Prova scritta di Geometria differenziale - 27/2/2012

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1 Prova scritta di Geometria differenziale - 27/2/2012 Tempo disponibile: 3 ore Non sono ammesse calcolatrici, appunti o libri di testo. Una copia degli appunti è disponibile per libera consultazione alla cattedra. Consegnare solo la bella copia: sarà tenuto conto della presentazione. Giustificare le risposte, in particolar modo alle domande contrassegnate con. Esercizio I [ 5.2] Sia α :]a, b[ R 2 una curva piana regolare di classe C 2. Mostrare che se essa è contenuta nel cerchio di centro l origine e raggio r > 0, ed in s 0 si ha α(s 0 ) = r, allora: 1) α è biregolare in s 0 ; 2) k(s 0 ) 1/r. Esercizio II [tipo 5.6, 1.14, 3.11, 7.6, 11.12, 14.15] Sia α : R R 2 la curva α(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin 3 t), e sia A = Im(α). 1) Studiare la periodicità e le simmetrie evidenti di α; ridurre quindi lo studio di α al più piccolo intervallo possibile necessario alla comprensione dell andamento globale della curva; 2) calcolare curvatura algebrica e flessi. In genere, un punto di una curva in cui la curvatura si annulla è sempre un punto di flesso? 3) Scrivere la tabella delle variazioni di x(t) e y(t), e disegnare la curva. Sia ora S la superficie di rivoluzione ottenuta ruotando A intorno all asse x: 4) determinare una parametrizzazione φ e un equazione g(x, y, z) = 0 per S; 5) determinare l insieme Sing dei punti singolari di S e lo spazio tangente ad S nei punti singolari (cioè i punti nell intorno dei quali l insieme S non è una 2-sottovarietà); 6) scrivere un campo vettoriale V tangente ad S 0 = S \ Sing che formi angolo costante π 3 con ogni meridiano (passante per il suo punto di applicazione); 7) trovare i punti di S 0 con curvatura di Gauss positiva, negativa e nulla; 8) esiste un intorno del punto N = (0, 1, 0) in S isometrico ad un aperto (piccolo quanto si voglia) di una sfera? Suggerimento: potete usare liberamente, senza dimostrazione, che paralleli e meridiani sono linee di curvatura per una superficie di rotazione.

2 Soluzione dell esercizio I. La curvatura non dipende dalla particolare parametrizzazione di α, quindi possiamo supporre α parametrizzata da lunghezza d arco. Consideriamo la funzione f(s) = d(α(s), O) 2 = α(s) 2 : tale funzione ha un massimo in s 0, dunque f (s 0 ) = 0 e f (s 0 ) 0. Esplicitiamo le due condizioni: la prima dà 0 = f (s 0 ) = 2α (s 0 ) α(s 0 ) = 0 e significa che T (s 0 ) = α (s 0 ) α(s 0 )R = T α(s0)c(o, r), cioè T (s 0 ) è tangente alla circonferenza C(O, r) nel punto α(s 0 ). La seconda dà invece 0 f (s 0 ) = (2α (s) α(s)) s0 = 2α (s 0 ) α(s 0 ) + 2 α (s 0 ) 2 e poiché α (s 0 ) = T (s 0 ) è unitario, segue che α (s 0 ) α(s 0 ) 1. disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha allora 1 α (s 0 ) α(s 0 ) α (s 0 ) α(s 0 ) = k(s 0 ) α(s 0 ) Per la dal momento che α (s 0 ) = T (s 0 ) = k(s 0 )N(s 0 ). Segue che k(s 0 ) 1 α(s 0) = 1 r e in particolare α è biregolare in s 0. Soluzione dell esercizio II. 1. Il periodo è il minimo comune multiplo del periodo delle funzioni componenti x(t), y(t), dunque uguale a 2π. È dunque possibile ridurre lo studio della curva all intervallo [0, 2π]. La curva è simmetrica rispetto all asse x: difatti, se P = (x, y) = α(t) A, allora S x (P ) = (x, y) = α( t) A; analogamente, scambiando t con π t si verifica che la curva è simmetrica rispetto all asse y. Ne segue che la curva è simmetrica anche rispetto all origine O. Conoscendo tali simmetrie, è possibile ridurre lo studio ai punti di A che giacciono nel primo quadrante, cioè x 0 e y 0, dunque a t I = [0, π/2]. 2. Si ha α (t) = ( sin t, 3 sin 2 t cos t), α (t) = ( cos t, 3[2 3 sin 2 t] sin t) e α (t)=(sin t, 6 cos t 18 sin t cos t), pertanto la curva è regolare per t kπ e k alg (t) = x y y x α 3 = 3[cos2 t + 3 sin 2 t 2] sin 2 t [sin 2 t + 9 sin 4 t cos 2 t] 3/2 = 3[2 sin 2 t 1] sin(t) [1 + 9 sin 2 t cos 2 t] 3/2 Se P = α(t) è un punto di flesso, allora t è un punto regolare in cui la curvatura si annulla, dunque gli unici possibili punti di flesso sono F 1 = α( π 4 ), e i suoi simmetrici F 2, F 3, F 4 rispetto agli assi y, x e rispetto ad O, corrispondenti a t i = 3 4 π, 5 4 π, 7 4π. Questi sono effettivamente punti di flesso, in quanto punti di inflessione di prima specie, infatti: α ( π 4 ), α ( π 4 ) (1, 3 2 ) e α ( π 4 ) (1, 6 9 2) è linearmente indipendente da α ( π 4 ); analogamente per gli altri valori di t. Si noti che, in genere, un punto α(t) in cui la curvatura si annulla non è sempre un punto di flesso, come mostra l esempio α(t) = (t, t 4 ). 3. La tabella delle variazioni per t I (comprensiva di segno della curvatura algebrica e del limite ai bordi del versore tangente o della sua pendenza) è: 0 π 4 x(t) 1 1/ 2 0 y(t) 0 1/2 2 1 y /x (t) 0 3/2 0 k alg (t) e corrispondentemente il grafico di α è: π 2

3 4. Una parametrizzazione di rotazione di S è data da φ(t, ϑ) = (cos t, sin 3 t cos ϑ, sin 3 t sin ϑ) per (t, ϑ) R 2. Per determinare un equazione cartesiana per S, notiamo che se P = (x, y, z) = φ(t, ϑ) allora y 2 + z 2 = sin 6 t = (1 x 2 ) 3. Viceversa, se un punto P verifica l equazione g(x, y, z) = y 2 + z 2 (1 x 2 ) 3 = 0 allora P S: basta notare infatti che dall equazione si ricava x 1 necessariamente, e che ponendo x = sin 3 t si ha y 2 + z 2 = sin 6 t, quindi y = sin 3 t cos ϑ e z = sin 3 t sin ϑ per qualche ϑ R, dunque P = φ(t, ϑ). Pertanto g(x, y, z) = 0 è l equazione cartesiana cercata. 5. Si ha grad P g = (6x(1 x 2 ) 2, 2y, 2z), che si annulla su S solo nei punti P ± = (±1, 0, 0). Pertanto, per il teorema delle funzioni implicite, ogni punto di S differente da P ± è non singolare. D altra parte, i punti P ± sono singolari per S in quanto T P ±S è in entrambi casi una retta, e non uno spazio vettoriale di dimensione 2. Verifichiamolo: sia P = φ(t, ϑ) e supponiamo che P P + ; allora t 0 necessariamente, dunque P + P P + P = (cos t 1, sin3 t cos ϑ, sin 3 t sin ϑ) (cos t 1) 2 + sin 6 t = ( 1 2 t2, t 3 n cos ϑ, t 3 sin ϑ) + o 4 (t) 1 4 t4 + t 6 + o 8 (t) (dove o k (t) indica un infinitesimo di ordine superiore o uguale a o(t k ) per t 0) quindi lim P P + P + P / P + P = ( 1, 0, 0). T P +S coincide quindi con l asse x. Analogamente per T P S. 6. Consideriamo i campi tangenti coordinati per (t, ϑ) D =]0, π[ R: φ t = ( sin t, 3 sin 2 t cos t cos ϑ, 3 sin 2 t cos t sin ϑ) φ ϑ = (0, sin 3 t sin ϑ, sin 3 t cos ϑ) (rispettivamente tangenti ai meridiani e ai paralleli di S). Essi verificano φ t φ ϑ = sin 4 t sin 2 t cos 2 t dunque dφ è non singolare su D, e φ : D S è localmente invertibile con inversa C. Quindi φ t, φ ϑ definiscono su S \ Sing una coppia di campi C e linearmente indipendenti (si noti che se P = φ(t, ϑ) = φ(t, ϑ ), allora t = t, ϑ = ϑ + 2kπ, e dunque φ t (t, ϑ) = φ t (t, ϑ ) e φ ϑ (t, ϑ) = φ ϑ (t, ϑ )); inoltre, poiché φ è una parametrizzazione di rotazione, si ha F = 0 e φ t, φ ϑ sono tra loro ortogonali. Possiamo ortonormalizzarli dividendo per la loro norma ˆφ t = ( sin t, 3 sin2 t cos t cos ϑ, 3 sin 2 t cos t sin ϑ) sin t sin 2 t cos 2 t ˆφ ϑ = (0, sin3 t sin ϑ, sin 3 t cos ϑ) sin 3 t

4 quindi definire V = (cos π 3 ) ˆφ t + (sin π 3 ) ˆφ ϑ = 1 2 ˆφ 3 t + 2 ˆφ ϑ Allora V è un campo C che fa angolo (non orientato) π 3 con ogni meridiano, in quanto cos V, ˆφ t = V ˆφ t V ˆφ = cos π t Poiché S è invariante per rotazioni e la curvatura è invariante per isometrie, per stabilire il segno della curvatura in ogni punto (non singolare) è sufficiente determinarlo sui punti della curva profilo A (y > 0). Sia A =Im(α ]0, π 4 [ ] 3π 4,π[ ): riferendosi al disegno di α, in ogni punto P A il piano affine tangente T aff P S è il piano σ P ortogonale al piano della figura, contenente la retta tangente ad A in P ; il parallelo passante per P dà sempre punti arbitrariamente vicini a P al di sotto di σ P, mentre la curva profilo si trova, localmente, al di sopra di σ P. Ne segue che la superficie, intorno a P, ha punti da entrambi i lati dello spazio affine tangente in P, dunque K 0 su A.

5 Più precisamente, in ogni P A la curvatura è strettamente negativa, in quanto le due curvature principali coincidono con le curvature del parallelo per P (un cerchio non banale) e del meridiano per P (la curva profilo α, che ha k α = 0 solo in F 1 = α( π 4 ) ed F 2 = α( 3π 4 )), e sono entrambe non nulle; pertanto K, che è il loro prodotto, è non nulla. Analogamente si vede che in ogni punto di A + =Im(α ] π 4, 3π 4 [ ) la superficie ha localmente punti da un solo lato del piano affine tangente, dunque K 0 su A + (precisamente: positiva, per la ragione sopra esposta). Ne segue anche, per continuità, che K = 0 esattamente sui paralleli passanti per F 1 ed F La curvatura gaussiana di S in un punto P = α(t) della curva profilo arbitrariamente vicino ad N (cioè t π 2 ) è il prodotto della curvature del parallelo per P e della curva profilo in P. Il parallelo per P ha curvatura 1/sin 3 t (è un cerchio di raggio y(t) = sin 3 t), mentre la curva α in P ha curvatura data dalla formula al punto 2. Quindi: 3[2 sin 2 t 1] K S (P ) = sin 4 (t) [1 + 9 sin 2 t cos 2 t] 3/2 È evidente che questa è una funzione non costante 1 intorno a N. Quindi nessun aperto di S contenente N è isometrico ad un aperto di una sfera, la cui curvatura di Gauss è una funzione costante. 1 2Y Per convincersene, basta chiamare Y = sin t, e notare che K(P ) = 2 1 Y 4 (1+9Y 2 9Y 4 ) 3/2 ; se questa fosse una funzione costante uguale c, le derivate di ogni ordine del numeratore sarebbero uguali a c volte quelle del denominatore, il che è chiaramente falso già per la derivata terza.