Figura 2.5. Arco a tre cerniere allineate sotto carico.

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1 10 Effetti geometrici in strutture elastiche 37 quelle di compatibilità cinematica ammettono sempre soluzione unica, per cui si possono sempre determinare gli sforzi normali dovuti ad un carico esterno e si può sempre risalire allo spostamento in base alla deformazione degli elementi. Nelle altre due configurazioni invece, essendo gli elementi allineati, sia il problema statico che quello cinematico sono contemporaneamente sotto- e sovradeterminati, la matrice A non ha rango massimo. 10 Effetti geometrici in strutture elastiche Costruiamo ora un modello elastico esatto per l arco a tre cerniere allineate, rappresentato in Fig. 2.5, caricato da una forza ortogonale all asse comune dei due elementi. Come nel sistema di Fig. 2.3, le due aste sono deformabili Figura 2.5. Arco a tre cerniere allineate sotto carico. elasticamente con costante di rigidezza k, lunghezza a riposo l e lunghezza iniziale l 0 > l. Quindi, lo sforzo normale di presolecitazione vale N 0 = k(l 0 l). (10.2) Vogliamo studiare la risposta statica di questo sistema sotto l azione di un carico verticale f = fe y agente sul nodo centrale. Il sistema è simmetrico per geometria e proprietà materiali rispetto all asse verticale passante per O. Il carico rispetta la stessa simmetria e, di conseguenza, lo spostamento del nodo centrale sarà diretto solo lungo l asse di simmetria; possiamo considerare la sola coordinata y per individuare tutte le configurazioni del sistema. Risolviamo questo problema utilizzando il principio di minimo dell energia totale 2. La lunghezza l che i due elementi hanno in una configurazione generica vale: l(y) = l y2. (10.3) Di questa quantità calcoliamo preliminarmente le derivate prima e seconda: l (y) = y l(y) ; (10.4) 2 Vedere gli Appunti di MS1.

2 38 2 I sistemi tensintegri l (y) = 1 l(y) + y2 l 3 (y). (10.5) L energia totale è data dalla somma dell energia elastica e dal potenziale dei carichi: E(y) = W + P. (10.6) I due contributi energetici valgono rispettivamente e W (y) = k( l(y)) 2 = k(l(y) l) 2 (10.7) P (y) = fy. (10.8) Passiamo ad imporre che l energia sia minima nella configurazione di equilibrio: 0 = E = W f = 2k(l l)l f = 2k l(y) l(y) y f, (10.9) ( 0 < E = W = 2k(l 2 + (l l)l ) = 2k 1 l l(y) (1 y2 l 2 (y) )). (10.10) Si può vedere facilmente come la diseguaglianza (10.10) sia sempre verificata se l < l 0. Quindi, la posizione di equilibrio y è sempre stabile in questo caso e si può ricavare invertendo la funzione f(y) = 2k l(y) l(y) y. (10.11) La derivata prima della relazione forza-spostamento (10.11) calcolata nell origine rappresenta la rigidezza iniziale di questo sistema: f (0) = W (0) = 2k l 0 l 0 = 2 N 0 l 0 ; (10.12) come si vede la rigidezza iniziale dipende linearmente dalla presollecitazione N 0 del sistema. Notiamo che poichè la funzione l(y) è pari 3 in y, l energia elastica (10.7) sarà anch essa una funzione pari. La funzione f(y), derivata di una funzione pari, è dispari, e quindi il suo sviluppo in serie di Taylor contiene solo i termini di ordine dispari; possiamo scrivere f(y) = 2 N 0 l 0 y + O(y 3 ). (10.13) La relazione forza-spostamento è bene approssimata da una cubica con il flesso nell origine (Fig. 2.6). La pendenza nel punto di flesso, cioè la rigidezza iniziale, è direttamente proporzionale alla presollecitazione ed è nulla se la presollecitazione è nulla. 3 Una funzione, φ(t), è pari se φ(t) = φ( t), dispari se φ(t) = φ( t).

3 10 Effetti geometrici in strutture elastiche 39 Figura 2.6. Relazione forza-spostamento. La pendenza nell origine dipende linearmente dalla presollecitazione ed è nulla se la presollecitazione è nulla (curva tratteggiata). Quando il carico è sufficientemente piccolo da ritenere valida l approssimazione lineare (10.13), l equilibrio si realizza geometricamente attraverso il cambiamento di direzione degli sforzi interni. Poiché l(y) è una funzione pari, lo è anche N(y) e si ha l(y) = l 0 + O(y 2 ), (10.14) N(y) = N 0 + O(y 2 ). (10.15) Quindi, se lo spostamento y è piccolo, la variazione di lunghezza degli elementi e la variazione di sforzo normale sono entrambi trascurabili rispetto a y. Quando il sistema è presollecitato, una piccola forza esterna viene equilibrata Figura 2.7. Equilibrio del nodo per piccoli valori dello spostamento. solo perché vi è una rotazione relativa tra i due gli elementi pari a 2ϕ 2y/l 0, come viene illustrato in Fig Se la presollecitazione è nulla, allora anche per un carico molto piccolo si ha uno spostamento notevole, allontanandosi dall origine. Questo per dare modo agli elementi di deformarsi così da esplicare uno sforzo normale non trascurabile che realizzi l equilibro. NOTA: La parte che segue, non essendo stata svolta in classe, è facoltativa. Prendiamo in esame una variazione del problema precedente e facciamo una ipotesi diversa sulle proprietà degli elementi (Fig. 2.8). Ora, uno dei due elementi sarà considerato indeformabile con lunghezza costante l 1 mentre il secondo, come in precedenza, sarà elasticamente deformabile con lunghezza

4 40 2 I sistemi tensintegri di fabbricazione l, lunghezza iniziale l 0 = γl 1 e costante elastica k. La presollecitazione iniziale vale ancora N 0 = k(l 0 l). Come prima vogliamo trovare le configurazioni che assume il sistema sotto l azione del carico verticale. Questa volta però seguiremo una strada diversa nella risoluzione del problema. Faremo uso delle equazioni del problema elastico scritte in maniera esatta e risolte secondo il cosiddetto metodo degli spostamenti. Figura 2.8. Arco a tre cerniere allineate con un elemento indeformabile sotto carico. Per individuare tutte le configurazioni del sistema è sufficiente l angolo di rotazione ϕ dell elemento indeformabile ma ci serviremo anche dell angolo di rotazione ψ del secondo elemento. Per questo sistema, le condizioni di compatibilità cinematica esatte impongono che i tre vettori BA, AC e CB sommati insieme diano il vettore nullo. Questa condizione vettoriale, scritta in componenti, fornisce le due condizioni scalari, l 1 cos ϕ + l 2 cos ψ (1 + γ)l 1 = 0, (10.16) l 2 sin ψ l 1 sin ϕ = 0, (10.17) che legano sia la lunghezza della seconda asta l 2 che l angolo ψ all angolo ϕ. Infatti, si ricava facilmente (esercizio): tan ψ = sin ϕ 1 + γ cos ϕ, (10.18) l 2 (ϕ) = l 1 γ2 + 2(1 + γ)(1 cos ϕ). (10.19) La funzione l 2 (ϕ) è una funzione pari e possiamo scrivere l 2 (ϕ) = γl 1 + O(ϕ 2 ). (10.20) Conoscendo la funzione l 2 (ϕ) possiamo fare uso del legame costitutivo per conoscere lo sforzo della molla: N 2 (ϕ) = k(l 2 (ϕ) l). (10.21)

5 10 Effetti geometrici in strutture elastiche 41 Le equazioni di equilibrio si scrivono nel modo seguente (Fig. 2.8): Dalla prima di queste e dalla (10.16) si ottiene che sostituita nella (10.23) fornisce: N 2 cos ψ N 1 cos ϕ = 0, (10.22) f N 2 sin ψ N 1 sin ϕ = 0. (10.23) N 1 = cos ψ cos ϕ N 2 = l γ cos ϕ N 2, (10.24) l 2 cos ϕ l 1 f(ϕ) = (1 + γ) l 2 (ϕ) N 2(ϕ) tan ϕ. (10.25) La derivata prima calcolata nell origine fornisce la rigidezza iniziale del sistema, ( f (0) = ) N 0, (10.26) γ che risulta lineare nella presollecitazione N 0. Questo risultato è concorde con quello ottenuto in precedenza; inoltre, le stesse considerazioni si possono fare anche in questo caso. La relazione forza-spostamento è ancora approssimata da una cubica, ( f(ϕ) = ) N 0 ϕ + O(ϕ 3 ). (10.27) γ Sostituendo γ = 1, e considerando che per una piccola rotazione y l 0 ϕ, ritroviamo l espressione (10.13) ottenuta considerando i due elementi uguali ed entrambi deformabili elasticamente. Dall analisi svolta su entrambi gli esempi, possiamo concludere che il comportamento iniziale di questa struttura sotto il carico f non dipende dalle proprietà degli elementi ma solamente dalla geometria del sistema e dall entità della presollecitazione. (Fine della parte facoltativa) Osservazione. L aggettivo geometrico si riferisce al cambiamento di configurazione causato da una piccola perturbazione dell equilibrio iniziale. L asta rigida in Fig. 2.9 è sottoposta inizialmente ad un carico f 0 = f 0 e y. Vogliamo calcolare la posizione di equilibrio che il sistema assume in seguito all applicazione del carico addizionale p = p e x. Dall equilibrio a rotazione intorno alla cerniera è facile ottenere che p(ϕ) = f 0 tan ϕ. Poichè p (0) = f 0, pari alla rigidezza iniziale del sistema, un piccolo carico p produrrà un a rotazione di ϕ = p/f 0. Lo sforzo nell asta, almeno in prossimità della configurazione iniziale, può essere valutato come

6 42 2 I sistemi tensintegri N quindi possiamo ancora scrivere Figura 2.9. f f 2 0 ϕ2 = f ϕ2, N = f 0 + O(ϕ 2 ). Come prima, inizialmente, l equilibrio si realizza in modo geometrico per il cambiamento di direzione degli sforzi interni. Figura Riprendiamo il sistema in Fig. 2.5 facendo ora l ipotesi che le due aste abbiano lunghezza a riposo l > l 0, come in Fig Le due aste possono essere connesse tra loro in una delle due configurazioni P, P. Se vogliamo porre il sistema nella configurazione allineata le aste dovranno subire un accorciamento l 0 l = l 0 < 0, e quindi risulteranno compresse da uno sforzo N = k l 0. Il calcolo della risposta del sistema ad un carico verticale f(y) è lo stesso svolto in precedenza, con la sola differenza di avere l 0 < 0. Il grafico f - y è quello riportato in Fig Il comportamento è quello dell instabilità per snap visto in precedenza. Possiamo individuare le tre posizioni di equilibrio, due in corrispondenza di l(y) = l, più la configurazione allineata, in cui l(y) = l 0 ; in questi punti si annulla la derivata dell energia elastica (10.9). Dalla condizione di positività della derivata seconda (10.10) si vede che la configurazione allineata è instabile mentre le altre due sono stabili. Dallo studio di questo caso abbiamo visto come la stabilità della configurazione allineata dipenda dalla presollecitazione, infatti il sistema il sistema è stabile solo se i due elementi non sono in compressione.