I vettori CAPITOLO 2 1. I VETTORI CON GEOGEBRA. Ci sono due comandi selezionabili dai menu di disegno che operano sui vettori:

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1 CAPITOLO 2 I vettori 1. I VETTORI CON GEOGEBRA Ci sono due comandi seezionabii dai menu di disegno che operano sui vettori: 3-Vettore tra due punti permette di disegnare un vettore che ha origine ne primo punto e come secondo estremo i secondo punto; non eá necessario che i punti siano giaá presenti ne piano 3-Vettore da un punto costruisce un vettore equipoente ad un atro giaá presente ne piano a partire da un punto, che deve anch'esso essere giaá stato disegnato. Un vettore puoá anche essere costruito tramite a riga di inserimento assegnando e sue componenti ungo gi assi cartesiani oppure con i comando vettore indicando come parametri i due punti estremi, se sono giaá stati definiti, oppure e oro coordinate: v ˆ(componente x, componente y) vettore [A, B] oppure vettore x A, y A, x B, y B Š Per esempio: a ˆ 2, 3 disegna i vettore ~a con origine ne'origine degi assi cartesiani che ha come componenti 2 ungo 'asse x e 3 ungo 'asse y. I nome de vettore deve essere indicato con una ettera minuscoa percheâ in caso contrario verrebbe definito un punto, non un vettore. vettore 1, 4, 2, 1 Š genera i vettore che ha i primo estremo ne punto 1, 4 e i secondo ne punto 2, 1. Nea Vista Agebra a vettore viene assegnato un nome e vengono cacoate e sue componenti ungo gi assi cartesiani; con un doppio cic su vettore si apre a finestra di diaogo nea quae sono visibii e coordinate dei due punti. Se i primo estremo eá 'origine, si puoá uguamente usare i comando vettore[ ] mettendo come parametro soo e coordinate de secondo estremo; i vettore ~a precedente puoá anche essere costruito con i comando vettore 2, 3 Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI 1

2 Sommare o sottrarre due vettori oppure motipicare un vettore per uno scaare eá moto sempice: una vota inseriti i due vettori, basta scrivere nea riga di inserimento 'operazione da fare; per i prodotto scaare basta invece scrivere i due vettori separati da uno spazio. Per esempio, dopo aver disegnato i due vettori: a ˆ 3, 1 e b ˆ 2, 4 cacoiamo a oro somma, a oro differenza, i prodotto 3 ~a e i oro prodotto scaare; nea riga di inserimento scriviamo rispettivamente: c ˆ a b d ˆ a b e ˆ 3 a f ˆ ab Nea Vista Agebra vengono riportate e componenti dei vettori risutato. L'angoo formato da due vettori si puoá determinare con i comando angoo vettore1, vettore2š Per esempio 'angoo formato dai due vettori ~a e ~ b precedenti si determina scrivendo nea riga di inserimento angoo a, bš 2 Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Non esistono funzioni o comandi predefiniti per cacoare i moduo ea di un vettore; possiamo peroá costruiri con e regoe dea trigonometria. Osserviamo innanzi tutto che a componente x e a componente y di un vettore a possono essere messe in evidenza con i comando xa e ya. Per determinare i moduo m di un vettore a usiamo i teorema di Pitagora: m ˆ sqrt x a ^2 y a ^2 Per determinare a sua usiamo i teoremi sui triangoi rettangoi: dir ˆ asin y a =m 180 Spieghiamo a seconda istruzione: i rapporto tra a componente y e i moduo m de vettore eá i seno de'angoo ; per trovare 'angoo dobbiamo usare a funzione inversa de seno, che con GeoGebra eá rappresentata da comando asin, seguito da rapporto ya m : asin y a =m I risutato di questa operazione eá 'angoo espresso in radianti; per trasformaro in gradi dobbiamo motipicare per i rapporto 180. Prova ad eseguire questa procedura per determinare moduo e de vettore a ˆ 4, 1 ; troverai che m ˆ 4,12 e dir ˆ 14, I VETTORI CON DERIVE Un vettore ~v viene dichiarato mediante e sue componenti cartesiane racchiuse in una coppia di parentesi quadre. Per inserire un vettore si possono scrivere direttamente e componenti, oppure si puoá ricorrere a comando Crea/ Vettore; in questo secondo caso occorre specificare i numero di componenti nea finestra di diaogo e poi inserire e componenti. Per esempio, per creare i vettore ~v 5, 4 : scriviamo direttamente nea riga di inserimento 5, 4Š eventuamente possiamo assegnare i vettore a una variabie: v :ˆ 5, 4Š attiviamo i comando Crea/Vettore, indichiamo 2 come numero di componenti, inseriamo 5 e 4 nee due righe dea finestra di creazione de vettore. Anche con Derive, per eseguire e principai operazioni sui vettori basta indicare 'operazione da eseguire. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI 3

4 Osserva a finestra di Agebra nea quae, dopo aver creato quattro vettori nee prime quattro righe, abbiamo cacoato in quee successive: #1 #2 3 #1 v 2r 1 2 #1 Per cacoare i moduo di un vettore ~v si usa a funzione ABS; riferendoci a vettore v definito prima: abs v appica a formua q vx 2 v2 y e restitituisce p 26. Per determinare 'angoo di de vettore, dobbiamo cacoare prima i seno di mediante i rapporto v y v e poi risaire a'angoo. Le componenti di un vettore si possono estrarre con a funzione vsubn dove v eá i nome de vettore e n indica i posto occupato da'eemento: vsub1 eá i primo eemento, vsub2 eá i secondo eemento de vettore ~v. Ne nostro caso dobbiamo scrivere: s :ˆ vsub2=abs v s eá i vaore de seno di afa :ˆ asin s 180= i vaore di viene restituito in radianti e viene trasformato in gradi motipicando per i rapporto 180 Appicate a vettore ~v precedente, queste istruzioni, sempificando con i comando Approssima, restituiscono un angoo di 78,69. ESERCIZI Esegui con GeoGebra. ƒ! ƒ! ƒ! 1. Dopo aver rappresentato i punti A 3, 1, B 1, 4, C 3, 1, costruisci i vettori AB, AC, BC. Verifica che i ƒ! ƒ! ƒ! vettore BC rappresenta a differenza AC AB. 4 Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 2. Trova una procedura che, dato un vettore ~v e due direzioni fissate, trovi graficamente e componenti di ~v ungo tai direzioni. 3. Dato i vettore ~v 4, 6, trova e sue componenti ungo gi assi cartesiani e 'angoo che definisce a sua. 4. Considerati i vettori ~v toriae. 1 2,4 e ~s 2, 1, trova una procedura che determini i moduo de oro prodotto vet- Esegui con Derive. 5. Dati i vettori ~v 3, 2, ~w 6, 5, ~p 4, 3, cacoa: a. ~v ~w b. ~w ~v c. ~v ~w ~p d. ~v ~w ~p 6. Considera ancora i vettori de'esercizio precedente e cacoa: a. 3~v 2~w b. 2~v 4~w 2~p c. ~v 3~p 5~w d. 2~v 3 ~p ~w 2 7. Costruisci una funzione che, avuti come dati in ingresso due vettori de piano, cacoi i oro prodotto scaare e i moduo de prodotto vettoriae; appicaa poi per cacoare i prodotti dei vettori ~a 1, 1 e b ~ 2, Cerca nea Guida di Derive se esiste una funzione che esegue i prodotto vettoriae di due vettori; appicaa poi per cacoare i moduo de prodotto di ~v 5, 1 per ~s 2, 2. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI 5

6 La Fisica nea vita di tutti i giorni I cacoo vettoriae eá senza dubbio una dee attivitaá che, anche se non sempre in modo evidente, capita di dover affrontare in piuá di quache occasione. Un bambino che tira una sitta appica una forza sua sitta tramite una fune, e una forza si rappresenta con un vettore; quando una paa da biiardo urta contro a sponda, viene respinta verso 'interno de tavoo con una precisa che dipende da'angoo di incidenza e e direzioni, prima e dopo 'urto, si rappresentano con dei vettori; due forze opposte appicate non paraeamente agi estremi di una sbarra rigida ne provocano a rotazione. Questi sono soo acuni esempi di fenomeni che, per essere spiegati, necessitano in quache modo di operare con i vettori. Gi esercizi che ti proponiamo di seguito si risovono appicando e conoscenze sui vettori che abbiamo acquisito in questo capitoo; acuni riguardano argomenti di Fisica, atri sono piuá vicini ae cose che ci capitano tutti i giorni. 1 Durante un addestramento di un gruppo di boy scout, ai ragazzi viene chiesto di aontanarsi i piuá possibie da campo base B seguendo un percorso di tre tratti rettiinei fissati, in una sequenza che ognuno di oro puoá scegiere a piacere. I tre tratti sono i seguenti: un tratto rappresentato da un vettore ~a di 3,0km verso Nord un tratto ~ b di 2,0km verso Sud un tratto ~c di 1,5km in Nord Ovest di 60 rispetto aa Nord. Di ciascun tratto si puoá anche invertire i senso di marcia, cioeá si puoá considerare anche o spostamento a, b, c. Qua eá, secondo te, i percorso che si aontana maggiormente da campo base in inea retta? 2 Una barca a vea, per poter navigare, ha bisogno dea spinta che a forza de vento esercita sue vee; di conseguenza se, partendo da un punto A, deve raggiungere un punto B, i piuá dee vote non puoá dirigere a prua nea AB, ma deve percorrere tratti con angoazioni diverse in modo da sfruttare i vento ne migior modo possibie. La nostra barca, partendo a A, si dirige quindi per un tratto di 1500m ungo una che forma un angoo di 60 con a Nord, vira poi ad angoo retto in Est-Sud e percorre un tratto di 800m; quindi vira di nuovo in Est di un angoo di 45 e percorre un utimo tratto di 1200m. A quae distanza in inea retta da punto di partenza si trova a barca e che angoazione ha a sua andatura rispetto aa Nord? 3 Un radar intercetta un aereo in avvicinamento a una distanza di 1500m; a postazione radar segue 'aereo, che si muove di moto rettiineo, per un angoo di 150 e rieva a questo punto una distanza di 2400m. Di quanto si eá spostato 'aereo durante i rievamento? 4 La poizia eá riuscita ad infitrare un suo agente in un gruppo di terroristi e o ha dotato di un micro ocaizzatore che, coegato a un computer, permette di seguire ogni suo spostamento. L'agente riesce a 6 Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 comunicare aa centrae che per que giorno eá prevista una riunione di tutto i gruppo in una ocaitaá segreta e che in que'occasione ci saraá anche i capo de gruppo. I poiziotti seguono su monitor gi spostamenti de'agente che vengono sovrapposti ad una mappa stradae; individuano in questo modo i uogo dea riunione, appostano i tiratori sceti, fanno irruzione nei ocai e arrestano tutti i componenti de gruppo. Basandoti sugi spostamenti rievati e con riferimento aa cartina in figura dove 1 cm corrisponde a 2 km, sai dire in che ocaitaá sono stati arrestati i terroristi? Partenza: via Miano, angoo via Gabeini Spostamenti: Est: 6,5 km Est, 30 Nord: 2km Est, 90 Sud: 2,5km Sud, 20 Ovest: 3,2km Est, 70 Nord: 4,3km 4 Via Lombardia, angoo via Vota 3 circa 3774m 2 circa 2869m, circa 95 1 possibii percorsi: ~ a b~ c~ oppure 'opposto b~ ~ a c~ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 2: I VETTORI 7