L'AREA DELLE FIGURE PIANE

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1 GEOMETRIA L'AREA DELLE FIGURE PIANE PREREQUISITI l l l l l oerare con le quattro oerazioni elevare un numero al quadrato ed estrarre la radice quadrata conoscere il sistema internazionale di misura trasformare una grandezza in un'altra con diversa unitaá di misura conoscere le figure iane e i loro elementi CONOSCENZE 1. il concetto di equivalenza 2. il concetto di equiscomonibilitaá 3. le formule er calcolare l'area di un oligono 4. le formule inverse dell'area ABILITAÁ A. raresentare le figure equivalenti B. alicare le formule dirette er il calcolo delle aree dei oligoni C. alicare le formule inverse delle aree dei oligoni D. calcolare l'area dei oligoni regolari PER RICORDARE L'equivalenza delle figure iane: 1. due suerfici A e B, anche di forma diversa, si dicono equivalenti se occuano la stessa arte di iano; 2. figure che sono state ottenute mediante la somma di arti risettivamente congruenti sono equivalenti; 3. figure che sono state ottenute mediante la differenza di arti risettivamente congruenti sono equivalenti; 4. le figure equivalenti godono della rorietaá riflessiva: A ˆ: A; 5. le figure equivalenti godono della rorietaá simmetrica: se A ˆ: B allora B ˆ: A; 6. le figure equivalenti godono della rorietaá transitiva: se A ˆ: B e B ˆ: C allora A ˆ: C: Rettangolo e quadrato: 7. l'area di una figura iana eá la misura dell'estensione della sua suerficie esressa in una certa unitaá di misura; 8. er misurare l'estensione di una suerficie occorre confrontarla con un'unitaá di misura, cosõá da stabilire quante volte quest'ultima eá contenuta in quella da misurare; 9. l'area del rettangolo si ricava moltilicando la misura della base er quella dell'altezza: formula diretta: A ˆ b h; formule inverse: b ˆ A : h; h ˆ A : b; 10. l'area del quadrato si ricava moltilicando la misura del lato er se stessa: formula diretta: A ˆ `2; formula inversa: ` ˆ A. Parallelogrammo e triangolo: 11. l'area del arallelogrammo si ricava moltilicando la misura della base er quella dell'altezza: formula diretta: A ˆ b h; formule inverse: b ˆ A : h; h ˆ A : b;

2 2 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 12. l'area del triangolo si ricava moltilicando la misura della base er quella dell'altezza e dividendo il risultato er 2: formula diretta: A ˆ b h : 2; formule inverse: b ˆ 2 A : h; h ˆ 2 A : b; 13. la formula di Erone ermette di calcolare l'area di un triangolo qualsiasi conoscendo le misure dei suoi lati: A ˆ a b b dove ˆ semierimetro e a, b, c ˆ misure dei lati. Rombo, deltoide e traezio: 14. l'area del rombo si ricava moltilicando fra loro la misura delle due diagonali e dividendo il rodotto er due: formula diretta: A ˆ d D : 2; formule inverse: d ˆ 2 A : D; D ˆ 2 A : d; 15. l'area del deltoide si ricava moltilicando la misura della diagonale maggiore er quella della diagonale minore e dividendo il rodotto er 2: formula diretta: A ˆ D d : 2; formule inverse: d ˆ 2 A : D; D ˆ 2 A : d; 16. l'area del traezio si ricava moltilicando la somma della misura delle basi er la misura dell'altezza e dividendo il rodotto ottenuto er 2: formula diretta: A ˆ b B h : 2; formule inverse: h ˆ 2 A : b B ; b B ˆ2 A : h. Poligoni regolari: 17. l'area di un oligono regolare si ricava moltilicando il semierimetro er la misura dell'aotema: formula diretta: A ˆ a; formule inverse: ˆ A : a; a ˆ A : ; 18. il raorto tra la misura dell'aotema e quella del lato dei oligoni regolari viene denominato numero fisso e si indica generalmente con la lettera n, tale numero varia col variare del numero dei lati: formula diretta: à ˆ n; formule inverse: a ˆ ` n; ` ˆ a : n; 19. l'area di un oligono regolare si uoá calcolare mediante l'uso dei numeri fissi secondo la formula: A ˆ `2 f dove f indica il numero fisso. ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 Comleta le seguenti definizioni: a. er suerficie di una figura iana si intende una arte di... misurabile er confronto con...; b. due suerfici A e B, anche di forma diversa, che occuano la stessa arte di... si dicono... e si indicano con il simbolo...; c. due figure iane ottenute mediante somma di arti risettivamente congruenti sono...; d. due figure iane ottenute mediante differenza di arti risettivamente congruenti sono...; e. nel confronto tra due figure iane, la figura che ha estensione maggiore si dice... 2 Doo aver osservato attentamente le seguenti figure inserisci al osto dei untini i termini: "suvvalente", "revalente" o "equivalente". a. b. c. A... B A... B A... B

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 3 3 Doo aver osservato attentamente le seguenti figure, stabilisci quali sono fra loro equivalenti. 4 Comleta le seguenti definizioni: a. la relazione di equivalenza gode delle rorietaá...; b. er area di una figura iana si intende la... dell'estensione della sua... 5 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del rettangolo? a. A ˆ b : h; b. A ˆ b h; c. A ˆ b h : 2. 6 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del quadrato? a. A ˆ `2; b. A ˆ `2 : 2; c. A ˆ ` 4. 7 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del arallelogrammo? a. A ˆ b h; b. A ˆ b : h; c. A ˆ b h : 2. 8 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del triangolo? a. A ˆ b : h; b. A ˆ b h; c. A ˆ b h : 2. 9 In quali figure e quando si alica la formula di Erone? 10 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del triangolo con la formula di Erone? a. A ˆ a b c ; b. A ˆ a b c ; c. A ˆ a b c. 11 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del rombo? a. A ˆ D : d; b. A ˆ d D; c. A ˆ d D : Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del deltoide? a. A ˆ d : D; b. A ˆ d D : 2; c. A ˆ d D. 13 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area del traezio? a. A ˆ b B h : 2; b. A ˆ b B : 2; c. A ˆ b B h : Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area di un oligono regolare? a. A ˆ : a; b. A ˆ a : 2; c. A ˆ a. 15 Qual eá la relazione che lega l'aotema e il lato di un oligono regolare? 16 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area di un oligono regolare mediante l'uso dei numeri fissi? a. A ˆ `2 f : 2; b. A ˆ `2 f ; c. A ˆ `2 : f. 17 Quale metodo utilizzeresti er calcolare l'area dei seguenti oligoni non regolari? a. b.

4 4 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 18 Quale delle seguenti formule eá quella corretta er calcolare l'area di un oligono circoscritto? a. A ˆ r; b. A ˆ : r; c. A ˆ r : 2. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * 1 Per ognuna delle seguenti figure, disegnane una congruente ed una equivalente. 2 Per ognuna delle seguenti figure disegnane una equicomosta. 3 Le seguenti figure non sono equivalenti. Doo averle coiate sul tuo quaderno, aggiungi o togli qualche arte alla rima o alla seconda figura in modo che risultino equivalenti. 4 Esercizio Svolto I rettangoli Calcola l'area di un rettangolo avente la base e l'altezza che misurano risettivamente 18 cm e 22 cm. AB ˆ 18 cm BC ˆ 22 cm A ABCD Alichiamo la formula diretta: A ABCD ˆ AB BC ˆ cm 2 ˆ 396 cm 2. 5 Comleta la seguente tabella relativa ai rettangoli. base (cm) altezza (cm) erimetro (cm) area cm ,5 16,2 2,5 7,8

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 5 6 Esercizio Svolto I quadrati Calcola il erimetro di un quadrato saendo che l'area eá 784 cm 2. Dato A ABCD ˆ 784 cm 2 2 ABCD Alichiamo la formula inversa: AB ˆ A ˆ 784 ertanto: 2 ABCD ˆ 4 AB ˆ 4 28 cm ˆ 112 cm. cm ˆ 28 cm 7 Comleta la seguente tabella relativa ai quadrati. lato (cm) erimetro (cm) area cm ,25 8 Esercizio Svolto I arallelogrammi Calcola l'area di un arallelogrammo saendo che la base e l'altezza ad essa relativa misurano risettivamente 20 cm e 18 cm. AB ˆ 20 cm DH ˆ 18 cm A ABCD Calcoliamo l'area: A ABCD ˆ AB DH ˆ cm 2 ˆ 360 cm 2. 9 Comleta la seguente tabella relativa ai arallelogrammi. base (cm) altezza (cm) area cm ,6 23,92 1,8 3,96 10 Esercizio Svolto I triangoli Calcola l'area di un triangolo saendo che la misura della base eá 56 cm e l'altezza eá 6 7 della base.

6 6 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS AB ˆ 56 cm CH ˆ 6 7 AB A ABC Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra l'altezza e la base: Calcoliamo la misura del segmento unitario: 56 : 7 cm ˆ 8cm siccome CH ˆ 6 segmenti unitari: CH ˆ 86 cm ˆ 48 cm Determiniamo l'area alicando la formula diretta: A ABC ˆ AB CH : 2 ˆ : 2 cm 2 ˆ 1344 cm Comleta la seguente tabella relativa ai triangoli. base (cm) altezza (cm) area cm ,8 2,5 5,4 18,36 12 Esercizio Svolto di quella mi- I rombi Calcola l'area di un rombo saendo che la diagonale maggiore misura 65 cm ed eá 5 3 nore. AC ˆ 65 cm AC ˆ 5 3 DB A ABCD Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra le due diagonali: Calcoliamo la misura del segmento unitario: 65 : 5 cm ˆ 13 cm siccome DB ˆ 3 segmenti unitari: DB ˆ 13 3 cm ˆ 39 cm Determiniamo l'area del rombo alicando la formula diretta: A ABCD ˆ AC DB : 2 ˆ : 2 cm 2 ˆ 1267,5 cm 2 :

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 7 13 Comleta la seguente tabella relativa ai rombi. diagonale minore (cm) diagonale maggiore (cm) area cm ,2 6,6 14 Esercizio Svolto I deltoidi Calcola la misura della diagonale minore di un deltoide saendo che l'area eá 792 cm 2 e che la diagonale maggiore eá lunga 44 cm. A ABCD ˆ 792 cm 2 AC ˆ 44 cm BD Calcoliamo la misura della diagonale minore mediante la formula inversa: BD ˆ 2 A : AC ˆ 2792 : 44 cm ˆ 36 cm. 15 Comleta la seguente tabella relativa ai deltoidi. diagonale minore (cm) diagonale maggiore (cm) area cm ,4 104,16 6,4 52,48 16 Esercizio Svolto I traezi Le due basi di un traezio sono una 3 dell'altra; calcola la loro misura saendo che l'area eá 360 cm2 5 e l'altezza misura 15 cm. Incognite CD ˆ 3 AB 5 AB A ABCD ˆ 360 cm 2 CD DH ˆ 15 cm Calcoliamo la misura della somma delle due basi alicando la formula inversa: AB CD ˆ 2 A ABCD : DH ˆ 2360 : 15 cm ˆ 48 cm:

8 8 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra le due basi del traezio: ertanto 48 : 8 cm ˆ 6 cm (segmento unitario) AB ˆ 65 cm ˆ 30 cm CD ˆ 63 cm ˆ 18 cm. 17 Comleta la seguente tabella relativa ai traezi. base minore (cm) base maggiore (cm) altezza (cm) area cm ,2 9,4 3,6 18 Esercizio Svolto I oligoni regolari Calcola l'area di un esagono regolare saendo che il erimetro eá 96 cm. Dato 2 ABCDEF ˆ 96 cm A ABCDEF Calcoliamo la misura del lato dell'esagono: AB ˆ 2 ABCDEF : 6 ˆ 96 : 6 cm ˆ 16 cm Determiniamo l'area dell'esagono mediante l'uso dei numeri fissi f ESAGONO ˆ 2,598 : A ABCDEF ˆ AB 2 f ˆ ,598 cm 2 ˆ 665,088 cm 2 : 19 Comleta la seguente tabella relativa ai oligoni regolari. Poligono n f lato (cm) aotema (cm) erimetro (cm) area cm 2 Pentagono 0,688 1, Esagono 0,866 2,598 5,196 Ottagono 1,207 4, Dodecagono 1,866 11, ,604 Risolvi i seguenti roblemi con tutte le figure iane studiate. 20 In un rettangolo avente l'area di 3360 cm 2 la base misura 60 cm. Calcola il erimetro del rettangolo. 21 In un rettangolo la base misura 36 cm ed eá 4 3 dell'altezza. Calcola il erimetro e l'area del rettangolo. 22 Il erimetro di un quadrato eá 60 cm. Calcola l'area. 23 L'area di un quadrato eá 1024 cm 2. Calcola il erimetro.

9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 9 24 In un arallelogrammo la base misura 18 cm ed eá 6 dell'altezza ad essa relativa. Calcola l'area del arallelogrammo In un triangolo l'altezza misura 120 cm ed eá 5 4 della base relativa. Calcola l'area del triangolo. 26 In un rombo la diagonale maggiore misura 28 cm ed eá 7 4 della minore. Calcola l'area del rombo. 27 In un deltoide la diagonale minore eá 3 5 della maggiore che misura 90 cm. Calcola l'area del deltoide. 28 In un traezio la base minore misura 26 cm, la maggiore eá il trilo della minore e l'altezza misura 18 cm. Calcola l'area del traezio. 29 In un traezio la base maggiore misura 56 cm, la minore eá la quarta arte della maggiore e l'altezza misura 28 cm. Calcola l'area del traezio. 30 In un traezio l'area eá 2310 cm 2 e l'altezza misura 42 cm. Calcola la misura delle due basi saendo che la maggiore eá 8 3 della minore. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** 1 Esercizio Guidato I rettangoli Calcola il erimetro di un rettangolo saendo che la base eá 4 3 dell'altezza e l'area eá 588 cm2. AD ˆ 4 3 AB 2 ABCD A ABCD ˆ 588 cm 2 Determiniamo il numero di quadratini che comongono la figura: 4 3 ˆ ::::: Determiniamo l'area di ciascun quadratino: A BEFG ˆ A ABCD : n o quadretti ˆ 588 : ::::: ˆ ::::: cm 2 Determiniamo la misura del lato di ogni quadratino: BE ˆ A BEFG ˆ ::::: cm ˆ 7cm Determiniamo la lunghezza della base del rettangolo: BC ˆ 7 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo la lunghezza dell'altezza del rettangolo: AB ˆ 7 ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo il erimetro del rettangolo: 2 ABCD ˆ 2 ::::: ::::: cm ˆ ::::::: cm. 2 Calcola il erimetro e l'area di un rettangolo saendo che la base misura 46 cm e che l'altezza suera di 5 cm la metaá di questa. 3 Calcola il erimetro di un rettangolo saendo che l'area eá 3402 cm 2 e che la base eá 6 7 dell'altezza. 4 Calcola l'area di un rettangolo saendo che la somma e la differenza della base e dell'altezza misurano risettivamente 158 cm e 14 cm.

10 10 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 Esercizio Guidato L'equivalenza di oligoni Un rettangolo eá equivalente ad un quadrato il cui erimetro eá di 120 cm. Calcola il erimetro del rettangolo saendo che le sue dimensioni sono una 4 9 dell'altra. A ABCD ˆ A EFGH 2 ABCD ˆ 120 cm EF ˆ 4 9 EH 2 EFGH Calcoliamo la misura del lato del quadrato: AB ˆ 2 ABCD : 4 ˆ 120 : ::::: cm ˆ 30 cm e la sua area: A ABCD ˆ AB 2 ˆ ::::: cm 2 ˆ ::::: cm 2 Determiniamo il numero di quadratini che comongono il rettangolo: 4 9 ˆ 36 Determiniamo l'area di ciascun quadratino: A EILM ˆ A EFGH : ::::: ˆ ::::: : ::::: cm 2 ˆ ::::: cm 2 Determiniamo la misura del lato di ogni quadratino: EI ˆ EM ˆ A EILM ˆ ::::: cm ˆ 5cm Determiniamo la lunghezza della base del rettangolo: EF ˆ EI 4 ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo la lunghezza dell'altezza del rettangolo: EH ˆ EM 9 ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm Determiniamo il erimetro del rettangolo: 2 EFGH ˆ 2 ::::: ::::: cm ˆ 130 cm. 6 Un quadrato ed un rettangolo sono isoerimetrici. Calcola l'area del quadrato saendo che l'area del rettangolo eá 448 cm 2 e la cui base misura 28 cm. 7 Il lato di un quadrato eá congruente alla base di un rettangolo il cui erimetro eá 90 cm. Calcola le aree delle due figure saendo che la base del rettangolo eá 3 2 dell'altezza. 8 L'area di un rettangolo eá cm 2 e le dimensioni sono una 3 dell'altra. Calcola l'area di un quadrato 2 9 avente il erimetro uguale ai 2 del erimetro del rettangolo. 5 Esercizio Guidato I arallelogrammi In un arallelogrammo la differenza delle misure della base dell'altezza ad essa relativa eá 13 cm. Calcola l'area del arallelogrammo saendo che la base eá 6 5 dell'altezza. AB DH ˆ 13 cm AB ˆ 6 5 DH A ABCD Raresentiamo con un disegno il dato relativo al raorto fra base e altezza:

11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 11 La differenza eá raresentata da un segmento che come saiamo eá lungo 13 cm. Pertanto: AB ˆ 13 ::::: cm ˆ ::::: cm; DH ˆ 13 ::::: cm ˆ ::::: cm: Calcoliamo l'area del arallelogrammo: A ABCD ˆ AB ::::: ˆ ::::: :::: cm 2 ˆ 5070 cm La somma delle misure della base e dell'altezza ad essa relativa di un arallelogrammo eá 44 cm e la base eá 7 4 dell'altezza. Calcola l'area del arallelogrammo. 11 I due lati consecutivi di un arallelogrammo misurano risettivamente 12 cm e 15 cm. Calcola la misura dell'altezza del secondo lato saendo che quella del rimo eá lunga 14 cm. 12 Calcola la misura della base di un arallelogrammo saendo che l'altezza ad essa relativa misura 36 cm e che il arallelogrammo eá equivalente ad un quadrato avente il erimetro di 192 cm. 13 Il erimetro e l'area di un arallelogrammo sono risettivamente 224 cm e 2304 cm 2. Calcola la misura 14 delle due altezze del arallelogrammo saendo che i due lati consecutivi sono uno 5 9 dell'altro. Esercizio Guidato I triangoli Calcola l'area di un triangolo saendo che i lati misurano risettivamente 108 cm, 144 cm e 180 cm. AB ˆ 108 cm BC ˆ 144 cm CA ˆ 180 cm A ABC Calcoliamo il valore del semierimetro: ˆ AB BC CA : 2 ˆ 108 ::::: ::::: : 2Š cm ˆ ::::::::: cm: Alichiamo la formula di Erone er determinare l'area del triangolo: A ABC ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: 216 ::::: 216 ::::: cm 2 ˆ ˆ ::::: ::::: cm 2 ˆ :::::::::::::::::::: cm 2 ˆ cm Calcola l'area di un triangolo saendo che le misure dei suoi lati sono risettivamente 39 cm, 111 cm e 120 cm. 16 L'area di un triangolo rettangolo eá di 1350 cm 2. Calcola il erimetro saendo che l'iotenusa eá lunga 75 cm e il cateto minore eá 3 di quello maggiore In un triangolo rettangolo un angolo acuto misura 30. Saendo che l'iotenusa eá lunga 10 cm e che il cateto oosto all'angolo di 60 misura 8,66 cm, calcola il erimetro e l'area del triangolo. 18 La somma delle misure dei lati di un triangolo eá 552 cm. Calcola l'area del triangolo e la misura dell'altezza del lato minore saendo che il secondo lato suera il rimo di 46 cm e il terzo lato suera il secondo di 49 cm.

12 12 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 19 Esercizio Guidato I rombi Calcola le misure delle diagonali di un rombo saendo che sono una cm 2. dell'altra e che l'area eá di Incognite DB ˆ 3 AC 4 AC A ABCD ˆ 1944 cm 2 BD Calcoliamo l'area del rettangolo EFGH: A EFGH ˆ A ABCD 2 ˆ cm 2 ˆ 3888 cm 2. Dividiamo l'area del rettangolo er il numero dei quadrati :::::: ::::: ˆ ::::: ottenendo cosõá l'area di un quadrato: A ELIJ ˆ A EFGH : 12 ˆ ::::::: : ::::::: cm 2 ˆ :::::::: cm 2 Calcoliamo la lunghezza del segmento EL: EL ˆ A ELIJ 20 Il erimetro di un rombo eá 520 cm. Calcola la misura dell'altezza del rombo saendo che le due diagonali sono lunghe risettivamente 156 cm e 208 cm. ˆ 324 cm ˆ ::::::: cm Determiniamo le misure dei lati del rettangolo EF e FG che corrisondono alle due diagonali del rombo: EF ˆ AC ˆ EL ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ :::::::::::::; FG ˆ BD ˆ ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::::::::::: 21 In un rombo la diagonale maggiore misura 80 cm ed eá 4 3 del rombo saendo che il erimetro eá 200 cm. della minore. Calcola la misura dell'altezza 22 Un rombo ed un rettangolo sono equivalenti. Calcola la misura della diagonale maggiore del rombo saendo che la minore eá lunga 58 cm mentre il rettangolo ha il erimetro di 244 cm e l'altezza che misura 64 cm. 23 Un deltoide ha l'area di 1800 cm 2. Calcola la misura delle diagonali saendo che sono una 9 16 dell'altra. 24 Esercizio Guidato I traezi L'area di un traezio eá 1056 cm 2 e la misura dell'altezza eá 24 cm. Calcola la lunghezza delle due basi saendo che sono una 7 4 dell'altra. A ABCD ˆ 1056 cm 2 DH ˆ 24 cm AB ˆ 7 4 DC Incognite AB DC Calcoliamo la misura della somma delle due basi mediante la formula inversa: DC AB ˆ 2 ::::: : h ˆ 2 :::::::: : 24 cm ˆ ::::: cm

13 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 13 Saiamo che le due basi sono una 7 4 dell'altra; la loro somma in segmenti unitari coincide con: AB CD ˆ ::::: :::: ˆ::::: arti Pertanto AB ˆ 88 : ::::: 7 cm ˆ 56 cm; CD ˆ 88 : ::::: 4 cm ˆ 32 cm. 25 In un traezio la somma e la differenza delle due basi misurano risettivamente 205 cm e 45 cm. Calcola l'area del traezio saendo che l'altezza eá 11 della base maggiore In un traezio l'altezza suera di 12 cm la base minore e la base maggiore suera l'altezza di 20 cm. Calcola l'area del traezio saendo che la base minore eá lunga 28 cm. 27 Un traezio isoscele eá formato da un quadrato e da due triangoli rettangoli congruenti. Calcola l'area del traezio saendo che il erimetro del quadrato eá 64 cm e che il cateto maggiore di uno dei due 28 triangoli rettangoli eá 3 del minore. 2 Esercizio Guidato I oligoni regolari Il erimetro di un esagono regolare eá 600 cm. Calcola il erimetro di un rettangolo equivalente all'esagono saendo che la sua base misura 150 cm. 2 ABCDEF ˆ 600 cm 2 GHIL A ABCDEF ˆ A GHIL GH ˆ 150 cm Calcoliamo la misura del lato dell'esagono regolare: AB ˆ :::::::::: : 6 ˆ ::::: : 6 cm ˆ 100 cm. Determiniamo l'area dell'esagono: A ABCDEF ˆ AB 2 f ˆ ::::: 2 2,598 cm 2 ˆ cm 2 L'esagono e il rettangolo sono equivalenti ertanto: A ABCDEF ˆ A GHIL Calcoliamo la misura dell'altezza del rettangolo mediante la formula inversa: Determiniamo il erimetro del rettangolo: GL ˆ ::::: : GH ˆ :::::::: : 150 cm ˆ 173,2 cm 2 GHIL ˆ ::::: ::::: 2Š cm ˆ ::::: cm. 29 L'aotema di un esagono regolare misura 4,33 cm. Calcola la misura della base di un triangolo equivalente all'esagono saendo che la sua altezza eá lunga 15 cm. (La tavola con i numeri fissi eá a ag. 128) 30 Il erimetro di un ottagono regolare eá 120 cm. Calcola la misura della diagonale minore di un rombo equivalente all'ottagono saendo che la diagonale maggiore eá lunga 50 cm. 31 Calcola il erimetro di un rombo saendo che ha l'area di 800 cm 2 ed eá circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura 20 cm. 32 Calcola il erimetro e l'area di un traezio rettangolo circoscritto ad una circonferenza saendo che il lato obliquo ed il raggio misurano risettivamente 18 cm e 6 cm.

14 14 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** 1 Un rombo eá equivalente alla metaá di un traezio che ha l'altezza lunga 24 cm e la somma e la differenza delle due basi che misurano risettivamente 120 cm e 20 cm. Calcola la misura di una delle due diagonali del rombo saendo che l'altra eá congruente alla base minore del traezio. 2 Un quadrato eá equivalente ad un traezio rettangolo le cui basi misurano risettivamente 41,4 cm e 32,2 cm e il cui lato obliquo forma un angolo di 45 con la base maggiore. Calcola il erimetro del quadrato. 3 L'area di un rettangolo ABCD eá cm 2 elabaseab misura 66 cm. Doo aver individuato sulla base AB un unto P tale che AP ˆ 1 AB, congiungi P con C. Calcola l'area di ciascuna delle due arti in 3 cui eá stato suddiviso il rettangolo dal segmento PC. 4 In un triangolo ABC il lato AC eá 8 5 di BC e il lato AB eá 1 di AC. Calcola l'area del triangolo saendo che 2 il erimetro eá 51 cm. 5 Un quadrato ha il erimetro di 72 cm ed eá equivalente ad un rettangolo avente la base lunga 36 cm. Calcola l'area di un triangolo isoscele avente la base e l'altezza che misurano risettivamente il doio della dimensione minore e 1 3 della dimensione maggiore del rettangolo. 6 Tracciando da un vertice della base minore di un traezio la arallela al lato obliquo minore, si scomone il traezio in un arallelogrammo e in un triangolo. Saendo che il arallelogrammo eá equivalente a 5 4 del triangolo, che l'area del traezio eá 576 cm2 e che l'altezza misura 16 cm, calcola la misura delle basi del traezio. 7 Il traezio rettangolo ABCD di base maggiore AB eá costituito dal triangolo rettangolo ABD e dal triangolo scaleno BCD. I cateti del triangolo rettangolo sono uno 4 3 dell'altro e la loro somma misura 112 cm. Calcola l'area e il erimetro del traezio saendo che i lati DC e CB misurano risettivamente 28 cm e 60 cm. 8 Le misure dei lati di un triangolo sono risettivamente 13 cm, 20 cm e 21 cm. Calcola il erimetro di un rombo equivalente al triangolo saendo che la sua altezza eá lunga 12 cm. 9 Il quadrilatero ABCD eá formato da un triangolo scaleno ADC e da un triangolo ACB retto in C. Calcola l'area del quadrilatero saendo che AD ˆ 143 cm, DC ˆ 154 cm, AC ˆ 165 cm e CB ˆ 220 cm. 10 Il erimetro di un quadrato eá ari ai 9 7 di quello di un rettangolo avente l'area di 192 cm2 e l'altezza 3 4 della base. Calcola il erimetro di un secondo quadrato equivalente a 3 della differenza del quadrato 11 e del rettangolo dati. 11 Le basi di un traezio sono una doia dell'altra e la misura della loro somma eá 54 cm; la base maggiore eá 9 5 dell'altezza. Calcola il erimetro di un quadrato equivalente ai 5 3 del traezio. 12 Calcola la misura del raggio di una circonferenza inscritta in un rombo saendo che quest'ultimo eá equivalente ad un triangolo avente due lati lunghi risettivamente 14,3 cm e 16,5 cm ed il erimetro di 46,2 cm; si sa inoltre che il rombo eá isoerimetrico ad un quadrato avente il lato lungo 7 cm.

15 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE 15 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 a. iano; una unitaá di misura; b. iano; equivalenti; ˆ: ; c. equivalenti; d. equivalenti; e. revalente. 2 a. A suvvalente B; b. A revalente B; c. A equivalente B. 3 A ˆ: E; B ˆ: F; C ˆ: D. 4 a. riflessiva, simmetrica, transitiva; b. misura; suerficie. 5 b. 6 a. 7 a. 8 c. 9 nei triangoli, quando si conoscono le misure dei lati. 10 b. 11 c. 12 b. 13 c. 14 c. 15 Il loro raorto eá costante e varia col variare del numero dei lati. 16 b. 17 a. scomorre il oligono dato in figure note, ovvero oligoni di cui conosciamo le formule er il calcolo dell'area; b. mediante l'uso della carta millimetrata oure mediante l'uso della bilancia di recisione. 18 a. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE 5 base (cm) altezza (cm) erimetro (cm) area cm ,5 3,6 16,2 16,2 1,4 2,5 7,8 3,5 7 lato (cm) erimetro (cm) area cm ,5 10 6,25 1,5 6 2,25 9 base (cm) altezza (cm) area cm ,6 5,2 23,92 2,2 1,8 3,96 11 base (cm) altezza (cm) area cm ,8 2,5 2,25 6,8 5,4 18,36

16 16 L'AREA DELLE FIGURE PIANE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13 diagonale minore (cm) diagonale maggiore (cm) area cm ,2 6 6,6 15 diagonale minore (cm) diagonale maggiore (cm) area cm ,8 12,4 104,16 6,4 16,4 52,48 17 base minore (cm) base maggiore (cm) altezza (cm) area cm ,2 9,4 3,6 26,28 19 Poligono n f lato (cm) aotema (cm) erimetro (cm) area cm 2 Pentagono 0,688 1, , Esagono 0,866 2, , ,528 Ottagono 1,207 4, , ,992 Dodecagono 1,866 11, , , cm cm; 972 cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm; 80 cm. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO ˆ 12 quadratini; A BEFG ˆ 588 : 12 cm 2 ˆ 49 cm 2 ; BE ˆ 49 cm ˆ 7 cm; BC ˆ 74 cm ˆ 28 cm; AB ˆ 73 cm ˆ 21 cm; 2 ABCD ˆ cm ˆ 98 cm cm; 1288 cm cm cm; 6192 cm 2. 5 AB ˆ 2 ABCD : 4 ˆ 120 : 4 cm ˆ 30 cm; A ABCD ˆ AB 2 ˆ 30 2 cm 2 ˆ 900 cm 2 ; A EILM ˆ A EFGH : 36 ˆ 900 : 36 cm 2 ˆ 25 cm 2 ; EI ˆ EM ˆ A EILM ˆ 25 cm ˆ 5 cm; EF ˆ EI 4 ˆ 54 cm ˆ 20 cm; EH ˆ EM 9 ˆ 59 cm ˆ 45 cm; 2 EFGH ˆ cm ˆ 130 cm.

17 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'AREADELLEFIGUREPIANE cm cm 2 ; 729 cm cm 2. 9 AB ˆ 13 6 cm ˆ 78 cm; DH ˆ 13 5 cm ˆ 65 cm; A ABCD ˆ AB DH ˆ cm 2 ˆ cm cm ,2 cm cm cm; 57,6 cm. 14 ˆ : 2Š cm ˆ 216 cm; q A ABC ˆ AB BC CA ˆ cm 2 ˆ cm 2 ˆ cm cm cm ,66 cm; 21,65 cm ,38 cm 2 ; 182,91 cm ˆ 12; A ELIJ ˆ A EFGH : 12 ˆ 3888 : 12 cm 2 ˆ 324 cm 2 ; EL ˆ A ELIJ ˆ 324 cm ˆ 18 cm; EF ˆ AC ˆ EL 4 ˆ 18 4 cm ˆ 72 cm; FG ˆ BD ˆ EL 3 ˆ 18 3 cm ˆ 54 cm ,8 cm cm cm cm; 80 cm. 24 DC AB ˆ : 24 cm ˆ 88 cm; AB CD ˆ 7 4 ˆ11 arti; AB ˆ 88 : 11 7 cm ˆ 56 cm; CD ˆ 88 : 11 4 cm ˆ 32 cm ,5 cm cm cm AB ˆ 2 ABCDEF : 6 ˆ 600 : 6 cm ˆ 100 cm; A ABCDEF ˆ AB 2 f ˆ ,598 cm 2 ˆ cm 2 ; GL ˆ A GHIL : GH ˆ : 150 cm ˆ 173,2 cm; 2 GHIL ˆ ,2 2Š cm ˆ 646,4 cm. 29 8,66 cm ,452 cm cm cm; 180 cm 2. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO 1 28,8 cm. 2 73,6 cm. 3 A PBC ˆ 726 cm 2 ; A PCDA ˆ 1452 cm ,63 cm cm cm; 52 cm cm 2 ; 200 cm cm cm cm cm. 12 7,26 cm.