Cap 1. I PRIMI ELEMENTI

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1 Cap 1. I PRIMI ELEMENTI Rivedi a teoria I termini primitivi In quasiasi discipina non si puoá definire tutto e non si puoá dimostrare tutto; eá necessario introdurre acuni oggetti (termini primitivi) e acune regoe (assiomi) che consentano di manipoare questi oggetti per crearne atri e per stabiirne e caratteristiche. In geometria i termini primitivi sono punto, retta e piano. A questi va aggiunto anche i concetto di movimento rigido che permette di trasportare gi oggetti geometrici ne piano o neo spazio senza che questi si possano in quache modo deformare. Gi assiomi Gi assiomi si possono raggruppare a seconda de tipo di regoa che stabiiscono; abbiamo quindi: n gi assiomi di appartenenza che stabiiscono che: per definire una retta sono necessari e sufficienti due punti per definire un piano sono necessari e sufficienti tre punti non aineati per sapere se una retta sta su un piano basta verificare che due punti dea retta appartengano a piano n gi assiomi di ordinamento che ci assicurano a possibiitaá di fissare un ordinamento dei punti su una retta orientata e di stabiire che quasiasi retta eá iimitata e contiene infiniti punti n 'assioma di partizione (per ora soo de piano) che ci garantisce a possibiitaá di ripartire i punti di un piano in due regioni distinte mediante una retta in modo che, per passare da una regione a'atra, occorre necessariamente intersecare a retta n gi assiomi di costruzione che danno a possibiitaá di: trasportare segmenti e angoi ne piano conservando unghezze e ampiezze costruire i mutipo e i sottomutipo di un segmento e di un angoo secondo un numero naturae n non nuo e garantirne 'unicitaá. Le prime definizioni A partire dai termini primitivi e dagi assiomi possiamo definire nuovi oggetti dea geometria. Semiretta eá ciascuna dee due parti in cui un punto divide una retta. Segmento eá a parte di retta deimitata da due suoi punti. Semipiano eá ciascuna dee due parti in cui una retta divide un piano. Angoo eá a parte di piano deimitata da due semirette (i ati de'angoo) che hanno 'origine in comune (i vertice); si dice poi che un angoo eá convesso se non contiene i proungamento dei suoi ati, concavo in caso contrario. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 1

2 ai gi esercizi 1 Nee seguenti figure indica se ci sono segmenti consecutivi o segmenti adiacenti. 2 Nee seguenti figure indica se ci sono angoi consecutivi o angoi adiacenti. 3 Disegna: a. un angoo convesso b. un angoo concavo c. un angoo convesso e un angoo concavo in modo che siano consecutivi. 4 E' possibie che di due angoi adiacenti uno sia concavo? 5 Disegna due segmenti consecutivi AB e BC e i segmento CD adiacente a BC. Si puoá dire che sono consecutivi i segmenti: a. AB e BD b. AC e CD c. AC e BD d. AC e BC. 6 Disegna due angoi consecutivi ab c e bc c e 'angoo cd c tae che i ato d sia a semiretta opposta ad a. Si puoá dire che: a. cac e cd c sono adiacenti b. bc c e cd c sono consecutivi ma non adiacenti c. ab c e bd c sono consecutivi d. c ab e c bd sono adiacenti ma non consecutivi. Rivedi a teoria I teoremi Le caratteristiche degi oggetti geometrici sono stabiite dai teoremi. Un teorema eá una proposizione che si puoá scrivere sotto forma di impicazione; in essa e premesse costituiscono e ipotesi de teorema, a conseguenza ne eá a tesi. I ragionamento con i quae, supposte vere e ipotesi, si deduce a veritaá dea tesi costituisce a dimostrazione de teorema. 2 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

3 I movimento rigido e a congruenza Diciamo che due figure e 0 sono congruenti, e scriviamo 0 se esiste un movimento rigido che possa sovrapporre una figura a'atra in modo che si corrispondano punto a punto. La reazione di congruenza gode dee proprietaá: rifessiva: ogni figura eá congruente a se stessa simmetrica: se 0 aora 0 transitiva: se 0 e 0 00 aora 00. Confronto fra segmenti e fra angoi Segmenti e angoi si possono confrontare mediante un movimento rigido e, data una quaunque coppia di segmenti AB e CD o di angoi ab c e cd, c fra di essi si verifica una e una soa dee seguenti situazioni: AB < CD AB CD AB > CD c ab < c cd c ab c cd c ab > c cd Di tutti i segmenti congruenti fra oro si dice che hanno a stessa unghezza e di tutti gi angoi congruenti fra oro si dice che hanno a stessa ampiezza. ai gi esercizi 7 Dati i segmenti AB, CD, E dea figura a ato, costruisci i segmenti: a. AB CD E b. AB CD E c. 3AB d. 4CD e. 1 AB E 2 8 Stabiisci i vaore di veritaá dee seguenti proposizioni. a. Se una semiretta divide un angoo piatto in due angoi retti ne eá a bisettrice. b. La bisettrice di un angoo ottuso individua angoi ottusi. c. Una quaunque semiretta interna ad un angoo piatto ed uscente da suo vertice individua angoi compementari. d. I suppementare di un angoo ottuso eá acuto. 9 Dati gi angoi dea figura a ato, costruisci gi angoi: a. ab c cd c b. cd c ab c c. ab c cd c ef b d. 3cd c e. 2 ab c ef b 1 f. ab 2 c cd c 10 Sia M i punto medio de segmento AB e sia BC un segmento adiacente ad AB e tae che sia BC 1 2 AB. Dimostra che: a. B eá i punto medio di MC b. AB MC. 11 Due angoi sono compementari; a che frazione de'angoo piatto corrisponde 'ampiezza de'angoo formato dae oro bisettrici? Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 3

4 Risutati di acuni esercizi. 5 a., b., c., d. 6 a., b., c., d. 8 a., b., c., d Cap 2. I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA Rivedi a teoria I primo e i secondo criterio di congruenza dei triangoi Se due poigoni, e in particoare due triangoi, hanno tutti i ati e tutti gi angoi ordinatamente congruenti, possiamo concudere che sono congruenti. Ma per stabiire a congruenza non eá necessario verificare che tutti gi eementi siano tai; ci sono dei teoremi, che prendono i nome di criteri di congruenza, che permettono di arrivare ae stesse concusioni con un numero inferiore di confronti fra ati e fra angoi. I criteri di congruenza dei triangoi sono tre; i primi due ci dicono che: primo criterio: due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due ati e 'angoo fra essi compreso secondo criterio: due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un ato e i due angoi ad esso adiacenti. Una prima appicazione di questi teoremi riguarda i triangoo isoscee e ci permette di dire che: se un triangoo ha due ati congruenti (cioeá eá isoscee), ha anche gi angoi opposti a tai ati che sono congruenti; viceversa, se due angoi sono congruenti, anche i ati ad essi opposti sono congruenti. Di conseguenza, per dimostrare che un triangoo eá isoscee basta dimostrare che ha: due ati congruenti oppure due angoi congruenti. ai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA Consideriamo un angoo c ab di vertice ed i suo opposto a vertice c cd ; prendiamo poi un punto P sua semiretta a, un punto Q sua semiretta c, un punto R su b e un punto S su d, in modo che P Q e R S. Dimostriamo che PR QS. Per prima cosa costruiamo i disegno seguendo e indicazioni de testo. La costruzione dea figura reativa ad un teorema avviene per gradi; ne nostro caso dobbiamo: disegnare 'angoo c ab di vertice 4 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

5 disegnare i suo opposto a vertice c cd prendere i punti P, R, Q, S sue semirette a, b, c, d in modo che P Q e R S tracciare i segmenti PR e QS Quando a figura eá competata, occorre rieggere i teorema per scrivere 'ipotesi e a tesi e contemporaneamente segnare sua figura e congruenze rievate: Hp. c cd opposto a vertice di c ab Th. PR QS P Q R S La tesi prevede di dimostrare che i segmenti PR e QS sono congruenti, quindi dobbiamo individuare un triangoo che abbia come ato PR ed un triangoo che abbia come ato QS che possano essere congruenti. E' facie intuire che i triangoi cercati sono PR e QS. Di essi sappiamo che: P Q R S PR d QS d per ipotesi per ipotesi percheâ angoi opposti a vertice sono congruenti Sono in questo modo verificate e ipotesi de primo criterio di congruenza e percioá i due triangoi sono congruenti; se due triangoi sono congruenti, hanno tutti gi eementi a due a due congruenti e quindi i ato PR eá congruente a suo omoogo che eá QS. La dimostrazione de teorema eá in questo modo competata. 2 Disegna un angoo ab c di vertice e traccia due semirette c e d interne a'angoo in modo che cac db, c prendi poi un punto A su a ed un punto C su c in modo che sia A C, un punto D su d ed un punto B su b in modo che sia D B. Dimostra che AD BC. 3 ESERCIZIO GUIDA Disegniamo due segmenti congruenti e consecutivi AB e BC; tracciamo da vertice A e da vertice C due semirette che formano angoi congruenti con AB e BC; indichiamo con D i punto che si viene a determinare su AB e con E i punto su BC. Dimostriamo che BE BD. Costruiamo a figura e scriviamo 'ipotesi e a tesi: Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 5

6 Hp. AB :::::::::: Th. :::::::::: :::::::::: BAE d :::::::: Conviene considerare i triangoi ABE e CBD che hanno: AB :::::::::: per... ABE d :::::::: per a proprietaá... BAE d :::::::: per... I due triangoi sono quindi congruenti per i secondo criterio ed in particoare BE BD. 4 Dei triangoi ABC e DE si sa che BC E e che gi angoi esterni ai triangoi adiacenti a questi ati sono ordinatamente congruenti. Dimostra che ABC 4 4 DE. 5 ESERCIZIO GUIDA Sia ABC un triangoo isoscee di base BC; prounghiamo i ati congruenti, daa parte dea base, di due segmenti congruenti CE e BD. Dimostriamo che anche i triangoo ADE eá isoscee. La figura de probema eá a ato; dopo aver competato e ipotesi e a tesi, esegui a dimostrazione seguendo a traccia. Hp. AB :::::::::: Th.... BD ::::::::: Osserviamo che: AB :::::::::: per... BD :::::::::: per... AD AE percheâ... Quindi i triangoo ADE, avendo due ati congruenti, eá anch'esso isoscee. 6 Ne triangoo ABC, 'angoo di vertice A eá i doppio de'angoo di vertice B; traccia a bisettrice de'angoo A b che incontra i ato BC in. Dimostra che i triangoo AB eá isoscee. 7 Un triangoo isoscee ABC di vertice A ha a base che eá a metaá de ato obiquo; traccia a mediana BM e dimostra che i triangoo BMC eá anch'esso isoscee. 8 In un triangoo ABC i ato BC eá i doppio de ato AB e a mediana AM eá congruente ad AB. Individua gi angoi congruenti dea figura e stabiisci se vi sono triangoi isoscei o equiateri. Rivedi a teoria I terzo criterio di congruenza dei triangoi Terzo criterio: due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre ati. 6 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

7 Le disuguagianze triangoari Qua eá 'angoo maggiore in un triangoo? Dati tre segmenti, eá sempre possibie costruire un triangoo con essi? La risposta a queste domande eá data dae seguenti reazioni che egano ati e angoi di un triangoo. In ogni triangoo: un angoo esterno eá sempre maggiore di ciascuno degi angoi interni ad esso non adiacenti a ato maggiore sta opposto 'angoo maggiore e viceversa ciascun ato eá minore dea somma degi atri due e maggiore dea oro differenza. ai gi esercizi 9 ESERCIZIO GUIDA I triangoo ABC ed i triangoo ACD sono congruenti e hanno in comune i ato AC; inotre 'angoo ACB d eá congruente a'angoo CAD. d Dimostra che sono congruenti anche i triangoi ABD e CBD. Con riferimento aa figura, e ipotesi e a tesi de teorema sono: 4 4 Hp. ABC ADC ACB d CAD d 4 4 Th. ABD CBD Se i triangoi ABC e ADC sono congruenti, tutti i oro eementi sono ordinatamente congruenti, quindi AB :::::::::: BC :::::::::: Inotre, per a proprietaá rifessiva dea congruenza, DB :::::::::::: Aora i triangoi ABD e CBD sono congruenti per i terzo criterio. 10 In un triangoo ABC isoscee di base AB, i ato obiquo eá i doppio dea base; traccia e mediane AD e BE e dimostra che i triangoi ABE e ABD sono isoscei e congruenti. Si puoá affermare che i triangoo CED eá isoscee? E che eá congruente ai triangoi precedenti? 11 Dato un triangoo ABC isoscee di base AB, sia r una retta per A e s una retta per B in modo che gi angoi formati dae due rette con i ati AC e BC (entrambe esterne a triangoo o entrambe che o attraversano) siano congruenti. Detto P i punto di intersezione di r e s, dimostra che i segmento PC passa per i punto medio M di AB. Cap 3. PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA Á NEL PIANO Rivedi a teoria Rette perpendicoari Due rette si dicono perpendicoari se, incontrandosi, formano quattro angoi congruenti fra oro; ciascuno di questi angoi eá quindi retto. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 7

8 Si dimostra che a perpendicoare condotta da un punto P a una retta r, sia che i punto appartenga o no aa retta, esiste sempre ed eá unica; i punto H di intersezione dea perpendicoare con a retta eá a proiezione di P su r. La proiezione di un segmento AB su una retta r eá i segmento HK di r che si ottiene proiettando A e B su r. Le rette paraee e i criterio di paraeismo Due rette r e s si dicono paraee se non si incontrano oppure se coincidono. La paraea condotta da un punto P a una retta r esiste sempre e a sua unicitaá si assume come assioma. Quando due rette paraee vengono tagiate da una trasversae si formano otto angoi, quattro su una paraea e quattro su'atra, che, a seconda dea posizione che occupano, prendono nomi particoari che puoi vedere nee seguenti figure: aterni interni aterni esterni corrispondenti coniugati interni coniugati esterni ra questi angoi sussistono e seguenti reazioni: n gi angoi aterni sono congruenti n gi angoi corrispondenti sono congruenti n gi angoi coniugati sono suppementari. La precedente proprietaá si puoá invertire e diventa cosõá un criterio per riconoscere quando due rette sono paraee; in particoare si puoá affermare che: se due rette sono entrambe perpendicoari a una stessa retta, aora sono paraee. ai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA Disegniamo un triangoo ABC isoscee di base BC e tracciamo da A a retta r paraea aa base; tracciamo poi a bisettrice de'angoo di vertice B che incontra r in P. Dimostriamo che i triangoi ABP e APC sono isoscei. Competa a scrittura dee ipotesi: Hp. AB :::::::::: AP k BC d ABP :::::::::: 4 Th. ABP eá isoscee 4 APC eá isoscee L'angoo APB d eá aterno interno di... ed eá quindi congruente anche a'angoo... I triangoo APB eá quindi isoscee. Di conseguenza AP AB, maab AC, quindi... 8 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

9 2 Disegna un triangoo equiatero ABC e, sceto un punto P su AB, traccia per P a paraea a BC che interseca AC in E. Dimostra che anche i triangoo APE eá equiatero. 3 Da vertice A de triangoo ABC isoscee di base BC, traccia e rette perpendicoari ai ati obiqui che incontrano in E ein a retta dea base BC. Dimostra che anche i triangoo AE eá isoscee. 4 Sia P un punto de ato BC di un triangoo ABC; traccia da P e paraee ai ati AB e AC che i incontrano in R e S. Dimostra che i triangoi ARP e ASP sono congruenti. Rivedi a teoria Atre proprietaá dei triangoi Le proprietaá de paraeismo appicate ai triangoi permettono di enunciare i seguenti teoremi: teorema de'angoo esterno: in ogni triangoo un angoo esterno eá uguae aa somma dei due angoi interni ad esso non adiacenti somma degi angoi interni: in un triangoo a somma degi angoi interni eá un angoo piatto quarto criterio di congruenza dei triangoi: due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un ato, uno degi angoi ad esso adiacenti e 'angoo ad esso opposto. I triangoi rettangoi Tutti i triangoi rettangoi hanno ameno un angoo congruente che eá queo retto; di conseguenza i criteri di congruenza si possono modificare enunciandoi in questo modo. Due triangoi rettangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: i due cateti, oppure un cateto e un angoo acuto, oppure 'ipotenusa e un angoo acuto, oppure 'ipotenusa e un cateto. ai gi esercizi 5 ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangoo ABC rettangoo in C, prounga AB, daa parte di A, di un segmento AP AC e congiungi P con C ; traccia poi da B a perpendicoare ad AB (daa parte di C) e prendi su di essa un punto Q tae che BQ BC. Indicando con 'angoo CAB, d trova in funzione di e ampiezze degi angoi ACP d e BCQ d e verifica che sono compementari. Che cosa puoi dire dei punti P, C e Q? Hp. AC? CB AP :::::: QB? PB BQ :::::: Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 9

10 Essendo PA AC, i triangoo PAC eá... e quindi ACP d :::::::::: L'angoo CAB d che abbiamo indicato con eá angoo esterno de triangoo PAC, quindi, in funzione di, ACP d :::::::::: PoicheÁ i triangoo ABC eá rettangoo in C, 'angoo ABC d eá compementare di CAB d ˆ ; per ipotesi ABQ d eá retto, quindi ABC d eá compementare anche de'angoo... Di conseguenza CBQ d ˆ ::::: I triangoo CBQ eá isoscee, quindi se teniamo presente che a somma degi angoi interni di un triangoo eá un angoo piatto (che si indica con i simboo ), 'angoo BCQ, d in funzione di, eá ampio... Gi angoi ACP d e BCQ d sono dunque compementari. I punti P, C e Q sono quindi aineati percheâ... 6 In un triangoo isoscee gi angoi aa base sono ciascuno i doppio de'angoo a vertice; dopo aver determinato 'ampiezza dei suoi angoi, dimostra che, tracciando a bisettrice di uno degi angoi aa base, i triangoo dato rimane diviso in due triangoi isoscei. 7 ESERCIZIO GUIDA Due triangoi rettangoi hanno un angoo acuto e a bisettrice di tae angoo ordinatamente congruenti. Dimostra che i due triangoi sono congruenti. Hp. CAB d 2 ; DE d 2 ; d ACB d DE; CP Q d ACP d PCB; d DQ d QE; 4 4 Th. ABC DE Considera i triangoi ACP e DQ; di essi sai che... quindi i due triangoi sono congruenti per i... criterio di congruenza; in particoare AC ::::: Considera adesso i triangoi ABC e DE che sono congruenti per i... 8 Dato un triangoo equiatero ABC, traccia e sue atezze AK e BH che si incontrano in P. Dimostra che: a. i triangoi APH e BPK sono congruenti b. i triangoi precedenti hanno gi angoi dea stessa ampiezza di quei de triangoo AKC. 9 Disegna un triangoo ABC (con BC > AB) e prendi un punto P su ato BC in modo che sia BP AP; su proungamento di AP otre P prendi poi un punto Q in modo che sia PQ PC. Dimostra che: a. QC eá paraeo ad AB b. PCQ d 1 BPQ 2 d c. a retta dea mediana PM reativa a ato CQ de triangoo PCQ eá perpendicoare ad AB. 10 Da vertice B de triangoo isoscee ABC di base AC traccia 'atezza BH e proungaa di un segmento HD BH. Dimostra che a retta DC eá paraea aa retta AB. 10 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

11 Cap 4. LE ISOMETRIE NEL PIANO Rivedi a teoria Le trasformazioni geometriche I punti di un piano si possono far corrispondere a due a due fissando dee regoe di associazione; se queste regoe sono tai per cui a corrispondenza che si viene a determinare eá biunivoca, si para di trasformazione geometrica. Una trasformazione geometrica si reaizza quindi mediante una egge che ad ogni punto de piano ne fa corrispondere uno e uno soo appartenente ao stesso piano. Per esempio: a egge che ad ogni punto P associa i punto P 0 che si ottiene come secondo estremo dea inea rossa che esce da P (figura a ato) eá una corrispondenza biunivoca percheâ ad ogni P resta associato un soo P 0 e non piuá di uno, quindi eá una trasformazione geometrica; a egge che, fissato un punto O e considerata a circonferenza di raggio OP associa a P i punto P 0 che si ottiene percorrendo un quarto di circonferenza (vedi a figura) non eá una trasformazione geometrica percheâ ad ogni P, non avendo precisato i verso di percorrenza, vengono associati due punti P 0. In particoare, a egge che ad ogni punto P associa ancora P si chiama trasformazione identica. Le caratteristiche di una trasformazione Quando si appica una trasformazione geometrica a quache figura de piano, tutti i punti dea figura vengono trasformati con a stessa egge; nea figura trasformata ci possono essere dee caratteristiche dea prima figura che non sono cambiate, mentre ce ne possono essere atre che hanno subito dei cambiamenti. Per esempio, se consideriamo a trasformazione rappresentata nea figura a ato in cui i punto trasformato A 0 si trova sua semiretta OA in modo che sia OA AA 0 e anaogamente per gi atri punti, a triangoo azzurro ABC corrisponde i triangoo verde A 0 B 0 C 0. In questa corrispondenza, i ati dei due triangoi non sono a due a due congruenti, quindi a unghezza dei segmenti eá cambiata; sono invece congruenti gi angoi de triangoo ABC e quei corrispondenti de triangoo A 0 B 0 C 0. Diciamo aora che in questa trasformazione 'ampiezza degi angoi eá un invariante. Un'atra caratteristica da evidenziare nee trasformazioni geometriche riguarda quegi eementi che, una vota appicata a egge dea trasformazione, corrispondono a se stessi; questi eementi si dicono uniti. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 11

12 Per esempio, nea trasformazione indicata nea figura a ato, i punti dea corda AB de triangoo bu corrispondono ai punti dea stessa corda AB pensata come appartenente a triangoo verde; tutti i punti dea corda AB sono quindi uniti in questa trasformazione. Le isometrie ra tutte e eggi che permettono di reaizzare una trasformazione, particoare importanza rivestono quee che hanno come invariante a unghezza dei segmenti; queste trasformazioni si chiamano isometrie. Le caratteristiche di una isometria sono e seguenti: ogni retta viene trasformata in una retta; inotre se due rette sono incidenti oppure paraee, anche e oro trasformate sono rispettivamente incidenti ao stesso modo oppure paraee 'ampiezza degi angoi eá un invariante due figure che si corrispondono in un'isometria sono sempre congruenti. ai gi esercizi es. 1 Stabiisci se e seguenti eggi rappresentano una trasformazione geometrica. 1 issato un punto O e considerata a circonferenza di raggio OP, a punto P viene associato i punto P 0 che si ottiene percorrendo in senso antiorario mezza circonferenza partendo da P. [si] 2 Disegnata una retta r, a punto P viene associato i punto P 0 che eá i piede dea perpendicoare condotta da P su r. [no] es. 2 3 Disegnata una retta r, a punto P viene associato i punto P 0 che si ottiene tracciando da P una retta s che forma un angoo di 45 con r e prendendo da parte opposta un segmento OP 0 OP, essendo O i punto di intersezione di r con s. [no] es. 3 4 In una trasformazione geometrica un triangoo viene trasformato in un atro ad esso congruente. Si puoá dire che: a. a unghezza dei segmenti eá un'invariante b. 'ampiezza degi angoi eá un'invariante c. a misura de'area eá un invariante d. a posizione de triangoo ne piano eá un'invariante e. non eá detto che a trasformazione abbia punti uniti f. se uno dei vertici eá un punto unito, anche gi atri vertici sono punti uniti. [a., b., c., d., e., f. ] 5 Dea trasformazione rappresentata nea figura a ato in cui ogni punto trasformato si ottiene seguendo i percorso dea inea rossa, si puoá dire che: a. 'ampiezza degi angoi eá invariante b. a unghezza dei segmenti eá invariante c. non ha punti uniti d. i punti uniti sono quei che appartengono ae inee rosse. [a., b., c., d. ] es Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

13 Rivedi a teoria La simmetria assiae Una simmetria assiae eá definita quando viene fissata una retta r che prende i nome di asse di simmetria. Per costruire i simmetrico di un punto A rispetto aa retta r, si traccia da A a perpendicoare a r che a incontra in H e su questa si prende, ne semipiano opposto ad A, un punto A 0 in modo che AH A 0 H. Per costruire a figura simmetrica di un'atra basta aora trovare i simmetrici dei suoi punti; ne caso di un segmento o di un poigono a cosa diventa piuá sempice percheâ basta trovare i punti simmetrici dei vertici mandando, da ognuno di essi, a perpendicoare a'asse di simmetria. La simmetria centrae Per definire a simmetria centrae occorre fissare un punto O, detto centro di simmetria; per trovare i simmetrico di un punto A si traccia a retta OA e si prende su di essa un punto A 0, da parte opposta rispetto ad O, inmodochea 0 O AO. Come ne caso dea simmetria assiae, per costruire i simmetrico di un segmento o di un poigono rispetto ad un centro O basta trovare i punti simmetrici dei vertici e disegnare i poigono che ha per vertici i punti trovati. Una dee proprietaá piuá interessanti di questa isometria eá che i segmenti e e rette che si corrispondono sono paraei. La trasazione Una trasazione eá definita se eá dato i vettore ~v di trasazione, che eá, in sostanza, un segmento orientato. Dato un punto A, per trovare i punto A 0 che gi corrisponde nea trasazione di vettore ~v, si trasporta i vettore facendo coincidere i primo estremo con A (mantenendo tutte e sue caratteristiche, quindi direzione, verso e intensitaá) e si prende come punto A 0 i secondo estremo de vettore. Procedendo in modo de tutto anaogo a caso dee simmetrie, possiamo operare con a trasazione su quasiasi figura; puoi vedere un esempio nea figura a ato. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 13

14 La rotazione Per definire una rotazione occorre assegnare un centro O di rotazione e un'ampiezza mediante un angoo orientato (positivo per rotazioni antiorarie, negativo per rotazioni orarie). Servendosi di un compasso come strumento di trasporto dei segmenti, si puoá costruire i punto A 0 che corrisponde ad un punto A ne seguente modo: si disegna un angoo di vertice O e ampiezza avente un ato coincidente con a semiretta OA si punta i compasso in O e, con apertura OA, si traccia un arco fino ad intersecare 'atro ato de'angoo i punto di intersezione de'arco tracciato con tae ato eá i punto A 0. Seguendo o stesso procedimento, troviamo i corrispondente de poigono a ato nea rotazione di centro O e angoo assegnati. ai gi esercizi 6 Riproduci e seguenti figure su quaderno e disegna e oro simmetriche rispetto ae rette indicate. a. b. c. 7 Si dice che una figura ha un asse di simmetria r se eá unita nea simmetria che ha per asse a retta r, vae a dire se a sua trasformata coincide con a figura stessa. igure che presentano assi di simmetria si ritrovano spesso in natura, ne'arte, ne'architettura, negi oggetti di uso comune, forse percheá e figure simmetriche sono piuá armoniche. Le figure che sono riportate di seguito presentano acuni assi di simmetria; individuai e disegnai con una matita coorata. 14 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

15 8 Riproduci e seguenti figure su quaderno e disegna e oro simmetriche rispetto ai centri indicati. a. b. c. 9 Si dice che una figura ha un centro di simmetria in un punto O se eá unita nea simmetria che ha per centro i punto O, vae a dire se a sua trasformata coincide con a figura stessa. Come ne caso dea simmetria assiae, gi oggetti che presentano un centro di simmetria sono moto diffusi; individua quindi, se esistono, i centri di simmetria dee seguenti figure: a. b. c. d. 10 Trova e corrispondenti dee seguenti figure nea trasazione di vettore indicato. a. b. c. 11 Trova i corrispondenti dei seguenti poigoni nee rotazioni di centro O e ampiezza assegnati: a. ˆ 2 b. ˆ 3 c. ˆ 2 12 Individua i centro e 'ampiezza dea rotazione antioraria nea quae si corrispondono e figure A e A 0. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 15

16 Rivedi a teoria I prodotto di isometrie Consideriamo una figura quasiasi; comporre due isometrie! 1 e! 2 significa appicare! 1 su ottenendo a figura 0 e poi! 2 su 0 ottenendo 00. La trasformazione che ega 00 a eá ancora un'isometria. In particoare si verifica che: componendo due simmetrie assiai con gi assi perpendicoari si ottiene una simmetria centrae avente come centro i punto d'intersezione degi assi; componendo due simmetrie assiai con gi assi paraei si ottiene una trasazione di vettore ~v avente direzione perpendicoare agi assi, verso da primo a secondo asse e moduo doppio dea distanza fra i due assi; componendo due simmetrie assiai con gi assi incidenti in modo da formare un angoo si ottiene una rotazione avente centro ne punto d'intersezione degi assi e di ampiezza 2; componendo due simmetrie centrai di centri O e O 0 si ottiene una trasazione di vettore ~v paraeo ad OO 0 avente moduo 2OO 0 ; componendo due trasazioni di vettori ~v e ~s si ottiene una trasazione di vettore k ~ ˆ ~v ~s. 16 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

17 ai gi esercizi Scegi a risposta corretta fra quee proposte. 13 Due rette paraee r e s distano una da'atra di 5cm; componendo a simmetria di asse r e di asse s si ottiene: a. una trasazione di vettore ~v perpendicoare a r di moduo 5cm b. una trasazione di vettore ~v perpendicoare a r di moduo 10cm c. una trasazione di vettore ~v paraeo a r di moduo 10cm d. nessuna dee precedenti isometrie. [b.] 14 Due rette r e s si incontrano in O e formano un angoo di 60 ; componendo a simmetria di asse r edi asse s si ottiene: a. una simmetria centrae di centro O b. una rotazione di centro O e ampiezza 60 c. una rotazione di centro O e ampiezza 120 d. nessuna dee precedenti isometrie. [c.] 15 Due vettori ~v e ~s sono paraei ed equiversi e hanno rispettivamente moduo 2 e 6. Componendo a trasazione di vettore ~v con quea di vettore ~s si ottiene: a. una simmetria avente per asse una retta paraea ai due vettori b. una simmetria avente per asse una retta perpendicoare ai due vettori c. una trasazione di vettore paraeo ed equiverso ai precedenti e di moduo 8 d. una trasazione di vettore paraeo ai precedenti e di moduo 4. [c.] 16 Componendo due rotazioni aventi o stesso centro O e rispettivamente di ampiezza 120 e60 si ottiene: a. una simmetria di centro O b. una simmetria avente per asse una retta passante per O c. una trasazione d. nessuna dee precedenti isometrie. [a.] Cap 5. PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI Rivedi a teoria I paraeogrammi Un paraeogramma eá un quadriatero che ha un centro di simmetria; esso gode dee seguenti proprietaá: ha i ati opposti paraei ha i ati opposti congruenti ha gi angoi opposti congruenti ha gi angoi adiacenti ao stesso ato che sono suppementari ha e diagonai che si tagiano scambievomente a metaá. iceversa, un quadriatero eá un paraeogramma se: ha i ati opposti congruenti ha gi angoi opposti congruenti ha e diagonai che si bisecano ha una coppia di ati opposti congruenti e paraei. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 17

18 I paraeogrammi particoari Acuni paraeogrammi hanno caratteristiche in piuá rispetto agi atri e per questo prendono un nome particoare: chiamiamo rettangoo un paraeogramma con gi angoi retti chiamiamo rombo un paraeogramma con i ati congruenti chiamiamo quadrato un paraeogramma con i ati congruenti e gi angoi retti. Questi quadriateri hanno tutte e proprietaá dei paraeogrammi e in piuá e seguenti: un rettangoo ha e diagonai congruenti un rombo ha e diagonai perpendicoari e bisettrici degi angoi un quadrato ha e diagonai congruenti, perpendicoari e bisettrici degi angoi. I trapezi Un trapezio eá un quadriatero che ha due ati paraei che costituiscono e basi de trapezio; gi atri due ati sono i ati obiqui. Se i ati obiqui sono congruenti i trapezio si dice isoscee. Un trapezio non ha proprietaá particoari se non quee che derivano da fatto di avere due ati paraei, quindi a soa cosa che si puoá dire eá che ha gi angoi adiacenti ad un ato obiquo che sono suppementari. Se peroá i trapezio eá isoscee aora: gi angoi adiacenti a ciascuna base sono congruenti e diagonai sono congruenti. I poigoni regoari Un poigono eá regoare se ha tutti i ati tra oro congruenti e tutti gi angoi tra oro congruenti. In un poigono regoare eá sempre possibie tracciare degi assi di simmetria; esiste invece un centro di simmetria soo se i poigono ha un numero pari di ati. ai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA Dato i paraeogramma ABCD, indichiamo con M i punto medio de ato AB e tracciamo da D a semiretta DM; prendiamo poi un punto P su tae semiretta, otre M, in modo che PM DM. Dimostriamo che i punti C, B, P sono aineati. 18 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

19 Hp. ABCD paraeogramma AM :::::::: MP :::::::: 2 In un paraeogramma ABCD a diagonae BD eá congruente a ato AB; traccia da vertice B a perpendicoare BH a ato AD e proungaa di un segmento HP BH. Dimostra che 'angoo PBC d eá retto e che i punti C, D, P sono aineati. (Suggerimento: osserva che i triangoi ABD e BDC sono isoscei e congruenti) 3 E' dato un paraeogramma ABCD; detto O i punto d'intersezione dee diagonai traccia un quaunque segmento PQ che passi per O e abbia gi estremi sui ati de paraeogramma. Dimostra che i triangoi che si vengono a formare sono a due a due congruenti. 4 ESERCIZIO GUIDA Th. C, B, P aineati Per dimostrare questo teorema possiamo seguire due percorsi. I modo. Dimostrando che 'angoo PBC d eá piatto. Considera i triangoi AMD e BMP e dimostra che sono congruenti. Di conseguenza DAB d ::::::::; madab d ABC d ::::::::::::::::, quindi PBA d ABC d :::::::::::: II modo. Usando e proprietaá dee isometrie. Se consideriamo a simmetria di centro M, i simmetrico di A eá..., i simmetrico di D eá... Segmenti che si corrispondono in una simmetria centrae sono paraei quindi AD k ::::::::; ma AD k BC, quindi per 'unicitaá dea paraea per un punto ad una retta... Date due rette paraee a e b, tracciamo una trasversae che e incontra nei punti A e B ; per i punto medio M di AB tracciamo una seconda trasversae che incontra e due rette in P e Q. Dimostriamo che i quadriatero APBQ eá un paraeogramma. Hp. a k b AM :::::::: Th. APBQ paraeogramma Se consideriamo M come centro di simmetria, B eá i corrispondente di A, a retta b eá corrispondente dea retta a percheâ sono paraee e passano per una coppia di punti corrispondenti e PQ eá una retta unita; aora, essendo intersezione di rette corrispondenti, anche P eá corrispondente di Q. I quadriatero APBQ ha un centro di simmetria ed eá quindi un paraeogramma. 5 Da vertice A di un triangoo ABC traccia a paraea a ato BC e considera su di essa i punti M e N in modo che A sia i punto medio de segmento MN (con M daa stessa parte di B). Quae condizione deve essere verificata affincheâ i quadriateri AMBC e ANCB siano dei paraeogrammi? 6 Sua diagonae DB de paraeogramma ABCD fissa i punti P e Q tai che BP DQ; dimostra che i quadriatero AQCP eá un paraeogramma. 7 Disegna un paraeogramma ABCD e prendi sui suoi ati, neo stesso verso, quattro punti P, Q, R, S in modo che AP BQ CR DS. Dimostra che i quadriatero PQRS eá un paraeogramma. 8 Ne paraeogramma ABCD a diagonae AC eá congruente a ato AD; indicato con M i punto medio de ato AD, traccia a semiretta CM e prendi su di essa un punto P in modo che sia PM MC. Dimostra che: a. i quadriatero ACDP eá un paraeogramma; b. i punti P, A, B sono aineati. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 19

20 9 ESERCIZIO GUIDA Dato i rettangoo ABCD e tracciata a sua diagonae AC, prendiamo un punto P su AB ed un punto Q su DC in modo che AP CQ; tracciamo poi da P edaq e paraee aa diagonae AC che incontrano CB in R e AD in S. Dimostriamo che i quadriatero PRQS eá un paraeogramma. Come deve essere preso i punto P affincheâ tae paraeogramma diventi un rombo? Hp. ABCD rettangoo AP :::::::: PR k :::::::: k :::::::: Th. PRQS paraeogramma Basta dimostrare che PR e QS sono congruenti e paraei: PR k QS percheâ... I triangoi DSQ e BRP sono triangoi rettangoi congruenti percheâ... Quindi... Rifetti ora su fatto che affincheâ PRQS sia un rombo i ati devono essere tutti congruenti, oppure e diagonai devono essere perpendicoari, quindi P deve essere Sia O i punto di intersezione dee diagonai di un rombo ABCD; traccia da O e perpendicoari OH e OK di due ati opposti. Dimostra che i punti H, O, K sono aineati. 11 Dato i quadrato ABCD, costruisci i suo simmetrico A 0 B 0 CD 0 rispetto a vertice C. Dimostra che i punti B, D 0, B 0, D sono vertici di un atro quadrato. 12 Sono date due rette paraee tagiate da una trasversae (figura a ato); dimostra che i quadriatero che si ottiene tracciando e bisettrici degi angoi aterni interni eá un rettangoo. 13 Dato i rombo ABCD, traccia a bisettrice de'angoo esterno di vertice A; a retta ad essa perpendicoare condotta da vertice D a incontra in H. Che tipo di quadriatero eá ABDH? 14 Disegna un pentagono regoare e i suoi assi di simmetria; disegna un esagono regoare e i suoi assi di simmetria. Quanti sono gi assi di simmetria di un poigono regoare di n ati? Rivedi a teoria La corrispondenza paraea di Taete Consideriamo un fascio di rette paraee e siano r e s due rette che e intersecano (si dice che r e s sono due trasversai). I punti che e rette de fascio individuano su una trasversae hanno come corrispondenti i punti che e stesse rette individuano su'atra trasversae; cosõá, per esempio, a punto A corrisponde i punto A 0, a punto B i punto B 0 e cosõá via. Se capita che su una trasversae ci siano segmenti congruenti, come per esempio i segmenti AB e CD su r, aora anche i oro corrispondenti su'atra trasversae sono congruenti, cioeá A 0 B 0 C 0 D 0. Questa proprietaá eá nota come teorema di Taete. 20 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

21 Le conseguenze Da teorema di Taete discendono acune proprietaá dei triangoi: se da punto medio di un ato di un triangoo si traccia a paraea a un atro ato, questa incontra i terzo ato ne punto medio a congiungente i punti medi di due ati di un triangoo eá paraea a terzo ato e congruente aa sua metaá. ai gi esercizi 15 ESERCIZIO GUIDA Dato i triangoo ABC, tracciamo a mediana BM e dai punti medi N e P dei ati BC e BA tracciamo e paraee a tae mediana che incontrano i ato AC in Q e R. Dimostriamo che: a. AC rimane diviso daa mediana e dae sue paraee in quattro segmenti congruenti fra oro b. i quadriatero PNQR eá un paraeogramma. Hp. AM :::::::; BN ::::::::; BP ::::::::; NQ k ::::::::; PR k ::::::::: Th. AR RM MQ QC; PNQR paraeogramma a. Considera i triangoo BCM: N eá punto medio di BC e NQ k BM, quindi... Considera i triangoo BMA: P eá punto medio di AB e PR k BM, quindi... Aora, essendo M punto medio di AC... b. P e N sono punti medi dei ati AB e BC, quindi PN... NQ k PR percheâ..., quindi Dato i quadrato ABCD, sia M i punto medio de ato AB e N i punto medio de ato BC. Dimostra che: a. MN? BD; b. DN eá congruente e perpendicoare a CM. (Suggerimento: a. traccia a diagonae AC ed osserva che i segmento MN congiunge i punti medi dei ati AB e BC de triangoo ABC, quindi...) 17 Da vertice A dea base minore AB di un trapezio isoscee ABCD traccia una semiretta che incontra i ato DC in E in modo che AED d ADE. d Dimostra che i quadriatero ABCE eá un paraeogramma. Che caratteristiche deve avere i trapezio affincheâ ABCE sia un rombo? 18 EÁ dato un quadrato ABCD ; su ato DC ed internamente a quadrato costruisci un triangoo equiatero DCE ; su ato AD ed esternamente a quadrato costruisci un triangoo equiatero AD. Dimostra che i punti, E, B sono aineati. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 21

22 erifica de recupero 1 Barra vero o faso. Due triangoi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: a. due ati b. tre ati c. tre angoi d. due ati e 'angoo compreso e. due angoi e i ato compreso f. due angoi e un ato quasiasi. 0,5 punti 2 Sia M i punto medio dea base BC di un triangoo isoscee ABC; prendi un punto D su AB e un punto E su AC in modo che sia AD AE; traccia i segmenti DM e EM e dimostra che AM eá bisettrice de'angoo DME. d 1,5 punti 3 Barra vero o faso. Due rette sono paraee se a. hanno una perpendicoare comune b. tagiate da una trasversae formano angoi coniugati congruenti c. tagiate da una trasversae formano angoi aterni congruenti d. tagiate da una trasversae formano angoi corrispondenti suppementari e. tagiate da una trasversae formano angoi coniugati compementari f. tagiate da una trasversae formano angoi corrispondenti congruenti. 0,5 punti 4 Disegna un triangoo quasiasi ABC, traccia da un punto P de ato AB a paraea ad AC che incontra in Q i ato BC; traccia da Q a paraea a ato AB che incontra AC in R. Dimostra che i triangoi BPQ e RCQ hanno gi angoi congruenti a quei de triangoo ABC. 1,5 punti 5 Dato un angoo convesso c ab di vertice, prendi un punto A su ato a e un punto B su ato b in modo che sia A B; traccia da tai punti e paraee ai ati de'angoo che si incontrano in C. Dimostra che AB e C sono perpendicoari. 2 punti 6 Competa in modo che e proposizioni che seguono risutino vere. a. Un triangoo ABC ha 'angoo di vertice A di ampiezza e 'angoo di vertice B di ampiezza 2; 'angoo esterno di vertice C ha ampiezza... b. Un triangoo ha un angoo di ampiezza, un angoo di ampiezza 2 e un angoo di ampiezza 3; i triangoo eá... c. Un triangoo isoscee ha 'angoo a vertice che eá doppio di ciascuno degi angoi aa base; i triangoo eá... 1 punto 7 Barra vero o faso. a. In un triangoo isoscee a retta de'atezza reativa aa base eá asse di simmetria. b. Un segmento ha un centro di simmetria. 22 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

23 c. Un angoo ha come asse di simmetria a bisettrice. d. Due segmenti che si corrispondono in una rotazione sono perpendicoari. 0,5 punti 8 Disegna un triangoo ABC quasiasi e traccia a retta r bisettrice de'angoo di vertice A; costruisci poi i simmetrico AB 0 C 0 di tae triangoo rispetto a r. Rispondi ora ae seguenti domande: a. r eá ancora bisettrice de'angoo di vertice A de triangoo trasformato? b. come sono i punti A, B 0, C? c. come sono i punti A, B, C 0? d. indicato con O i punto di intersezione di BC con B 0 C 0, dove si trova O? 0,5 punti 9 Dato un quadrato ABCD, conduci da vertice A due rette fra oro perpendicoari in modo che a prima intersechi i ato BC in E, a seconda intersechi a retta de ato CD in. Dimostra che i triangoo AE eá isoscee. 2 punti Souzioni 1 a., b., c., d., e., f. 2 AM eá mediana e bisettrice de'angoo di vertice A; i triangoi ADM e AEM sono congruenti per i primo criterio: AD AE, AM in comune, DAM d EAM; d quindi AMD d AME d 3 a., b., c., d., e., f. 4 AB k QR : d ABC d RQC BAC d QRC d percheâ corrispondenti AC k PQ : BAC d BPQ d dacb BQP d percheâ corrispondenti 5 I triangoi AB e CAB sono congruenti per i secondo criterio: AB in comune, dab CBA d percheâ aterni interni dee rette paraee A e BC, CAB d BA d percheâ aterni interni dee rette paraee AC e B ed inotre i quattro angoi sono tutti congruenti fra oro. Essendo A B, sihachea B AC BC; i triangoi AC e BC sono quindi isoscei e AB eá a bisettrice de'angoo a vertice di ciascuno dei due triangoi; poicheâ a bisettrice eá anche atezza, AB? C. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO 23

24 6 a. 3, b. rettangoo, c. rettangoo 7 a., b., c., d. 8 a. si percheâ a bisettrice di un angoo eá asse di simmetria b. aineati percheâ e rette dei ati de'angoo di vertice di A sono simmetriche, quindi i simmetrico di B appartiene ad AC c. aineati per o stesso motivo d. appartiene a'asse di simmetria percheâ, essendo B 0 C 0 simmetrico di BC, i oro punto di intersezione eá unito 9 Gi angoi d BAE e d DA sono congruenti percheâ compementari deo stesso angoo d DAE, quindi i triangoi rettangoi ABE e AD sono congruenti (hanno ordinatamente congruenti un cateto e un angoo acuto): AE A ed i triangoo eá isoscee. Esercizio Punteggio autazione in decimi 24 Tema 5 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

25 Gi esercizi proposti in questa rubrica concusiva de'area provengono da gare di Matematica internazionai e da esami finai, opportunamente adattati, in varie scuoe dei Paesi di ingua angosassone. ange bisector bank enght measure measurement angoo bisettrice spazio vuoto unghezza misura misurazione point quadriatera side rotation transformation triange punto quadriatero ato rotazione trasformazione (geometrica) triangoo 1 In the figure on the right hand, AB k CD. ind the vaue of x. ex. 1 2 In triange ABC, AB ˆ 10 and BC ˆ 21. The enght of side AC must be between what two measurements? (Write the two answers in the banks provided beow) ::::::::::: < AC < ::::::::::::: 3 Triange GH is shown on the right hand, with point K ocated on GH. If the measure of G b is 2x 7, the measure of b is 8x 1 and the measure of HK d is 9x 21, find the measure of HG. d a. 15 b. 24 c d. 93 e In the figure shown, the measure of an ange formed by the bisectors of two anges in triange ABC is 120. ind the measure of ange B. a. 40 b. 45 c. 50 d. 60 e. 80 p 2, p p 3 and 11 5 The sides of a triange are best describes the triange? a. isoscees b. non existent c. acute d. equiatera e. scaene. Which of the foowing ex. 3 ex. 4 6 Which of the foowing cannot be used to prove that a quadriatera is a paraeogram? a. Show that the adjacent anges are compementary. b. Show that both pairs of opposite sides are congruent. c. Show that both pairs of opposite sides are parae. d. Show that both pairs of opposite anges are congruent. e. Show that the diagonas bisect each other. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - MATH IN ENGLISH 25

26 7 Which of objects 2-5 beow coud represent the image of object 1 as the resut of a singe rotation (with no other transformations appied)? a. Objects 2 and 3 ony b. Objects 4 and 5 ony c. Objects 4 ony d. Objects 2, 3 and 4 ony e. Objects 2, 3, 4 and In the quadriatera on the right hand, BA k CD, BC k AD, the measure of CBD d is 6x 5, the measure of ABD d is 3x 4 and the measure of BAD d is 7x 5. ind the measure of ADB. d a. 13 b. 98 c. 11 d. 37 e. 61 ex. 8 9 In the figure shown, the measure of BEA d is 100. Point is chosen inside triange BEA so that ine A bisects EAB d and ine B bisects EBA. d ind the measure of BA. d a. 140 b. 145 c. 150 d. 155 e. 160 ex In the given figure, if `1 k `2 and AB CD, then: a. AD? BC b. AC BD c. AE EC d. BC DE e. AD BC ex A reguar poygon has an interior ange that measures 144 degrees, and a side of which is 12 units ong. What is the perimeter of the reguar poygon? a. 80 b. 100 c. 120 d. 140 e x ˆ < AC < 31 3 b. 4 d. 5 b. 6 a., the statement shoud read "... are suppementary" 7 c. 8 e. 9 a. 10 b. 11 c. 26 Tema 5 - MATH IN ENGLISH Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA