Le isometrie nel piano

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1 CAPITOLO 4 Le isometrie ne piano 1. ISOMETRIE CON GEOGEBRA Gi strumenti per eseguire trasformazioni geometriche si trovano nea nona icona. Nee esercitazioni che seguono cercheremo di riconoscere e principai proprietaá dee isometrie, con particoare riguardo ae simmetrie assiai. Esercitazione 1. Simmetrie, trasazioni e rotazioni Disegniamo un triangoo ABC ne piano eucideo e troviamo: 1. i suo simmetrico rispetto a un punto O de piano; 2. i suo simmetrico rispetto a una retta a che assumiamo come asse di simmetria; 3. i suo corrispondente nea trasazione di un vettore ~v assegnato; 4. i suo corrispondente in una rotazione di ampiezza attorno a un punto P. Punto 1. Simmetria centrae Disegniamo un triangoo ABC e un punto O; mediante i Menu contestuae visuaizziamo poi e ettere in corrispondenza dei vertici. Per costruire i triangoo simmetrico di ABC rispetto ad O usiamo o strumento 9-Simmetrico rispetto a un punto; a breve guida a ato dea barra degi strumenti grafici ci dice che dobbiamo ciccare prima su'oggetto da trasformare, ne nostro caso i triangoo ABC, e poi su centro di simmetria, ne nostro caso i punto O. Subito viene disegnato i triangoo A 0 B 0 C 0 ; notiamo che i punti che si corrispondono vengono indicati con a stessa ettera munita di un apice. Per megio evidenziare a procedura di costruzione, tracciamo e rette che passano per i punti simmetrici: tai rette evidentemente passano tutte per O (in figura abbiamo modificato o stie de tratto scegiendo a rappresentazione a puntini). Scegiendo adesso un punto quasiasi su ato AB e troviamo i suo simmetrico rispetto ad O; da menu contestuae di questi due punti spuntiamo a voce Traccia attiva. Se adesso facciamo scorrere i primo punto su AB, anche i suo simmetrico scorre su A 0 B 0 e dee successive posizioni dei due punti rimane traccia su fogio di avoro. Evidenziamo adesso gi angoi dei due triangoi con o strumento 8-Angoo, ciccando prima su un triangoo e Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO 1

2 poi su'atro (degi angoi viene indicata anche a misura in gradi e da essa possiamo giaá anticipare a congruenza degi angoi corrispondenti). Individuiamo e proprietaá di questa trasformazione usando i comando 10-reazione tra due oggetti: ciccando su una coppia di angoi corrispondenti, per esempio su quei di vertici A e A 0 ci viene comunicato che i due angoi sono uguai (non viene usato in GeoGebra i termine "congruenti"); ciccando su una coppia di segmenti corrispondenti, per esempio su AB e A 0 B 0 ci viene comunicato che i due segmenti hanno a stessa unghezza (nea versione attuae viene detto che i due segmenti non sono uguai ma che hanno a stessa unghezza, versioni successive potrebbero aver corretto questo errore); ciccando sui due triangoi, ci viene comunicato che sono uguai. In modo de tutto anaogo si deve procedere per soddisfare ae atre richieste; diamo soo acuni cenni sui passi da seguire, ricordando che si deve poi mostrare, tracciando opportuni segmenti, a procedura di costruzione. Punto 2. Simmetria rispetto a una retta a Si disegna a retta a asse di simmetria. Si attiva o strumento 9-Simmetrico rispetto a una retta e si cicca prima su triangoo ABC e poi sua retta a. Punto 3. Trasazione di vettore ~v Si disegna un vettore con o strumento 3-Vettore tra due punti. Si attiva o strumento 9-Trasa di un vettore e si cicca prima su triangoo ABC e poi su vettore. Punto 4. Rotazione di ampiezza attorno a un punto P Si attiva o strumento 9-Ruota intorno a un punto di un angoo. Si cicca su triangoo ABC e poi su punto P centro dea rotazione. Nea finestra di diaogo che si apre, si indica 'ampiezza de'angoo e si scegie i verso di rotazione orario oppure antiorario. Esercitazione 2. Prodotto di isometrie Dopo aver disegnato un triangoo ABC studiamo a che cosa equivae i prodotto di: 1. due simmetrie assiai con gi assi perpendicoari 2. due simmetrie assiai con gi assi paraei 3. due simmetrie assiai con gi assi fra oro incidenti in modo quasiasi 4. due simmetrie centrai. Punto 1. Prodotto di simmetrie assiai con gi assi perpendicoari Disegnato i triangoo ABC e due rette a e b tra oro perpendicoari che si intersecano in O, troviamo i simmetrico di ABC rispetto aa retta a; successivamente i simmetrico de triangoo A 0 B 0 C 0 ottenuto rispetto aa retta b. Tracciamo adesso i segmenti che uniscono i punti A e A 00, B e B 00, C e C 00 ; tutti questi segmenti passano per O che eá anche i oro punto medio (si puoá verificare con o strumento 2-Punto medio). I due triangoi ABC e A 00 B 00 C 00 sono quindi simmetrici rispetto a punto O. Questo conferma che: i prodotto di due simmetrie assiai con gi assi perpendicoari equivae ad una simmetria centrae avente centro ne punto di intersezione degi assi. 2 Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Punto 2. Prodotto di simmetrie assiai con gi assi paraei In una nuova finestra grafica disegniamo un atro triangoo ABC e due rette a e b tra oro paraee; troviamo poi i triangoo simmetrico di ABC rispetto ad a e poi i simmetrico di quest'utimo rispetto a b. Tracciamo ora i vettori che congiungono i punti omooghi A e A 00, B e B 00, C e C 00. Usiamo o strumento 10-Reazione tra due oggetti e cicchiamo prima su vettore AA 00 e poi su BB 00 ; a finestra di diaogo che si apre ci comunica che i due vettori sono uguai. La stessa cosa capita quando cicchiamo su BB 00 e poi su CC 00. Possiamo aora concudere che ABC e A 00 B 00 C 00 si corrispondono in una trasazione di vettore AA 00. Per comprendere se esiste una reazione fra questo vettore e i due assi di simmetria, tracciamo i vettore che esprime a distanza tra e due rette paraee: da un punto di a tracciamo a perpendicoare ad a e determiniamo i punto di intersezione con b tracciamo i vettore ~z che unisce questi due punti con verso daa retta a aa retta b. Costruiamo adesso un vettore ~s che sia uguae a doppio de vettore ~z: nea barra di inserimento scriviamo s ˆ 2 z confermiamo con INVIO. Nea Vista Grafica viene visuaizzato i vettore ~s. Usando o strumento 10-Reazione tra due oggetti confrontiamo i vettore ~s con uno quaunque dei vettori AA 00, BB 00, CC 00 : i due vettori sono uguai. Dunque: i prodotto di due simmetrie assiai con gi assi paraei equivae ad una trasazione di vettore perpendicoare agi assi e di moduo doppio dea oro distanza. Punto 3. Prodotto di simmetrie assiai con gi assi fra oro incidenti in modo quasiasi Disegniamo due rette a e b incidenti in un punto O ma non perpendicoari ed eseguiamo e due simmetrie, prima rispetto aa retta a e poi aa retta b. Definiamo adesso 'angoo fra e due rette (orientato da a verso b) ed eseguiamo una rotazione de triangoo ABC attorno ad O di ampiezza pari a 2 (i verso di rotazione eá orario oppure antiorario a seconda di come si sono scete e rette a e b; nea figura i verso eá orario). Nea rotazione i triangoo ABC corrisponde di nuovo a triangoo A 00 B 00 C 00. Abbiamo cosõá verificato che: i prodotto di due simmetrie assiai con gi assi incidenti in O e che formano un angoo di ampiezza eá equivaente a una rotazione di ampiezza 2 e centro O. Punto 4. Prodotto di simmetrie centrai Dopo aver di nuovo costruito un triangoo ABC, fissiamo due punti P e Q che rappresentano i centri dee due simmetrie. Costruiamo i simmetrico di ABC rispetto a punto P e poi i simmetrico di quest'utimo rispetto a punto Q. Per evidenziare e due simmetrie tracciamo anche i segmenti che uniscono i punti omooghi dei triangoi che si corrispondono e, per evitare possibii confusioni, usiamo i Menu contestuae per modificare o stie de tratto (nea figura che segue abbiamo sceto a inea a puntini). Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO 3

4 Per capire in quae trasformazione si corrispondono i triangoo ABC e i triangoo A 00 B 00 C 00, usando o strumento 3-Vettore tra due punti, tracciamo i vettore ƒ! ƒ! PQ e i vettore AA 00 (nea figura abbiamo modificato o stie attraverso i Menu contestuae e i abbiamo evidenziati rispettivamente in rosso e in verde con un tratto di spessore piuá marcato). Troviamo poi i punto medio M de segmento AA 00 e definiamo i vettore AM ƒ!. Mediante o strumento 10-reazione tra due oggetti verifichiamo che i due vettori ƒ! PQ e AM ƒ! sono uguai. Abbiamo cosõá verificato che: i prodotto di due simmetrie centrai equivae a una trasazione di vettore doppio dea distanza tra i due centri. 2. ISOMETRIE CON CABRI Gi strumenti per eseguire trasformazioni ne piano si trovano ne'icona Trasforma riportata a ato. Quei che ci servono in questo capitoo sono soo i primi quattro ed eá immediato capire a quae isometria si riferiscono. Vediamo dunque come utiizzare questi strumenti. Esercitazione 1. La simmetria assiae Per trovare i simmetrico di un oggetto geometrico rispetto a una retta occorre eseguire in sequenza ordinata queste operazioni: seezionare o strumento Simmetria assiae indicare 'oggetto da trasformare indicare 'asse di simmetria. In genere 'asse di simmetria eá una retta o una sua parte, vae a dire che si puoá trovare i simmetrico di un oggetto rispetto a un segmento o a un ato di un poigono; in questi casi viene assunta come asse di simmetria a retta a cui appartiene que segmento o que ato. Per renderti conto di come funzionano e cose, disegna ne fogio di avoro un triangoo ABC e una retta r ed esegui poi queste operazioni dopo aver attivato o strumento Simmetria assiae: cicca prima su triangoo (quando avvicini i cursore compare i messaggio Simmetrico di questo triangoo) e poi sua retta (compare i messaggio Rispetto a questa retta); trovi cosõá i simmetrico di ABC rispetto a r cicca prima sua retta (compare i messaggio Simmetrica di questa retta) e poi su un ato de triangoo, per esempio AB (compare i messaggio Rispetto a questo ato de triangoo); trovi cosõá a retta simmetrica di r rispetto ad AB. Nea figura di pagina seguente, a sinistra eá rappresentato i risutato dea prima operazione, a destra i risutato dea seconda, dove eá a retta de ato AB che viene considerata asse di simmetria. Devi quindi prestare attenzione a'ordine con cui seezioni gi oggetti: prima 'oggetto di cui si vuoe trovare i simmetrico, poi 'asse di simmetria; in ogni caso i messaggio che compare quando avvicini i cursore ti guida nea sceta. Verifichiamo adesso e proprietaá dea simmetria assiae riferendoci iniziamente aa trasformazione di sinistra de'immagine: n nascondi i triangoo ABC (rimangono in evidenza i suoi vertici) e poi, con a stessa procedura, determina i simmetrico di A 0 B 0 C 0 rispetto ao stesso asse r : ottieni di nuovo i triangoo ABC di partenza; a simmetria assiae eá quindi invoutoria 4 Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 n disegna una retta s perpendicoare a'asse di simmetria e trova a sua trasformata: apparentemente non accade nua percheâ a retta trasformata coincide con se stessa. In reataá se ti poni nea modaitaá Puntatore e sposti i mouse sua retta, compare i messaggio "Quae oggetto?" percheâ e rette sono due, sovrapposte. Possiamo aora dire che s eá una retta unita n prendi adesso un punto P su s e trova i suo trasformato: tae punto appartiene ancora a s ma non coincide con P, cioeá non eá unito: e rette perpendicoari a'asse sono dunque rette unite ma non sono rette di punti uniti. Esercitazione 2. Le atre isometrie Con procedure anaoghe si eseguono e atre isometrie; vediamo quai sono e operazioni da eseguire. n Simmetria centrae Si seeziona o strumento Simmetria centrae, si indica per primo 'oggetto da trasformare, si indica per secondo i centro dea simmetria. Se i centro eá un punto giaá rappresentato ne fogio di avoro, basta avvicinare i cursore (compare i messaggio Rispetto a questo punto) e ciccare; se i centro non eá ancora stato disegnato, si deve ciccare ne punto desiderato. n Trasazione Per eseguire una trasazione occorre assegnare i vettore di trasazione mediante o strumento Vettore de'icona Rette; i vettore viene disegnato ciccando ne'ordine ne punto origine e ne secondo estremo de vettore. Si seeziona poi o strumento Trasazione e si indica 'oggetto da trasformare e poi i vettore dea trasazione. n Rotazione Per eseguire una rotazione occorre assegnare un punto (i centro dea rotazione) e un angoo. L'angoo deve essere disegnato prima di utiizzare questo strumento e puoá essere dato in diversi modi: ciccando su un angoo giaá rappresentato; in questo caso i verso dea rotazione eá orario se 'arco eá stato definito prendendo i punti in senso antiorario, eá antiorario in caso contrario. indicando 'ampiezza in gradi de'angoo mediante o strumento Numeri de'icona Visuaizza: scrivendo un numero positivo a rotazione eá in verso antiorario, scrivendo un numero negativo eá in verso orario. Fissati i centro e 'ampiezza, per eseguire una rotazione si deve procedere come per e atre trasformazioni: indicare per primo 'oggetto a cui appicare a rotazione, per secondo i centro e per utimo 'angoo. Verifichiamo adesso e proprietaá di queste isometrie: disegna un segmento AB che useremo come oggetto da trasformare ed esegui queste operazioni. n Trova i simmetrico A 0 B 0 di AB rispetto ad un punto O e, usando gi opportuni strumenti, verifica che: AB ed i suo trasformato sono paraei AB ed A 0 B 0 hanno a stessa unghezza a simmetria centrae eá invoutoria. n Disegna un vettore ~v ed appica ad AB a trasazione de vettore sceto; verifica che: AB ed i suo corrispondente nea trasazione sono paraei e hanno a stessa unghezza a trasazione non eá invoutoria. n Dopo aver indicato e seguenti ampiezze di angoi: 180, 60, fissa un punto O ne fogio di avoro e, considerando sempre AB come oggetto iniziae, esegui e seguenti rotazioni di centro O: di ampiezza 180 e verifica che A 0 B 0 si ottiene anche mediante a simmetria di centro O di ampiezza 60 e verifica che a rotazione non eá invoutoria. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO 5

6 Esercitazione 3. I prodotto di trasformazioni Con Cabri eá facie anche vedere che cosa si ottiene eseguendo un prodotto di trasformazioni; verifichiamo per esempio che i prodotto di due simmetrie assiai con gi assi incidenti eá una rotazione di ampiezza uguae a doppio de'angoo formato dai due assi. Disegna dunque due rette r e s (gi assi di simmetria) e un segmento AB; esegui poi queste operazioni: trova i simmetrico di AB rispetto a r e chiamao CD trova i simmetrico di CD rispetto a s e chiamao EF definisci 'angoo formato dae due rette r e s e trova a sua ampiezza definisci 'angoo di rotazione uguae a doppio de'angoo (puoi usare a cacoatrice di Cabri e trascinare i risutato ne fogio di avoro in modo che a variare de'ampiezza di vari in corrispondenza anche ; ricorda poi di attribuire i segno corretto a'ampiezza ottenuta) nascondi i segmento EF (rimane a traccia dei suoi estremi) e trova i corrispondente di AB nea rotazione di ampiezza. Savo errori di approssimazione, 'utimo segmento trovato si sovrappone a segmento EF. ESERCIZI 1. Verifica che i prodotto di due rotazioni di centro O rispettivamente di ampiezza e equivae a una rotazione deo stesso centro e ampiezza. 2. Disegna un quaunque triangoo ABC e costruisci i suo simmetrico rispetto aa retta de ato AC; indicato con B 0 i corrispondente de vertice B, costruisci i simmetrico de triangoo ottenuto rispetto aa retta de ato B 0 C. Individua: a. gi eementi uniti nea prima e nea seconda simmetria b. in quae trasformazione si corrispondono i primo ed i terzo triangoo. 3. Verifica che a simmetria assiae eá una trasformazione invoutoria, mentre a rotazione non o eá. 4. Disegna un triangoo e due vettori ~v e! w ; appica a triangoo a trasazione di vettore ~v e, a suo trasformato, a trasazione di vettore! w. Verifica che i prodotto dee due trasazioni equivae a una trasazione che ha come vettore ~v! w. 5. Disegna un triangoo ABC isoscee sua base BC e traccia a retta de'atezza AH; individua i suo corrispondente nea simmetria avente per asse AH. Quai osservazioni puoi fare? Ci sono punti e rette unite? 6. Disegna un triangoo ABC e appica ad esso a simmetria avente per asse a retta di AB; a triangoo ottenuto appica a simmetria avente per asse a retta di BC. Individua a trasformazione nea quae si corrispondono ABC e 'utimo triangoo ottenuto. 7. Disegna due segmenti congruenti e paraei AB e CD e individua e simmetrie nee quai essi si corrispondono. 6 Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 Approfondimento La topoogia e 'aneo di MoÈbius Nee isometrie moti sono gi invarianti: e unghezze dei segmenti, e ampiezze degi angoi, 'aineamento dei punti, 'incidenza e i paraeismo; vi sono peroá trasformazioni in cui ben poco si conserva. Anche se questo tipo di trasformazioni sembra piuá compesso a prima vista da descrivere e da studiare, esso eá tuttavia i primo che si usa. Un bambino di 3-4 anni, in effetti, disegna a figura umana mettendo un ovae a posto dea testa, quacosa che ricorda un triangoo o un rettangoo a posto de corpo e dee inee piuá o meno unghe a posto dee gambe e dea braccia; eá interessante poi notare che egi disegna due piccoi cerchi e una specie di arco a'interno de'ovae dea testa per disegnare occhi e bocca. Un bambino possiede quindi giaá e reazioni di inea aperta/chiusa e di interno/esterno. Uno dei piuá recenti ed interessanti rami dea matematica, nato nea seconda metaá de XIX secoo, eá a topoogia, a quae studia appunto e proprietaá dee figure geometriche sottoposte a deformazioni che ne modificano radicamente forma e dimensioni. La topoogia, in atre paroe, si occupa di un particoare tipo di trasformazioni geometriche, dette appunto trasformazioni topoogiche, in cui sussistono particoari invarianti quai ad esempio a distinzione interno/esterno, a percorribiitaá continua, etc. In figura 1 puoi vedere un esempio di come un oggetto che presenta due fori puoá essere trasformato senza che e sue proprietaá topoogiche si modifichino: a figura finae, seppur diversa per forma e dimensioni, puoá essere ottenuta daa prima per deformazioni continue, senza strappi. Figura 1 Lo studio dea topoogia ha portato a considerare moti aspetti curiosi dea reataá, che, pur rispondendo a una formuazione teorica rigorosa, possono essere visti come piacevoi giochi. Se prendi una striscia di carta e chiedi a un tuo amico quante "facce" ha, egi ti risponderaá sicuramente due. Puoi scommettere peroá che sei in grado di costruire una superficie con una soa faccia. Come? Prendi una striscia rettangoare e, dopo aver fatto compiere ad uno degi estremi un mezzo giro, incoa e due estremitaá ottenendo in questo modo un aneo come in figura 2. Se ora provi a percorrere con un pennareo a striscia a partire da un suo punto, ti accorgerai che ritorni a punto di partenza dopo aver percorso tutte e due e facce de rettangoo iniziae. La superficie che hai costruito ha quindi una soa faccia. Figura 2 Una superficie di questo tipo eá detta nastro o aneo di MoÈbius, in quanto venne studiata da'astronomo tedesco Augustus MoÈbius ( ), i quae fu i primo ad anaizzare e sorprendenti proprietaá di questo nuovo aspetto dea geometria. Sebbene una superficie come 'aneo di MoÈbius possa apparire soo un divertente gioco matematico, essa ha trovato appicazioni in atri campi, ad esempio in fisica come modeo dea ricerca sue particee subatomiche. PiuÁ in generae possiamo dire che a topoogia eá utiissima nei piuá diversi settori, daa pianificazione dea viabiitaá su un territorio a disegno dei circuiti integrati dei computer. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO 7

8 1 La figura B si ottiene daa figura A tramite: a. a simmetria di centro P b. una rotazione di centro Q c. a simmetria rispetto aa retta ` d. una trasazione e. a simmetria rispetto a una retta de piano non tracciata in figura. a: Š 2 I diagramma a fianco viene ruotato attorno a'origine. Quae fra e seguenti eá a figura che eá stata ottenuta? a. b. c. d. e. e: Š 3 Quanti assi di simmetria possiede a figura a ato? a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. nessuna dee precedenti e: Š 4 Fissiamo un punto O ne'intersezione di due inee di un fogio a quadretti e indichiamo e quattro direzioni paraee ae inee come Nord, Sud, Est, Ovest (i Nord in ato). Muoviamoci, partendo da O, di un quadretto verso Est, poi due verso Nord, tre verso Ovest, quattro verso Sud, cinque verso Est e cosõávia. Dopo 1997 passi, in che punto ci troviamo rispetto a punto iniziae O? a quadretti a Nord di O b. 998 quadretti a Sud e 999 quadretti a Est di O c. 999 quadretti a Ovest e 998 quadretti a Nord di O d. 999 quadretti a Nord e 999 quadretti a Ovest di O e. 998 quadretti a Est e 998 quadretti a Sud di O. b: Š 5 Ci sono cinque sagome di cartoncino identiche che sono bianche da un ato e nere da'atro ato. Poste su un tavoo esse si trovano nee posizioni in figura, quattro mostrano a faccia nera e una quea bianca. Qua eá a sagoma bianca? a. b. c. d. e. d: Š 8 Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 6 Si consideri una retta r ed un triangoo ABC che giace in uno dei due semipiani individuati da r. Detti A 0, B 0, C 0 i punti simmetrici di A, B, C rispetto a r, si conduca da A 0 a paraea a BC, dab 0 a paraea ad AC edac 0 a paraea ad AB. Si dimostri che queste tre rette passano per uno stesso punto. 7 Dato un triangoo scaeno ABC, sia C 0 i punto simmetrico di C rispetto aa retta AB. Siano: a a retta simmetrica dea retta C 0 A rispetto aa retta CC 0, M i punto intersezione di a con a retta CB. Anaogamente, sia b a retta simmetrica di C 0 B rispetto a CC 0, e sia N i punto intersezione di b con a retta CA.Si dimostri che e rette CC 0, AB, MN passano per uno stesso punto. 8 Ne Far West due fiumi rettiinei scorrono paraeamente aa distanza di 10km. Lo stregone di un viaggio indiano, che si trova nea sua capanna, deve raccogiere un'ampoa d'acqua da ciascuno dei due fiumi e portare e ampoe a viaggio per a cerimonia dea preghiera a ManituÁ. Qua eá a minima distanza de percorso che deve compiere, sapendo che a capanna e i viaggio sono equidistanti dai due fiumi e distano fra oro 48km? a. 48 b. 52 c. 53 d. 58 e. p b: Š I geotista, ovvero i geometra artista Le isometrie sono e trasformazioni che piuá vengono usate ne'arte in genere, daa pittura, a'architettura, aa scutura. Si possono reaizzare simpatiche costruzioni appicando i concetti imparati a questo proposito; basta avere quache specchio, dee pietruzze coorate, sagome di cartone, coori a tempera, un po'di coa e... tanta fantasia. Pitture simmetriche I bambini amano usare i coori e, con a fantasia che soo un bimbo puoá avere, riconoscono ne risutato dee oro opere immagini e figure fantastiche: draghi, fiori dae forme inconsuete, ciei sconfinati pieni di nuvoe, fiamme che si innazano fino a imite de disegno. Ma tutte queste immagini sono spesso gemee, non esiste un drago senza i suo compagno, un fiore soitario, una nuvoa spaiata, una fiamma che brucia in soitudine. Probabimente anche tu, da piccoo, stendevi dei grumi di coore a'interno di un fogio piegato a metaá, bianco, giao, bu, rosso, arancio; poi chiudevi ben bene i fogio e premevi con e mani su coore che si espandeva a'interno dea piegatura. Quando riaprivi i fogio, a magia era compiuta: nee due metaá, perfettamente simmetriche, e tue figure fantastiche. La camera a specchi Prepara un piano di cartone su quae disegnare una serie di angoi tutti con un ato in comune come in figura: un angoo retto, un angoo di 60 e uno di 45. Procura poi due specchi piani rettangoari uguai e disponii ad angoo ungo i ato piuá corto; uniscii su retro con un pezzo di nastro adesivo, in modo peroá che sia possibie modificare 'ampiezza de'angoo di apertura. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO 9

10 Appoggia i due specchi su piano e aprii a 90. Metti un oggetto quasiasi, per esempio una pietruzza coorata, una moneta o un disegno geometrico coorato, a'interno deo spazio deimitato dagi specchi. Se ti metti di fronte aa struttura cosõá preparata, quanti sono gi oggetti che vedi riprodotti? Ripeti 'esperienza modificando 'angoo di apertura a 60. Questa vota quanti sono gi oggetti? Che cosa succede quando 'angoo diventa di 45? Modifichiamo adesso a camera mettendo i due specchi a 60 e ponendo un terzo specchio davanti ai primi due. Nea precedente esperienza 'oggetto che hai posto fra i due specchi si era riprodotto per 5 vote formando, insieme a'oggetto reae, un esagono. L'aggiunta de terzo specchio riproduce 'esagono coprendo interamente a superficie deimitata dai tre specchi eseguendo una caratteristica pavimentazione. Muovendo 'oggetto a pavimentazione cambia di continuo creando effetti di simmetria moto piacevoi e in continua evouzione. Un'utima domanda: sai spiegare percheâ abbiamo considerato angoi di apertura di 90, 60 e 45? I caeidoscopio I principi dea camera a specchi descritta ne'esercizio precedente si appica nea costruzione dei caeidoscopi. Puoi costruirne uno procurandoti i seguente materiae: - un tubo di cartone, puoá andare bene anche queo che avanza dai rotoi di carta per a cucina - acuni specchi, oppure, moto piuá pratica da utiizzare, dea pastica adesiva a specchio che si puoá comprare in un quasiasi coorificio - de cartone da ritagiare - pezzetti di pastica coorata - dischi di pastica trasparente che si puoá ricavare dae scatoe di confezioni dee camicie. Come prima cosa costruisci un cerchio di cartone in modo da chiudere una dee estremitaá de tubo. Inserisci i pezzetti di pastica coorata su fondo e poi appoggia i dischi trasparenti in modo peroá che i pezzetti coorati si possano muovere anche scorrendo gi uni sugi atri. Ritagia poi tre strisce uguai di pastica a specchio e accostai in modo da formare un triangoo equiatero; a dimensione dee strisce deve essere tae da poter essere inserita ne tubo di cartone. Se i diametro de tubo eá di 5cm, quanto deve essere ungo i ato che va a formare i triangoo equiatero? Una vota inserita questa struttura ne tubo (e facce a specchio devono risutare a'interno de soido a base triangoare), richiudio con un atro disco di pastica trasparente e appoggia su di esso un secondo disco di cartone a quae avrai fatto un foro de diametro di circa 1cm. I caeidoscopio eá pronto; guardando a'interno de tubo attraverso i foro de disco superiore e ruotandoo otterrai immagini ogni vota diverse che pavimentano 'intera superficie osservata, conservando sempre una struttura simmetrica. 10 Tema 5 - Cap. 4: LE ISOMETRIE NEL PIANO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA