1) LA RESISTENZA E LA TENSIONE

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Aurora Bosco
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1 1) L RESISTENZ E L TENSIONE La determinazione dee azioni di contatto (N, T ed M) è finaizzata aa verifica o a progetto dea resistenza strutturae. Verifica e progetto dea resistenza strutturae sono due facce dea stessa medagia: - verificare a resistenza presuppone che a struttura sia assegnata (ovvero che ne siano definiti geometria e materiae) e che sia definita a sua funzione (ossia i carichi agenti su di essa) ed impone di controare che a geometria assegnata reaizzata da materiae assegnato resista ai carichi impicati daa funzione definita. La verifica a resistenza può avere esito positivo o negativo. - progettare a resistenza significa invece, assegnata una funzione, imporre che a struttura resista ai carichi impicati daa funzione medesima, e scegiere i materiae e/o a geometria affinché quea resistenza sia garantita. Come si quantifica a resistenza strutturae? Un modo per quantificare a resistenza è misurare a tensione massima ne materiae. Questo obiettivo ci impone di (ri)confrontarci con due nuovi concetti, ossia a tensione ed i materiae La tensione viene definita a interno di modei tridimensionai. FIG.01 Osserviamo a FIG.01; immaginiamo di dividere i corpo in due parti tagiandoo in maniera virtuae tramite intersezione con una superficie. Immaginiamo ancora di ricostruire unità rimettendo a contatto e superfici di separazione: tra e due parti de corpo messe a contatto tramite a superficie di tagio si esercitano dee forze. Queste forze sono interne a corpo, agiscono per effetto de contatto e sono distribuite su tutta a superficie individuata da tagio virtuae. La forza interna che nasce da questo processo mentae è quindi una forza di contatto distribuita su di una superficie (una densità superficiae di forza) e prende i nome di tensione di Cauchy. La tensione di Cauchy dipende da punto interno P e daa superficie generata da tagio ed individuata daa sua perpendicoare n ne punto P, ed è definita come imite de rapporto tra a forza agente e 'area dea superficie su cui agisce, quando a superficie tende a zero intorno a punto in esame: f im c 0 = t(p, n) (1) [t] = [f c ] [ ] = [F] [L] 2 (2) I concetto di tensione ci consente di affrancarci daa geometria dea struttura, concentrarci sotanto su materiae. Una vota cacoata a tensione in un punto non avrà più importanza quae sia a geometria strutturae, né quai siano e condizioni di carico o di vincoo esterni che hanno generata. Da que momento in poi, bisognerà soo controare se quea data tensione può essere sostenuta da un dato materiae, senza che questo impichi a crisi de materiae. 1

2 bbiamo definito a tensione con un processo di imite rispetto a area, per cui: f t(p, n) = im c = df c 0 d (3) Questo equivae a dire: df c = t(p, n) d (4) ovvero che a forza di contatto df c agente su area infinitesima d di normae n è i prodotto dea tensione t(p, n) per area d, ma vuoe anche dire che se area infinitesima va a zero, anche a forza di contatto va a zero. Questo significa che per avere una forza di contatto devo avere un area, anche piccoissima, purché diversa da zero. Lo stesso concetto si esprime anche dicendo che a tensione è una densità superficiae di forza. Quindi andrebbe rappresentata come si rappresentano e densità, ossia come nea figura che segue: FIG.02 Un atra cosa da ricordare è che a tensione, pur essendo a generaizzazione de concetto di pressione, non è necessariamente normae ( perpendicoare ) aa superficie su cui agisce, ma generamente ha una componente normae ed una tangenziae aa superficie ne punto P. FIG.03 2) IL MODELLO DI TRVE FIBRE FIG.04 Nea fase di progetto o di verifica di una struttura si può utiizzare i concetto di tensione ammissibie, che produce i metodo dee tensioni ammissibii, metodo ancora oggi in uso. I metodo dee tensioni ammissibii, utiizzato strumento di verifica o di progetto di una struttura, si basa su concetto di tensione; a verifica ae tensioni ammissibii consiste ne controare che a tensione massima nea struttura non superi a tensione 2

ammissibie, mentre i progetto con i metodo dee tensioni ammissibii è i dimensionamento dea struttura di modo che a sua tensione massima sia proprio uguae aa tensione d.

3 ammissibie, mentre i progetto con i metodo dee tensioni ammissibii è i dimensionamento dea struttura di modo che a sua tensione massima sia proprio uguae aa tensione d. In entrambi i casi, obbiettivo è individuare i punto dea struttura in cui a tensione è massima. questo punto dobbiamo creare un coegamento concettuae tra azione di contatto su di una trave (sforzo normae per e travature reticoari, N,T, ed M per e travi piane, etc) e a tensione ne materiae di cui a trave è composta. Questo coegamento concettuae impica o sforzo di mettere in coegamento due modei di trave, uno monodimensionae atro tridimensionae. Questo passaggio concettuae impica quindi un cambio di modeo fisico matematico. L azione di contatto, difatti, vive in modei mono o bidimensionai, mentre a tensione è un concetto che vive nea tridimensionaità. Questo significa che a trave di Bernoui, modeo fisico matematico meccanico per e azioni di contatto, non è sufficientemente ricco per consentirci di parare di tensione: per parare di tensione ci vuoe un modeo 3D dea trave. I primo modeo 3D dea trave fu i modeo di trave a fibre (Gaieo Gaiei). Questo modeo ipotizza a trave come una giustapposizione di fibre (ognuna unga come a trave) che aa fine occupano un voume. Ognuna di queste fibre può soo aungarsi o accorciarsi grazie a fatto che tutti i punti, che prima dea deformazione appartenevano ad una sezione (ideae) piana, anche a deformazione avvenuta stanno su di un unico piano (ipotesi di sezioni piane). I egame tensione - deformazione è eastico ineare σ = Eε (5) ed ha come coefficiente di proporzionaità tra tensione σ e deformazione ε i moduo eastico normae E de materiae. Ne modeo di trave a fibre non ho effetto Poisson, ossia per effetto di un aungamento dee fibre non ho contrazione aterae, e, viceversa, per effetto di un accorciamento dee fibre no ho diatazione aterae. Partendo da questo modeo utiizziamo questo metodo: ipotizziamo una deformata e ci chiediamo quae sia o stato tensionae che a determina. Partiamo da esempio in figura, che individuerà a risposta dea trave ne caso di sforzo normae centrato N. FIG.05 Partiamo da un ipotesi di deformata pausibie, immaginando che tutte e fibre dea trave per effetto di uno sforzo normae centrato si aunghino di una quantità costante ( ), ripartita equamente ae due estremità dea fibra. Questo vuo dire che ogni fibra ha una deformazione (in questo caso aungamento percentuae) che vae: ε = Da appicazione de egame eastico, a questa deformazione corrisponde una tensione pari a eq. (5), che è uguae in ogni punto dea sezione trasversae (concetto introdotto qui di soppiatto e asciato a intuito dei singoi). La condizione de ipotetica sezione trasversae è iustrata in FIG.06: (6) FIG.06 3

La risutante dee tensioni su area dea sezione è pari a: R = σd = σ d = σ = Eε = E (7) mentre i momenti risutanti dee tensioni rispetto agi assi baricentrici saranno pari a: M y = M x = σx d σy d = σ

4 La risutante dee tensioni su area dea sezione è pari a: R = σd = σ d = σ = Eε = E (7) mentre i momenti risutanti dee tensioni rispetto agi assi baricentrici saranno pari a: M y = M x = σx d σy d = σ x d = σ y d = 0 (8) = 0 (9) Se indichiamo con N questa risutante R, aora avremo che: Daa (10) possiamo ricavare σ, che sarà: N = σ (10) σ = N (11) Ma sappiamo che per a (5) σ è anche uguae a: σ = Eε (5) Per cui ricavando ε daa formua inversa ed andando a sostituire a (11), posso scrivere: ε = σ E = N E (12) Da cui infine daa formua inversa dea (6) ricaviamo: = ε = N E (13) Quindi, sue basi esterne, se ho una distribuzione di tensioni σ costante ungo tutta a trave ed equivaente (ne senso de asse centrae) ad una forza N appicata a baricentro dea sezione, avrò che e σ sono pari dappertutto, ε pari dappertutto (con ε = σ ), e un vaore ( ) pari a: E = N E Quache secoo dopo Gaieo fu poi dimostrato che, quaora vi fosse una distribuzione di tensioni diversa, ma equivaente, a quea indicata, i risutato rimarrebbe invariato dappertutto, a meno di due regioni di disturbo poste ae due estremità (Saint Venant). 3) FLESSIONE Prendiamo in anaisi i modeo di trave in FIG.07. FIG.07 4

Ipotizziamo una nuova deformata e ci chiediamo quae sia o stato tensionae che a individua: FIG.08 nche nea FIG.08 aungamento dea fibra è a deformazione principae.

5 Ipotizziamo una nuova deformata e ci chiediamo quae sia o stato tensionae che a individua: FIG.08 nche nea FIG.08 aungamento dea fibra è a deformazione principae. Questo aungamento è differenziae, in funzione dea distanza (y) dea fibra da centro dea sezione: (y) = y (14) Quindi a fibra a distanza (y) si deformerà dea seguente deformazione e sviupperà a seguente tensione: (y) y ε(y) = = (15) σ(y) = Eε(y) = E y (16) Posso riscrivere espressione (5) dea tensione, distinguendo i diversi fattori, ne modo seguente: σ(y) = Eε(y) = E y (17) questo punto è necessario richiamare i concetto di curvatura di una inea curva; guardiamo a FIG.09: FIG.09 Ricordiamo che a unghezza di un arco di circonferenza è uguae a prodotto de raggio (R) per i reativo angoo a centro espresso in radianti. Ne caso in FIG.09; posso utiizzare questo procedimento per cacoare a curvatura χ, sapendo che i egame tra raggio e curvature è i seguente: χ = 1 R (18) 5

6 ora avrò: 1 R = χ = 2 φ (19) da cui, tenendo conto de eq. (17), otterrò: σ(y) = E χ y (20) Possiamo ora andare a cacoare a risutante dee tensioni (R), ed i momento risutante dee tensioni medesime (Mx). vrò: R = σd = E y d = E y d = 0 (21) Ce o aspettavamo che R risutasse di vaore nuo, essendo a trave sempicemente infessa; e per o stesso motivo dobbiamo aspettarci un vaore non nuo de momento fettente equivaente ao stato tensionae. Si avrà difatti: M y = M x = σx d = E σy d = E y x d = E y 2 d = E y x d = 0 (22) y 2 d = E I x (23) Quindi daa (23) si ricava che: M x I x = E (24) E andando a sostituire i vaore dea curvatura ne eq. (24), otterremo: Da qui si ricava a formua di Navier: χ = M x EI x (25) σ = M x I x y (26) 6

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