BOZZA. Caratteristiche di Sollecitazione T(z) taglio in direzione Y

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1 ezione n. 4 Richiami sulla linea elastica di una struttura a deormata di una struttura Per deormata della struttura si intende la conigurazione che la struttura stessa assume a seguito dell applicazione dei carichi. Nel caso di strutture snelle, la conigurazione deormata è usualmente rappresentata dalla posizione che la linea d asse (o la curva d asse nel caso di strutture non rettilinee) assume a causa dei carichi (e delle eventuali coazioni) che su essa insistono. Il caso più semplice nel quale si riesce a determinare completamente la conigurazione deormata è dato dalle travi ad asse rettilineo, piane, soggette soltanto a carichi ortogonali al proprio asse e giacenti nel piano della struttura ed, eventualmente, a coppie aventi l asse momento perpendicolare al piano della struttura. a trave risulta quindi soggetta soltanto a taglio (T) e a momento lettente (M). Individuando un sistema di rierimento (Y,Z) nel piano della trave, rappresentato dal oglio nel quale la rappresentiamo (e quindi X ortogonale al oglio), si potrà quindi considerare il caso di una trave soggetta a solo taglio in direzione Y (T Y, per brevità indicato con T) e momento lettente lungo l asse X (M X, per brevità M). a trave quindi, in assenza di sorzo normale, presenterà le Caratteristiche di Sollecitazione (CdS) riportate nella seguente tabella, unitamente alle correlative Caratteristiche di Deormazione (CdD). Sempre in tabella sono anche indicate le componenti di carico e di spostamento che risulteranno di interesse. Carichi q(z) orza per unità di lunghezza, in direzione Y m(z) momento per unità di lunghezza, con asse in direzione X Caratteristiche di Sollecitazione T(z) taglio in direzione Y momento lettente, con asse in direzione X Caratteristiche di Deormazione γ(z) scorrimento in direzione Y k(z) curvatura in direzione X Spostamenti v(z) spostamento in direzione Y ϕ(z) rotazione intorno all asse X OZZ Come ben noto dalla meccanica dei solidi, carichi e CdS sono tra loro collegate dalle seguenti equazioni dierenziali, denominate Equazioni Indeinite di Equilibrio dt(z) d + q(z) + m(z) = T(z) Una volta speciicate le condizioni al contorno della trave (oerte dalle condizioni statiche dettate dall eventuale presenza dei vincoli), sarà possibile esplicitare la soluzione del problema e quindi ricavare, in orma deinita e non più indeinita, le espressioni per il taglio ed il momento lettente lungo l asse della trave. Nel caso in cui non compaiano momenti distribuiti lungo l asse della trave (e quindi sia nullo il termine m(z), le equazioni si sempliicano e possono essere contemplate in un unica equazione dierenziale (del ordine) di equilibrio dt(z) + q(z) dm (z) = T(z) d = q(z ) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni Revisione 1/10/01

2 ezione n. 4 pag. IV. ncora dalla meccanica dei solidi, il legame tra spostamenti e CdD è oerto dalle seguenti equazioni dierenziali, denominate Equazioni Indeinite di Congruenza dφ(z) dv(z) = k(z) + φ(z) = γ(z) nche in questo caso le condizioni cinematiche oerte dai vincoli permetteranno di rendere deinite tali equazioni. Nel caso in cui si possa trascurare il termine di scorrimento γ(z) (che abbiamo già veriicato essere collegato alla deormabilità per taglio, e quindi, spesso, trascurabile), le due equazioni si sempliicano e possono essere contemplate in un unica equazione dierenziale (del ordine) di congruenza dφ(z) dv(z) = k(z) + φ(z) d v(z) = k(z) Inine, le equazioni di congruenza e di equilibrio sono tra loro collegate dalle Equazioni costitutive (o di legame). Nel caso elastico lineare, le equazioni nel caso piano che stiamo studiando sono, come noto, le seguenti χt(z) γ (z) = k (z) = G che, nel caso in cui si trascuri la deormabilità per taglio, si riducono soltanto alla seconda. Quindi, nel caso piano in cui non ci siano momenti applicati lungo l asse della trave ed in cui si trascuri la deormabilità per taglio, i tre gruppi di equazioni possono essere raccolti in un unica equazione dierenziale, ottenuta per derivazioni successive. Equazioni indeinite di equilibrio Equazioni costitutive dt(z) + q(z) k (z) = dm (z) = T(z) d = q(z) Equazioni indeinite di congruenza dφ(z) = k(z) dv(z) + φ(z) OZZ dv(z) + φ(z) v (z) = φ(z) dφ(z) = k(z) v (z) = k(z) (z) k (z) = = k(z) v (z) = dm = [ v (z) ] T(z ) T(z) = dt(z) + q(z) [ v (z)] = q(z) d v(z) = k(z) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

3 ezione n. 4 pag. IV.3 vendo indicato con il segno di apice la derivazione rispetto a z. equazione ottenuta (dierenziale, del IV ordine) prende il nome di Equazione della inea Elastica. Nel caso in cui la trave sia caratterizzata da valori costanti di E e J, l ultima equazione può essere riscritta come segue (IV) v (z) = q(z) equazione dierenziale può essere risolta, in termini di v(z), una volta speciicate 4 condizioni al contorno (c.c.), che sono ancora dettate dalle condizioni statiche e cinematiche oerte dagli eventuali vincoli. Una volta nota la soluzione v(z), per derivazioni successive si ricaveranno, utilizzando le seguenti relazioni (riscritte nel caso =cost.), tutte le grandezze deormative e di sollecitazione di interesse v(z) φ (z) = v (z) k (z) = v (z) M (z) = v (z) T (z) = v (z) Quindi la conoscenza della unzione v(z), denominata come inea Elastica, permette, almeno nel caso di trave piana rettilinea, di determinare completamente lo stato di sollecitazione/deormazione in tutti i punti della trave stessa. E importante notare quindi che lo stato di sollecitazione e deormazione della struttura è univocamente determinato se, oltre ai carichi, si conoscano 4 c.c. indipendenti che permettano di integrare l equazione dierenziale del IV ordine. Questa aermazione tornerà di particolare utilità quando ci addentreremo nella soluzione di una trave iperstatica utilizzando il metodo dell equilibrio, al ine di identiicare quelli che saranno deiniti come movimenti indipendenti di una struttura. Un ultima osservazione: non si è mai parlato dell eventuale grado di iperstaticità della trave. integrazione dell Equazione della inea Elastica è inatti sempre possibile, sia nel caso di una trave isostatica che iperstatica. titolo di esempio, proviamo a risolvere la stessa trave che abbiamo incontrato nella lezione n. 1, cercando di determinare l andamento della deormata, ossia disegnando la unzione v(z) che rappresenta lo spostamento verticale della linea d asse della trave. OZZ y z q Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

4 ezione n. 4 pag. IV.4 Nell ipotesi di indeormabilità per taglio e valore costante del prodotto lungo l asse della trave, l equazione dierenziale acquista la orma (IV) v (z) = q o anche (IV) q v (z) = Da cui, per successive integrazioni, si ottiene q v (z) = z + q z v (z) = + z + 3 q z z v (z) = + + z + C q z z z v(z) = C z + D 4 6 in cui le 4 costanti,, C e D sono da determinare in modo da rispettare le c.c. oerte dai vincoli. Nel caso in esame, occorre quindi esplicitare le condizioni (statiche o cinematiche) oerte dai vincoli presenti sulla trave. In particolare, sono statiche le condizioni che riguardano valori (noti) del Taglio o del Momento, mentre sono cinematiche le condizioni che riguardano valori (noti) di spostamenti o rotazioni. Il vincolo (di incastro) in, ornisce le seguenti indicazioni Condizioni cinematiche v()=0 ϕ()=0 Condizioni statiche T() 0 M() 0 in cui soltanto quelle riportate nella colonna di sinistra sono eettivamente utilizzabili, in quando orniscono indicazioni circa valori noti delle caratteristiche alle quali si rieriscono. E ancora possibile notare che condizioni statiche e cinematiche sono tra loro duali per quanto riguarda grandezze correlative (ossia per cui il prodotto abbia la grandezza di un lavoro): se si impone la condizione v()=0, ad esempio, questa è corrispondente, per il postulato ondamentale della meccanica, ad assumere che T() 0, in quanto l azione del vincolo (cinematicamente deinito dall equazione v()=0) può aver luogo soltanto grazie all azione di una orza applicata, nella direzione del taglio, appunto. OZZ Il vincolo (appoggio semplice) in ornisce invece le seguenti indicazioni Condizioni cinematiche v()=0 ϕ() 0 Condizioni statiche T() 0 M()=0 delle quali soltanto due [v()=0 e M()=0] sono utilizzabili ai nostri ini. e quattro c.c. eettivamente individuate possono essere quindi utilizzate per ricavare i valori delle costanti che compaiono nell espressione di v(z) Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

5 ezione n. 4 pag. IV.5 v()=0 v (0) ϕ()=0 v (0) v()=0 v () M()=0 v () in cui si è identiicata la sezione con l ascissa z=0 e la sezione con z=. Riscrivendo tali condizioni in termini di soluzione generale, si perviene ad un sistema di 4 equazioni in 4 incognite D v(0) C 4 3 v (0) q C + D v() 4 6 v () q + + Da cui la soluzione 5 q = 8 1 q = 8 C D E quindi q z 5 qz 1 q z 1 q z v (z) = + = z + z Per derivazione, a questo punto, si possono ricavare le equazioni per le altre grandezze 1 q φ(z) = v (z) = z z + z 8 3 q = v (z) = 8 OZZ [ ] q 5 qz 4z 5z + = + qz 8 8 q 5 T(z) = v (z) = [ 8z 5] = q qz 8 8 e unzioni ottenute mostrano gli andamenti riportati in igura Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

6 ezione n. 4 pag. IV.6 v(z) ϕ(z) - + z 1 z 0 z 0 Prendendo spunto dall esempio studiato, si possono ricordare alcune proprietà, evidenziate nei graici: - l ascissa di spostamento verticale massimo è ad una distanza da pari a z 1, coincidente con il punto di rotazione nulla (essendo la rotazione la unzione che, a meno di un segno, descrive la derivata dello spostamento) - analogamente, l ascissa di momento lettente massimo è ad una distanza da pari a z 0, coincidente con il punto di taglio nullo (essendo il taglio la unzione che descrive la derivata del momento lettente) - i valori delle reazioni vincolari (che non sono stati calcolati direttamente), possono essere ricavati attraverso le espressioni del momento lettente e del taglio. Inatti si ottiene q M(0) = T (0) = q T() = q q = q quindi la reazione vincolare in è rappresentata da una coppia antioraria (in modo da provocare un momento negativo) pari a q /8, la reazione verticale è costituita da una orza verso l alto pari a 5/8 q, mentre la reazione in è rappresentata da una orza verticale verso l alto (in modo da provocare un taglio negativo rispetto al verso di percorrenza della trave) pari a 3/8 q - il diagramma degli spostamenti è descritto da una curva che presenta punti di lesso () in corrispondenza dei punti di nullo del diagramma del momento lettente (visto che il diagramma del momento, proporzionale a quello delle curvature, descrive la unzione derivata seconda dello spostamento In termini qualitativi (e non quantitativi) la semplice conoscenza delle c.c. di tipo cinematico e l andamento (anche in orma qualitativa) del diagramma del momento, permette di individuare la deormata della struttura. Prendendo sempre spunto dall esempio appena disegnato, le condizioni cinematiche (anche quelle non utilizzate come c.c. dell equazione dierenziale) ci orniscono le seguenti indicazioni: + OZZ z 1 T(z) - Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

7 ezione n. 4 pag. IV.7 in v()=0 ϕ()=0 Condizioni cinematiche in v()=0 ϕ() 0 cioè la inea Elastica della trave è rappresentata da una unzione che parte da un valore nullo in (ed in ha tangente orizzontale) per terminare in ancora con un valore nullo (ma tangente diversa da zero). Il diagramma dei momenti ci dice inoltre quale deve essere la concavità della unzione nei vari tratti (permettendoci, ad esempio, di stabilire che, per rispettare la concavità, in la rotazione deve essere antioraria). questo punto è possibile disegnare, in termini qualitativi, la deormata della struttura anche senza valutare l esatta espressione della inea Elastica. - zona a concavità negativa (M<0) punto di lesso (M=0) v=0 ϕ=0 zona a concavità positiva (M>0) + OZZ In termini qualitativi, è quindi possibile tracciare la deormata di una qualsiasi struttura, in cui gli eetti deormativi preponderanti siano quelli dovuti al momento lettente. Tornando all esempio studiato nella lezione n. 3, la conoscenza delle condizioni oerte dai vincoli, delle (eventuali) simmetrie strutturali e del diagramma dei momenti (anche soltanto qualitativa), consentono di tracciare la deormata della struttura. a deormata di ogni singolo tratto, inatti, può essere pensata come se derivasse dall applicazione della inea Elastica per quello speciico tratto. ipotesi di indeormabilità assiale (ossia di trascurabilità delle deormazioni causate dallo sorzo normale) consente, oltre alla considerazione precedente, di valutare gli spostamenti di alcuni punti. a simmetria della struttura ci ricorda inoltre che la sezione contraddistinta dal punto C non può traslare in orizzontale nè ruotare, ma può soltanto traslare in verticale. v=0 ϕ 0 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

8 ezione n. 4 pag. IV.8 D C - D + + E C E In termini qualitativi, possiamo quindi permetterci le seguenti osservazioni: - il punto D (e per simmetria, il punto E) non si sposta verticalmente, in quanto l asta D, non deormandosi assialmente, mantiene inalterata la distanza tra e D. - i punti D, C ed E sono costretti ad avere lo stesso spostamento orizzontale, data l indeormabilità assiale dell asta DE. Inoltre, dato che, per simmetria, il punto C non si può spostare in orizzontale, ne consegue che nè D, nè C, nè E traslano orizzontalmente. - il segno del momento lettente ci ornisce indicazioni circa le concavità dei vari tratti della deormata (riportate in igura). I punti di nullo nel diagramma del momento lettente posizionano inoltre gli eventuali lessi nella deormata stessa. - per inciso, il tratto DE è sottoposto all azione di un momento lettente costante. Di conseguenza, la deormata presenterà, in quel tratto, una curvatura costante e sarà quindi rappresentata da un arco di cerchio. - la conoscenza della concavità ci permette di aermare che la sezione in, che può ruotare ma non spostarsi (data la presenza della cerniera), ruoterà in senso orario (per rispettare la concavità della deormata). nalogamente il punto, per simmetria, ruoterà della stessa quantità ma in verso antiorario. - il punto C, che può traslare verticalmente, dovrà spostarsi verso l alto. Inatti i due punti D ed E sono ermi, la concavità deve essere quella riportata in igura, e, di conseguenza, non può che veriicarsi uno spostamento con tale segno. conclusione del ragionamento appena atto, si riporta la deormata qualitativa della struttura in esame. OZZ D C E D C E Gianni artoli ppunti di Tecnica delle Costruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE