 2 x þ 8 ¼ 0! x 2 þ x 2 ¼ 0 Per questo vaore di k non abbiamo quindi più una paraboa, ma e due rette di equazione x ¼ 2 e x ¼ 1 Si dice che a paraboa degenera in queste due rette paraee a asse y. Le paraboe di un fascio possono avere dei punti in comune che prendono i nome di punti base de fascio. Se esistono, essi si determinano intersecando due quasiasi paraboe de fascio, e generatrici oppure due atre paraboe quasiasi.

2 Ne caso de precedente esempio, se intersechiamo e due generatrici otteniamo: y ¼ x 2 þ 2x 2! Að1, 1Þ Bð 2, 2Þ y ¼ x 2 2x þ 6 I fascio di paraboe considerato ha dunque due punti base; tutte e atre paraboe de fascio passano per gi stessi punti, compresa a retta y ¼ x e e due rette dea paraboa degenere (in figura 1 e due generatrici sono in rosso). In generae, un fascio di paraboe può avere: due punti base distinti come ne caso precedente due punti base coincidenti in un punto P, come ne caso dee figura 2a in cui e paraboe sono tangenti, cioè hanno a stessa retta tangente in P un soo punto base, come ne caso dea figura 2b in cui e paraboe si intersecano in un soo punto nessun punto base, come ne caso dea figura 2c in cui e paraboe non si intersecano. igura 1 igura 2 Per esempio, i fascio generato dae due paraboe: p 1 : y ¼ 2x 2 þ x 1ep 2 : y ¼ 2x 2 x ha un soo punto base perché p 1 e p 2 si intersecano soo in A 1 2,0 (figura a) p 1 : y ¼ 2x 2 þ x þ 1ep 2 : y ¼ x 2 þ x þ non ha punti base perché e due paraboe non si intersecano (figura b). igura a. b. a. b. In modo anaogo si ottiene equazione di un fascio di paraboe i cui asse è paraeo a asse x. Per esempio, i fascio generato dae paraboe p 1 : x ¼ y 2 y e p 2 : x ¼ 1 2 y 2 þ y 2 ha equazione x y 2 þ y þ k x 1 2 y 2 y þ 2 ¼ 0 c. cioè 2xðkþ 1Þ ðk þ 2Þy 2 2yðk 1Þþ k ¼ 0 che, per k 6¼ 1, si può riscrivere nea forma x ¼ k þ 2 2ðk þ 1Þ y 2 þ k 1 k þ 1 y 2k k þ 1

3 Per determinare i punti base de fascio intersechiamo e due generatrici: 8 < x ¼ y 2 y : x ¼ 1 2 y 2 þ y 2 igura Le due paraboe si intersecano in Að2, 2Þ e sono tangenti. I fascio ha quindi due punti base coincidenti (figura ). degenere si ottiene ponendo k ¼ 1 ne equazione de fascio: y 2 y þ ¼ 0! ðy 2Þ 2 ¼ 0 che corrisponde aa retta y ¼ 2 contata due vote (paraboa degenere in due rette coincidenti). Per k ¼ 2 si ottiene equazione x ¼ y che rappresenta a retta passante per A e tangente a tutte e paraboe de fascio. Primo esempio Date e paraboe di equazioni y ¼ x 2 þ x 1ey ¼ x 2 þ 5, scriviamo equazione de fascio da esse generato e stabiiamone i tipo. Determiniamo poi equazione dea paraboa de fascio che passa per origine degi assi. L equazione de fascio che ha per generatrici e paraboe date è una combinazione ineare dee oro equazioni (ricorda che devi prima scrivere in forma impicita): y x 2 x þ 1 þ kyþ ð x 2 5Þ ¼ 0 cioè ð1 þ kþy ð1 kþx 2 x þ 1 5k ¼ 0 Per determinare i tipo de fascio intersechiamo e paraboe generatrici ( y ¼ x 2 þ x 1 y ¼ x 2 þ 5 x ¼ x ¼ 1 che risoto dà e souzioni _ y ¼ y ¼ Tutte e paraboe de fascio passano per i punti base di coordinate Að, Þ e Bð1, Þ (figura 5). Per determinare a paraboa de fascio che passa per origine dobbiamo imporre che sia nuo i termine noto dea sua equazione: igura 5 1 5k ¼ 0 da cui k ¼ 1 5 richiesta ha dunque equazione y ¼ 2 x2 þ 10 x. Secondo esempio Data equazione y ¼ ðk þ 2Þx 2 2kx þ 1 þ k che rappresenta un fascio di paraboe, vogiamo determinarne i tipo e successivamente scrivere equazione dea paraboa i cui vertice appartiene aa retta x ¼. Per determinarne i tipo, dobbiamo stabiire se ci sono dei punti base; possiamo aora intersecare due quasiasi paraboe de fascio, siano esse e generatrici o due quasiasi atre, oppure una quasiasi paraboa con a retta a cui equazione appartiene a fascio (si ottiene per k ¼ 2). Seguiremo questa seconda possibiità che risuta più sempice nei cacoi. Per k ¼ 2 otteniamo y ¼ x 5 (retta de fascio) Per k ¼ 0 otteniamo y ¼ 2x2 þ 1 (paraboa generatrice de fascio)

4 I sistema dee due equazioni non ha souzioni reai. I fascio non ha dunque punti base. ra tutte e paraboe de fascio, quea i cui vertice appartiene aa retta data ha ascissa de vertice uguae a. Quindi, essendo b 2a ¼ 2k 2k basta porre 2ðk þ 2Þ 2ðk þ 2Þ ¼ Risovendo tae equazione otteniamo k ¼. Sostituendo i vaore trovato a posto di k ne equazione de fascio, si ha equazione dea paraboa richiesta: y ¼ x 2 þ 6x 8. Terzo esempio Dato i fascio di paraboe di equazione ðk þ 1Þx þ ð1 kþy 2 8ky 19k ¼ 0 a. troviamo e due generatrici e individuiamo e caratteristiche de fascio b. determiniamo per quae vaore di k si ottiene a paraboa che ha vertice sua retta r : y ¼ 2x e troviamo poi equazione dea paraboa corrispondente. a. Per trovare e due generatrici riscriviamo equazione de fascio raccogiendo k: x þ y 2 þ kx ð y 2 8y 19Þ ¼ 0 Le due generatrici hanno quindi equazione: x ¼ y 2 þ e x ¼ y 2 þ 8y þ 19 e sono paraboe con asse di simmetria paraeo a asse x. Troviamo i punti base, se esistono, intersecando e due generatrici: x ¼ y 2 þ i sistema non ha souzioni reai, quindi i fascio non ha punti base. x ¼ y 2 þ 8y þ 19 In aternativa si possono attribuire due vaori a k e risovere i sistema formato dae equazioni ottenute; i vaori più "comodi" da sostituire sono k ¼ 1ek ¼ 1 : 2x 8y 22 ¼ 0 anche in questo caso i sistema non ha evidentemente souzioni. 2y 2 þ 8y þ 16 ¼ 0 b. Riscriviamo equazione de fascio in forma espicita: x ¼ k 1 k þ 1 y 2 þ 8k k þ 1 y þ 19k þ k þ 1 I vertice di questa paraboa ha coordinate: y ¼ k k 1 x ¼ k2 16k k 2 1 ed appartiene aa retta y ¼ 2x se: k k 1 ¼ 2 k2 16k k 2 1 Risovendo equazione si ottiene: k ¼ _ k ¼ 1. I probema ha quindi due souzioni rappresentate da- 5 e paraboe p 1 : x ¼ 1 2 y 2 þ 6y þ 15 e p 2 : x ¼ 2 y 2 2y 1.

5 ESERCIZI 1 Di un fascio di paraboe si sa che due di esse non hanno punti di intersezione; si può dire che: a. i fascio non ha punti base b. nessuna paraboa de fascio può incontrare un atra paraboa de fascio c. tutte e paraboe hanno o stesso asse di simmetria d. e due generatrici non si intersecano. 2 Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ kx 2 þð2k Þx þ 1 determina: a. e coordinate dei punti base b. a paraboa de fascio passante per Pð1, Þ c. a paraboa de fascio avente asse di equazione x ¼ d. a paraboa de fascio tangente aa retta di equazione y ¼ x. a. I punti base de fascio si possono determinare intersecando due quasiasi paraboe che gi appartengono; per ottenere e oro equazioni puoi attribuire a k due particoari vaori. Ad esempio: n per k ¼ 1 ottieni a paraboa di equazione y ¼ x 2 x þ 1 n per k ¼ 2 ottieni a paraboa di equazione y ¼ 2x 2 þ x þ 1 Basta adesso risovere i sistema dee due equazioni. b. Sostituendo e coordinate di P ne equazione de fascio ottieni ¼ ::::::::::::::: da cui ricavi k ¼ :::::::::::::::. cercata ha dunque equazione y ¼ ::::::::::::::: c. Per k 6¼ 0, asse dea generica paraboa de fascio ha equazione x ¼ x ¼ b Þ. Ne nostro caso deve essere 2a 2k 2k ¼ ::::::::::. 2k 2k (ricorda a formua d. Considera i sistema formato da equazione de fascio e da quea dea retta e imponi a condizione di tangenza. a: ð0, 1Þ, ð 2, 7Þ; b. y ¼ 2x 2 þ x þ 1; c. y ¼ 1 2 x2 x þ 1; d. y ¼ x 2 x þ 1 De fascio di paraboe rappresentato da equazione y 2x 2 þ x þ ky ð x 2 þ xþ ¼ 0 puoi dire che: a. e due generatrici sono e paraboe di equazioni y ¼ 2x 2 x e y ¼ x 2 x b. i fascio ha ameno un punto base c. i fascio non ha punti base d. a paraboa degenere si spezza nee due rette paraee x ¼ 0ex ¼ 2 e. tutte e paraboe de fascio passano per origine. Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ðkþ2Þx 2 þ kx þ ðk 1Þ determinane e caratteristiche; successivamente individua: a. quea passante per Pð1, 2Þ y ¼ 15 8 x2 1 2 x 27 8 b. quea i cui vertice ha ascissa 0 ½y ¼ 2x 2 c. quea tangente aa retta di equazione y ¼ 5x y ¼ 2 x2 1x 27 2 d. quea che ha i vertice che appartiene aa retta y þ 1 ¼ 0. y ¼ x 2 þ 8x þ

6 5 Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ðk þ 1Þx 2 kx, determina: a. e coordinate dei punti base ½Að0, Þ; Bð, 5ÞŠ b. a paraboa de fascio avente fuoco di ascissa y ¼ x 2 þ 6x c. a paraboa de fascio passante per Pð 1, 1Þ y ¼ 2x 2 x d. e paraboe de fascio tangenti aa retta di equazione y ¼ 2x 5. y ¼ x 2 ; y ¼ 1 9 x2 þ 8 x 6 Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ðk 1Þx 2 þðk þ 2Þx þ k, determina: a. e coordinate dei punti base ½non ci sono punti baseš b. a paraboa de fascio con asse coincidente con asse y y ¼ x 2 6 c. a paraboa de fascio passante per origine y ¼ x 2 þ 2x d. a paraboa de fascio passante per Pð 1, Þ y ¼ x 2 þ x þ 6 e. e paraboe de fascio aventi direttrice di equazione y ¼ 7. y ¼ x2 þ x þ 6; y ¼ x2 þ 2 11 x þ 11 7 Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ðk 1Þx 2 þ 2kx þ k, determina: a. e coordinate dei punti base e e caratteristiche de fascio Að 1, Þ; fascio di paraboe tangenti in A aa retta di equazione y ¼ 2x 2 b. a paraboa de fascio passante per Pð0, Þ y ¼ x 2 c. a paraboa de fascio tangente a asse x y ¼ 1 x2 þ 2 x 9 d. a paraboa de fascio avente vertice sua retta di equazione x 2y þ 6 ¼ 0. y ¼ 1 11 x2 þ 2 11 x Dato i fascio di paraboe di equazione y x 2 þ 2x þ þ kð2y þ x 2 2x Þ ¼0, determina: a. e coordinate dei punti base e e paraboe generatrici ½Að 1, 0Þ; Bð, 0ÞŠ b. a paraboa de fascio passante per Pð2, 6Þ y ¼ 2x 2 þ x þ 6 c. a paraboa de fascio avente i vertice sua retta di equazione x þ y 2 ¼ 0 y ¼ 1 x2 þ 1 2 x þ d. a paraboa de fascio tangente aa retta di equazione y ¼ 1. y ¼ 1 x2 1 2 x 9 Dato i fascio di paraboe di equazione y ¼ kx 2 kx þ k þ 1, determina: a. i punti base e e caratteristiche de fascio un soo punto base 1 2,1 ; tutte e paraboe sono tangenti in aa retta y ¼ 1 e hanno asse x ¼ 1 2 b. a paraboa de fascio passante per Pð, 0Þ y ¼ 25 x2 þ 25 x þ 2 25 c. a paraboa de fascio tangente aa retta di equazione y ¼ 2x þ 1 y ¼ x 2 þ x þ d. a paraboa de fascio con fuoco in 1 2,0. y ¼ 1 x2 þ 1 x þ Dato i fascio di paraboe di equazione x ¼ðk þ 2Þy 2 ðk þ 1Þy þ k, determina: a. i punti base ½punti base Að 2, 1Þ e Bð6, ÞŠ

7 b. a paraboa de fascio passante per Pð 1, 2Þ x ¼ y 2 8y þ c. a paraboa de fascio con vertice sua retta di equazione x y þ 5 ¼ 0 x ¼ y 2 þ 8y 9; x ¼ 2y 2 y d. a paraboa de fascio tangente aa retta di equazione y ¼ x þ 5. x ¼ 9 2 y2 1y þ 15 2 ; x ¼ 1 2 y2 þ 2y 9 2