Risoluzione di una trave iperstatica soggetta a cedimento vincolare col metodo delle forze

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1 Risouzione di una trave iperstatica soggetta a cedimento vincoare co metodo dee forze Compemento aa ezione 44/: Cedimenti vincoari e distorsioni termiche Per a trave in figura, determinare () i diagrammi dee caratteristiche di soecitazione e e reazioni esterne a causa de cedimento rotazionae de incastro. Sapendo che a trave ha sezione a doppia T di atezza h ed i materiae ha moduo eastico E, determinare a sezione maggiormente soecitata e ì cacoare a massima tensione normae σ z (). Si vauti infine o spostamento in (). Quesito () nzitutto si procede a conteggio dei gradi di ibertà/vincoo dea struttura. Essendo a struttura piana e composta da un unica trave, ha tre gradi di ibertà (g ). La struttura è vincoata esternamente tramite carrei (vincoi sempici) ed un incastro (vincoo tripo). unque v e: g v Non essendoci madisposizione vincoare, ne segue che a struttura è vota iperstatica. Si proceda ora aa risouzione tramite i metodo dee forze e appicazione de PLV. fine di definire a struttura isostatica principae si scega, ad esempio, di sopprimere i due carrei in B e C. y z B C X X

2 L isostatica principae è in tutto equivaente aa struttura iperstatica originaria una vota che ad X ed X venga sostituito i suo effettivo vaore. Si passi ora a cacoo dei diagrammi di momento fettente ed causati rispettivamente da incognita iperstatica X e da incognita iperstatica X, entrambe poste posta pari a ed appicate su isostatica principae. Si noti che, non essendoci carichi esterni, i momento è nuo. Si proceda ora a cacoo degi integrai, qui ottenuti appicando a formua di Simpson: [( ) ( ) ] ( ) 4 4 ()() 4()( ) [ ] fine di determinare e incognite iperstatiche occorre ora appicare vote i Principio dei Lavori Virtuai assumendo come sistema di spostamenti / deformazioni / cedimenti queo reae e come sistema di forze / soecitazioni / reazioni di vota in vota queo generato dae singoe incognite iperstatiche rese unitarie. In formue: η ϕ χ η ϕ χ dove i secondi addendi a primo membro rappresentano i avoro dee reazioni vincoari (fittizie) per i cedimenti vincoari (reai); essendo a rotazione ne incastro unico cedimento vincoare presente, compaiono soo i momenti d incastro ed, dovuti rispettivamente ad X ed

3 X. Si osservi che i avoro da essi compiuto è positivo in quanto concordi con a rotazione imposta. La curvatura reae χ è invece data da rapporto tra i momento reae e e rigidezze. a per i principio di sovrapposizione degi effetti i momento reae è dato da: X X X X e dunque: η ϕ X d z X η ϕ X X Queste equazione impone a congruenza e permette di scegiere, tra e infinite ( ) souzioni equiibrate, unica congruente; permette cioè di determinare que particoare vaore dea coppia X ed X che annua o spostamento verticae dei punti B e C. Come evidenziato a ezione, e equazioni precedente possono scriversi come: η η X η X η η η X η X η Con tae notazione i significato fisico (a congruenza) è più evidente: η ed η sono gi spostamenti verticai reai duai ad X ed X ; η ed η sono gi spostamenti verticai duai ad X ed X causati da cedimento vincoare (su isostatica principae); η ed η sono gi spostamenti verticai duai ad X dovuti rispettivamente ad X ed X (su isostatica principae); infine η ed η sono gi spostamenti verticai duai ad X dovuti rispettivamente ad X ed X (sempre su isostatica principae). Si noti che η η in accordo a teorema di Betti. Osservando che η ed η sono nui in quanto i carrei B e C non cedono, si ha: d ϕ X z X d ϕ X z X Sostituendo i vaori precedentemente ricavati: ϕ ϕ 8 X 4 X 4 X X 9 Si noti come i primi addendi di ambo e equazioni potevano, in base a oro significato fisico, essere cacoati sua base di sempici considerazioni geometriche, come evidente ne disegno seguente:

4 B C I segno meno discende da fatto che sono spostamenti di verso opposto rispetto ad X ed X. Infine i vaori di η ed η potevano ricavarsi ricordando abbassamento de estremità di una mensoa caricata da una forza concentrata a estremità (F /). La risouzione de sistema di due equazioni in due incognite porta ai seguenti vaori: 9 ϕ X ϕ X I cacoo dee reazioni ne incastro risuta immediato: 9 9 Note e reazioni, si possono agevomente disegnare i diagrammi di momento e tagio, o sforzo normae essendo nuo: 9

5 T Quesito () La sezione dea trave più soecitata è quea a incastro (), dove sono massimi sia i tagio che i momento. Limitando anaisi ae soe tensioni dovute a momento fettente (in genere predominanti), se ne vuoe cacoare i vaore massimo in moduo. La formua che fornisce e tensioni normai ne caso di fessione retta è: σ z I x x y Per sempicità si omette d ora in poi i pedice x a e I, come peratro è già avvenuto nea prima parte de esercizio. I diagramma dee tensioni è dunque a farfaa e i vaore massimo si raggiunge in moduo ae estremità (y ± h/): 9 σ max x h z ± Ix Eh ϕ h x G σ z y È interessante osservare come i risutato sia indipendente da momento d inerzia I, che quindi non deve essere necessariamente cacoato. Infatti, in base aa formua di Navier, e tensioni sono inversamente proporzionai a I; d atro canto i momento è proporzionae a momento d inerzia in quanto e soecitazioni causate da cedimenti vincoari sono tanto più eevate quanto più a struttura è rigida. Quesito () I cacoo deo spostamento per strutture iperstatiche si effettua agevomente attraverso un uteriore appicazione de PLV. Occorre ricordare che, ne appicazione de PLV, unico requisito che deve possedere i sistema di forze/soecitazione/reazioni è equiibrio. Ne segue che a forza unitaria, duae ao spostamento cercato, non deve essere necessariamente appicata sua struttura iperstatica

6 (con conseguente aborioso cacoo de diagramma di momento). Più convenientemente viene fatta agire su una quasiasi struttura isostatica ottenuta svincoando a struttura iperstatica originaria, sia essa a travatura isostatica principae individuata ne quesito () o meno. Nea presente risouzione si è sceto di degradare incastro, riducendoo ad un carreo a scorrimento verticae. Si noti che una sua riduzione a carreo a scorrimento orizzontae non sarebbe stata una sceta ecita, poiché a struttura così ottenuta sarebbe stata abie. Si appichi a forza unitaria a detta struttura; i cacoo de diagramma di momento è immediato: (f) Si appichi ora i PLV, con sistema di forze fittizio (f) e spostamenti reai (r): (f) (r) (f) (r) (f) (r) η ϕ χ (r) essendo η o spostamento (reae) de punto e cioè incognita da determinare. Si noti che i momento in de sistema fittizio è nuo. Infine a curvatura è data da rapporto tra i momento reae (cacoato a punto ) e e rigidezze : (r) η (r) (f) L intergae a secondo membro va esteso a asse di tutta a trave; tuttavia unico tratto a dare contributo diverso da zero è i tratto BC. Per comodità si appica a formua di Simpson e si omette apice (r) per o spostamento incognito: η 4 ϕ ϕ I segno positivo indica che o spostamento cacoato è concorde con a forza unitaria posta in e dunque è diretto verso i basso. Si riporta infine a configurazione deformata dea struttura, i cui tracciamento quaitativo può effettuarsi co soo ausiio de diagramma di momento. Infatti i momento è proporzionae aa curvatura che, a sua vota, determina a concavità/convessità dea inea eastica: B C