Unità 8 Esercizi per il recupero

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1 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME Unità 8 Esercizi per il recupero ARGOMENTO: I quadrilateri. Teorema di Talete CONTENUTI: Il trapezio isoscele I parallelogrammi Il piccolo teorema di Talete I parallelogrammi particolari INDICAZIONI DI LAVORO Utilizzando lo schema riassuntivo rivedi con cura gli enunciati dei teoremi studiati Controlla se conosci i termini inseriti nel glossario Rifai gli esercizi svolti del libro di testo, controllando se fai errori Svolgi i seguenti esercizi Correggili, utilizzando la correzione ESERCIZIO GUIDATO Siano P e Q i punti medi dei lati AB e BC di un triangolo qualunque ABC. La retta parallela ad AQ condotta dal punto P interseca il lato BC nel punto N e la retta del lato AC nel punto M. Dimostra che il segmento BN è congruente alla quarta parte del segmento BC e che il segmento AQ è congruente a 3 del segmento MN. C Ipotesi Q M A P N B Tesi. BN BC 4. AQ MN 3 Dimostrazione Nel triangolo ABQ, P è il punto medio del lato AB e la retta r PN è parallela ad AQ ne segue che N è il punto medio di BQ Q è il punto medio del lato BC BQ BC ed essendo BN BQ BN BC 4 CVD per per.. per precedente deduzione

2 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME Il quadrilatero MPQA ha i lati AQ e MP paralleli inoltre, essendo PQ il segmento che unisce i punti medi dei lati AB e BC del triangolo ABC, risulta che il segmento PQ è parallelo ad AC ed essendo M un punto della retta r AC, i lati AM e PQ sono paralleli. MPQA è un parallelogramma per. Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogramma è che.. MP AQ Condizione necessaria affinché un quadrilatero sia un parallelogramma è che.. Essendo PN AQ ne segue che essendo MN MP + PN 3 MN AQ + AQ AQ AQ MN 3 CVD perché i punti M,N,P sono allineati per ipotesi ESERCIZIO GUIDATO In un trapezio isoscele la base minore è congruente ai lati obliqui e la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo BC. Dimostra che anche l altra diagonale è perpendicolare al lato obliquo e che congiungendo gli estremi della base minore col punto medio M della base maggiore si formano tre triangoli equilateri congruenti e che il punto O ottenuto dall intersezione delle diagonali del trapezio è il baricentro del triangolo DMC. D C Ipotesi A M B Dimostrazione Il trapezio isoscele ha un asse di simmetria che coincide con l asse delle basi Tesi.. 3. Tale simmetria trasforma l angolo A Dˆ B AĈB A Dˆ B AD DB A ĈB nell angolo CVD perché vertici e lati sono corrispondenti nella simmetria perché la simmetria conserva..

3 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME Nota: Si poteva giungere alla stessa conclusione dimostrando che i triangoli ABC e ABD sono congruenti Il triangolo ABC è rettangolo in C e M è il punto medio dell ipotenusa AB AM MC MB Il triangolo ABD è rettangolo in D e M è il punto medio dell ipotenusa AB AM MD MB I triangoli ADM, DMC, CMB sono fra loro congruenti avendo ordinatamente congruenti tutti i lati Essendo il lato obliquo AD congruente alla base minore CD il triangolo ADC è isoscele DÂC D ĈA essendo poi DĈA B ÂC DÂC B ÂC BÂC BÂD BÂC ABˆ C Il triangolo rettangolo ABC, avendo gli angoli acuti uno doppio dell altro, è metà di un triangolo equilatero e risulta AB CB. CB MB MC il triangolo CMB è equilatero e così pure DMC e ADM. CVD Il quadrilatero AMCD, essendo AM//CD e AM CD è un parallelogramma le diagonali AC e DM si intersecano nel loro punto medio Analogo discorso per il quadrilatero MBCD le cui diagonali BD e MC si intersecano nel loro punto medio. Il punto O, comune alle diagonali del trapezio AC e BD, non è altro che il punto comune a due mediane del triangolo DMC e perciò è il baricentro di DMC CVD 3 per il criterio di congruenza dei triangoli. per per.. per il criterio di congruenza dei triangoli per ipotesi per definizione perché angoli formati dalle rette parallele r AB e r CD con la trasversale r AC per la proprietà perché gli angoli alla base di un trapezio isoscele sono congruenti. per Teorema ESERCIZIO 3 GUIDATO Sia dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB, con le diagonali perpendicolari. M, N, P e Q sono rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA. Dimostra che a) MNPQ è un rettangolo (come deve essere il trapezio affinché MNPQ sia un quadrato? Rispondi motivando) b) il perimetro del trapezio è congruente al doppio della somma dei segmenti OP, OQ, OM e ON, essendo O il punto di intersezione fra AC e BD c) i punti C, D, A, M sono allineati, essendo A ed M i simmetrici di A ed M rispetto a N; d) M è il punto medio del segmento CA e) il triangolo PMM è isoscele f) essendo R il punto di intersezione fra BM e A N, R è... per il triangolo A BC (quale punto notevole?) 3

4 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME g) i punti C ed R sono allineati con il punto W che è punto medio di A B h) il segmento AA è congruente al triplo del segmento A R. Ipotesi AB//DC AB>DC AC BD AM MB M AB BN NC N BC CP PD P DC DQ QA Q AD S N : A A M M {O} = AC BD {R} = BM A N BW WA W A B a) Consideriamo il triangolo ADC. Poiché il segmento QP congiunge i punti medi dei suoi lati AD e DC risulta QP // AC e QP ½ AC Consideriamo ora il triangolo ABC; per dimostrazione analoga risulta MN//AC e MN ½ AC e QP MN e QP // MN Quindi PQMN è un parallelogramma. Consideriamo ora ABD, nel quale risulta che QM // BD Tesi a) MN//PQ, MN PQ, QM QP b) BA+BC+CD+DA (OP+OQ+OM+ON) c) M r DC A r DC d) CM M C e) PM PM f) R è il baricentro di A BC g) W r CR h) AA 3A R Teorema.. per proprietà Teorema Condizione sufficiente affinché un quadrilatero sia un parallelogramma è che.. Teorema e, poiché AC BD e QM // BD e QP // AC, ne segue che QM QP e questo implica che PQMN sia anche un rettangolo poiché ha una coppia di lati consecutivi perpendicolari CVD a Assioma: Date due perpendicolari, ogni.. È un rettangolo ogni RISPOSTA: Abbiamo dimostrato che ogni lato del rettangolo PQMN è congruente a metà di una delle due diagonali del trapezio. Affinché PQMN sia anche rombo, e perciò quadrato, è sufficiente che le diagonali del trapezio siano congruenti e questo accade se il trapezio è isoscele. b) Consideriamo il triangolo AOD, rettangolo in O e con Q quale punto medio dell ipotenusa Risulta AD OQ Ripetendo identica considerazione su DOC, COB, AOB ne risulta DC OP, BC ON, AB OM Teorema3 In un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è.. e sommando membro a membro le quattro congruenze si ottiene BA+BC+CD+DA (OP+OQ+OM+ON) CVD b 4

5 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME c) Consideriamo la simmetria con centro nel punto N S N : B C quindi S N : r AB r CD Visto che S N : A A M M e che A, M, B sono punti di r AB allora A, M, C sono punti di r CD poiché. poiché la retta r AB si trasforma nella sua parallela per C che è appunto r CD per ipotesi per Teorema4 La simmetria centrale conserva. CVD c d) Nella simmetria con centro nel punto N risulta S N : AB A C e che M è il punto medio di AB allora M è il punto medio di A C perché gli estremi sono.. per Se due segmenti si corrispondono in una isometria. CVD d e) M è l immagine di M nella S N perciò risulta MN NM PQMN è un rettangolo perciò risulta PN MM Segue che la retta r PN, essendo perpendicolare al segmento MM nel suo punto medio, è l asse di MM e da ciò si deduce che PM PM. perché la simmetria centrale è.. in un rettangolo i lati sono. Teorema5 Se un punto appartiene all asse di un segmento allora forma.. CVD e f) M è punto medio di CA e N è punto medio di CB, allora R è punto di intersezione di due mediane del triangolo A BC ed è quindi il suo baricentro. per e. Teorema6: Le mediane di un triangolo. CVD f g) Nel triangolo A BC la mediana CW congiunge il vertice C con W, punto medio del lato opposto e contiene il baricentro R pertanto W r CR. CVD g h) Il baricentro R divide la mediana A N in modo che A R RN essendo A N AN risulta AA AN + A N A N ( A R+ RN) ( A R+ ½ A R) ( 3 A R) 3 A R CVD h per.. Teorema6 il baricentro di un triangolo divide perché la simmetria centrale è.. per. 5

6 LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI VOLUME ESERCIZIO 4 Nel triangolo ABC con AB>AC, sia M il punto medio del lato AC. La retta parallela ad AB condotta per il punto M interseca la retta che contiene l'altezza relativa ad AC nel punto D e la retta perpendicolare in C ad AC nel punto P. Dimostra che il quadrilatero BPCD è un parallelogramma, considerando prima il caso che l angolo in C sia un angolo acuto poi che sia un angolo ottuso. ESERCIZIO 5 Sia ABCD un trapezio rettangolo in A e D con base maggiore AB. Preso sulla base AB un punto E tale che AE DC e detto M il punto medio del lato BC, dimostra che: a) i segmenti AC e DE sono congruenti b) il segmento che ha come estremi il punto M e il punto di intersezione delle diagonali di AECD è congruente a metà della base maggiore c) i triangoli AMD e EMB sono isosceli. ESERCIZIO 6 ABCD è un parallelogramma in cui il lato AB è congruente al doppio del lato BC. Dimostra che: a) i segmenti DE e CE sono fra loro perpendicolari, detto E il punto medio di AB; b) è un rombo il quadrilatero AEFD, avendo tracciato da A la retta parallela a CE e detto F il suo punto di intersezione con DC; c) AF e FB sono perpendicolari e formano un rettangolo intersecando DE e EC. ESERCIZIO 7 ABCD è un quadrato e L,M,N, P sono i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC, CD, DA. Dimostra che: a) i segmenti AN e CL sono paralleli b) il quadrilatero LMNP è un quadrato che ha lo stesso centro di ABCD c) AN e CL, intersecando DL e BN, formano un rombo. ESERCIZIO 8 Nel triangolo ABC rettangolo in B l ipotenusa AC è congruente al doppio del cateto AB. La simmetria di asse r CB trasforma A in A e la simmetria di asse r AB trasforma C in C. Sia M la proiezione ortogonale di A su CA e sia M la proiezione ortogonale di A su C A. Dimostra che: a) Il quadrilatero ACA C è un rombo; b) I segmenti AM e CB sono congruenti; c) Il triangolo AMM è equilatero; d) Il punto B è il baricentro di AMM ; e) dette N e N le proiezioni ortogonali di A rispettivamente su AC e su AC, il quadrilatero MNN M è un rettangolo. ESERCIZIO 9 Nel triangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è maggiore di AC e la bisettrice dell angolo A interseca BC nel punto D. Dal punto D traccia la retta parallela ad AC che interseca AB nel punto H e poi traccia, sempre da D, la retta parallela ad AB che interseca AC nel punto K. Dimostra che: a) i segmenti DA e KH sono congruenti e fra loro perpendicolari; b) il quadrilatero ABA B è un parallelogramma, avendo indicato con B il simmetrico di B rispetto a D e con A il punto di intersezione tra la retta r AD e la retta tracciata da B e parallela ad AB ; c) il quadrilatero HBFK è un trapezio isoscele essendo F il punto di intersezione fra la retta r AC e la retta condotta dal punto B e perpendicolare ad AD d) i segmenti AG e A F sono perpendicolari, essendo G il punto di intersezione fra la retta r BF e A B. 6