Cap 1. LA CIRCONFERENZA

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1 Cap 1. LA CIRCONERENZA Rivedi a teoria I uoghi geometrici Un uogo eá 'insieme di tutti e soi gi oggetti geometrici che possiedono una proprietaá P; se gi oggetti sono punti, si para di uogo di punti. Esempi di uoghi di punti sono i seguenti: 'asse di un segmento:eá i uogo dei punti che sono equidistanti dagi estremi de segmento a bisettrice di un angoo:eá i uogo dei punti che sono equidistanti dai ati de'angoo. La circonferenza e i cerchio I uogo dei punti che sono equidistanti da un punto fisso O si chiama circonferenza; O ne eá i centro, i segmento che rappresenta a distanza da centro si chiama raggio. L'insieme dei punti dea circonferenza e di quei ad essa interni si chiama cerchio. ai gi esercizi 1 Considera 'insieme dee circonferenze che passano per uno stesso punto A e che hanno tutte o stesso raggio r; qua eá i uogo dei centri C di queste circonferenze? 2 Sono dati due punti A e B; qua eá i uogo dei centri dee circonferenze che passano per A e B? 3 ESERCIZIO GUIDA Consideriamo una circonferenza di diametro AB, tracciamo da A una corda quasiasi AD e da B a corda ad essa paraea BC. Dimostriamo che e due corde sono congruenti. Hp. CB k AD Th. CB AD Possiamo procedere aa dimostrazione in due modi. n Primo metodo. Tracciamo e distanze OH e OK de centro dae due corde e consideriamo i triangoi rettangoi OHB e OKA; di essi si sa che: OB ::::::::::: percheâ...; OBH d :::::::: percheâ... quindi... n Secondo metodo. Sappiamo che O eá i centro di simmetria dea figura, aora A ˆ O B ; essendo poi BC k AD, a retta BC eá simmetrica dea retta...; inotre i punto di intersezione dea retta BC con a circonferenza, ha come corrispondente i punto di intersezione dea retta AD con a circonferenza, quindi C ˆ O :::::. Possiamo aora concudere che... Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 1

2 4 Prounga una corda AB di una circonferenza di centro C di due segmenti AP e BQ fra oro congruenti e dimostra che BCQ d ACP. d 5 Sia AB i diametro di una semicirconferenza di centro O e siano C e D due punti de diametro equidistanti dagi estremi. Conduci per C e per D due corde fra oro paraee che incontrano a semicirconferenza in Q e in S. Dimostra che i quadriatero CDSQ eá un trapezio rettangoo. (Suggerimento:traccia da O a perpendicoare OH aa corda QS che a divide in due parti congruenti; essendo CO OD e QH HS, e rette DS, OH e CQ sono...) Rivedi a teoria Posizioni reciproche di rette e circonferenze Una retta e una circonferenza possono avere in comune: due punti e in questo caso si dice che a retta eá secante rispetto aa circonferenza; a sua distanza da centro eá minore de raggio un soo punto e in questo caso si dice che a retta eá tangente rispetto aa circonferenza; a sua distanza da centro eá uguae a raggio nessun punto e in questo caso si dice che a retta eá esterna rispetto aa circonferenza; a sua distanza da centro eá maggiore de raggio. Le rette tangenti godono di acune proprietaá: d < r d ˆ r d > r i raggio ne punto di tangenza eá perpendicoare aa tangente se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono e tangenti: - i due segmenti di tangente sono congruenti - a semiretta uscente da P e passante per O eá bisettrice de'angoo formato dae tangenti. Posizioni reciproche di due circonferenze Le posizioni reciproche che possono assumere due circonferenze sono quee indicate nea seguente figura dove r e r 0 sono i raggi dee due circonferenze e d eá a distanza fra i due centri: esterne tangenti secanti tangenti interne concentriche esternamente internamente d > r r 0 d ˆ r r 0 d < r r 0 d ˆ r r 0 d < r r 0 d ˆ 0 d > r r 0 2 Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

3 ai gi esercizi 6 ESERCIZIO GUIDA E' data una circonferenza di diametro AB e centro O; fissiamo un punto P su di essa e tracciamo e rette tangenti in A, B e P. La tangente in P incontra quea in A in R e quea in B in S. Dimostriamo che 'angoo ROS d eá retto. Hp. AB? AR Th. ROS d eá retto AB? BS RS? OP Osserviamo innanzi tutto che e rette AR e BS sono paraee percheâ... quindi gi angoi ARP d e BSP d sono suppementari percheâ... Per i teorema ricordato, RO e SO (traccia questi segmenti) sono e... degi angoi ARP d e BSP, d quindi ORP d e OSP d sono... Poiche a somma degi angoi interni di un triangoo eá... 7 Disegna una circonferenza di centro O, prendi un punto A su di essa e traccia a retta r tangente in A; considera poi un punto B su r e traccia i segmento BO; subo prendi poi un punto P in modo che BP BA; traccia AP fino ad incontrare in Q a circonferenza. Dimostra che QOB d eá retto. (Suggerimento:tracciato i raggio OA, i triangoi ABP e AOQ sono isoscei; gi angoi OAQ d e BAP d sono compementari, quindi...) es. 7 8 E' data una circonferenza di centro O e diametro AB; traccia per B una corda BC e poi e rette tangenti aa circonferenza in A einc che si intersecano in D. Dimostra che OD eá paraeo a BC. (Suggerimento:i triangoo COB eá isoscee e 'angoo AOC d eá uno dei suoi angoi esterni) es. 8 9 ESERCIZIO GUIDA Date due circonferenze interne 'una a'atra, tracciamo a retta dei centri e consideriamo e due corde dea circonferenza esterna tangenti aa circonferenza piuá interna e paraee aa retta dei centri. Dimostriamo che tai corde sono congruenti. Hp. AB k :::::::::: CD k :::::::::: OH? ::::::::: OK? ::::::::: Th. AB CD Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 3

4 Osserviamo che i segmenti OH e OK sono congruenti e che i punti H, O, K sono aineati percheâ... Essendo AB k CD per ipotesi, i segmenti OH e OK rappresentano anche a distanza de centro O 0 dea circonferenza piuá esterna dae due corde AB e CD; quindi... Potevi anche dimostrare a congruenza dee due corde per simmetria:a figura eá infatti simmetrica rispetto aa retta dei centri e quindi Due circonferenze di centri O e O 0 sono congruenti ed esterne una a'atra; una retta r paraea aa retta dei centri interseca a prima in A e B, a seconda in C e D come nea figura. Dimostra che OO 0 AC BD. es. 10 Rivedi a teoria Angoi a centro e angoi aa circonferenza Un angoo aa circonferenza eá un angoo che ha i vertice sua circonferenza; i suoi ati possono essere: entrambi secanti uno secante e 'atro tangente Ad ogni angoo aa circonferenza AB d corrisponde un angoo a centro che si costruisce in questo modo: se i ati sono entrambi secanti, si tracciano i raggi nei punti A e B di intersezione dei ati con a circonferenza; detto O i centro, 'angoo a centro eá AOB d se uno dei ati eá secante e 'atro eá tangente, si tracciano i raggi OA e O, 'angoo a centro eá AO d. Gi angoi a centro devono "guardare" verso o stesso arco su cui insiste 'angoo aa circonferenza. La proprietaá Ad ogni angoo aa circonferenza corrisponde un soo angoo a centro, ma ad ogni angoo a centro corrispondono infiniti angoi aa circonferenza. In ogni caso si verifica sempre che: 'angoo aa circonferenza eá sempre a metaá de corrispondente angoo a centro. Di conseguenza: angoi aa circonferenza che insistono suo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti. ai gi esercizi 11 ESERCIZIO GUIDA Consideriamo due circonferenze secanti di centri C e C 0 e indichiamo con A e B i oro punti di intersezione; siano poi AP e AQ i diametri dee due circonferenze. Dimostriamo che: 4 Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

5 a. i punti P, B e Q sono aineati b. PQ eá congruente a doppio dea distanza fra i centri. Hp.... Th.... a. L'angoo ABQ d eá un angoo aa circonferenza che insiste su... e quindi eá... Anche 'angoo ABP d eá un angoo aa circonferenza che insiste su... e quindi eá... Aora 'angoo d PBQ eá... e quindi i punti P, B, Q sono aineati. b. Per dimostrare a seconda tesi ricorda che i segmento che congiunge i punti medi dei ati di un triangoo eá paraeo a terzo ato e congruente aa sua metaá. 12 Due circonferenze secanti si intersecano in A einb; una retta r per A interseca uteriormente e circonferenze in C e in D. Dimostra che, a variare dea retta r, gi angoi de triangoo BCD hanno sempre a stessa ampiezza. (Suggerimento:gi angoi di vertici C e D insistono sempre suo stesso arco) es Sia AP una corda di una circonferenza di centro C e diametro AB. Traccia e rette tangenti aa circonferenza in B einp e indica con Q i oro punto di intersezione. Dimostra che gi angoi CQP d e PAC d sono compementari. es In una circonferenza due corde congruenti AB e CD si intersecano in un punto P. Dimostra che e due parti in cui resta divisa AB da P sono congruenti ae parti in cui resta divisa CD. 15 Disegna una semicirconferenza di diametro AB, traccia una corda AC ea tangente in B aa circonferenza; a bisettrice de'angoo CAB d incontra a corda BC in D e a retta tangente in. Dimostra che i triangoo BD eá isoscee. es Siano AB e BC due corde di una circonferenza; per i punto medio D de'arco AC non contenente B traccia a paraea aa corda AB che interseca uteriormente a circonferenza in E. Dimostra che DE BC. 17 ESERCIZIO GUIDA Consideriamo una circonferenza di centro O e un suo punto fisso P; sia poi Q un punto variabie su e M i punto medio de segmento PQ. Qua eá i uogo geometrico dei punti M? Osserviamo che, tracciato i diametro PR, i punto O appartiene a uogo cercato percheâ eá i punto medio dea corda PR; inotre anche i punto P deve appartenere a uogo percheâ, considerata a corda per P di unghezza nua, P coincide con M. Osserviamo poi che gi angoi OMP d sono tutti retti percheâ... I uogo cercato eá quindi a circonferenza avente per diametro... Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 5

6 18 E' dato un rettangoo ABCD in cui i punti A e C sono fissi mentre B e D sono variabii. Qua eá i uogo dei punti B e D? 19 Considera una circonferenza e un suo punto P. Qua eá i uogo dei centri dee circonferenze che sono tangenti a in P? (Suggerimento:due circonferenze sono tangenti in un punto P se hanno in que punto a stessa retta tangente) Cap 2. I POLIGONI E LA CIRCONERENZA Rivedi a teoria Poigoni inscritti Un poigono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti dea circonferenza. Ogni poigono inscritto ha a caratteristica che gi assi dei suoi ati si incontrano ne centro dea circonferenza. I quadriateri inscritti hanno una uteriore proprietaá: gi angoi opposti sono suppementari. Questa proprietaá si puoá invertire e puoá essere usata anche per riconoscere se un quadriatero eá inscrittibie in una circonferenza. I poigoni circoscritti Un poigono si dice circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi ati sono tangenti aa circonferenza. Ogni poigono circoscritto ha a caratteristica che e bisettrici dei suoi angoi si incontrano ne centro dea circonferenza. I quadriateri circoscritti hanno una uteriore proprietaá: a somma di due ati opposti eá congruente aa somma degi atri due. Anche questa proprietaá si puoá invertire e puoá essere usata per riconoscere se un quadriatero eá circoscrittibie a una circonferenza. 6 Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

7 ai gi esercizi 1 ESERCIZIO GUIDA E' dato un triangoo ABC inscritto in una semicirconferenza di diametro AB; da un punto D de diametro traccia a perpendicoare ad AB stesso che interseca a corda AC in P. Dimostra che i quadriatero BCPD eá inscrittibie in una circonferenza. Qua eá i diametro di tae circonferenza? Scrivi 'ipotesi de teorema basandoti anche sua figura. Hp.... Th. BCPD eá inscrittibie L'angoo PDB d eá retto, 'angoo... d PCB..., quindi isto che i triangoi PDB e PCB sono rettangoi, i diametro dea circonferenza eá i segmento... 2 Riprendi i teorema precedente e indica con Q i punto di intersezione dea retta BC con a perpendicoare PD. Dimostra che anche i quadriatero ADCQ eá inscrittibie in una circonferenza. Sapresti dire qua eá i diametro di questa circonferenza? 3 In una circonferenza di centro O sono date e corde consecutive AB e AC che si trovano daa stessa parte rispetto a centro. Indicato con H i piede dea perpendicoare condotta da O aa corda AB e con K queo dea perpendicoare da O ad AC, dimostra che i quadriatero AOKH (oppure AOHK a seconda di come hai disposto e ettere) eá inscrittibie in una circonferenza. Qua eá i diametro di tae circonferenza? es. 3 4 Un quadriatero ABCD eá inscritto in una circonferenza di centro O esi conoscono e misure dei seguenti angoi: AOB d ˆ 90, BOC d ˆ 60, COD d ˆ 140. Cacoa e misure degi angoi de quadriatero. 5 Un quadriatero eá ottenuto mediante 'accostamento di due triangoi isoscei che hanno a base in comune e che si trovano da parte opposta rispetto aa base. Dimostra che i quadriatero eá circoscrittibie ad una circonferenza. es. 6 6 Sono date due circonferenze di centri O e O 0 tangenti esternamente in A; conduci per A a tangente comune r e prendi su di essa due punti C e D simmetrici rispetto ad A. Dimostra che i quadriatero OCO 0 D eá circoscrittibie ad una circonferenza. Su quae segmento si trova i centro di tae circonferenza? 7 Considera due diametri di una circonferenza e traccia dai oro estremi e rette tangenti aa circonferenza. Dimostra che tai rette formano un rombo. In quae caso si ottiene un quadrato? Rivedi a teoria Poigoni regoari Un poigono eá regoare se ha tutti i ati e tutti gi angoi congruenti fra oro. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 7

8 I poigoni regoari, quaunque sia i numero dei ati, godono dea seguente proprietaá: sono sempre sia inscrittibii che circoscrittibii a una circonferenza. I punti notevoi dei triangoi Gi assi dei ati di un triangoo passano per uno stesso punto che si chiama circocentro e che rappresenta i centro dea circonferenza circoscritta. Le bisettrici degi angoi interni di un triangoo passano per uno stesso punto che si chiama incentro e che rappresenta i centro dea circonferenza inscritta. Le atezze di un triangoo passano per uno stesso punto che si chiama ortocentro. Le mediane di un triangoo passano per uno stesso punto che si chiama baricentro; tae punto divide ciascuna mediana in due parti tai che quea che contiene i vertice eá doppia de'atra. ai gi esercizi 8 ESERCIZIO GUIDA Dimostriamo che i punti medi di un poigono regoare sono i vertici di un atro poigono regoare e che e circonferenze inscritta e circoscritta a tae poigono sono concentriche ae circonferenze inscritta e circoscritta a primo poigono regoare. Considera i triangoi QBR, RCS, SDT,... che sono tutti congruenti percheâ..., quindi i ati QR, RS, ST,... sono congruenti percheâ... Inotre gi angoi QRS, d RST d, ST d,... sono congruenti percheâ... I poigono PQRST eá quindi regoare percheâ ha i ati e gi angoi congruenti fra oro. Sia O i centro dee circonferenze inscritta e circoscritta a poigono ABCDE; i segmenti OS, OT, O,... sono tutti congruenti percheâ raggi dea circonferenza inscritta in tae poigono; aora O eá anche i centro dea circonferenza... Considerata ora a circonferenza di centro O e raggio OS, i ati de poigono PQRST sono corde congruenti di tae circonferenza, quindi... 9 Sia ABC un triangoo equiatero inscritto in una circonferenza; indicati con M i punto medio de'arco AB econn i punto medio de'arco AC, traccia a corda MN che incontra i ato AB in P e i ato AC in Q. Dimostra che MP PQ QN. (Suggerimento:gi angoi AMN d e MAB d sono congruenti percheâ..., quindi AP ::::::) es. 9 8 Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

9 10 ESERCIZIO GUIDA Dimostriamo che se gi assi di tre ati di un quadriatero passano per uno stesso punto O, anche 'asse de quarto ato passa per O. Che cosa si puoá dire di un tae quadriatero? Dato i quadriatero ABCD, supponiamo che gi assi dei ati AD, AB e BC si intersechino in O; per a proprietaá de'asse si ha che OD OA ::::::: ::::::::::, quindi O appartiene... I punti A, B, C, D, essendo equidistanti da O, appartengono aora ad una circonferenza e percioá i quadriatero ABCD Un triangoo ABC, isoscee di base BC,eÁ inscritto in una circonferenza; a bisettrice de'angoo di vertice B incontra uteriormente a circonferenza in E, a bisettrice de'angoo di vertice C incontra uteriormente a circonferenza in. Detto O 'incentro de triangoo, dimostra che AOE eá un rombo. Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 9

10 erifica de recupero 1 Barra vero o faso. a. Una corda di una circonferenza eá sempre divisa a metaá da raggio ad essa perpendicoare. b. Se due corde sono congruenti hanno a stessa distanza da centro. c. Se due circonferenze sono tangenti esternamente a distanza fra i oro centri eá congruente aa differenza dei raggi. d. Se una retta eá secante rispetto ad una circonferenza, a sua distanza da centro dea circonferenza eá uguae a raggio. e. Se due circonferenze sono interne, a distanza fra i centri eá minore dea differenza fra i raggi. f. Se due circonferenze sono tangenti esternamente si possono tracciare tre rette distinte che sono tangenti ad entrambe e circonferenze. 1,5 punti 2 Competa e seguenti proposizioni in modo che risutino vere. a. In ogni circonferenza se due angoi a centro sono congruenti gi archi su cui insistono sono... b. In ogni circonferenza ad un angoo a centro corrispondono... angoi aa circonferenza. c. In ogni circonferenza ciascun angoo aa circonferenza eá congruente... de corrispondente angoo a centro. d. Se un angoo aa circonferenza insiste su una semicirconferenza, aora eá... 1 punto 3 Due circonferenze sono tangenti internamente in P ed i raggio dea circonferenza maggiore eá congruente a diametro di quea minore; sia PA una corda quaunque dea circonferenza maggiore che incontra a minore in M. Dimostra che M eá i punto medio di AP. 2,5 punti 4 Disegna un triangoo isoscee acutangoo ABC di base AB e traccia e atezze AH, BK, CR. Dimostra che i quadriatero CHRK eá circoscrittibie ad una circonferenza. 3 punti 5 Barra vero o faso. a. In un triangoo isoscee, incentro, circocentro, baricentro e ortocentro coincidono. b. In un triangoo equiatero, incentro, circocentro, baricentro e ortocentro coincidono. c. I baricentro di un triangoo divide ciascuna mediana in due parti congruenti. d. In un triangoo isoscee, incentro, ortocentro, circocentro e baricentro sono aineati con i vertice A de triangoo. 2 punti 10 Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA

11 Souzioni 1 a., b., c., d., e., f. 2 a. congruenti, b. infiniti, c. aa metaá, d. retto 3 d OMP eá retto percheâ inscritto in una semicirconferenza, quindi OM rappresenta a distanza de centro dea circonferenza maggiore daa corda AP; di conseguenza M eá punto medio di AP. 4 I punti H e K sono simmetrici rispetto aa retta CR, quindi CK CH, KR HR. Ne quadriatero RHCK si ha quindi che KC RH CH RK e questo significa che eá circoscrittibie. 5 a., b., c., d. Esercizio Punteggio autazione in decimi Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA Tema 3 - ATTIITA Á DI RECUPERO 11

12 arc circe circumference diameter poygon radius (p. radii) arco cerchio circonferenza diametro poigono raggio 1 Let P be a point on the circumference of a circe. Perpendicuars PA and PB are drawn to points A and B on two mutuay perpendicuar diameters. If AB ˆ 36 inches, what is the diameter of the circe? a. 8 in b. 16 in c. 24 in d. 36 in e. 72 in 2 Let ABC be an equiatera triange with side enght of 6. Let P be the point of intersection of the three ange bisectors. ind the enght of AP. p a. 2 p p 3 b. 3 c. 3 p 3 d. 5 p 3 e A reguar poygon has an interior ange that measures 144 degrees, and a side of which is 12 units ong. What is the perimeter of the reguar poygon? a. 80 b. 100 c. 120 ex. 4 d. 140 e In the figure shown, AB? CD. Which of the foowing is true? 1. AD AB 2. BD AB 3. AC CD a. 1. b. 2. c. 3. d. 1., 2., 3. e. none of these 5 In the figure shown, AB is a diameter of the circe. If A b ˆ 20 and bb ˆ 50, what is the measure of the arc DE? a. 60 b. 55 c. 25 d. 40 e. 30 (Per "misura de'arco DE" si intende a misura de'angoo a centro che insiste su DE ) ex. 5 6 Two circes can divide a pane into 4 regions at most. What is the maximum number of regions obtained by dividing a pane with 4 circes? a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 e e. 2 a. 3 c. 4 e. 5 d. 6 d. 12 Tema 3 - MATH IN ENGLISH Q Re raschini - Grazzi, Atas SpA