W S. appunti di. ad uso degli studenti dei corsi di laurea triennale in Architettura. con esercizi svolti. Paolo Angelozzi

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1 aoo ngeozzi appunti di W S ad uso degi studenti dei corsi di aurea triennae in rchitettura con esercizi svoti prefazione di ntonea ecchi Edizioni ecnoogos

2 opright 2008 ecnoogos Editore La riproduzione, anche parziae o ad uso interno o didattico di questa dispensa didattica, con quasiasi mezzo effettuata, non autorizzata è punibie in base ae eggi vigenti L autore è in possesso de autorizzazione aa pubbicazione dee immagini riprodotte ne opera; rimane tuttavia a disposizione di tutti cooro che possono vantare diritti sue immagini I edizione: 2008 ecnoogos, via untebei avriana () e a e-mai: edizioni@tecnoogosit wwwtecnoogosnet IS

3 Questa raccota di appunti non ha pretese di esaustività nei confronti di una materia, come a meccanica strutturae, compessa ed articoata E un compendio dee nozioni base dea discipina che sono di ausiio ad uno studente che si confronta con a stessa per a prima vota Gi argomenti, sviuppati consequenziamente, cercano di seguire un iter ogico che porti i fruitore ad uno studio ineare de argomento, dae basi ai temi più compessi; daa teoria dei vettori, come modeo meccanico dee azioni, a modeo geometrico di trave e sempici sistemi di travi, a concetto di isostaticità ed iperstaticità, condizioni di equiibrio e congruenza, sino a giungere a concetti eementari dea meccanica dei continui Inotre, sono stati inseriti richiami di matematica e geometria ove necessario, a fine di non asciare dubbi su quanto viene dimostrato di vota in vota nche gi esercizi svoti contengono tavota precisazioni e metodoogie utii, non affrontate in sede teorica Si auspica, quindi, che queste poche pagine possano rendere i mondo dea meccanica strutturae meno ostico per chi o affronta, e forse far nascere passione per a materia Questi appunti, redatti da aoo ngeozzi, contengono traccia dee mie ezioni per i corsi di eccanica Strutturae 1 e eccanica Strutturae 2 e possono rappresentare un vaido strumento per gi studenti che come aoo si avvicinano ae tematiche dea meccanica strutturae E per me motivo di orgogio vedere come impegno e a costanza di aoo hanno permesso di mettere a punto questo vaido supporto a programma che svogo ne corso di Laurea triennae in Scienze de rchitettura ntonea ecchi

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6 SI ELL RVE 1 EORI EI VEORI _Vettori iberi Un vettore è un modeo matematico utiizzabie per a rappresentazione di azioni meccaniche È caratterizzato da: - un moduo - una direzione (retta d appartenenza a vettore) - un verso (da a ) Quindi un vettore è un segmento orientato dotato di moduo, direzione e verso I vettore viene indicato con una ettera minuscoa sottoineata u, o come differenza fra i punti definenti i moduo (es ) u u = - ati due vettori v1 e v2 è possibie procedere a diverse operazioni v1 v2 Vettore somma Si intende ridurre questo sistema di vettori ad un sistema di un unico vettore equivaente, risutante dei due vettori metodo (i paraeogramma) a far coincidere i punti di partenza dei due vettori b tracciare e rette direzionai di v1 e v2 c tracciare e paraee ae rette passanti nei punti finai dei vettori d tracciare, dae partenze dei vettori, un vettore fino a intersezione fra e due nuove rette si ottiene v3, risutante dei due vettori metodo trasare i vettori v1 e v2 nee rispettive terminazioni, trovando a risutante v1 v2 v1 v3 v3 v2 6

7 EORI EI VEORI Vettore differenza Graficamente, corrisponde aa diagonae minore de paraeogramma v3 = v1 v2 v2 = v3 v1 -v1 v4 v1 v2 v4 v3 v2 v4 -v1 prodotto scaare = vettore forza * vettore spostamento = avoro = un numero k * u = k = 3-2 u vettore spostamento vettore forza = 3i 2j u = 2i * u = 3i*2i 2j*0j = 6 (i versori, essendo unitari, vagono 1) rodotto di un vettore per uno scaare ati i vettore v ed i numero reae, i prodotto v* fra i vettore e o scaare può restituire: - per >0 un vettore con verso concorde a queo di partenza - per <0 un vettore con verso opposto - per 0<<1 un vettore più piccoo di queo di partenza, verso concorde - per >1 un vettore più grande di queo di partenza, verso concorde rodotto scaare (o prodotto interno) Ogni vettore, ideamente posto in un piano cartesiano, possiede una componente orizzontae ed una verticae; per definire si associano agi assi due versori unitari i e j ue versori unitari non dipendenti inearmente sono a base per individuare ogni vettore de piano v = 3 2 v = 2j 3i Rappresentazione trigonometrica: v = v sen 2 v cos 2 j v sen i v v v cos In sostanza i prodotto scaare restituisce entità de vettore, è a componente di un vettore secondo a direzione (espressa in seno e coseno) di un atro vettore e piano: i*i (eggasi i scaare i ) = componente de moduo per coseno di 0 = 1*1 = 1 i*j (eggasi i scaare j ) = componente de moduo per coseno di /2 = 1*0 = 0 i prodotto scaare di vettori ortogonai fra oro è zero -esempio pratico- v1 = i=1 j=2 k=1 v2 = i=3 j=-1 f? = eterminare f in modo che i due vettori siano ortogonai v1 * v2 = 0 1i * 3i 2j * (-1j) 1k * f = f = 0 f = -1 j i j k i i j k i*i i*j i*k 1*1=1 1*0=0 0 j*i j*j j*k 1*0=0 1*1=1 0 k*i k*j k*k

8 SI ELL RVE rodotto vettoriae (o prodotto esterno) ati due vettori v1 e v2, i prodotto vettoriae v1 v2 restituisce un vettore ortogonae ai due vettori di partenza v1 v1 v2 v2 i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k esempio pratico (piastro con trave a sbazo)- = _Vettori appicati reazione ee strutture si para di vettori appicati (siano essi forze o spostamenti), i quai non possono essere spostati iberamente neo spazio, ma soamente secondo a oro retta d azione In una struttura, inotre, e forze devono essere in equiibrio, e cioè avere uguae moduo, uguae direzione ma verso opposto a E evidente che per equiibrare i sistema servono a risutante [R] dee forze in gioco ed i braccio di appicazione dee forze 1 : a = 2 : b 1 2 = a b b 2 = R In questo modo è possibie spostare gi assi di appicazioni dee forze, aggiungendo un momento di trasporto creato dae forze di partenza In questo modo si ottiene un sistema equivaente a queo di partenza, ovverosia un sistema che ha gi stessi effetti di queo iniziae È possibie ottenere a risutante compessiva de sistema (Rt) trasando soamente i vettori ungo a oro retta d azione, operazione ecita con i vettori appicati v1 v3 v2 v1 Ripetendo, quasiasi sistema può essere ricondotto ad un sistema equivaente in un asse paraeo, con aggiunta di un momento di trasporto; ma è necessario prendere a distanza ortogonae aa retta d azione dea forza v2 R 1 v3 v3 R 1 Rt momento = forza [] * unghezza [] coppia di forze uguai in moduo e direzione ma opposte in verso b e forze si misurano in ewton [], ed i momenti in ewton per metri [*m] 8

9 EORI EI VEORI -esempi pratici- 2 v1 v1 d2 d1 O v1 d2 d1 O v2 R v2 d3 R d4 v3 v3 d riportare, partendo da un punto quasiasi, e paraee ae congiungenti sue rette d azione dei tre vettori E due forze producono un momento appicato ne baricentro = due forze si eidono = e forze producono due momenti opposti che si eidono Rimane a forza appicata come in E differente retta d azione dea forza = uguae retta d azione d1 v1 d2 v2 d3 d4 v3 =d1 d1 v1 v2 d4 =d4 v3 _oigono funicoare etodo grafico per individuazione dea risutante e de asse centrae di vettori appicati ati tre vettori v1, v2 e v3 e proungare d1 e d4, ripetendo a precedente operazione per un paio di vote; si ottengono i punti per cui passa asse centrae de sistema ( ) v1 v2 v3 - ati due vettori paraei concordi, asse centrae è paraeo aa direzione dei vettori e cade fra di essi, più prossimo a vettore possedente maggior moduo - ati due vettori paraei discordi, asse centrae cade a esterno dei due vettori, più prossimo a vettore possedente maggior moduo a trattare i vettori come fossero vettori iberi e trovare a risutante b scegiere un poo arbitrario O c tracciare e congiungenti con i poi dei vettori b ad esempio, v1 è anche uguae a percorso dee sue congiungenti 9

10 SI ELL RVE 2 VIOLI E EQUILIRIO ravi e piastri sono oggetti monodimensionai, e cioè oggetti con una dimensione predominante e dimensioni dea sezione sono piccoe se confrontate con a unghezza, e quindi approssimabii ad una inea passante per asse baricentrico de oggetto modeo monodimensionae = inea congiungente i baricentri dee diverse sezioni G sezione sse ongitudinae (uogo geometrico dei baricentri dee sezioni) Setti e pannei necessitano invece di un modeo bidimensionae, basato sua superficie media (uogo geometrico dei baricentri deo spessore) Esempio di schematizzazione strutturae: I probema sorge nee giunzioni fra eementi (travi, piastri, suoo) vengono posti dei vincoi a moto rigido de oggetto, determinando movimenti eciti ed ieciti i vincoo espeta dee azioni uguai e contrarie a quee che agiscono sua struttura, neutraizzandoe reazione Le strutture affrontate d ora in poi saranno quindi ferme ed in equiibrio _Gradi di ibertà ne piano neo spazio = 6 (tre trasazioni, tre rotazioni) ne piano = 3 (due trasazioni, una rotazione) u = spostamento paraeo a asse v = spostamento paraeo a asse = rotazione intorno a asse z V azioni verticai H azioni orizzontai azioni di rotazione = OVEZIOE OSIIV v u v (antioraria) u 10

11 VIOLI E EQUILIRIO _cuni tipi di vincoo - ppoggio o carreo (vincoo sempice biatero) impedisce che oggetto trasi secondo una direzione, vincoando un grado di ibertà cinematica statica u 0 H = 0 v = 0 V 0 0 = 0 incognita L appoggio può espetare una reazione uguae e contraria aa forza agente b quando un oggetto è appoggiato ad un atro non o compenetra ma neanche può staccarsene = vincoo biatero - erniera (vincoo doppio) impedisce due trasazioni, vincoando due gradi di ibertà - iea impedisce o spostamento verticae ed in parte queo orizzontae; non impedisce a rotazione cinematica statica 0 u K H = f(u) v = 0 V 0 0 = 0 - oppio pendoo (due biee vicine in paraeo) impedisce o spostamento verticae ed in parte queo orizzontae; impedisce anche a rotazione cinematica statica 0 u K H = f(u) v = 0 V 0 = 0 0 cinematica statica u = 0 H 0 v = 0 V 0 0 = 0 incognite _ipi di strutture ontroando i rapporto fra gradi di ibertà dea struttura e numero dei vincoi, è possibie individuare tre tipi di struttura: La cerniera espeta due reazioni uguai e contrarie ae forze agenti; non espeta reazioni aa rotazione - Se GdL struttura > nvincoi struttura abie - Se GdL struttura = nvincoi struttura isostatica - Se GdL struttura < nvincoi struttura iperstatica - Incastro (vincoo tripo) vincoa tutti i gradi di ibertà, reagendo con una coppia di forze b a verifica de iperstaticità di una struttura dipende daa posizione dei vincoi e da quai gradi di ibertà impediscono cinematica statica u = 0 H 0 v = 0 V 0 = 0 0 incognite L incastro espeta tre reazioni uguai e contrarie ae forze agenti Struttura abie Vincoi ben disposti (impediscono anche a rotazione) 11

12 SI ELL RVE I vincoi trattati finora sono detti isci (si prescinde da quasiasi fenomeno di attrito) e biateri (impediscono o spostamento nea direzione dea reazione e nea sua contraria) d esempio, in un oggetto appoggiato non si può verificare né a situazione (compenetrazione di una superficie), né a (distacco daa medesima) _Equiibrio di una struttura Una struttura si dice in equiibrio quando e forze agenti sono bianciate da reazioni uguai e contrarie ae condizione, comunque, è necessaria ma non sufficiente; ad esempio, a seguente struttura è in equiibrio, ma risuta abie _Linee d azione dee reazioni nei vincoi 2 2 e appoggio sono noti i verso e a direzione dea reazione, poiché i medesimo impedisce unicamente gi spostamenti perpendicoari a pattino È possibie procedere a cacoo soo dopo aver appurato isostaticità dea struttura in anaisi (GdL = nvincoi) In sostanza, per far sì che una struttura sia in equiibrio e sommatorie di tutte e forze ed i momenti agenti su di essa devono essere pari a zero i = 0 i = (agenti) (reagenti) i = 0 i = (agenti) (reagenti) La cerniera non espeta reazioni di tipo momento La inea d azione dee reazioni passa sicuramente per i punto di cerniera, ma non se ne conosce a priori i coefficiente angoare a queste equazioni derivano e tre equazioni fondamentai dea statica: Hi = 0 a sommatoria dee azioni orizzontai deve essere pari a zero e incastro a inea d azione dee reazioni non passerà per i vincoo; non è possibie conoscerne a priori punti noti ed incinazione Vi = 0 a sommatoria dee azioni verticai deve essere pari a zero i = 0 a sommatoria dei momenti deve essere pari a zero 12

13 VIOLI E EQUILIRIO -esempio pratico- _Esercizio n01 H È possibie procedere mediante due sistemi di risouzione: grafico ed anaitico V e sistema grafico si procede, innanzitutto, disegnando un sistema equivaente aa struttura di partenza si ridisegna a struttura, e mediante a inea dee pressioni si trasportano e forze nei vincoi, determinando in seguito e reazioni che i vincoo espeta incognite Hi = 0 H = 0 H = Vi = 0 V = 0 i = 0 * /2 = 0 = /2 /2 /2 /2 /2 /2 \ Linea dee pressioni dove agisce unica forza presente ne sistema (cvd non passante per incastro) H V /2 e sistema anaitico si appicano e tre equazioni fondamentai dea statica aa struttura, sostituendo i vincoo con e reazioni che può espetare H V Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V = 0 V = i = 0 * = 0 = b i punto di riferimento per i cacoo de momento è incastro 13

14 SI ELL RVE _Esercizio n02 45 _Esercizio n03 45 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Vi = 0 V /2 = 0 V= /2 /2 Vi = 0 V /2 V = 0 /2 /2 i = 0 /2* = 0 = /2 /2 (cacoo de momento in ) = 0 /2*/2 V * = 0 = /22 V V = /22 V = /2 /22 V = /22 Lp2 45 Lp1 /2 H V /2 /2 /2 /2 /2 onsiderazioni La inea dee pressioni passa per entrambi i vincoi si hanno due inee dee pressioni er determinare si parte de appoggio, a cui direzione dea reazione è nota, individuando Lp1; intersezione fra Lp 1 e inea d azione dea forza e a cerniera sono i due punti che determinano a Lp2 er e reazioni si costruisce i paraeogramma a inverso, utiizzando e due rette direzionai Lp1 ed Lp2 b incinazione ed i verso di R permette di ipotizzare, senza procedere aa souzione anaitica, i verso di V ed H R /2 /2 R R Lp2 45 /2 /2 /2 /2 /2 R Lp1 H V /2 V /2 /2 14

15 VIOLI E EQUILIRIO _Esercizio n04 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 /2 /2 _Esercizio n05 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 2 Vi = 0 V /2 V = 0 Vi = 0 V /2 = 0 V = /2 = 0 /2*3/2 /2*/2 V *2 = 0 = 2/2 2V V = /2 V = 0 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad /2 /2 Lp2 Lp1 /2 /2 i = 0 /2*2 /2*2 = onsiderazioni La souzione anaitica conferma quanto già appurato mediante i metodo grafico, e cioè che a cerniera espeta soamente una reazione orizzontae R /2 /2 Lp2 Lp1 /2 H V 2 /2 2 /2 /2 R 2 /2 /2 H V /2 /2 /2 /2 iagramma di corpo ibero Si ridisegna a struttura, senza vincoi, mettendo a posto dee incognite e reazioni cacoate /2 /2 2 /2 /2 V 2 /2 /2 15

16 SI ELL RVE _Esercizio n06 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 _Esercizio n07 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 45 Vi = 0 V V /2 = 0 /2 R Vi = 0 V /2 V = 0 /2*3/2 V * = 3/22 V V = 3/22 V = 3/22 /2 V = /22 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R V H Lp2 R Lp1 R /2 /2 /2 = 0 /2* /2*5/2 V *2 = 0 = 7/22 2V V = 7/42 V = 3 /42 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R H V Lp2 /2 R /2 R Lp1 R V /2 /2 /2 V /2 /22 3/22 /2 /2 3/42 /2 /2 /2 7/42 /2 /2 /2 16

17 VIOLI E EQUILIRIO _Esercizio n08 45 _Esercizio n09 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Hi = 0 H = 0 q /2 Vi = 0 V /2 V = 0 Vi = 0 V q/2 = 0 V = q/2 /2 = 0 /2* V *2 = 0 = /2 2V V = /22 V = /22 /2 R R i = 0 q/2*5/4 = 0 = 5q²/8 5q²/8 q/2 q/2 /2 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R Lp2 45 Lp1 /2 La souzione di questo esercizio può essere addizionata a quea de precedente in caso di motepici forze agenti i sistema può essere scomposto ed anaizzato per parti R H V q/2 /2 /2 /2 5q²/8 /2 /2 /2 H /2 /2 q/2 q/2 /2 /22 V /2 /22 V /2 /2 17

18 3 RERISIHE I SOLLEIZIOE SI ELL RVE ome viene soecitato ogni punto dea trave? La materia trasmette e forze da un punto a atro fino a fare giungere nei vincoi È necessario quindi anaizzare e caratteristiche di soecitazione interna dea trave ivedendo a trave in n sezioni, ogni sezione dea trave risuterebbe come incoata, soidae aa successiva d esempio, immaginando di sorreggere una pia di ibri, spingendo ai ati rimane unita, ma se a forza viene meno i tutto coassa e anaisi viene ideamente considerato un concio di trave, e cioè una parte di trave compresa fra due sezioni dea stessa, eseguite a distanza fra oro _onvenzione positiva in un concio di trave G sezione sse ongitudinae - Sforzo ormae : due forze uguai in direzione ed opposte in verso; azioni ungo asse dea trave di trazione (positive) e compressione (negative) - agio : tensioni tangenziai, positive se i concio ruota in senso orario - omento ettente : due coppie di forze uguai ed opposte; i momento fettente è positivo se azione tende e fibre inferiori dea trave 18

19 RERISIHE I SOLLEIZIOE E possibie tradurre in forma anaitica e grafica e caratteristiche di soecitazione interna rendendo ad esempio a seguente struttura: utto ciò funziona fintantoché a sezione non incontra a forza appicata, quindi: 0 /2 = 0 ne sistema non è appicata nessuna forza che produca azioni di trazione o compressione /2 = 0 = /2 2 /2 /2 a decidere un verso di percorrenza de oggetto, per esempio da a 2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = /2 = /4 2 b eiminare una parte dea struttura 2 2 d continuare anaisi per a restante parte dea struttura b vanno eseguite tante sezioni quante sono e parti di struttura divise da appicazioni di forze; in questo caso e sezioni significative sono due /2 = 0 2 /2 o c Ovviamente bisogna porre quacosa in sostituzione dea parte di struttura che viene eiminata, in quanto non sussiste più equiibrio; e qui entrano in gioco e caratteristiche di soecitazione interna 2 o /2 = 0 = /2 una forza concentrata fa satare i tagio de entità dea forza stessa o /2*( /2) * = 0 per = 0 = /4 per = = 0 19

20 SI ELL RVE e riassumere graficamente Scegiendo i verso di percorrenza opposto i risutati non cambiano, ma per iniziare anaisi è necessario girare considerare atro ato de concio 0 /2 = 0 o /2 = 0 = /2 /2 /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = /2 = /4 =0 =0 _Rotazione de concio di convenzione positiva nee strutture /2 /2 /4 20

21 RERISIHE I SOLLEIZIOE _Esercizio n10 Hi = 0 H = 0 H = Vi = 0 V = 0 i = 0 * /2 = 0 = /2 /2 /2 /2 sezione 02 0 /2 = 0 = 0 = o /2 o /2 /2 o = 0 = per = 0 = 0 per = /2 = /2 sezione 01 0 = 0 = =0 = 0 o /2 = 0 = /2 =0 onsiderazioni Ricordare sempre di ruotare i concio di convenzione positiva ne modo giusto (vedi schematizzazione sovrastante) /2 /2 21

22 SI ELL RVE _Esercizio n11 Hi = 0 H /2 = 0 H = /2 Vi = 0 V /2 V = 0 45 /2 /2 /2 /2 sezione /2 o /2 /2 /2 45 /2 /2 = 0 /2*3/2 /2*/2 V *2 = 0 = 2/2 2V V = /2 V = 0 Lp1 vaida da a Lp2 vaida da ad R /2 /2 Lp2 Lp1 /2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 per = 2/2 = 2/4 /2 /2 /2 /2 /2 o /2 /2 R /2 o 2/2 /2 /2 =0 /2 /2 sezione 01 0 /2 = 0 = /2 = 0 o = 0 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 sezione /2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2*( 2/2) = 0 per = 0 = 2/4 per = 2/2 = 0 =0 /2 2/4 22

23 RERISIHE I SOLLEIZIOE _Rapporti fra tagio, momento e inee dee pressioni È possibie tracciare intuitivamente i grafico de momento fettente a partire daa inea dee pressioni, sapendo che: a nei punti di intersezione o identità fra inea dee pressioni e struttura i momento è zero b in caso di paraeismo fra struttura e inea dee pressioni, i momento sarà una costante c più è grande a distanza fra a inea dee pressioni e a struttura, più si verificherà momento d se a inea dee pressioni è di compressione, i momento è situato a opposto di essa rispetto a asse dea trave; se di trazione, i momento è situato dao stesso ato dea inea dee pressioni d esempio, ne precedente esercizio: - fra e a Lp2 coincide con a struttura i momento sarà zero ne tratto di coincidenza - in a Lp1 interseca a struttura i momento sarà zero ne punto di intersezione - fra e a Lp2 si aontana daa struttura i momento, partendo da zero, andrà via via aumentando fino a - fra e è vaida a Lp1, e si avvicina aa struttura i momento, partendo da suo massimo in, andrà via via diminuendo fino a zero in - Le inee Lp1 ed Lp2 sono di compressione, quindi i momento sarà disegnato da ato opposto ad esse, con asse a struttura b i tagio è una caratteristica di tipo forza, e quindi sata quando incontra forze appicate; i momento, di conseguenza, sata incontrando una coppia appicata R /2 /2 /2 =0 =0 R /2 Inotre, i diagramma de tagio è a derivata de diagramma de momento a ciò si può dedurre: - se i tagio è zero in un tratto, i momento sarà costante o zero - se i tagio è costante, i momento sarà un incinata; i tagio in questo caso è i coefficiente angoare de momento - se i tagio è un incinata, i momento sarà paraboico; e così via - se i tagio è zero in un punto, i momento avrà un massimo, un minimo od un fesso, come matematica insegna er conferma di quanto detto, vedere esempio precedente /2 /2 Lp2 Lp2 Lp1 /2 Lp1 /2 /2 i tagio non percepisce a coppia i coefficiente angoare ne momento è uguae, come si desume da diagramma di tagio, ma i diagramma di momento sata in corrispondenza dea coppia 23

24 SI ELL RVE _Esercizio n12 3q²/2 3q²/2 Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V q = 0 V = q q q o q q i = 0 q*3/2 = 0 = 3q²/2 3q²/2 q q sezione 02 0 q = 0 = q = 0 /2 /2 =0 q 3q²/2 sezione o 3q²/2 q q /2 /2 o 3q²/2 q*2 = 0 = q²/2 sezione 03 0 = 0 q o =0 q q =0 q = 0 q = 0 = q o 3q²/2 q* = 0 q = 0 = q per = 0 = 0 per = = q 3q²/2 q²/2 q²/2 per = 0 = 3q²/2 per = 3/2 = 3q²/2 3q²/2 = 0 = 0 o q*/2 = 0 per = 0 = 0 q²/2 per = 2 = 3q²/2 2q² = 0 = q²/2 per = = q²/2 24

25 RERISIHE I SOLLEIZIOE _Esercizio n13 Hi = 0 H = 0 q _omento, tagio e sforzo normae in termini differenziai d Vi = 0 Va Vb q = 0 = 0 q*/2 Vb* = 0 V = q/2 V = q/2 q/2 /2 q /2 q/2 rendendo una piccoa parte di carico d, si nota che i carico è variabie, ma a porzione considerata è tanto piccoa da essere costante d q q/2 o q q/2 q/2 a a ci si sposta di d, e di conseguenza e azioni non sono uguai; quindi viene appicato un piccoo incremento d d d d d sezione 01 0 = 0 =0 =0 opo aver individuato e risutanti dea piccoa porzione di carico obiquo preso in considerazione, è possibie cacoare equiibrio de concio qv d qh q/2 q = 0 per = 0 = q/2 per = /2 = q/2 q/2 = 0 per = = q/2 q = q/2 q/2 q/2 d qh*d d = 0 qh = (derivata ) d d qv*d ( d) = 0 qv*d d = 0 qh = (derivata ) d d o *d qv*d²/2 d = 0 d = (derivata ) = o q/2* q*/2 = 0 per = 0 = 0 per = /2 = q²/4 q²/8 = q²/8 per = = q²/2 q²/2 = 0 q²/8 b d²/2 è un infinitesimo di ordine superiore, trascurabie rispetto agi atri termini de equazione d o d d d 25

26 SI ELL RVE _La cerniera interna rattasi di un particoare vincoo che, come a normae cerniera, non può trasmettere momento Ogni trave ha tre gradi di ibertà; a cerniera interna è un vincoo doppio, ed impedisce due gradi di ibertà ue travi posseggono sei gradi di ibertà, e vincoate con tre vincoi cerniera, impedenti ognuno due gradi di ibertà, formano una struttura isostatica (a fianco) h/2 h/2 Hi = 0 H H = 0 Vi = 0 V V = 0 V = V = 0 *h/2 V * = 0 V = h /2 V = h /2 V H V h/2 h/2 H La cerniera interna è comunque mobie e equazioni, come previsto, non sono sufficienti aa risouzione de probema si ricorre a equazione ausiiaria t1 h/2 (cerniera interna) = 0 parte sinistra dea struttura t1 V h/2 È evidente che non si posseggono sufficienti dati noti per a souzione de probema (troppe incognite) è necessario scrivere un equazione ausiiaria di equiibrio de momento, cacoando ne punto di cerniera interna (); tae equazione è reativa a troncone t1 o t2 dea struttura i due tronconi possono essere cacoati separatamente, ponendo che in i momenti dei medesimi sono nui t1 H V t2 H V h/2 h/2 b scegiere ne anaisi sempre a parte di struttura che è utie ai fini de cacoo, e cioè dove si trovano forze appicate note *h/2 H *h = 0 H = /2 H = /2 V b V e V formano una coppia positiva V di vaore h /2* = h /2, controbianciata daa coppia che formano e reazioni H H con a forza pari a *h /2 = h /2, negativa situazione di equiibrio H H H La inea dee pressioni deve passare per e cerniere, poiché è noto a priori che in tai punti non si verifica momento h/2 h/2 a a non sono presenti carichi, quindi a Lp1 deve essere regoata daa reazione di, e passare per a cerniera in e a cerniera interna in racciare a inea d azione di ; proungando da intersezione con a Lp1 in si individua a Lp2 Lp2 R h/2 R Lp1 h/2 /2 h/2 /2 h/2 26

27 RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione 01 0 h/2 o h/2 /2 h/2 h/2 h/2 /2 h/2 /2 sezione 03 0 h h/2 o /2 h/2 = 0 = h/2 h/2 = 0 = h/2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 = /2 per = 0 = 0 /2 /2 = 0 = /2 o /2* = 0 per = 0 = 0 per = h/2 = h/4 per = h = h/2 o h/2 h/2 o h/2 sezione 02 0 h/2 h/2 /2 h/2 h/2 /2 /2 /2 sezione 04 0 h/2 h/2 /2 h/2 = 0 = h/2 h/2 /2 = 0 = /2 /2 = 0 = /2 o /2*( h/2) * = 0 h/2 = 0 = h/2 o /2*h h/2* = 0 per = 0 = h/4 per = h/2 = h/4 h/4 h/2 = 0 h/4 per = 0 = h/2 per = = h/2 h/2 = 0 27

28 SI ELL RVE _Esercizio n14 Hi = 0 H H q/2 = 0 Vi = 0 V V = 0 V = V q /2 /2 3q/162 o 9q/162 3q/8 3q/16 3q/16 q/8 q /2 /2 = 0 q/2*3/4 V *2 = 0 q/2 sezione 01 R 0 2 R = 3q²/8 2V V = 3q/16 V = 3q/16 = 0 parte destra dea struttura rispetto a q/2*/4 H * = 0 = q²/8 H H = q/8 H = q/2 q/8 H = 3q/8 R Lp2 Lp1 R q/2 /2 /2 9q/162 = 0 = 9q/162 3q/162 = 0 = 3q/162 o 3q/162* = 0 per = 0 = 0 per = 2 = 3q²/16 9q/162 3q/8 3q/16 q Lp1 vaida da a q/2 Lp2 vaida da q/2 ad V H V H q /2 /2 3q/162 q/8 3q²/16 /2 3q/8 3q/16 3q/16 q/8 q /2 3q²/16 9q²/128 28

29 RERISIHE I SOLLEIZIOE 3q/8 sezione q/16 o sezione 04 0 /2 o q 3q/16 q/8 /2 3q/8 = 0 = 3q/8 3q/8 = 0 = 3q/8 o 3q/16*( ) 3q/8* = 0 per = 0 = 3q²/16 per = = 3q²/16 3q²/16 3q²/8 = 0 3q/16 = 0 = 3q/16 q/8 q= 0 per = 0 = q/8 per = /2 = 3q/8 per = /8 = 0 sezione 03 0 /2 o 3q/16 q/8 o q/8*(/2 ) q*/2 = 0 per = 0 = q²/16 per = /2 = q²/16 q²/16 q²/8 = 0 per = /8 = q²/16 q²/64 q²/128 = 9q²/128 (massimo) 3q/16 = 0 = 3q/16 q/8 = 0 = q/8 o q/8* = 0 per = 0 = 0 per = /2 = q²/16 29

30 SI ELL RVE E _Esercizio n15 Hi = 0 q H H H = 0 q H G o q q/87q/8 q q/8 7q/8 E H G q/8 q/8 Vi = 0 V H V = 0 V = V H H = 0 q*/2 V *3 H * = 0 3V = H q/2 V = H /3 q/6 = 0 parte sinistra dea struttura rispetto a q*3/2 H *2 V *2 = 0 q*3/2 H *2 (H /3 q/6)*2 = 0 3q²/2 2H 2H /3 q²/3 = 0 4H /3 7q²/6 = 0 4H /3 = 7q²/6 H = 7q/8 H H = q 7q/8 H H = q/8 V = 7q/24 q/6 V = q/8 V H = q/8 Lp1 vaida da a q Lp2 vaida da q ad R q q R q q V R H q/8 E Lp1 Lp2 R H H V H H G E H G E H G q/8 q/8 sezione 01 0 q/8 = 0 = q/8 7q/8 q = 0 per = 0 = 7q/8 per = = q/8 per = 7/8 = 0 o 7q/8* q*/2 = 0 per = 0 = 0 per = = 7q²/8 q²/2 = 3q²/8 per = 7/8 = 49q²/64 49q²/128 = 49q²/128 (massimo) 3q²/8 =0 q/8 7q/8 q/8 q²/8 q/42 q²/8 q/8 q/8 q/8 =0 =0 q/8 q/8 q²/4 =0 q²/8 q/8 7q/8 49q²/128 30

31 RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione q/2 q/2 = 0 = 0 q/2 3q/42 = 0 = q/42 o q/2*/2 q/2*/22 q/2*(/22 ) 3q/42*(/2 ) = 0 per = 0 = q²/2 q²/4 q²/4 3q²/8 = 3q²/8 per = 2 = q²/2 q²/4 q²/4 q² 3q²/8 3q²/4 = q²/8 sezione q/8 q = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/*3/2 7q/8*2 q/8*( ) = 0 per = 0 = 3q²/2 7q²/4 q²/8 = q²/8 per = = 3q²/2 7q²/4 q²/8 q²/8 = 0 /2 sezione 04 q 0 o q/2 q/8 = 0 = q/8 q/2 q/2 3q/42 q/8 = 0 = q/8 q q/8 o 7q/8 o q/8* = 0 per = 0 = 0 per = = q²/8 sezione 05 0 q/8 = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/8* q/8* = 0 per = 0 = q²/8 per = = q²/4 sezione q/8 = 0 = q/8 q/8 = 0 = q/8 o q/8* q/8*( ) = 0 per = 0 = q²/4 per = = q²/8 per = 2 = 0 H o q/8 q/8 o H G q/8 q/8 o E H G q/8 q/8 31

32 SI ELL RVE _Esercizio n16 q q Hi = 0 q H E = 0 H E = q Vi = 0 V V E = 0 V = V E E q/2 o q/2 q/2 E 2q² q = 0 q*/2 V * = 0 V = q/2 V E = q/2 E = 0 E q*/2 V * = 0 E = q*/2 q/2*3 E = 2q² Lp1 vaida da a q Lp2 vaida da q ad E Lp1 2q R R E Lp2 q R E E R E sezione 01 0 = 0 q/2 = 0 = q/2 o q/2* = 0 per = 0 = 0 per = = q²/2 =0 q q/2 q q/2 q/22 q q/2 3q/22 q²/2 V E V E E H E q²/2 q²/2 2q² 32

33 RERISIHE I SOLLEIZIOE o sezione 02 0 q/2 q sezione 04 0 o q/2 = 0 = q/2 q = 0 = q q/2 q = 0 per = 0 = 0 per = = q q/2 = 0 = q/2 o q* q/2*( ) 2q² = 0 per = 0 = 2q² q² q²/2 = q²/2 E 2q² q o q/2* q*/2 = 0 per = = 2q² q² q²/2 q²/2 = 0 per = 0 = q²/2 per = = q²/2 q²/2 = 0 sezione o E 2q² 3q/22 q/22 q/22 = 0 = q/22 3q/22 = 0 = 3q/22 o 3q/22* 2q² = 0 per = 0 = 2q² per = 2 = 2q² 3q²/2 = q²/2 33

34 _Esercizio n17 Hi = 0 H H H = 0 H = H H b graficamente è possibie intuire i vaore di V H a Lp1 ha un incinazione di 45, quindi e componenti di R devono essere di uguae moduo V H = H H Vi = 0 V 2q V H = 0 H = 0 2q*5 V *4 H *2 = 0 2H = 4V 10q H = 2V 5q E = 0 parte sinistra dea struttura rispetto a E 2q*2 H * V * = 0 2q*2 (2V 5q)* V * = 0 4q 2V 5q V = 0 3V = 9q V = 3q V H = 3q 2q V H = q H = 2(3q) 5q H = q H H = q q q 2q 2 2 E R H R Lp2 E R E 2q Lp1 2 2 R H H H G G G 2 2 SI ELL RVE o sezione q = 0 = q 3q = 0 = 3q o 3q* = 0 = 3q per = 0 = 0 q 3q per = 2 = 6q² q q 3q q 4q² 3q 2 E q 3q q =0 q2 q =0 q2 3q 2q² =0 2 q G 2 q H q q q 4q² Lp1 vaida da H a 2q Lp2 vaida da 2q ad H 2 2q² 2 V 2 V H H H H 6q² 34 4q²

35 RERISIHE I SOLLEIZIOE sezione o q 2 q2 q2 o 3q = 0 = 3q q = 0 = q 2 3q q2 2q2 o 3q*2 q* = 0 per = 0 = 6q² sezione per = 2 = 4q² q2 2q2 = 0 = q2 q2 q2 = 0 = 0 2 q o o q2*/2 2q2*2 q2*(2 ) q2*(/2 ) = 0 per = 0 = q² 4q² 2q² q² = 0 per = 2 = q² 4q² 2q² 2q² q² 2q² = 0 sezione q = 0 = q 3q q = 0 per = 0 = 3q 2 q 3q sezione q = 0 = q q = 0 = q per = 2 = 3q 2q = q o q*2 3q*(2 ) q*/2 = 0 per = 0 = 4q per = 2 = 2q² 6q² 6q² 2q² = 0 o q* = 0 per = 0 = 0 per = 4 = 4q² o q H q 35

36 SI ELL RVE _Verifica mediante equiibrio gobae aa rotazione sezione q = 0 = q o G È moto utie eseguire anche equiibrio gobae aa rotazione dea struttura, in verifica finae dei cacoi trascritti ne diagramma di corpo ibero 2q q = 0 = q o q*4 q* = 0 per = 0 = 4q² per = 2 = 2q² q q H 2 q 3q E 2 q q G H 2 sezione = 0 q2 = 0 = q2 o q2*(2 ) = 0 per = 0 = 2q² per = 2 = 0 o 2 q2 G 2 eventuamente, è possibie scomporre forze e reazioni, in modo da ottenere coppie formate da forze di eguae moduo 2q q 2q q E q q G H 2 H 4 i = 0 q*4 q*2 2q* = 0 = 0 a struttura è in equiibrio aa rotazione 36

37 SRUURE REIOLRI 4 SRUURE REIOLRI Le strutture reticoari sono strutture formate da aste rettiinee, connesse agi estremi attraverso nodi cerniera ai strutture possono essere sia spaziai sia piane I punto di incontro di due o più aste ne quae non viene trasmesso momento è chiamato nodo cerniera nodo cerniera asta rettiinea ssunti di cacoo da adottare per strutture reticoari piane: - reticoare con aste interconnesse da cerniere perfette (metodo che non sarà affrontato; a cerniera perfetta equivae ad una cerniera normae in cui = 0, tenendo conto che in casi particoari e cerniere trasmettono momento) - reticoare con carichi esterni appicati ai nodi cerniera tutte e aste sono soggette soo a sforzo normae, costante ungo tutta a unghezza de asta e aste possono quindi anche essere dette biee = 37

38 SI ELL RVE _ipi di strutture reticoari _oncetti preiminari per i cacoo a individuare e reazioni vincoari esterne b trovare gi sforzi normai su tutte e aste - Reticoare oonceau si inizia numerando i nodi e e aste (es nodi con numero arabo cerchiato, aste con numero arabo non cerchiato), e successivamente si conteggiano i gradi di vincoo esterno (numero nodi) : (numero aste) : Reticoare Ingese V (numero gradi di vincoo) : 3 due daa cerniera, uno da appoggio Reticoare ohniè e incognite sono o sforzo normae sue aste e e reazioni vincoari ogni nodo fornisce due equazioni di equiibrio; e equazioni compessive sono quindi due vote i numero dei nodi equazioni = 2 incognite = V una struttura reticoare piana è risovibie quando: 2 = V - Reticoare evie o megio, riassumendo in un coefficiente g: g = 2 V g > 0 2 > V struttura abie g = 0 2 = V struttura isostatica g < 0 2 < V struttura iperstatica quindi, a struttura di partenza = 6 = 9 V = 3 12 = 12, g = 0 è una reticoare isostatica 38

39 SRUURE REIOLRI _etodo di cacoo de equiibrio ai nodi onvenzione: se o sforzo normae su un asta è incognito, esso è sempre uscente da nodo a cacoare e reazioni vincoari b scrivere per ogni nodo due equazioni di equiibrio, una aa trasazione orizzontae ed una aa verticae c e incognite dee suddette equazioni sono gi sforzi normai su tutte e aste b è indispensabie non avere più di due incognite per nodo, e gi equiibri fatti agi utimi due nodi permettono di verificare se i precedenti cacoi sono esatti dee quattro equazioni che vengono scritte, tre sono di controo poiché e reazioni sono già note dagi atri cacoi esempio pratico- c scrivere e equazioni di equiibrio, una aa trasazione orizzontae una aa verticae a cacoare e reazioni vincoari EO 6 5/2 = 0 6 = 5/2 6 = Hi = 0 H = EV 5/2 = 0 5 = 2 Vi = 0 V 1 V 2 = 0 1 = 0 V 2 * * = 0 V 2 = V 1 = d ripetere tae operazione per i resto dei nodi onvenzione: se o sforzo normae su di un asta è noto e positivo si indica uscente da nodo, se noto e negativo entrante ne nodo EO 7 = 0 7 = 6 = 4 7 = 6 = 9 V = EV 4 = 0 4 = = V 1 = 2 2 V 2 = EO EV 3/2 = 0 3 = 2 2 3/2 = 0 2 = 3 b per i cacoo si parte da un nodo cerniera che comprende due soe aste, per i quae vanno scritte due soe equazioni ne esempio è possibie partire da nodo 2 o da nodo

40 SI ELL RVE 2 = f come utima operazione, segnaare i risutati ottenuti nea struttura di partenza EO 1 = 0 1 = 0 EV 2 = 0 2 = (prima equazione di verifica) 1 2 puntone tirante asta scarica = 2 4 = 0 3 = 2 2 EO 1 = 0 1 = 0 (seconda equazione di verifica) EV 2 4 = 0 4 = 0 (terza equazione di verifica) 1 1 = 0 2 Riassumendo i percorso eseguito: verifica verifica verifica _etodo di cacoo dee sezioni di Ritter ae metodo permette di cacoare gi sforzi normai in una struttura reticoare note e reazioni vincoari Si basa su teorema fondamentae dea statica secondo i quae se una struttura è in equiibrio o è ogni sua parte hiamasi sezione di Ritter canonica una sezione che divide in due parti una struttura reticoare, tagiando tre aste non tutte concorrenti neo stesso punto e redigere una tabea riassuntiva dei risutati ottenuti b se un asta ha sforzo normae positivo è detta tirante, se negativo puntone, se zero asta scarica -esempio pratico asta vaore tipo asta 1 0 scarica 2 tirante 3 2 puntone 4 0 scarica 5 2 puntone 6 tirante 7 tirante

41 SRUURE REIOLRI a dividere a struttura in due o più tronconi b a sezione deve tagiare né più né meno tre aste, non concorrenti in uno stesso nodo b mettere in evidenza e forze interne e gi sforzi normai incogniti ungo e aste d proseguire per gi atri sforzi normai incogniti, cambiando di vota in vota nodo b si prende in considerazione un nodo trovato a intersezione dee rette d azione di 3 ed 5, coincidente con i nodo 4? = 1 4 parte = 0 1* * = 0 1 = ne caso degenere in cui e rette d azione degi sforzi normai siano paraee (cacoo di 3), si sostituisce equazione di equiibrio aa rotazione con una di equiibrio aa trasazione, nea direzione perpendicoare ae due rette paraee si considera in questo caso soo una componente di 3, quea verticae che rientra ne cacoo? = 3 V 4 parte = 0 3/2 = 0 3 = 2 3/ / c a struttura è in equiibrio in ogni suo punto, quindi è possibie redigere e equazioni di equiibrio Viene utiizzata equazione di equiibrio aa rotazione, scegiendo per iniziare un nodo che asci ne equazione una soa incognita b i metodo dee sezioni di Ritter non permette di conoscere tutti gi sforzi normai di una reticoare per gi sforzi restanti bisogna ricorrere a sezioni non canoniche o a metodo de equiibrio ai nodi ne nodo 1, 3, hanno contributo nuo ne cacoo de momento; unica incognita è ? = 5 2 parte = 0 5* = 0 5 =

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44 L RVE ELSI 1 RVE ILESS La deformabiità di una struttura dipende dai materiai di cui è composta e dai parametri geometrici in gioco ema di studio è oggetto trave, oggetto con una dimensione preponderante rispetto ae due restanti I modeo trave viene identificato come eemento monodimensionae, rappresentato da asse ongitudinae dea stessa (uogo geometrico dei baricentri dee sezioni) G eo stesso modo sono state affrontate e caratteristiche di soecitazione interna (vedi p18) e sezioni trasmettono fra oro e azioni di tagio, momento, sforzo normae In questo capitoo si studieranno e deformazioni indotte da tai soecitazioni _eformazione ongitudinae rendendo un concio di ampiezza dz dz z dz i medesimo reagisce ao sforzo normae appicato, aungandosi di dz dz sarà: - proporzionae ao sforzo normae - inversamente proporzionae a area dea sezione - dipendente daa unghezza dz considerata - dipendente da materiae di cui è composta a struttura moduo eastico E dz = dz E deformazione assiae dz dz E = rigidezza assiae, che ha in sé una caratteristica meccanica (E) ed una geometrica () 44

45 RVE ILESS eo sforzo normae dz è inversamente proporzionae a area dea sezione perché: se a sezione è grande, e soecitazioni si distribuiscono in piccoe forze su tutta a sezione; discorso anaogo se a sezione è piccoa, ma e forze hanno minore spazio in cui distribuirsi e quindi a soecitazione è maggiore diviene fondamentae conoscere a sezione de oggetto _odeo di Euero-ernouii e imoshenko Si prenda ad esempio una trave incastrata con una forza appicata su estremo ibero, ipotizzando che un soo concio dea struttura sia deformabie dz _eformazione a tagio e tagio i concio si deforma ne modo iustrato a fianco, ovvero e sezioni scorrono reciprocamente e si ingobbano a soecitazione momento fettente si otterrà un effetto di questo tipo d dv dv er sempicità, a vera deformazione viene approssimata, asciando e sezioni isce In ogni caso, a deformazione tagiante sarà per ora trascurata, poiché viene adottato per o studio i modeo di trave di Euero, che trascura tae deformazione (a quae in reatà è estremamente piccoa ne caso di travi sottii) I tagio è di minore entità, ha sempre incisività minore è possibie trascurare e deformazioni date da tagio dv dz _eformazione fessionae più a trave è sottie, più a deformazione tagiante è trascurabie rispetto aa fessione e momento fettente e fibre superiori de concio si comprimono e e inferiori si tendono, secondo un arco di circonferenza a gi spostamenti sono abbastanza piccoi da poter approssimare, confondendo arco di circonferenza con a sua tangente simboogia reatà approssimazione R d I due assi su cui giacciono e due sezioni de concio si incontrano in un punto, formando angoo d ed un raggio di curvatura R travi sottii travi tozze dz d Si nota che nea definizione di rigidezza vista poc anzi area non è sufficiente, poiché a sezione resiste in modo diverso per posizione viene inserito nea formua i momento di inerzia EI = rigidezza fessionae Sono e travi che verranno anaizzate in questa sede, e seguono i modeo di Euero-ernouii, caratterizzato da: - mantenimento dee sezioni; - spostamenti piccoi; - trascurabiità dee azioni tagianti Gi effetti di deformazione a tagio e fessionae sono comparabii; tai travi individuano i modeo di imoshenko 45

46 L RVE ELSI 2 SOSEI, ROZIOI, URVURE er disegnare a deformata fessionae di una struttura, è necessario conoscere innanzitutto e condizioni di cinematica nei vincoi q z cerniera appoggio u = 0 u 0 v = 0 v = ea deformata reae i carreo resiste soamente agi spostamenti verticai, e quindi pattina ea pratica si prende in considerazione un approssimazione, secondo a teoria dei piccoi spostamenti appoggio si sposta tamente di poco da essere asciato dov è, ovvero si considera 0 V di (z) è detto inea eastica, e rappresenta a configurazione deformata per effetto dea fessione dea trave 0 configurazione indeformata V(z) configurazione variata o deformata _Reazione fra momento fettente e deformata fessionae V(z) z z V(z) Ingrandendo un pezzo di deformata, tracciare a tangente aa curva trovando angoo, angoo secondo i quae oggetto si deforma b a tangente di una curva in un punto è a derivata dea curva in que punto 46

47 SOSEI, ROZIOI, URVURE Se angoo è piccoo, a tangente de angoo è confondibie con angoo stesso tg dv dz onvenzione: spostamenti positivi generano rotazioni orarie fra e V si pone i segno Riassumendo: dv dz d = = 1 = dz R EI momento appicato rigidezza fessionae V L angoo d formato da intersezione fra e tangenti è a rotazione reativa fra i punto 0 ed i punto 1 0 b da a 1/R si ha a che fare con passaggi ed equazioni cinematiche (compatibiità e congruenza con i vincoi), mentre da 1/R a /EI si passa da mondo dea cinematica a queo dea statica a tangente che si considera è ovviamente tangente per una famigia di curve, e non per un unica curva scendendo di grado mediante derivazione, a tangente in un punto è una ed una soa R d d _Richiamo agi integrai 0 d b a kz n z = kz n1 n1 b a dz 0 formua generae di integrae definito er i cacoo sono utii gi integrai indefiniti, per i quai basta aggiungere aa suddetta formua una costante, che verrà ricavata daa struttura di partenza d * R = dz d dz = 1 R ds d 1 kz n z = kz n1 n1 formua generae di integrae indefinito d dipende da: - entità de momento fettente - inerzia de momento I - i moduo eastico de materiae E R d ds (vera) dz (approssimata) 47

48 L RVE ELSI _etodo de integrazione dea inea eastica Hi = 0 H = 0 Vi = 0 V = 0 V = = 0 * = 0 = - EI V (z = ) = 3 /6 1 2 = 0 - EI dv/dz (z = ) = 2 /2 1 = 0 1 = 2 /2 - EI V (z = ) = 3 /6 ( 2 /2)* 2 = 0 2 = 3 /2 3 /6 2 = 3 /3 Sostituendo i tutto: EI * dv/dz = z 2 /2 2 /2 EI * V = z 3 /6 2 /2*z 3 /3 EI V (z = 0) = 3 /3 V = 3 /3EI artendo da, i discorso è i medesimo? = cacoare abbassamento in b partendo da destra a z positiva va da destra a sinistra z = * z a cambiare di segno i momento EI * d 2 V/dz 2 = dz z z = * z per z = 0 = per z = = 0 EI * d 2 V/dz 2 = z EI * dv/dz = z z 2 /2 1 EI * V = z 2 /2 z 3 /6 1 z 2 z z b integrare espressione precedente EI * dv/dz = z 2 /2 1 z per z = 0 V = 0 per z = 0 dv/dz = 0 c integrare nuovamente EI * V = z 3 /6 1 z 2 si ottengono due costanti isogna quindi porre una condizione cinematica che definisca a famigia di curve utie b se i momento è ineare, a rotazione e a inea eastica V saranno curve per z = V = 0 per z = dv/dz = 0 a cinematica enuncia che in rotazione e spostamento sono nui, quindi è possibie eguagiare espressione a zero EI V (z = 0) = 2 = 0 2 = 0 1 = 0 EI V (z = ) = 3 /2 3 /6 = 3 /3 V = 3 /3EI È ora possibie disegnare a deformata dea struttura 3 /3EI 48

49 SOSEI, ROZIOI, URVURE _etodo de anaogia formae di ohr V Z = inea eastica o abbassamento Z = momento fettente c scrivere e condizioni cinematiche nei vincoi de sistema reae (incastro) : V = 0; = 0 (estremo ibero) : V 0; 0 V Z = Z = rotazione V Z = Z = 1/R = curvatura 1/R = /EI reazione sostitutiva che ega cinematica e statica E evidente che e reazioni statiche fra momento, tagio e carico sono in quache modo formamente anaoghe ae reazioni cinematiche fra abbassamento, rotazione e curvatura ohr individuò appunto questa anaogia, disinteressandosi de fatto che da una parte si trovano eementi statici (, e q) e da atra cinematici (V, e 1/R) inematica e statica vengono quindi raffrontate ipotizzando un mondo fittizio, indicato con asterisco ( * ) q ( * ) (carico fittizio) = 1/R = /EI ( * ) (tagio fittizio) = ( * ) (momento fittizio) = V Z = Z = tagio Z = Z = q = carico d ne sistema fittizio bisogna porre dei vincoi anaoghi che garantiscano: : ( * ) = 0; ( * ) = 0 estremo ibero : ( * ) 0; ( * ) 0 incastro sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) V = 0 = 0 V 0 0 e appicare i carico fittizio ne sistema fittizio ( * ) = 0 ( * ) = 0 ( * ) 0 ( * ) 0 a trovare a rotazione reae equivae a trovare i tagio fittizio dea trave a trave viene caricata con i diagramma dee curvature EI sistema Reae (sr) f cacoare tagio fittizio ( * ) e momento fittizio ( * ) de sistema fittizio R ( * ) = /EI * * 1/2 = ²/2EI ( * ) ²/2EI = 0 ( * ) = ²/2EI = ( * ) ²/2EI * 2/3 = 0 ( * ) = ³/3EI = V b è necessario i momento fettente nei suoi vaori ed andamento grafico b q ( * ) è i momento cambiato di segno e diviso per EI si prende i diagramma di momento invertito di segno, e quindi rovesciato ( * ) ( * ) q ( * ) = /EI = /EI EI EI R ( * ) /3 2/3 49

50 L RVE ELSI g Studiando e caratteristiche di soecitazione dea struttura fittizia, si ottengono e formue generai per risovere tutta a struttura (vedi p48, esempio pratico di integrazione dea inea eastica) b a inea de diagramma di momento de sistema fittizio, trasportata senza cambi di segno ne sistema reae, è a deformata quaitativa di quest utimo ( * ) Z ²/2EI ³/3EI sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) 1/R R ( * ) Z = z/ei * z * 1/2 = z²/2ei Z ( * ) Z = ²/2EI z²/2ei ( * ) Z V Z ( * ) Z = z²/2ei * z/3 ²/2EI * z ³/3EI z Riassumendo: a cacoare i momento fettente nea struttura di partenza, e disegnarne i diagramma; b scrivere e condizioni reai degi spostamenti nei vincoi; c porre ne sistema fittizio dei vincoi che soddisfino, con anaogia a tagi e momenti fittizi, e condizioni cinematiche de sistema reae; d caricare i sistema fittizio con i diagramma de momento invertito di segno e diviso per EI, ottenendo i diagramma dee curvature; e cacoare momenti e tagi fittizi ne sistema fittizio, dove sia necessario, ottenendo spostamenti e rotazioni de sistema reae momento sr s caricato deformata sr momento quaitativo s b in ogni caso nea reatà i diagramma dee curvature non corrisponde a diagramma de momento fettente, poiché bisogna tener conto dea rigidezza fessionae: sistema Reae (sr) sistema ittizio (s) /EI I 1 I 2 /EI 1 /EI 2 (sr) I diagramma di momento fettente non cambia, ma non bisogna dimenticare che i sistema fittizio tiene conto anche dea rigidezza fessionae EI se i rapporto EI è piccoo i diagramma si ingrandirà, e viceversa; stesse considerazioni vanno poste se a trave è costituita da due materiai diversi, con E 1 ed E 2 50

51 SOSEI, ROZIOI, URVURE _Esercizio n18 (s)? = rotazione in e Vi = 0 V V = 0 V = V = 0 V * = 0 V = V = / / b disegnando a deformata quaitativa a monte de esercizio è possibie comprendere anche i verso dee rotazioni sezione 01 0 / o / * = 0 per = 0 = 0 / per = = cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 (sr) vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera b i sistema fittizio è identico a reae /EI q ( * ) = /EI R ( * ) = /EI * * 1/2 = /2EI Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) /2EI = 0 ( * ) ( * ) (s) = 0 ( * ) /2EI * 2/3 ( * ) * = 0 ( * ) = ( * ) ²/3EI R ( * ) ( * ) = /3EI = 2/3 /3 ( * ) = /6EI = 51

52 L RVE ELSI _Esercizio n19? = rotazione in e b i sistema è caricato simmetricamente è possibie studiare a struttura caricata con una soa forza e sovrapporre gi effetti isegnare ne sistema reae a deformata quaitativa è utie per intuire verso e segno dee rotazioni o degi abbassamenti richiesti Vi = 0 V V = 0 = 0 */3 V * = 0 V = /3 V = 2/3 sezione 01 0 /3 o 2/3 * = 0 per = 0 = 0 per = /3 = 2/9 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera /3 /3 /3 /3 /3 2/3 /3 2/3 2/9 2/9EI 2/3 2/3 (sr) q ( * ) = 2/9EI R1 ( * ) = 2/9EI * /3 * 1/2 = ²/27EI R2 ( * ) = 2/9EI * 2/3 * 1/2 = 2²/27EI Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) ²/27EI 2²/27EI = 0 (s) = 0 ( * ) ²/27EI * 2/9 2²/27EI * 5/9 ( * ) * = 0 ( * ) = 2³/243EI 10³/243EI ( * ) ( * ) = 4²/81EI = ( * ) = ²/9EI 4²/81EI = 0 ( * ) = 5²/81EI = È ora possibie appicare a sovrapposizione degi effetti: /3 /3 /3 V = /3 2/3 = V = 2/3 /3 = /3 R1 ( * ) R2 ( * ) ( * ) 2/9 /9 2/9 4/9 5²/81EI 4²/81EI 4²/81EI 5²/81EI = 1 2 = 5²/81EI 4²/81EI = ²/9EI = ( * ) /3 (sr) /3 2/3 52

53 SOSEI, ROZIOI, URVURE _Esercizio n20? = rotazione in e, abbassamento in /2 Vi = 0 V V q = 0 = 0 q*/2 V * = 0 V = q/2 V = q/2, /2 = q²/8 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera q ( * ) = q²/8ei R1 ( * ) = R2 ( * ) = q²/8ei * /2 * 2/3 q²/24ei Vi (s) = 0 ( * ) ( * ) q²/24ei q²/24ei = 0 (s) = 0 ( * ) q²/24ei * 5/16 q²/24ei * 11/16 ( * ) * = 0 ( * ) = 5q³/384EI 11q³/384EI ( * ) ( * ) = q²/24ei = ( * ) = q²/24ei = ( * ) /2 q²/24ei * /2 q²/24ei * 3/16 = 0 ( * ) /2 = q³/48ei 3q³/384EI q (sr) q²/8ei q/2 ( * ) V /2 q q/2 q²/8 R1 ( * ) R2 ( * ) ( * ) _Esercizio n21? = rotazione in e Vi = 0 V V q/3 = 0 = 0 q/3*/2 V * = 0 V = q/6 V = q/6 /2 q/6*/2 q/6*/12 = 0 /2 = 5q²/72 /3 = q²/18 cinematica sr (cerniera): V = 0; 0 (appoggio): V = 0; 0 vincoi s : ( * ) = 0; ( * ) 0 appoggio : ( * ) = 0; ( * ) 0 cerniera q ( * ) = q²/12ei R1 ( * ) = q²/18ei * /3 * 1/2 = q³/108ei R2 ( * ) = q²/18ei * /6 = q³/108ei R3 ( * ) = q²/72ei * /9 = q³/648ei ( * ) = ( * ) = R1 ( * ) R2 ( * ) R3 ( * ) ( * ) = q³/108ei q³/108ei q³/648ei ( * ) = 13q³/648EI = ( * ) = 13q³/648EI = q q/6 (sr) 5q²/72 5q²/72EI /3 /3 /3 q/3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 q/6 R3 ( * ) R2 ( * ) R1 ( * ) q²/18 q²/18ei ( * ) /2 = 5q³/384EI = V /2 5/16 3/16 3/16 5/16 ( * ) ( * ) 53

54 L RVE ELSI _bbassamenti e rotazioni notevoi er ottenere i risutato vouto, sostituire ae parti in grigio carichi e unghezze in anaisi orze appicate = ²/2EI = 7²/128EI V = ³/3EI V = 5²/128EI /4 3/4 = = 6²/125EI ²/16EI = 4²/125EI /5 4/5 = 5²/81EI = = 4²/81EI 3²/25EI /3 2/3 2/5 /5 2/5 = = 55²/1296EI ²/9EI = 35²/1296EI /3 /3 /3 /6 5/6 54

55 SOSEI, ROZIOI, URVURE orze appicate (formua generae) arichi distribuiti = b * (² b²) * 1 6EI = a * (² a²) * 1 6EI a b = q³/24ei q = q 13q³/648EI oppie di forze /3 /3 /3 = X/EI X = q V = X²/2EI V 37q³/3000EI 2/5 /5 2/3 = X/6EI X = X/3EI 55

56 L RVE ELSI 3 SRUURE IERSIHE Una trave può, a massimo, essere tre vote iperstatica (a destra), e cioè con tre gradi di vincoo in più di un sistema isostatico In questo capitoo verranno anaizzate strutture una vota iperstatiche, con un grado di vincoo in più _acoo de incognita iperstatica mediante i metodo dee forze H a I probema prevede a souzione di quattro incognite I mezzi a disposizione sono e tre equazioni fondamentai dea statica, che non permettono di risovere tutte e incognite V V V () b togiere i vincoo in più, rendendo a struttura isostatica, e caricara con i carico reae in questo caso è stato toto appoggio, ma è possibie anche rendere incastro una cerniera Senza appoggio, a struttura si deforma ne modo iustrato a fianco, individuando abbassamento V () X V (X) c i vincoo toto in produceva una reazione incognita; se i vincoo fosse rimasto a suo posto abbassamento sarebbe stato zero i vincoo imponeva una reazione di congruenza in que punto a reazione deve produrre uno spostamento verticae uguae in moduo ma di verso opposto a queo de sistema senza appoggio; si andrà a cacoare proprio tae abbassamento, che prende i nome di incognita iperstatica (X) 56