La logica. Obiettivi MATEMATICA E REALTAÁ. riconoscere proposizioni e individuarne il valore di veritaá

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1 La ogica Obiettivi riconoscere proposizioni e individuarne i vaore di veritaá operare con e proposizioni e riconoscere equivaenze ogiche stabiire a correttezza di un ragionamento ogico operare con i predicati usare in modo appropriato i quantificatori MATEMATICA E REALTAÁ In tutti i campi dee attivitaá umane siamo costantemente portati a trarre concusioni e a fare scete; i modo con cui arriviamo a queste concusioni eá peroá diverso a seconda dee situazioni. Spesso usiamo i buon senso, a nostra esperienza o ci facciamo guidare da'istinto, a vote ci facciamo condizionare dae opinioni di atre persone, atre vote ancora cerchiamo di sviuppare un ragionamento. In matematica si usa un ragionamento ne quae a correttezza dee concusioni eá affidata escusivamente a rigore dee argomentazioni; per esempio, consideriamo questi due brevi discorsi: Tutti i mammiferi aattano i piccoi. I gatti sono mammiferi, quindi i gatti aattano i piccoi. I ragazzi che hanno o scooter sono feici. Io non ho o scooter, quindi non sono feice. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 1

2 Anche se i due ragionamenti sono de tutto simii nea forma, siamo portati ad affermare che i primo "funziona", mentre i secondo no: non riusciresti mai a convincere tuo padre a comprarti o scooter dicendogi queste cose! Si sente quindi a necessitaá di stabiire dee regoe in base ae quai poter decidere se un ragionamento eá corretto oppure no, indipendentemente da fatto che e parti che o compongono siano vere o meno. Se ci riferiamo a secondo esempio, tutte e tre e frasi possono ritenersi vere, ma uguamente non possiamo accettare che 'infeicitaá sia da attribuirsi obbigatoriamente a fatto di non avere o scooter. La scienza che si occupa di controare a correttezza di un ragionamento eá a Logica; in questo capitoo cominciamo a introdurre i primi concetti reativi a questo argomento. Quando avrai competato i tuo studio potrai dare una giustificazione formae e non sotanto intuitiva dea vautazione dei due ragionamenti che abbiamo visto. In ogni caso, trovi i ragionamento corretto a termine de capitoo. 1. LE PROPOSIZIONI Un quaunque ragionamento eá, in utima anaisi, composto da frasi di senso compiuto che, in ogica, prendono i nome di proposizioni. Chiamiamo proposizione una frase di senso compiuto dea quae si puoá dire se eá vera o se eá fasa. Quando una proposizione eá vera diremo che i suo vaore di veritaá eá Vero (V), quando eá fasa diremo che i suo vaore di veritaá eá Faso (F). Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 25 Le proposizioni si chiamano anche enunciati e si indicano con e ettere minuscoe de'afabeto In base a questa definizione, sono proposizioni e seguenti frasi: a: «Pasqua cade sempre di domenica.» vaore di veritaá: V b: «Le baene sono mammiferi.» vaore di veritaá: V c: «5 4 eá un numero intero.» vaore di veritaá: F d: «Torino si trova in Veneto.» vaore di veritaá: F Non sono invece proposizioni in quanto non ha senso chiedersi se sono vere o fase: «Portami un pacchetto di caramee.» «Viva i Mian!» «Quanti anni hai?» Sono da annoverare fra e proposizioni anche frasi de tipo: «Esistono dei numeri che sono interi.» «In casse c'eá quacuno che non ha i ibro di matematica.» Anche se non si sta parando di un numero o di uno studente particoare, tuttavia possiamo dire che a prima frase eá vera, che a seconda eá fasa soo se gi studenti hanno tutti i ibro di matematica ed eá vera negi atri casi; entrambe sono percioá dee proposizioni. Le proposizioni sono dunque quee frasi che asseriscono un fatto, vero o faso che sia. I vaori di veritaá V e F sono a vote sostituiti dai simboi 1 e 0: V! 1 F! 0 2 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 Poiche o scopo che ci prefiggiamo eá queo di costruire dei metodi che ci permettano di stabiire a correttezza o meno di un ragionamento, dobbiamo richiedere che e proposizioni soddisfino acune caratteristiche: Principio di non contraddizione: una proposizione non puoá essere contemporaneamente vera e fasa. I PRINCIPI FONDAMENTALI Principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa, non esistono atre possibiitaá. In atre paroe: vorrei e non vorrei frase che moto spesso si sente dire, non puoá essere accettata come proposizione percheâ contraddice i primo principio; in matematica non si puoá voere e non voere una stessa cosa: o si vuoe che un triangoo sia isoscee o non o si vuoe. Se stai affannosamente cercando i ibretto dee giustificazioni e non o trovi, non puoi dire a tuo insegnante: «c'eá, ma non riesco a trovaro» percheâ questa affermazione contraddice i principio de terzo escuso, infatti o i ibretto c'eá (e aora o devi trovare) oppure non c'eá (ed eá per questo che non o trovi). GiaÁ da queste prime nozioni ci accorgiamo che i tipo di ogica che ci accingiamo a studiare puoá controare a correttezza soo di quei ragionamenti che coinvogono proposizioni, e quai, a oro vota, devono obbedire ae regoe fissate dai due principi di non contraddizione e de terzo escuso. Ma un ragionamento, di soito, eá una cosa compessa, composta da mote proposizioni egate fra oro. Per esempio: «Giovanni studia a Conservatorio percheâama a musica e vuoe diventare un direttore d'orchestra» eá indubbiamente una proposizione (conoscendo Giovanni possiamo sicuramente dire se questa frase eá vera o no), ma possiamo ritenere che essa sia formata da piuá proposizioni di carattere piuá sempice: a: «Giovanni studia a Conservatorio» b: «Giovanni ama a musica» c: «Giovanni vuoe diventare direttore d'orchestra» e che, in utima anaisi, i vaore di veritaá dea proposizione iniziae dipenda dai vaori di veritaá di ciascuna dee proposizioni piuá sempici. Dobbiamo quindi fissare dee regoe che permettano di stabiire i vaore di veritaá di una proposizione compessa ottenuta daa combinazione di proposizioni sempici. Chiariamo innanzi tutto cosa intendiamo per "proposizione sempice". La caratteristica dee proposizioni a, b, c precedenti eá che sono formate da una soa forma verbae, i predicato, aa quae sono eventuamente coegati acuni argomenti: "Essere o non essere" a ceebre frase pronunciata da Ameto a'inizio de suo monoogo eá invece una proposizione. Vai a pagina 35 per scoprire percheâ. Che cosa possiamo dire de'intera proposizione sapendo che Giovanni studia a Conservatorio e ama a musica (a e b vere), ma non vuoe diventare direttore d'orchestra (c fasa)? PROPOSIZIONE PREDICATO ARGOMENTI a studiare Giovanni, Conservatorio b amare Giovanni, musica c diventare Giovanni, direttore d'orchestra Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 3

4 Una proposizione si dice atomica se eá formata da un soo predicato. PREPOSIZIONI ATOMICHE E MOLECOLARI Le proposizioni atomiche possono avere uno, due o piuá argomenti, ma possono anche non averne. Per esempio: «La campana suona» - predicato: suonare - argomento: a campana «Piove» - predicato: piovere - non ci sono argomenti Le proposizioni che sono formate da piuá proposizioni atomiche si dicono moecoari. Le proposizioni moecoari sono i risutato di acune operazioni fra proposizioni atomiche nee quai i simboi di operazione sono acune particee dea ingua parata come "e", "o", "non" e cosõá via. Nei prossimi paragrafi ci occuperemo di studiare come vautare i vaore di veritaá dee proposizioni moecoari in base ae operazioni che egano fra oro e proposizioni atomiche. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Individua e proposizioni: a. I poigoni hanno ameno tre ati. b. Domani probabimente saroá interrogato in Matematica. 3 c. 12 eá un numero intero. d. > 1. e. Vuoi una caramea? 4 2. Competa distinguendo e forme verbai e gi argomenti. a. Francesco Totti eá un caciatore. predicato:... argomenti:... b. 28 eá minore di 32. predicato:... argomenti:... c. Angea dorme. predicato:... argomenti:... d. Nevica. predicato:... argomenti: LE OPERAZIONI CON LE PROPOSIZIONI Gi operatori che si usano per comporre fra oro e proposizioni si chiamano connettivi ed operano, a seconda de tipo, su una soa o su due proposizioni aa vota; i risutato de'operazione ha un vaore di veritaá che dipende sia da connettivo usato, sia da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche coinvote. Per rappresentare i possibii risutati, si usano dee tabee che prendono i nome di tavoe di veritaá; in esse, e prime coonne riportano e possibii combinazioni dei vaori di veritaá dee proposizioni coinvote mentre a coonna finae indica i vaore di veritaá dea proposizione moecoare. CosõÁ: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 n se abbiamo una soa proposizione a, a tavoa ha due soe righe percheâ a puoá essere vera oppure fasa; n se abbiamo due proposizioni a e b, ci sono 4 possibii combinazioni. Vediamo aora quai sono e operazioni che si possono eseguire con e proposizioni. La negazione a V F a V V F F b V F V F EÁ 'operazione ogica che, data una proposizione a, restituisce a proposizione «non a». La proposizione «non a» eá F quando a eá VedeÁ V quando a eá F. I simboo ogico dea negazione eá un trattino posto sopra a ettera che individua a proposizione: a Occorre fare attenzione ae modaitaá con cui si esprime una negazione; eá corretto anteporre i connettivo non aa forma verbae, oppure a frase non eávero che a'intera proposizione; per esempio: n a negazione di a: «i rombo ha i ati congruenti» si puoá esprimere indifferentemente nei seguenti due modi: a: «i rombo non ha i ati congruenti» a:«non eá vero che i rombo ha i ati congruenti». Poiche a eá V, i vaore di veritaá di a eá F. p V F p F V Per indicare a negazione si puoá anche usare i simboo : anteposto aa proposizione: : a La doppia negazione di una proposizione coincide con a preposizione stessa: a ˆ a In atre paroe, una doppia negazione afferma. Non eá invece opportuno cambiare 'enunciazione dea proposizione se si vogiono evitare errori. Per esempio a negazione di: «Ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» non eá «Nessun Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae» ma eá «Non eá vero che ogni Itaiano si sa esprimere ne diaetto ocae». Attenzione agi errori La congiunzione EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a e b». Tae proposizione si ritiene vera soo se entrambe e proposizioni a e b sono vere, fasa in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea congiunzione eá ^ e va posto fra e due proposizioni: a ^ b Per esempio: se a: «Dante ha scritto a Divina Commedia» (V) e b: «Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» (V), a proposizione c ˆ a ^ b : «Dante ha scritto a Divina Commedia e Aessandro Manzoni ha scritto I promessi sposi» eá V se a: «12eÁ un numero pari» (V) e b: «8eÁ un numero dispari» (F), a proposizione c ˆ a ^ b : «12 eá un numero pari e 8 eá un numero dispari» eá F. a b a ^ b V V V V F F F V F F F F La congiunzione si puoá anche esprimere usando i termini: et daa ingua atina; and in inguaggio informatico. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 5

6 La disgiunzione incusiva Per esempio: se a: «8eÁ pari» (V) e b: «12 eá mutipo di 5» (F), a proposizione c ˆ a _ b : «8 eá pari o 12 eá mutipo di 5» eá V; EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a o b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se entrambe e proposizioni a e b sono fase, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b se a: «a ettera i eá una vocae» (V) e b: «a ettera c eá una consonante» (V), a proposizione c ˆ a _ b : «a ettera i eá una vocae o a ettera c eá una consonante» eá V. La frase di Ameto citata a pagina 32 eá una proposizione: «essere» _ «non essere» Inotre, poicheâ se una dee due eá Vera, 'atra eá Fasa, si tratta di una proposizione sempre Vera. a b a _ b V V V V F V F V V F F F La disgiunzione incusiva si puoá anche esprimere usando i termini: ve daa ingua atina; or in inguaggio informatico. La disgiunzione escusiva EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «o a o b». Tae proposizione si ritiene vera soo se e proposizioni a e b sono una fasa e 'atra vera, si considera fasa se e due proposizioni sono entrambe vere o entrambe fase. I simboo ogico dea disgiunzione incusiva eá _ e va posto fra e due proposizioni: a _ b Questa forma di disgiunzione eá di frequente uso comune; si dice per esempio: «o vieni o parto senza di te» «o sei promosso o sei bocciato» Un atro esempio: se a: «3eÁ dispari» (V) e b: «3eÁ pari» (F), a proposizione c ˆ a _ b: «o3eá dispari o 3 eá pari» eá V (a disgiunzione puoá anche essere enunciata cosõá: «3 o eá dispari o eá pari»). a b a _ b V V F V F V F V V F F F La disgiunzione escusiva si puoá anche esprimere usando i termini: aut daa ingua atina; xor in inguaggio informatico. L'impicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «se a aora b». Tae proposizione si ritiene fasa soo se a prima proposizione eá vera e a seconda eá fasa, vera in tutti gi atri casi. I simboo ogico de'impicazione materiae eá! e va posto fra e due proposizioni: a! b a b a! b V V V V F F F V V F F V 6 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 Ne'impicazione a! b, a proposizione a si dice premessa, a proposizione b si dice conseguenza. Per esempio: se a: «Le aquie sono uccei» (V) e b: «I eoni sono mammiferi» (V), a proposizione c ˆ a! b : «Se e aquie sono uccei aora i eoni sono mammiferi» eá V se a: «Io sono un ucceo» (F) e b: «Io voo» (F), a proposizione c ˆ a! b : «Se sono un ucceo aora voo» eá V. Osserva che anche ne inguaggio corrente siamo portati a dire che questa proposizione eá vera pur essendo fase e sue componenti se a: «MariaeÁ miope» (V) e b: «Maria vede bene da ontano» (F), a proposizione c ˆ a! b : «Se Maria eá miope aora vede bene da ontano» eá F. La coimpicazione materiae EÁ 'operazione ogica che, date due proposizioni a e b, restituisce a proposizione «a se e soo se b». Tae proposizione si ritiene vera se e due proposizioni hanno o stesso vaore di veritaá (quindi se sono entrambe vere oppure entrambe fase), fasa negi atri casi. I simboo ogico dea coimpicazione materiae eá $ e va posto fra e due proposizioni: a $ b a b a $ b V V V V F F F V F F F V La coimpicazione eá sostanziamente una impicazione doppia; essa risuta quindi vera quando e due proposizioni a! b e b! a sono entrambe vere. Per esempio: se a: «15eÁ un numero primo» (F) e b: «15eÁ un numero dispari» (V), a proposizione c ˆ a $ b : «15 eá un numero primo se e soo se eá dispari» eá F se a: «parto» e b: «prendo 'autobus», a proposizione c ˆ a $ b : «parto se e soo se prendo 'autobus» eá V se parto usando come mezzo di trasporto 'autobus oppure se non parto e non prendo nemmeno 'autobus; eá fasa negi atri casi, per esempio se parto ma uso 'auto. Osservazione Le operazioni ogiche fondamentai sono soo e prime tre che abbiamo descritto: a negazione, a congiunzione e a disgiunzione incusiva. Le atre si possono tutte descrivere in funzione di queste. Per esempio, vedremo ne prossimo paragrafo che 'operazione ogica a! b equivae aa proposizione a _ b, quindi un'impicazione si puoá esprimere mediante a negazione e a disgiunzione incusiva. EÁ tuttavia consuetudine introdurre anche e operazioni di disgiunzione escusiva e di impicazione sia percheâ sempificano a vautazione de vaore di veritaá di una proposizione compessa, sia percheâ si usano frequentemente in quaunque inguaggio; in particoare 'impicazione e a doppia impicazione verranno usate nee dimostrazioni dei teoremi. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 7

8 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Competa a tabea: OPERAZIONE SIMBOLO LOGICO RISULTATO negazione... vera se... congiunzione... vera se... disgiunzione incusiva... fasa se... disgiunzione escusiva... vera se... impicazione... fasa se... coimpicazione... fasa se Dee due proposizioni a e b si sa che a eá Veb eá F; indica i risutato dee seguenti operazioni ogiche: a. a _ b V F b. a ^ b V F c. b! a V F d. a! b V F e. a $ b V F 3. ESPRESSIONI LOGICHE ED EQUIVALENZE 3.1 Le espressioni ogiche Un quaunque ragionamento, anche i piuá sempice, eá composto, in generae, da piuá di due proposizioni; si possono aora costruire dee vere e proprie espressioni ogiche dee quai si puoá cacoare i vaore di veritaá. Per esempio: Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 31 «Se durante 'anno studio e mi comporto bene, mio padre mi asceraá andare in vacanza con i miei amici, ma se non studio e non vengo promosso, credo proprio che in vacanza con i miei amici non ci androá». In questo ragionamento possiamo individuare acune proposizioni atomiche: a: «Durante 'anno studio» b: «Durante 'anno mi comporto bene» c: «Vado in vacanza con i miei amici» d: «Vengo promosso» Sinteticamente, usando i connettivi che rappresentano e operazioni che abbiamo studiato, possiamo riscrivere i ragionamento in questo modo: a ^ b! cš^ a ^ d! cš La vautazione de vaore di veritaá di questo ragionamento dipende dai vaori di veritaá dee proposizioni atomiche che o compongono; supponiamo che sia: a V b F c F d V aora a ^ b eá F a ^ b! cš eá V Se conosciamo i vaore di veritaá di ogni proposizione di un'espressione ogica, per stabiire se essa eá vera oppure fasa basta appicare e regoe dee operazioni ogiche. 8 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 a ^ d eá F a ^ d! cš eá V a ^ b! cš^ a ^ d! cš eá V In genere, peroá, si vuoe sapere come varia i vaore di veritaá di un'espressione a variare dei vaori di veritaá dee singoe proposizioni che a formano. Occorre aora costruire una tavoa di veritaá che contempi tutte e possibiitaá. Se con due proposizioni abbiamo 4 possibiitaá, quante ce ne saranno con tre, quattro, dieci proposizioni? Inotre, come possiamo essere sicuri di scrivere tutte? La risposta ad entrambe e domande si puoá ottenere costruendo un diagramma ad abero che incrementa i nu- Figura 1 mero di proposizioni ad ogni ramificazione. In sostanza, a partire daa proposizione a, daa quae si dipartono i due rami che rappresentano e due possibiitaá Vo F, si giunge aa proposizione b che puoá essere anch'essa V o F; da b si passa a c e cosõávia fino ad esaurire e proposizioni. In figura 1 puoi vedere 'abero che si ottiene con tre proposizioni; basta adesso eggere i vaori di veritaá ungo ciascun percorso per avere tutti i casi possibii. Osserviamo poi che, poicheâ ad ogni nuova ramificazione i numero dei casi raddoppia, i numero compessivo di possibiitaá eá una potenza de 2: con una proposizione: 21 ˆ 2 casi; con due proposizioni: 22 ˆ 4 casi; con tre proposizioni: 23 ˆ 8 casi; e cosõá via. Per essere sicuri di scrivere tutte e possibiitaá, competiamo e coonne dea tavoa di veritaá in questo modo (osserva a tabea a ato nea quae eá rappresentato i caso di tre proposizioni): coonna dea prima proposizione: metaá casi di V e metaá casi di F 1 coonna dee seconda proposizione: 4 casi di V e 1 casi di F aternati 4 1 coonna dee terza proposizione: 8 casi di V e 1 casi di F aternati 8 e cosõá via fino a che ne'utima coonna vi eá una aternanza di V e F. In sostanza dimezziamo ogni vota i numero di casi di V e F rispetto a precedente. Vediamo aora attraverso acuni esempi come si vauta i vaore di veritaá di un'espressione ogica. Con n proposizioni i casi possibii sono 2 n a b c V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F ESEMPI 1. Studiamo 'espressione ogica a _ b ^ a! b. Abbiamo a che fare con due proposizioni quindi abbiamo 4 casi possibii. Per a vautazione dea proposizione procediamo come nee espressioni numeriche determinando i risutato dee operazioni par- Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 9

10 Le tautoogie e e contraddizioni sono importanti percheâ definiscono proposiziai; nee coonne successive a quee dove sono rappresentate e proposizioni atomiche vautiamo in successione e seguenti operazioni a _ b a a_ b ^ a e infine a _ b ^ a! b Ecco a tavoa: a b a_ b a a_ b ^ a a_ b ^ a! b V V V F F V V F V F F V F V V V V V F F F V F V 2. Vautiamo 'espressione a _ b ^a. a b a_ b a _ b a _ b ^a V V V F F V F V F F F V V F F F F F V F 3. Studiamo i vaore di veritaá de'espressione a _ b ^ a _ b! c. Con tre proposizioni abbiamo 8 possibiitaá; ecco a tavoa che risuta: a b c a b a_ b a _ b a_ b ^ a _ b a _ b ^ a _ b! c V V V F F V V V V V V F F F V V V F V F V F V V F F V V F F F V V F F V F V V V F F V F V F V F V F F V F V F F V V V V V V V F F F V V V V V F I precedenti esempi 1. e 2. riguardano espressioni ogiche moto particoari percheâ ne primo caso abbiamo ottenuto che 'espressione eá sempre vera e ne secondo che eá sempre fasa. In ogica espressioni di questo tipo prendono nomi particoari. Si dice tautoogia un'espressione ogica che eá vera quaunque sia i vaore di veritaá degi enunciati che a compongono. TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI Si dice contraddizione un'espressione ogica che eá fasa quaunque sia i vaore di veritaá degi enunciati che a compongono. 10 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 zioni compesse che sono assoutamente vere o assoutamente fase, indipendentemente da vaore di veritaá dee proposizioni atomiche che e compongono. Non eá quindi importante da quai proposizioni sono formate; esse stabiiscono dee veritaá o dee fasitaá assoute. L'espressione ogica a _ b ^ a! b de'esempio 1 eá quindi una tautoogia, 'espressione a _ b ^a de'esempio 2. eá una contraddizione. Atri esempi di tautoogie sono i principi fondamentai che abbiamo introdotto ne primo paragrafo e che, facendo uso dei connettivi, possiamo scrivere cosõá: n principio di non contraddizione: una proposizione a non puoá essere contemporaneamente vera e fasa: a ^ a n principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa: a _ a VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Competa a tavoa di veritaá de'espressione ogica a ^ b! a _ b e verifica che si tratta di una tautoogia. a b a^ b a_ b a^ b! a _ b V V V F F V F F Le equivaenze ogiche A vote capita che due espressioni ogiche formamente diverse, ma formate dae stesse proposizioni, abbiano a stessa tavoa di veritaá, come per esempio: e cui tavoe di veritaá sono a! b e a _ b a b a! b V V V V F F F V V F F V a b a a _ b V V F V V F F F F V V V F F V V Questo significa che, da punto di vista ogico, esse esprimono o stesso concetto, sono cioeá equivaenti; scriviamo aora che n a! b ˆ a _ b dove i simboo di uguagianza significa equivaenza ogica. Se anaizziamo anche e atre equivaenze ogiche riportate a ato dea pagina, ci accorgiamo che impicazione, coimpicazione e disgiunzione escusiva si possono reaizzare anche mediante i connettivi e, o, non; queste operazioni aora, come giaá anticipato ne'osservazione de precedente paragrafo, non sono fondamentai e sintetizzano sempicemente una opportuna combinazio- Atre equivaenze ogiche sono: n a $ b ˆ a _ b ^ a _ b n a _ b ˆ a _ b ^ a _ b Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 11

12 ne dee operazioni di negazione, congiunzione e disgiunzione incusiva. Consideriamo adesso e due proposizioni a! b e b! a dee quai a seconda proposizione prende i nome di contronominae dea prima. Le rispettive tavoe di veritaá sono e seguenti: PROPOSIZIONE CONTRONOMINALE a b a! b V V V V F F F V V F F V a b a b b! a V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Avendo ottenuto gi stessi vaori di veritaá possiamo concudere che: a proposizione a! b e a sua contronominae b! a sono ogicamente equivaenti. Per esempio dire: se Giovanni eá cattoico {z } aora eá cristiano {z } a! b equivae a dire: se Giovanni non eá cristiano {z } aora non eá cattoico {z } b! a se un numero eá dispari {z } aora non eá divisibie per 6 {z } a! b equivae a dire: se un numero eá divisibie per 6 {z } aora non eá dispari {z } b ˆ b! a Enunciamo adesso acune equivaenze che rappresentano e proprietaá dee operazioni ogiche; a oro dimostrazione mediante a costruzione dee rispettive tavoe di veritaá puoá essere un utie esercizio di appicazione. n a ˆ a egge dea doppia negazione n a ^ a ˆ a e a _ a ˆ a proprietaá di idempotenza dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ a _ b ˆ a e a _ a ^ b ˆ a proprietaá di assorbimento n a ^ b ˆ b ^ a e a _ b ˆ b _ a proprietaá commutativa dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ b ^c ˆ a ^ b ^ c e a _ b _c ˆ a _ b _ c proprietaá associativa dea congiunzione e dea disgiunzione n a ^ b _ c n a _ b ^ c n a ^ b ˆ a _ b n a _ b ˆ a ^ b ˆ a ^ b _ a ^ c proprietaá distributiva dea congiunzione rispetto aa disgiunzione ˆ a _ b ^ a _ c proprietaá distributiva dea disgiunzione rispetto aa congiunzione prima egge di De Morgan seconda egge di De Morgan PROPRIETAÁ DELLE OPERAZIONI LOGICHE 12 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 ESEMPI 1. Stabiiamo, appicando e proprietaá dee operazioni ogiche, se e seguenti sono equivaenze ogiche: a. a _ b _ a ^ c ˆ a ^ b ^ a _ c Appichiamo e eggi di De Morgan aa prima parte: a _ b _ a ^ c ˆ a _ b ^ a ^ c essendo: a _ b ˆ a ^ b ˆ a ^ b e a ^ c ˆ a _ c ˆ a _ c si ha che: a _ b ^ a ^ c ˆ a ^ b ^ a _ c Avendo ottenuto a seconda parte, si tratta di una equivaenza ogica. b. a $ b ˆ a _ b ^ a _ b Ricordiamo che a! b ˆ a _ b eche a $ b ˆ a! b ^ b! a. Possiamo aora riscrivere i primo membro de'uguagianza in questo modo: a $ b ˆ a! b ^ b! a ˆ a _ b ^ b _ a ˆ a _ b ^ a _ b Quea data eá quindi un'equivaenza ogica. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Due proposizioni formate dae stesse proposizioni sono ogicamente equivaenti se: a. usano gi stessi connettivi b. sono entrambe sempre vere c. assumono o stesso vaore di veritaá in corrispondenza di uguai vaori di veritaá dee proposizioni d. e oro tavoe di veritaá hanno o stesso numero di casi V e F. 2. Per ogni coppia di proposizioni, enuncia per esteso e espressioni a _ b e a ^ b utiizzando anche e eggi di De Morgan. a. a: «Lucia ha i capei neri» b: «Lucia ha gi occhi chiari» b. a: «Luca eá un autista prudente» b: «La patente di Luca ha ancora 20 punti» c. a: «Caroina Kostner ha partecipato ai mondiai di pattinaggio de 2007» b: «Nei mondiai di pattinaggio de 2007 Caroina Kostner si eá cassificata sesta» 4. LA LOGICA DEI PREDICATI Abbiamo visto che e proposizioni, in generae, sono costituite da forme verbai egate a degi argomenti. Quando un argomento non eá noto, non eá piuá possibie parare di proposizioni percheâ di queste frasi non si puoá dire se sono vere o fase, come per esempio ne caso dea frase x eá amico di Giuia "Essere amici di Giuia" esprime in questo caso a proprietaá che identifica acuni eementi di un insieme A di persone; A rimane in questo modo diviso in due parti: quea i cui eementi sono amici di Giuia, quea i cui eementi non sono amici di Giuia (figura 2). Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa prima parte, per esempio Matteo, si ottiene una proposizione vera: «Matteo eá amico di Giuia» Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 34 Figura 2 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 13

14 Se a posto di x si sostituisce un eemento che appartiene aa seconda parte, per esempio Luca, si ottiene una proposizione fasa: «Luca eá amico di Giuia» La proprietaá che esprime una caratteristica reativa ad acuni eementi di un insieme si dice predicato. PREDICATI E ENUNCIATI APERTI Un predicato ega fra oro degi argomenti, acuni dei quai possono non essere noti; gi argomenti non noti vengono normamente indicati con una ettera minuscoa de'afabeto, di soito x, y o z, e di essi si dice che sono dee variabii. Per esempio, nee frasi: x eá cugino di Luca "essere cugini di Luca" eá i predicato x eá a variabie x ama y "amare" eá i predicato x e y sono e variabii Le frasi che sono formate da un predicato e da acuni argomenti incogniti si dicono enunciati aperti. Un enunciato aperto si indica con una ettera minuscoa de'afabeto seguita dai nomi dee variabii racchiuse in una coppia di parentesi tonde; per esempio: n px : «x eá maggiore di 8» eá un enunciato aperto con una soa variabie, e si ha che: p 10 : «10 eá maggiore di 8» (V) p 2 : «2 eá maggiore di 8» (F) p 1 : «1 eá maggiore di 8» (F) Gi enunciati aperti si chiamano anche proposizioni aperte. n qx, y : «x eá a capitae di y» eá un enunciato aperto con due variabii, e si ha che: q Parigi, Francia : «Parigi eá a capitae dea Francia» (V) q Roma, Germania : «Roma eá a capitae dea Germania» (F) L'insieme dei vaori che eá possibie attribuire ae variabii, indipendentemente da fatto che rendano a proposizione vera o fasa, si chiama dominio de'enunciato aperto. DOMINIO L'insieme dei vaori de dominio che rendono 'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaá. Ne seguito indicheremo genericamente i dominio di un enunciato aperto con D e 'insieme di veritaá con a stessa ettera usata per indicare 'enunciato; per esempio, reativamente ai precedenti due esempi possiamo dire che: n i dominio di px eá un quaunque insieme numerico N, Z, Q o quache oro sottoinsieme, 'insieme di veritaá eá 'insieme P dei numeri di que'insieme che sono maggiori di 8; n i dominio di qx, y eá 'insieme Q dee coppie x, y appartenenti a prodotto cartesiano A B dove A eá 'insieme dee cittaá, per esempio europee, B eá 'insieme degi Stati europei. INSIEME DI VERITAÁ I dominio di un predicato rappresenta 'insieme ambiente, mentre 'insieme di veritaá eá un sottoinsieme de'insieme ambiente. 14 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

15 Con gi enunciati aperti eá possibie eseguire e stesse operazioni ogiche che si eseguono con e proposizioni e, proprio per a corrispondenza che esiste fra un enunciato aperto e i suo dominio, esiste una perfetta corrispondenza fra e operazioni con i predicati e e operazioni con gi insiemi. In particoare, se D eá 'insieme dominio di due enunciati nea stessa variabie px e qx, P e Q sono i oro insiemi di veritaá, si verifica che: n a negazione di px eá 'enunciato aperto px ; i suo insieme di veritaá eá 'insieme P, compementare di P rispetto a D (figura 3a); n a congiunzione eá 'enunciato aperto px ^ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera soo per i vaori di x che soddisfano contemporaneamente entrambi i predicati, i suo insieme di veritaá eá P \ Q, cioeá 'intersezione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 3b); n a disgiunzione incusiva eá 'enunciato aperto px _ qx ; poicheâ si ottiene una proposizione vera per i vaori di x che soddisfano 'uno o 'atro dei due predicati, i suo insieme di veritaá eá P [ Q, cioeá 'unione degi insiemi di veritaá dei due enunciati (figura 3c). LE OPERAZIONI CON GLI ENUNCIATI APERTI Figura 3 a. b. c. ESEMPI 1. Sia p x : «xeá un numero pari». I suo insieme ambiente eá 'insieme dei numeri naturai N, ma potrebbe anche essere 'insieme A ˆfx 2 N j x < 20g o un quaunque sottoinsieme di N. Avremo in questo caso che, per esempio, p 2 eá vero, p 6 eá vero, p 5 eá faso, p 17 eá faso. 2. Sia p x, y : «x y ˆ 10». Se consideriamo x e y entrambi variabii in N, i dominio eá 'insieme N N. In questo caso avremo che p 3, 5 eá faso, p 2, 8 eá vero, p 0, 10 eá vero, p 5, 8 eá faso. Se pensiamo x e y variabii ne'insieme Q dei numeri razionai 'insieme ambiente saraá 'insieme Q Q. In questo caso avremo che p 13 4, 27 eá vero, p 3 4 2, 23 eá vero, p 7, 2 eá faso In un insieme di persone de quae fa parte anche Luigi, sia px :«x eá amico di Luigi» e qx :«x ha a stessa etaá di Luigi»; aora: px ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che non sono amiche di Luigi px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dai coetanei di Luigi che sono anche suoi amici px ^qx ha come insieme di veritaá queo formato dagi amici di Luigi che non hanno a sua etaá px _qx ha come insieme di veritaá queo formato dae persone che sono coetanee di Luigi o non gi sono amiche. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 15

16 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Competa a tabea inserendo i dati mancanti: ENUNCIATO APERTO DOMINIO INSIEME DI VERITA' «x eá una vocae»... f:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g «x eá un mutipo di 3»... f:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g «x y ˆ 5» N N f:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: g Per quanto riguarda i terzo enunciato devi trovare e coppie di numeri naturai a cui somma eá 5, per esempio 0,5, 1,4 e cosõá via. 2. Dati i predicati p x e q x entrambi definiti in un insieme D, 'insieme di veritaá di p x ^q x eá: a. C D P [ Q b. C D P \ Q c. P [ Q d. P \ Q 5. I QUANTIFICATORI Considera e seguenti frasi: a. «tutti gi uomini sono mortai» b. «non tutti gi animai hanno e ai» c. «quache animae ha e ai» d. «ogni numero negativo eá minore di ogni numero positivo» e. «esiste ameno un numero positivo» f. «non tutti i numeri naturai sono pari» g. «quache numero naturae eá pari». Di ciascuna di esse possiamo dire se eá vera o se eá fasa anche senza sapere di quae uomo si sta parando, o di quae animae, o di quae numero particoare. PiuÁ precisamente, quando diciamo «tutti gi uomini sono mortai», esprimiamo i fatto che ogni eemento x appartenente a'insieme degi uomini ha a proprietaá di essere mortae. Quando diciamo «quache animae ha e ai», esprimiamo i fatto che esiste ameno un eemento x appartenente a'insieme degi animai che ha a proprietaá di avere e ai. Le due vautazioni sono nettamente diverse: a prima esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U, nessuno escuso; a seconda ci dice che a proprietaá eá vera soo per quache eemento de'insieme U, quindi uno soo, due, tre, anche infiniti, ma non eá necessario che essa sia vera per tutti gi eementi de'insieme. Ad esempio, ci sono infiniti numeri naturai che rendono vera a proposizione g., ma non tutti i numeri a verificano. In matematica si possono esprimere queste due situazioni introducendo dei simboi detti quantificatori. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 38 n I quantificatore universae, indicato con i simboo 8 (si egge «per ogni», «tutti»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per tutti gi eementi x di un insieme U. 16 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

17 n I quantificatore esistenziae, indicato con i simboo 9 (si egge «esiste», «c'eá quache», «acuni»), esprime i fatto che una proprietaá eá vera per ameno un eemento x di un insieme U; garantisce dunque 'esistenza di un tae x. Proviamo a riscrivere e proposizioni che hai etto a'inizio de paragrafo usando i quantificatori. a. 8 x 2fuominig, x eá mortae b. non 8 x 2fanimaig, x ha e ai c. 9 x 2fanimaig, x ha e ai d. 8 x 2 Q ^ 8 y 2 Q, x < y e. 9 x 2 Q, x eá positivo f. non 8 x 2 N, x eá pari g. 9 x 2 N, x eá pari. Una forma equivaente ai casi b. e f. eá a seguente che trasforma i simboo non 8 ne simboo 9 : b. 9x 2 fanimaig, x non ha e ai f. 9x 2 N, x non eá pari. I simboo 6 9 esprime a negazione di 9; significa «non esiste», «non c'eá acuno». Diremo per esempio che: 69 x 2 Q, tae che x 2 ˆ 2: «non esiste un x razionae i cui quadrato eá 2» 69 x 2fuominig, tae che x eá immortae: «non esiste un uomo che sia immortae» 69 x 2 N, tae che x 7 ˆ 2: «non c'eá acun numero naturae x che addizionato a 7 dia come risutato 2». VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La scrittura in forma simboica dea proposizione «c'eá ameno un numero intero che sommato a 15 daá 8» eá: a. 8x 2 Z, x 8 ˆ 15 b. 9x 2 Z, x 15 ˆ 8 c. 9x 2 N, x 15 ˆ 8 d. x 2 N, x 15 ˆ La scrittura in forma simboica dea proposizione «non tutti i numeri razionai sono positivi» eá: a. non 9x 2 Q, x > 0 b. 8x 2 Q, x 0 c. non 8x 2 Q, x > 0 d. 9x 2 Q, x IL RAGIONAMENTO LOGICO E LA DEDUZIONE Siamo finamente nea condizione di poter affrontare i discorso sua conduzione corretta di un ragionamento, anche se non eá certamente possibie essere esaustivi su'argomento che comporta conoscenze moto piuá ampie di quee che abbiamo. I probema che vogiamo affrontare eá dunque i seguente: se sappiamo che acune proposizioni sono vere e queste costituiscono a premessa di un ragionamento, quai sono e conseguenze ogiche che si possono trarre? La risposta a questa domanda eá data da acune regoe di deduzione. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 39 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 17

18 6.1 La regoa di particoarizzazione Figura 4 Tutti i pesci vivono ne'acqua premessa vera quindi Lio, che eái mio pesce rosso, vive ne'acqua. conseguenza vera Questo ragionamento si basa sua seguente considerazione (figura 4): se per tutti gi x di un insieme A vae a proprietaá p, aora per un particoare eemento t di A vae p: 8x 2 A, px eá V ^ t 2 A ˆ) pt eá V. I simboo ˆ) indica a deduzione ogica. Ne caso de'esempio, A eá 'insieme dei pesci, p eá a proprietaá enunciata da predicato "vivere ne'acqua", t eá i pesce rosso Lio. Notiamo che A eá un sottoinsieme de'insieme di veritaá definito da p. Riferendoci a'esempio, ci sono atri eementi che vivono ne'acqua otre ai pesci. Non fare confusione fra i simboi:! eá un connettivo che rappresenta 'impicazione materiae ˆ) rappresenta a deduzione ogica e si appica ad un ragionamento 6.2 I modus ponens Se Leo eáun gatto aora eáun feino. Ma Leo eáun gatto. Aora eáun feino. Questo ragionamento eá formato da due soe proposizioni: a: «Leo eá un gatto» b: «Leo eá un feino» e ci dice che: se eá vera 'impicazione a! b ed eá vera a premessa a, aora eá vera anche a conseguenza b. La correttezza di questa deduzione eá confermata daa tavoa di veritaá de'impicazione che puoi vedere a ato. I soo caso in cui a! b eá V e anche a eá VeÁ queo che corrisponde aa prima riga dea tabea daa quae si deduce che anche b deve essere vero. Si eá soiti rappresentare questo tipo di ragionamento con a scrittura a! b ^ a ˆ) b nea quae si evidenzia che e due proposizioni a! b e a sono e premesse, mentre b eá a deduzione ogica. I modus ponens si puoá rappresentare anche con i seguente schema: a! b premessa a premessa ÐÐÐÐÐ b deduzione a b a! b V V V V F F F V V F F V I modus ponens e i teoremi Un teorema eá una proposizione che esprime proprietaá generai di oggetti, per esempio figure geometriche o numeri, quando queste presentano determinate caratteristiche. I teoremi si possono sempre scrivere sotto forma di impicazione materiae, dove e proposizioni che costituiscono a premessa si chiamano ipotesi e e proposizioni che rappresentano a conseguenza si chiamano tesi. Sono per esempio teoremi acune proprietaá che conosci daa scuoa di base: - se un triangoo eá isoscee (ipotesi), aora ha due angoi congruenti (tesi); In un teorema, quando un'ipotesi I impica una tesi T, si dice che: I eá condizione sufficiente per T TeÁ condizione necessaria per I 18 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

19 - se a somma dee cifre di un numero eá un mutipo di 3 (ipotesi), aora que numero eá divisibie per 3 (tesi). I sapere che e precedenti due proposizioni sono vere e i sapere che un oggetto particoare rende vera 'ipotesi, permette di affermare che que'oggetto rende vera anche a tesi. Reativamente ai due teoremi precedenti si puoá quindi dire per esempio che: - se in una figura geometrica c'eá un particoare triangoo che eá isoscee, aora si puoá affermare che que triangoo ha due angoi congruenti - i numero 37215, a cui somma dee cifre vae 18, eá divisibie per I modus toens Se un numero eádivisibie per 10, aora eápari c'eáun numero che non eápari quindi que numero non eádivisibie per 10. Questo ragionamento eá formato da due proposizioni: a: «i numero dato eá divisibie per 10», b: «i numero eá pari» e ci dice che: se eá vera 'impicazione a! b ed eá vera a proposizione b (cioeá b eá F), aora eá vera anche a proposizione a (cioeá a eá F). La correttezza di questa deduzione eá confermata daa tavoa di veritaá de'impicazione che vedi a ato. I soo caso in cui a! b eá Veb eá FeÁ queo che corrisponde a'utima riga dea tabea daa quae si deduce che anche a deve essere fasa. Si eá soiti rappresentare questo tipo di ragionamento con i seguente schema a! b ^ b ˆ) a ne quae si evidenzia che e due proposizioni a! b e b sono e premesse, mentre a eá a deduzione ogica. I modus toens si puoá rappresentare anche con i seguente schema: a! b premessa b ÐÐÐÐÐ a premessa deduzione a b a! b V V V V F F F V V F F V I modus toens e i teoremi Questo schema di ragionamento eá queo che ci permette di dire che se un oggetto non verifica a tesi di un teorema, non puoá avere e caratteristiche specificate da'ipotesi. Riferendoci ancora ai teoremi precedenti: - se un triangoo non ha due angoi uguai, aora non puoá essere isoscee; - se un numero non eá divisibie per 3, aora a somma dee sue cifre non puoá essere un mutipo di La deduzione per assurdo Un uteriore schema ogico fondamentae eá i seguente: se eá vera 'impicazione a! b ed eá vera a proposizione b, aora eá vera anche a proposizione a. In simboi: a! b ^ b ˆ) a La deduzione per assurdo si puoá rappresentare con i seguente schema: a! b premessa b premessa ÐÐÐÐÐ a deduzione Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 19

20 La vaiditaá di questo schema puoá essere dedotta ancora una vota anaizzando a tavoa di veritaá de'impicazione riportata a ato. Questo tipo di deduzione viene usata nea conduzione dee dimostrazioni di moti teoremi e avrai occasione di appicara soprattutto in geometria. a b a! b V V F V F V F V V F F V ESEMPI 1. Se un quadriatero eá un paraeogramma, aora i ati opposti sono congruenti; ABCD eá un paraeogramma. Che cosa si puoá dedurre? Se a: «un quadriatero eá un paraeogramma» e b: «i quadriatero ha i ati opposti congruenti» a premessa si puoá scrivere in questo modo: a! b ^ a Appicando a regoa de modus ponens deduciamo che ABCD ha i ati opposti congruenti. 2. Se due rette si intersecano in un punto aora, tagiate da una trasversae, formano coppie di angoi aterni che non sono congruenti; due rette r e s, tagiate da una trasversae, formano angoi congruenti. Che cosa si puoá dire di r e s? Proposizione a: «due rette si intersecano in un punto» Proposizione b: «e rette, tagiate da una trasversae, formano coppie di angoi aterni congruenti» Premessa: a! b ^ b Si tratta aora deo schema di deduzione per assurdo; a soa conseguenza che si puoá trarre eá a, quindi che e due rette non si intersecano in un punto. 3. Se Maria ha sposato Caro, aora eá ricca; ma Maria non eá ricca. Che cosa si puoá dedurre? Se a: «Maria ha sposato Caro» e b: «Maria eá ricca» o schema di ragionamento eá queo de modus toens: a! b ^ b ˆ) a Dobbiamo quindi concudere che Maria non ha sposato Caro. 4. Se Anna ha una aurea in ingue orientai, aora sa parare in cinese; ma Anna non eá aureata in ingue orientai. Si puoá dedurre che Anna non sa parare in cinese? Purtroppo questo ragionamento non rientra in nessuno degi schemi che abbiamo studiato e non eá possibie fare acuna deduzione. In effetti Anna potrebbe saper parare cinese anche senza essere aureata in ingue orientai, magari percheâ eá cinese o percheâ ha vissuto in Cina per moti anni; non eá peroá da escudere che non sappia pronunciare nemmeno una paroa di cinese. APPROFONDIMENTI IL SILLOGISMO Si tratta di un tipo di ragionamento che risae a fiosofo greco Aristotee ( a.c), che eá considerato i padre dea ogica cassica e e cui concusioni hanno infuenzato per duemia anni o sviuppo dea fiosofia. Lo schema di ragionamento di un siogismo consta di due affermazioni che si chiamano premesse, dae quai si deduce una terza affermazione che eá a concusione. premessa maggiore premessa minore ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ concusione 20 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

21 I piuá famoso siogismo di Aristotee recita cosõá: Gi uomini sono mortai. premessa maggiore Socrate eáun uomo, premessa minore dunque Socrate eámortae concusione Per verificare a correttezza di questo ragionamento basta appicare a regoa di particoarizzazione: «essere mortai» eá i predicato che enuncia a proprietaá p, A eá 'insieme degi uomini i cui eementi x soddisfano p, Socrate eá 'eemento t che appartiene ad A. Le premesse e a concusione di un siogismo possono essere enunciate in forme diverse; se indichiamo con p una certa proprietaá e con P i suo insieme di veritaá, i casi che si possono presentare sono i seguenti. n Forma universae affermativa E' de tipo: tutti gi x di un insieme A soddisfano p. Da punto di vista insiemistico, questo significa che A P (figura 5a). n Forma universae negativa E' de tipo: nessun x di un insieme A soddisfa p. Da punto di vista insiemistico, questo significa che A \ P ˆ 1 e che quindi x appartiene a compementare di A rispetto a dominio di p (figura 5b). n Forma particoare affermativa E' de tipo: esiste un x di un insieme A che soddisfa p. Da punto di vista insiemistico, questo significa che A \ P 6ˆ 1 e che x 2 A \ P (figura 5c). n Forma particoare negativa E' de tipo: esiste un x di un insieme A che non soddisfa p. Da punto di vista insiemistico, questo significa che A P 6ˆ 1 e che x 2 A P (figura 5d). Figura 5 a. b. c. d. Per verificare a vaiditaá di un siogismo ci si puoá servire dee reazioni insiemistiche evidenziate. Per esempio, consideriamo i seguente schema: nessun x eáy tutti gi x sono z dunque quache z non eáy. Siano A 'insieme degi x, B 'insieme degi y, C 'insieme degi z. La premessa maggiore ci dice che A e B sono disgiunti, a premessa minore ci dice che A eá un sottoinsieme di C, dobbiamo verificare che quache eemento di C non appartiene a B. LacosaeÁ evidente in quanto gi eementi di A sono anche eementi di C e non appartengono a B (in figura 6 tre situazioni che si possono presentare). Figura 6 a. b. c. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 21

22 I ragionamento eá dunque vaido e si puoá quindi, per esempio, affermare che: nessun rombo eáinscrittibie in una circonferenza tutti i rombi sono quadriateri dunque quache quadriatero non eáinscrittibie in una circonferenza. VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Se x eá un numero primo e non eá 2, aora x eá dispari; ma x non eá dispari. In base agi schemi di ragionamento studiati si puoá dedurre che: a. x eá un numero primo b. x non eá un numero primo c. x eá pari d. non si possono fare deduzioni. 2. Sono dati un frio e un fruo. Considera a premessa: se x eáun frio, aora possiede un fruo; x non eáun frio. Che cosa si puoá dire di x? a. che x ha un fruo b. che x non ha un fruo c. che non si puoá sapere se x ha o non ha un fruo. Ne voume Laboratorio e compementi trovi... i aboratorio di informatica con Derive ed Exce a scheda di approfondimento sugi sviuppi dea ogica e a ogica fuzzy I due ragionamenti portati come esempi a'inizio de capitoo rientrano neo schema di un siogismo: Tutti i mammiferi aattano i piccoi I gatti sono mammiferi I gatti aattano i piccoi. «Aattare i piccoi» eá i predicato che enuncia a proprietaá p; A eá 'insieme i cui eementi x soddisfano a proprietaá p (insieme dei mammiferi); i gatti costituiscono un sottoinsieme di A, quindi tutti i suoi eementi t appartengono ad A. I ragazzi che hanno o scooter sono feici Io non ho o scooter quindi non sono feice. «Essere feici» eá i predicato che enuncia a proprietaá p; ne'ambito de'insieme R dei ragazzi ci sono quei che sono feici e quindi soddisfano p (insieme F) e quei che non o sono (i compementare di F rispetto a R); i ragazzi che hanno o scooter (insieme S), poicheâ sono feici, costituiscono un sottoinsieme di F. Si puoá ritenere che i ragionamento non sia corretto in quanto i ragazzo in questione, chiamiamoo Luca, puoá non appartenere a F e quindi essere infeice (zona verde nea figura), ma puoá anche appartenere a'insieme F S (zona in giao nea figura) e quindi essere uguamente feice. La risposta a quesito iniziae 22 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

23 I concetti e e regoe Le proposizioni Una proposizione eá una frase di senso compiuto dea quae si puoá stabiire se eá vera o se eá fasa. Le proposizioni obbediscono a due principi fondamentai: Principio di non contraddizione: una proposizione non puoá essere contemporaneamente vera e fasa. Principio de terzo escuso: una proposizione eá vera oppure fasa, non esistono atre possibiitaá. Le operazioni con e proposizioni Con e proposizioni si possono eseguire dee operazioni ogiche mediante i connettivi: a negazione di un enunciato a eá 'enunciato a (o anche : a) che muta i vaore di veritaá di a a congiunzione fra due enunciati a e b eá 'enunciato a ^ b che si considera vero soo se sono veri sia a che b a disgiunzione incusiva fra due enunciati a e b eá 'enunciato a _ b che si considera faso soo se sono fasi sia a che b a disgiunzione escusiva fra due enunciati a e b eá 'enunciato a _ b che si considera vero soo se a e b hanno vaori di veritaá diversi 'impicazione materiae fra due enunciati a e b eá 'enunciato a! b che si considera faso soo se a eá vero e b eá faso a coimpicazione materiae fra due enunciati a e b eá 'enunciato a $ b che si considera vero soo se a e b hanno o stesso vaore di veritaá. Le espressioni ogiche e 'equivaenza Con i connettivi si possono costruire espressioni ogiche fra enunciati (che sono gi operandi de'espressione) i cui vaore di veritaá si determina anaizzando e possibii combinazioni di Vero e Faso degi operandi. Quando un'espressione ogica eá sempre vera a variare de vaore di veritaá dei suoi operandi si para di tautoogia; quando eá sempre fasa si dice che eá una contraddizione. Due espressioni ogiche con gi stessi operandi che hanno a stessa tavoa di veritaá si dicono ogicamente equivaenti; in particoare sono ogicamente equivaenti: 'impicazione a! b e a sua contronominae b! a e espressioni a ^ b e a _ b (prima egge di De Morgan) e espressioni a _ b e a ^ b (seconda egge di De Morgan) I predicati e gi enunciati aperti Un predicato eá a proprietaá che esprime una caratteristica reativa ad acuni eementi di un insieme. Quando un predicato ega fra oro degi argomenti acuni dei quai sono dee variabii, si para di enunciato aperto o proposizione aperta. L'insieme dei vaori che possono assumere e variabii costituisce i dominio dea proposizione aperta; i sottoinsieme de dominio che rende 'enunciato aperto una proposizione vera si dice insieme di veritaá. Anche con gi enunciati aperti si possono eseguire e stesse operazioni che si eseguono con e proposizioni; in particoare, indicati con a stessa ettera (maiuscoa) de proprio enunciato gi insiemi di veritaá e con D i dominio, si ha che: 'insieme di veritaá dea negazione di un enunciato px eá 'insieme P compementare di P rispetto a D 'insieme di veritaá dea congiunzione px ^ qx di due enunciati eá 'insieme P \ Q 'insieme di veritaá dea disgiunzione incusiva px _ qx di due enunciati eá 'insieme P [ Q. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA LA LOGICA 23

24 I quantificatori Un enunciato aperto esprime spesso una proprietaá che acuni o tutti gi eementi di un insieme possiedono; per esprimere queste proprietaá si usano aora i quantificatori: i quantificatore universae, indicato da simboo 8 seguito da nome dea o dee variabii coinvote, esprime che una proprietaá p eá vera per tutti i vaori che e variabii possono assumere i quantificatore esistenziae, indicato da simboo 9 seguito da nome dea o dee variabii coinvote, esprime che una proprietaá p eá vera per ameno uno dei vaori che a variabie puoá assumere. Per indicare che una proprietaá p non eá verificata da nessuno dei vaori dea variabie si usa a negazione di questo quantificatore: 6 9x. I ragionamento ogico Esistono acune regoe che consentono di trarre deduzioni vere da premesse vere: a regoa di particoarizzazione che si puoá sintetizzare ne seguente schema: 8x 2 A, px eá V ^ t 2 A ˆ) pt eá V i modus ponens che si puoá sintetizzare ne seguente schema: a! b ^ a ˆ) b i modus toens che si puoá sintetizzare ne seguente schema: a! b ^ b ˆ) a a deduzione per assurdo che si puoá sintetizzare ne seguente schema: a! b ^ b ˆ) a. 24 LA LOGICA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA