Il rimborso dei prestiti

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1 I rimborso dei prestiti Obiettivi individuare e caratteristiche dei diversi tipi di rimborso saper stendere un piano di ammortamento saper cacoare a rata di un ammortamento comprendere e caratteristiche di un contratto di easing 1. LE CARATTERISTICHE DI UN PRESTITO Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 24 Si definisce prestito o mutuo quaunque capitae che viene concesso da un soggetto A a un soggetto B, i quae si impegna a restituire i capitae e a pagare gi interessi nei tempi convenuti. I soggetto A, che puoá essere un Istituto di Credito o una SocietaÁ, eá i creditore o mutuante; i soggetto B eá i debitore o mutuatario. Gi atri fattori importanti nea gestione dei mutui sono ovviamente i tasso di interesse a cui i prestito viene concesso, che in questo caso prende anche i nome di tasso di remunerazione, e a durata de prestito. Per quanto riguarda a durata, possiamo distinguere in: prestiti a breve scadenza, se a restituzione avviene prima di un anno daa data di accensione de prestito prestiti a media scadenza, se a restituzione avviene in un periodo compreso tra 1e 5 anni prestiti a unga scadenza, se a restituzione avviene dopo 5 anni. Per i prestiti a breve scadenza normamente i regime finanziario eá queo de'interesse sempice, per gi atri eá queo de'interesse composto. Un'atra distinzione necessaria eá quea che riguarda i numero dei creditori e/o dei debitori. In mote situazioni si ha un soo creditore, per esempio a banca che ha concesso i prestito, e un soo debitore, i Sig. Rossi che deve ristrutturare a casa; si para in questi casi di prestito indiviso. Capita peroá a vote che un soggetto abbia bisogno di somme cosõáingenti di denaro, anche quache miiardo di euro, che nessuna banca o atro ente di credito CLASSIICAZIONE IN BASE ALLA DURATA CLASSIICAZIONE IN BASE AL NUMERO DI CREDITORI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 1

2 possa concedere da soo; si ha per esempio una situazione di questo tipo quando o Stato emana Titoi che e varie persone o societaá acquistano. I prestito viene cioeá suddiviso in tante quote in modo che ci siano soggetti che possano finanziare; si para in questi casi di prestito diviso in titoi e tai titoi prendono i nome di obbigazioni. Un prestito deve essere, prima o poi, restituito con i dovuti interessi; e modaitaá di restituzione possono essere diverse, ma e piuá significative sono e seguenti: i rimborso gobae, che prevede a restituzione di capitae e interessi in un'unica souzione aa scadenza i rimborso gobae de capitae con pagamento periodico degi interessi i rimborso graduae o ammortamento, che prevede una rateizzazione sia de capitae che degi interessi. Quaunque sia a forma sceta per i rimborso di un prestito, deve comunque vaere i principio de'equivaenza finanziaria: CLASSIICAZIONE IN BASE ALLA RESTITUZIONE i capitae avuto in prestito deve essere finanziariamente equivaente aa somma dei pagamenti fatti da debitore concordemente con i contratto stipuato. La seguente tabea riassume quanto detto. DURATA breve scadenza (regime di interesse sempice) media scadenza (regime di interesse composto) unga scadenza (regime di interesse composto) NUMERO CREDITORI indiviso diviso in titoi RESTITUZIONE gobae gobae con rateizzazione degi interessi graduae A vote capita che i debitore chieda di poter estinguere anticipatamente i suo debito oppure che i creditore ceda i prestito ad un'atra persona; in questi casi eá necessario procedere aa vautazione de prestito. LA ALUTAZIONE DI UN PRESTITO I vaore di un prestito, detto anche vaore di riscatto, eá i vaore attuae di tutte e somme che i debitore deve ancora versare a creditore I cacoo de vaore attuae viene fatto ad un tasso i che chiameremo tasso di vautazione e avviene in modo diverso a seconda dea forma di restituzione concordata; nei prossimi paragrafi vedremo come procedere caso per caso. In questa vautazione viene spesso richiesta anche una suddivisione tra e somme che costituiscono i capitae prestato e gi interessi corrisposti. Si chiama nuda proprietaá i vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate; si chiama usufrutto i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate. I vaore de prestito eá quindi a somma tra a nuda proprietaá e 'usufrutto; indicando con k i vaore di riscatto a tempo k, con P k a nuda proprietaá e con U k 'usufrutto, si ha che: k ˆ P k U k. 2 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 ediamo una situazione concreta. Prestiamo E con 'accordo che questo capitae ci venga restituito dopo tre anni ma che gi interessi ci vengano corrisposti aa fine di ogni anno; i nostro debitore, peroá, ci chiede di estinguere i debito dopo due anni. Aora, tenendo presente che eá k ˆ 2 : a nuda proprietaá P2 eá i vaore attuae di E a tempo 2 (de capitae non eá ancora stata restituita acuna parte) 'usufrutto U2 eá i vaore attuae degi interessi de'utimo anno (gi interessi dei primi due anni sono giaá stati pagati) i vaore de prestito eá a somma dei due precedenti vaori 2 ˆ P 2 U IL RIMBORSO GLOBALE Supponiamo di aver ricevuto in prestitoe20000 e di dover rimborsare a somma ad un interesse composto de 6% annuo dopo 2 anni. Si tratta sostanziamente di un probema di cacoo de montante che sappiamo risovere; aa scadenza, dopo 2 anni dovremo restituire una somma M ˆ ,06 2 cioeá E In caso di restituzione aa scadenza si deve quindi cacoare i montante dea somma A avuta in prestito con e seguenti regoe: n per prestiti a breve scadenza, quindi in regime di interesse sempice: M ˆ A 1 it n per prestiti a media e unga scadenza, quindi in regime di interesse composto: M ˆ A 1 i t A distanza di un anno e sei mesi da prestito di E che ci avevano fatto, un improvviso ascito ci mette in grado di restituire i debito anticipatamente; ci chiediamo quae somma dobbiamo restituire. Ad una prima anaisi saremmo tentati di dire che i vaore de montante M che avremmo dovuto restituire aa scadenza deve essere scontato di 6 mesi ao stesso tasso, oppure, che eá a stessa cosa, che a somma che dobbiamo pagare eá i montante di E per un tempo di 1anno e 6 mesi anzicheâ due anni. Questo ragionamento peroá non eá de tutto corretto percheâ di soito i tassi di interesse correnti sono piuá bassi dei tassi di remunerazione e a situazione prospettata diventerebbe sfavorevoe a creditore che, di conseguenza, non accetterebbe i pagamento anticipato. Cacoiamo: i vaore de prestito a tempo 1,5 e a tasso de 6% annuo eá: ,06 1,5ˆ 21826,74 E i creditore dovrebbe investire a somma restituita per i restanti 6 mesi a tasso corrente, diciamo de 3%: 21826,74 1 0,03 0,5ˆ 22151,72 E La differenza con i vaore che avrebbe ricavato daa restituzione de prestito aa scadenza, cioeá E 22472, eá evidente: ,72 ˆ 320,28 E. Per un principio di equivaenza, si rende aora necessario scontare a tasso corrente i vaore de debito aa scadenza; ne nostro caso, anticipando di 6 mesi i pagamento, a tasso corrente de 3%, dovremmo pagare (figura 1): ,03 0,5ˆ 22142,32 E Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 25 RIMBORSO TOTALE ALLA SCADENZA Ricorda di uniformare sempre i tempo reativo aa durata e queo reativo a tasso. IL ALORE DI RISCATTO igura 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 3

4 I tasso appicato in caso di vautazione anticipata de debito eá i tasso di vautazione i di cui abbiamo giaá parato ne paragrafo precedente; a somma da pagare anticipatamente eá i vaore di riscatto de debito. Normamente i tasso di vautazione coincide con i tasso corrente, ma puoá anche essere concordato tra e due parti; eá comunque di soito piuá basso de tasso di remunerazione. In definitiva, se C eá i capitae prestato, i eá i tasso di remunerazione, i eá i tasso di vautazione e k eá i tempo di anticipazione rispetto aa scadenza naturae n, i vaore di riscatto k si cacoa con a seguente formua: k ˆ A 1 i n {z } montante aa scadenza 1 i n k {z } attuaizzazione a tempo n k La nuda proprietaá eá i vaore A de prestito, 'usufrutto eá a differenza tra k e A. ESEMPI 1. Davide ha chiesto in prestito E 1500 per far fronte ad un imprevisto. Gi viene concesso ae seguenti condizioni: tasso di interesse 3,4% annuo nominae convertibie semestramente, restituzione de capitae e degi interessi in un'unica souzione tra 6 mesi. Quae somma dovraá restituire Davide a suo creditore? Abbiamo che: A ˆ 1500 t ˆ 6 mesi j 2 ˆ 0,034 Dobbiamo cacoare i montante M in regime di interesse sempice trattandosi di un prestito a breve scadenza. Uniformiamo i tempi trasformando i tasso in tasso semestrae e i tempo in semestri: i 2 ˆ j2 2 ˆ 0,034 ˆ 0,017 t ˆ 1semestre 2 Possiamo adesso cacoare i montante: M ˆ C 1 it ˆ ,017 1 ˆ 1525,50 E 2. Eena chiede un finanziamento di E ad una banca che gieo concede ad un tasso di interesse composto trimestrae de'1,5% con a restituzione de debito dopo 2 anni e 6 mesi. Quae somma dovrebbe restituire Eena? Dopo un anno e mezzo a ragazza, avendo avuto un considerevoe aumento di stipendio, eá in grado di restuire 'intero prestito e a banca accetta concordando un tasso di vautazione annuo de 4,8%; quae somma deve restituire Eena? I dati de probema sono: A ˆ i 4 ˆ 0,015 tasso trimestrae t ˆ 2a 6m Dobbiamo cacoare M. Uniformiamo i tempo dea durata a tasso: 2 anni e 6 mesi = 10 trimestri Cacoiamo i montante: M ˆ ,015 10ˆ 16247,57 E In aternativa avemmo potuto trasformare i tasso trimestrae in tasso annuo con a formua dei tassi equivaenti: i ˆ 1 0, ˆ 0, ! M ˆ , ,5ˆ 16247,57 E Cacoiamo adesso i vaore di riscatto de prestito tenendo presente che eá: i ˆ 0,048 k ˆ 1anno (1anno prima dea scadenza) quindi n k ˆ 1 k ˆ 16247,57 1 0,048 1ˆ 15503,41 E Eena deve quindi restituire E 15503,41 dei quai E costituiscono a nuda proprietaá e E 1503,41 rappresentano 'usufrutto. 4 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Antonio ha avuto un prestito di E 5000 daa sua banca ad un tasso annuo de 6% con 'obbigo di restituzione dopo quattro anni. a. La somma che deve restituire aa scadenza, arrotondata a'euro, eá pari a: b. Se, d'accordo con a banca, anticipa i pagamento di 18 mesi a tasso di riscatto de 4,5%, deve restituire in euro circa: Tempo fa hai prestatoe10000 a tasso di remunerazione de 5,8% composto e oggi ti vengono restituiti E 11513,68. Quanto tempo fa eá avvenuta 'operazione? a. 3 anni e 2 mesi b. 1anno e 8 mesi c. 2 anni e 6 mesi d. 2 anni 3. IL RIMBORSO GLOBALE CON PAGAMENTO PERIODICO DEGLI INTERESSI Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 27 Abbiamo questo tipo di rimborso quando creditore e debitore si accordano per a restituzione de prestito, in modo che i capitae venga restituito per intero aa scadenza e gi interessi vengano pagati periodicamente. In pratica, i debitore riceve in prestito a somma A, periodicamente paga gi interessi su A e aa scadenza restituiraá A. Osserviamo che i cacoo degi interessi, proprio percheâ vengono pagati sempre sua stessa somma aa fine di ogni anno, o semestre o atro, va fatto in regime di interesse sempice. Questo significa che, aa fine di ogni periodo, i debitore pagheraá una somma pari a I ˆ Ai se i periodo eá 'anno I ˆ A i k se i periodo eá 1 k di anno In questo tipo di rimborso i creditore puoá richiedere i pagamento anticipato degi interessi, vae a dire che, aa concessione de prestito, trattiene a quota di interessi reativa a primo periodo. I debitore pagheraá a'inizio di ogni periodo tae quota di interessi e aa scadenza restituiraá i capitae avuto in prestito. Tornando a'esempio de paragrafo precedente, se ci viene concesso un prestito di E con questa modaitaá di rimborso, ad un tasso annuo de 6%, dovremo pagare: n un interesse I ˆ ,06 ˆ 1200 E ogni anno n 'intero capitae di E aa scadenza dopo due anni. Pagheremo cioeá: se 'interesse eá anticipato E 1200 aa stipua de contratto, cioeá a'inizio de primo anno, e questo equivae in pratica a ricevere ˆ E E 1200 a'inizio de secondo anno e E aa scadenza, cioeá aa fine de secondo anno se 'interesse eá posticipato E 1200 aa fine de primo anno Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 5

6 E aa fine de secondo anno, quota comprensiva de capitae e degi interessi. L'ammortamento americano o a due tassi In un contratto di prestito con rimborso gobae de capitae si puoá prevedere una causoa a tutea de creditore in base aa quae i debitore deve provvedere a costituire i capitae mediante versamenti periodici in una banca; questo a fine di evitare che aa scadenza ci sia i rischio di un mancato rimborso. Si para di ammortamento americano quando a costituzione de capitae avviene mediante una rendita vincoata a favore de creditore. In questa operazione finanziaria i tasso di remunerazione e i tasso di costituzione, cioeá i tasso dea rendita, sono diversi e i primo eá in genere maggiore de secondo; per questo motivo questo tipo di rimborso viene anche detto ammortamento a due tassi. Da punto di vista de creditore si tratta sempre di un rimborso gobae percheâ soo aa scadenza egi potraá ritirare i capitae prestato; da punto di vista de debitore si tratta di un rimborso graduae che studieremo megio ne prossimo paragrafo anaizzando e diverse possibiitaá. Per comprendere i funzionamento di questo tipo di rimborso vediamo un esempio. I Sig. Rossi, che ha avuto un prestito die40000 da rimborsare dopo 8 anni anni con pagamento annuo degi interessi a tasso annuo de 5%, conviene con i suo creditore una restituzione con ammortamento americano. La costituzione de capitae avviene mediante i deposito in una banca di una rata annua costante a tasso di interesse de 2%. Determiniamo quae somma deve pagare ogni anno i Sig. Rossi. Una quota di questa somma eá costituita dagi interessi annui: I ˆ ,05 ˆ 2000 E Ad essa va aggiunto 'importo da accantonare ogni anno per a costituzione de capitae; per determinaro dobbiamo cacoare a rata di una rendita annua posticipata formata da 8 rate costanti a tasso annuo di interesse de 2% che ha un montante di E , Impostiamo 'equazione: ˆ R 0,02 da cui ricaviamo che R ˆ ,02 1, ˆ 4660,40 E Compessivamente, aa fine di ogni anno, i Sig. Rossi dovraá quindi pagare ,40 ˆ 6660,40 E. Questi ragionamenti vagono in generae e ci permettono di concudere che in un ammortamento americano i debitore deve versare periodicamente due importi: I montante di una rendita posticipata si cacoa con a formua M ˆ R 1 i n 1 i 'interesse su debito da cacoarsi con a formua I ˆ A i o I ˆ A i k se a rata eá periodae una rata di costituzione de capitae a tasso i 0 (minore di i) da cacoarsi con A i 0 a formua R ˆ 1 i 0 n 1. 6 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 ESEMPI Esempi su rimborso gobae de capitae e rateizzazione degi interessi 1. Un debito contratto a tasso di remunerazione de 3,3% annuo prevede i pagamento degi interessi quadrimestrai di E 77 aa fine di ogni periodo. Qua eá i capitae richiesto in prestito? I dati a nostra disposizione sono: I ˆ 77 quadrimestrai i ˆ 0,033 interesse annuo, non conforme a periodo di pagamento degi interessi Dobbiamo cacoare i capitae A. Uniformiamo i tasso trasformandoo in tasso quadrimestrae in regime di interesse sempice: i 3 ˆ i 3 ˆ 0,033 ˆ 0,011 3 Utiizziamo a formua che esprime 'interesse da quae possiamo ricavare i capitae A : I ˆ A i 3! A ˆ I ˆ 77 i 3 0,011 ˆ 7000 E 2. Eena ha contratto un debito di E convenendo i pagamento semestrae posticipato degi interessi a tasso semestrae de 2,5% e a restituzione de capitae dopo 8 anni. Cacoiamo: a. quanto Eena dovraá pagare ogni 6 mesi b. quanto dovraá restituire aa scadenza c. i vaore totae dea somma restituita d. quanto avrebbe dovuto restituire aa scadenza con un rimborso gobae de capitae e degi interessi. I dati sono tutti omogenei rispetto a tempo; possiamo quindi rispondere subito ae richieste. a. Cacoiamo 'interesse semestrae: I ˆ ,025 ˆ 1250 E b. Aa fine de'ottavo anno Eena restituiraá una somma: S ˆ ˆ E c. Per rispondere a questa domanda dobbiamo considerare che i pagamento semestrae degi interessi costituisce una rendita di rata R ˆ 1250 con un numero di rate pari a 16; eá necessario quindi cacoare i montante di questa rendita posticipata: M ˆ R s 160,25 1 0, ! M ˆ ,025 ˆ 24225,28 E Ad essa va aggiunto i capitae iniziae da restituire die50000; i vaore compessivo de'operazione eá quindi di ,28 ˆ 74225,28 E. d. In caso di rimborso gobae, a somma da restituire eá i montante di E cacoato in regime di interesse composto per un periodo di 8 anni, cioeá 16 semestri: S ˆ ,025 16ˆ 74225,28 E Come si vede, compessivamente i costo de'operazione eá o stesso, percheâ sostanziamente cambia soo a modaitaá di pagamento degi interessi. Esempi su'ammortamento americano 3. Cacoiamo a rata di costituzione a tasso annuo de'1,5% che deve servire a rimborso di un capitae di E concesso a tasso annuo de 6% e rimborsabie dopo 5 anni con pagamento annuo posticipato degi interessi; troviamo poi a somma che deve essere pagata ogni anno da debitore per far fronte agi impegni presi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 7

8 La rata di costituzione de capitae si ricava da'equazione: a cui souzione eá R ˆ 5822,68 E La quota annua degi interessi eá: I ˆ ,06 ˆ 1800 E Compessivamente i debitore deve pagare annuamente 1 0, ˆ R 0, , ˆ 7622,68 E. 4. Per estinguere un debito contratto con ammortamento americano, Mario deve versare in banca E 395,20 a mese a tasso annuo nominae convertibie mensimente de 3,6% per un periodo di tre anni. Cacoiamo 'ammontare de prestito e gi interessi che egi deve pagare ogni anno se i prestito eá stato concesso a tasso annuo de 5,4%. Questa vota conosciamo 'importo dea rata e dobbiamo cacoare i montante dea rendita tenendo presente che i numero dee rate eá 36 e che i 0 ˆ j ˆ 0, ˆ 0,003 M ˆ 395,20 s 36 0, , ! M ˆ 395,20 0,003 ˆ E Gi interessi da pagare ogni anno sono quindi: I ˆ ,054 ˆ 810 E I vaore di riscatto In questa forma di rimborso i capitae prestato A viene restituito aa scadenza, gi interessi vengono pagati ad ogni periodo; i vaore di riscatto ad un tempo k anteriore aa scadenza comprende quindi: a nuda proprietaá, che eá i vaore attuae di A a tempo k, cioeá pagabie dopo n k anni, a tasso di vautazione i : P k ˆ A 1 i n k 'usufrutto, che eá i vaore attuae dee n k quote di interesse di importo Ai ancora da pagare; poicheâ tai quote costituiscono una rendita, si ha che: U k ˆ Ai a ˆ Ai 1 1 i n k n k i i Quindi k ˆ A 1 i n k Ai 1 1 i i n k Consideriamo per esempio un prestito die12000 che deve essere restituito dopo 6 anni a tasso de 5%; a restituzione avviene peroá dopo 4 anni e a vautazione viene fatta a tasso i de 2,8%. In questo caso: a nuda proprietaá eá i vaore attuae di E a tempo 4 (n ˆ 6ek ˆ 4): P 4 ˆ ,028 2ˆ 11355,21 E 'usufrutto eá i vaore attuae di due quote di interesse n k ˆ 2 : U 4 ˆ ,05 {z } interesse I vaore di riscatto eá quindi: 1 1 0, ,028 ˆ 1151,42 4 ˆ 11355, ,42 ˆ 12506,63 E. 8 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 ERIICA DI COMPRENSIONE 1. aentina ha avuto in prestitoe5000 da restituire dopo 4 anni. Si concorda i pagamento posticipato annuo degi interessi a tasso annuo de 4,6%. aentina aa scadenza dovraá pagare euro: a b c d Giovanni ha avuto in prestitoe5800 a tasso annuo de 5% che restituiraá dopo 3 anni con ammortamento americano. I tasso fatto daa banca eá de 2% annuo: a. a quota interesse eá in euro: b. a rata da depositare annuamente in banca eá in euro: 2011, , ,01 3. ederico ha avuto in prestito E a 3,5% annuo da restituire fra 6 anni con ammortamento americano; se i tasso praticato daa banca per a costituzione de capitae eá de'1,8% annuo: a. a quota di interesse eá di euro: b. a rata annua da versare eá di euro: 1438, , ,23 4. IL RIMBORSO GRADUALE 4.1 Le caratteristiche di un ammortamento I due precedenti rimborsi sono moto onerosi quando i prestito eá di importo eevato; si preferisce aora suddividere i capitae da rimborsare in piuá quote e si para quindi di rimborso graduae o anche di ammortamento. In questo caso, i debitore versa periodicamente dee rate, dette rate di ammortamento, che sono formate da: una quota interesse I una quota capitae C. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 32 EÁ importante evidenziare i seguenti aspetti: i debito si estingue soo con i pagamento dee quote capitae, cioeá a somma di tutte e quote capitae deve essere uguae a prestito i debito estinto a tempo k eá a somma dee soe quote capitae dee prime k rate i debito residuo eá a differenza tra 'intero capitae prestato e i debito giaá estinto. Una osservazione particoare va fatta poi sua quota interesse: nea prima rata gi interessi vengono cacoati su'intero capitae prestato nea seconda e in quee successive, gi interessi si cacoano su debito residuo. E' quindi evidente che a quota interesse diminuisce a crescere de numero di rate pagate. Come a soito deve poi vaere i principio di equivaenza finanziaria che in questo caso prevede che: i vaore attuae dee rate pagate da debitore deve essere finanziariamente equivaente aa somma prestata da creditore. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 9

10 Per comprendere i significato di un ammortamento vediamo un esempio introduttivo sempice. Supponiamo di aver ricevuto un prestito di E che conveniamo di estinguere in 4 anni, suddividendoo in quattro quote capitae a tasso concordato de 5% annuo: C 1 ˆ 2000E C 2 ˆ 3000E C 3 ˆ 2500E C 4 ˆ 2500E Per i cacoo dee rate prepariamo una tabea nea quae indicare: a quota capitae, a quota interesse, a rata annua, i debito estinto e i debito residuo. periodo k quota capitae C k quota interessi I k rata annua R k debito estinto E k debito residuo D k 0 ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ Spieghiamo come eá stato costruito i piano di ammortamento. Tempo 0. Tempo 1. Tempo 2. Tempo 3. Tempo 4. Aa concessione de prestito, nessuna rata eá stata pagata e i debito residuo eá di E Dopo un anno, a prima rata eá formata daa quota capitae die2000 e daa quota interesse cacoata su E 10000: I ˆ ,05 ˆ 500 E) Dunque R ˆ 2500 E, i debito estinto eá di E 2000, i debito residuo eá di E Dopo due anni, a seconda rata eá formata daa quota capitae di E 3000 e daa quota interesse cacoata su E 8000: I ˆ ,05 ˆ 400 E) R ˆ 3400 E), i debito estinto eá di E 5000, i debito residuo eá di E Dopo tre anni, a terza rata eá formata daa quota capitae die2500 e daa quota interesse cacoata su E 5000: I ˆ ,05 ˆ 250 E R ˆ 2750 E, i debito estinto eá di E 7500, i debito residuo eá di E Dopo quattro anni, 'utima rata eá formata daa quota capitae di E 2500 e daa quota interesse cacoata su E 2500: I ˆ ,05 ˆ 125 E R ˆ 2625 E, i debito estinto eá di E 10000, i debito residuo eá di E 0. I piano eá finanziariamente equo in quanto: , , , ,05 4ˆ Esistono diversi tipi di ammortamento che dipendono da come viene cacoata a rata; i due piuá importanti sono: 'ammortamento progressivo o francese 'ammortamento uniforme o itaiano. LE PRINCIPALI ORME DI AMMORTAMENTO 10 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 4.2 L'ammortamento progressivo Si para di ammortamento progressivo quando un debito viene rimborsato in modo graduae con i pagamento periodico di n rate costanti ognuna dee quai contiene una quota capitae e una quota interessi. Questo tipo di ammortamento eá noto anche come ammortamento francese. E' questo i tipo di ammortamento che viene fatto quando si accede a un mutuo presso una banca, ad esempio per 'acquisto di una casa, o si paga a rate un'auto. I debitore sa esattamente quante rate deve pagare e qua eá i oro importo fisso. In tai rate, che supporremo sempre posticipate visto che gi interessi si pagano aa fine de periodo di competenza, eá sempre specificato inotre i vaore dee quote capitae e dee quote interesse; queste utime sono, con varie modaitaá, oneri deducibii nea dichiarazione dei redditi. ediamo un esempio. Otteniamo da una banca un mutuo di E a tasso de 4% annuo da rimborsare con ammortamento progressivo in 5 anni. Quae saraá a rata costante annua che dovremo pagare? In base a'equivaenza finanziaria E sono i vaore attuae di una rendita formata dae rate che verseremo; possiamo quindi dire che ˆ R a 50,04 da cui ricaviamo che i vaore dea rata eá R ˆ a ˆ 4 492,54 E 50,04 Potremo estinguere quindi i debito versando per 5 anni E 4 492,54 a'anno. In generae: in un ammortamento progressivo di un capitae A, costituito da n rate costanti a tasso i, 'importo R dea rata si cacoa con a formua R ˆ A n i dove abbiamo posto n iˆ 1 a n i I simboo n i rappresenta a rata annua posticipata necessaria ad estinguere un debito di E 1in n anni. Scrivendo per esteso a formua: i R ˆ A 1 1 i n Per stendere i piano di ammortamento dobbiamo costruire una tabea anaoga a quea de'esempio introduttivo; per faro osserviamo che: n a prima quota interesse eá cacoata su'intero debito e quindi avremo che I 1 ˆ ,04 ˆ 800 E ; n di conseguenza a prima quota capitae eá C 1 ˆ R I 1 ˆ 4492, ˆ 3692,54 E ; n dopo aver pagato a prima rata i debito residuo eá D 1 ˆ S C 1 ˆ ,54 ˆ 16307,46 E ; Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 11

12 n a seconda quota interesse saraá dunque cacoata su questa somma ed eá I 2 ˆ 16307,46 0,04 ˆ 652,30 E. Continuando in questo modo, possiamo stendere i piano di ammortamento come nea seguente tabea: anni (n) rata (R) quota interessi (I k ) quota capitae (C k ) debito estinto (E k ) dedito residuo (D k ) 0 ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ , , , , ,54 652, , , , ,54 498, , , , ,54 338, , , , ,54 172, , ,99 0 Ne'istogramma di figura 2 viene mostrato 'andamento dee quote capitae e dee quote interesse. Sia daa tabea che daa rappresentazione grafica si evidenzia che e quote capitae sono crescenti, mentre diminuiscono e quote interesse. In particoare si dimostra che: e quote capitae crescono secondo una progressione geometrica di ragione 1 i. Una successione di numeri eá in progressione geometrica di ragione q se i rapporto fra un termine e i precedente eá uguae a q. Lo possiamo verificare anche da piano di ammortamento de'esempio: i rapporto tra due quote capitae successive eá costante e vae proprio 1,04: igura , ,61 ˆ 1, ,61 ˆ 1,04 e cosõá via 3993,85 I nome di ammortamento progressivo dato a questo metodo deriva proprio da questa proprietaá. La composizione dea k - esima rata si determina sfruttando a proprietaá evidenziata; questa a procedura: n si trova a rata costante R ˆ A ni n si trova a prima quota interesse I 1 ˆ A i n si trova a prima quota capitae come differenza tra a rata e a quota interesse C 1 ˆ R I 1 n si trova a k-esima quota capitae sfruttando e progressioni C k ˆ C 1 1 i k 1 n si trova a k-esima quota interesse per differenza I k ˆ R C k n si trova i debito residuo dopo i pagamento dea k-esima rata come vaore attuae dee restanti rate D k ˆ R a n k i In una progressione geometrica di ragione q a k ˆ a 1 q k 1 n si trova i debito estinto per differenza E k ˆ A D k 12 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 ESEMPI 1. Un debito di E eá rimborsabie in 10 anni con ammortamento progressivo a 5% annuo. Troviamo a composizione dea quinta rata e a situazione de debito dopo i pagamento dea settima rata. Non eá necessario stendere i piano di ammortamento; basta seguire e indicazioni date ed appicare e reazioni appropriate: cacoiamo a rata costante R ˆ ,05 ˆ 1942,57 E a prima quota interesse eá I1 ˆ ,05 ˆ 750 E di conseguenza a prima quota capitae eá C1 ˆ 1942, ˆ 1192,57 E a quinta quota capitae eá C5 ˆ 1192,57 1 0,05 4 ˆ 1449,58 E ed aora I5 ˆ 1942, ,58 ˆ 492,99 E Aora a composizione dea quinta rata eá: anno rata quota capitae quota interesse , ,58 492,99 Cacoiamo i debito residuo a tempo 7 come vaore attuae dee restanti 3 rate: D 7 ˆ 1942,57 a 30,05 ˆ 5290,10 E I debito estinto eá quindi E 7 ˆ ,10 ˆ 9709,90 E. I vaore di riscatto I vaore de prestito a tempo k eá i vaore attuae dee restanti n k rate costanti a tasso i : k ˆ R a n k i e poicheâ R ˆ A, otteniamo che: ni k ˆ A ni a n k i Per cacoare a nuda proprietaá e 'usufrutto si usa una comoda reazione che prende i nome di formua di Achard-Makeham che ega tra oro i debito residuo, a nuda proprietaá e 'usufrutto di un dato periodo k : LA ORMULA DI ACHARD-MAKEHAM D k ˆ U k i i P k La nuda proprietaá eá i vaore attuae dee rimanenti quote capitae; utiizzando questa formua si dimostra che: P k ˆ R 1 i n k 1 i i i L'usufrutto eá a differenza, quindi: U k ˆ k P k. n k Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 13

14 Cacoiamo per esempio i vaore di riscatto di un capitae A ˆ E a tasso annuo i de 3% essendo noti i seguenti dati: i ˆ 6% tasso annuo n ˆ 8 rate annue tempo di riscatto k ˆ 5 Cacoiamo prima di tutto 'importo dea rata: R ˆ Appichiamo adesso e formue precedenti: 0,06 8 ˆ 1610,36 E 1 1 0,06 5 ˆ R a ˆ 1610, ,03 3 ˆ 4555,08 E n k i 0,03 1 0, ,03 P 5 ˆ 1610,36 0,03 0,06 3 ˆ 4053,94 E U 5 ˆ 4555, ,94 ˆ 501,14 E 4.3 L'ammortamento uniforme Questo tipo di ammortamento eá noto anche come ammortamento itaiano. Anche in questo vediamo dapprima un esempio di come costruire i piano di ammortamento. Dobbiamo rimborsare un prestito di E a tasso annuo de 5% in 6 rate annue posticipate. Per avere a quota capitae basta dividere 'importo de prestito in 6 parti uguai: C ˆ ˆ 2000 E Le quote interesse devono essere cacoate su debito residuo: Si para di ammortamento uniforme quando un prestito viene rimborsato in modo graduae con i pagamento periodico di n rate in cui a quota capitae rimane costante. prima rata, I viene cacoata su'ammontare de'intero prestito: I ˆ ,05 ˆ 600 E seconda rata, I viene cacoata su primo debito residuo, cioeá E 10000: I ˆ ,05 ˆ 500 E terza rata, I viene cacoata su secondo debito residuo, cioeá E 8000: I ˆ ,05 ˆ 400 E quarta rata, I viene cacoata su terzo debito residuo, cioeá E 6000: I ˆ ,05 ˆ 300 E e cosõá via per e rimanenti rate. Nea tabea che segue abbiamo rappresentato i piano di ammortamento per esteso. 14 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 anni quota capitae quota interesse rata debito estinto debito residuo 0 ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ne'istogramma di figura 3 viene mostrato 'andamento dee quote capitae, che sono costanti, e dee quote interesse che invece diminuiscono ne tempo. In particoare, e quote interesse diminuiscono sempre dea stessa quantitaá percheâ ad ogni rata successiva vengono cacoate su una somma che diminuisce in modo costante; ne caso de nostro esempio diminuiscono sempre di 100 euro e formano quindi una progressione aritmetica di ragione 100 : Ripetendo gi stessi ragionamenti ne caso generae troviamo che, indicando con A 'ammontare de prestito, con i i tasso di interesse e con n i numero dee rate: a quota capitae eá: C ˆ A n a prima quota interesse eá A i e e successive formano una progressione aritmetica di ragione C i i debito estinto eá in progressione aritmetica di ragione C i debito residuo eá in progressione aritmetica di ragione C. Per trovare a k esima quota interesse basta quindi appicare e regoe dee progressioni aritmetiche e determinare 'eemento di posto k a partire da queo di posto 1 : I k ˆ I 1 k 1 Ci! I k ˆ I 1 k 1 Ci igura 3 In una progressione aritmetica di ragione d: a n ˆ a 1 n 1 d Sostituendo a I 1 eac e rispettive espressioni troviamo infine che: I k ˆ A i k 1 A n i! I k ˆ Ai 1 k 1 n cioeá I k ˆ Ai n k 1 n In definitiva in un ammortamento uniforme: a quota capitae eá costante ed eá: C ˆ A n a quota interesse eá variabie ed eá: Ik ˆ Ai n k 1 n a rata eá variabie ed eá: Rk ˆ A n Ai n k 1 n Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 15

16 ESEMPI 1. Determiniamo a variazione costante dea quota interesse in un ammortamento uniforme di un prestito di E in 4 anni a tasso de 4,4%. Costruiamo poi i piano di ammortamento. La quota capitae di ogni rata eá: C ˆ La prima quota interesse eá: ˆ 8000 E I 1 ˆ ,044 ˆ 1408 E Le successive quote diminuiscono di C i, cioeá di: Possiamo adesso stendere i piano di ammortamento: ,044 ˆ 352 E n C I R E D Cacoiamo a composizione dea sesta rata di un debito die contratto a tasso annuo de 4,5% e restituibie con ammortamento uniforme in 10 rate. La quota capitae costante eá di E 5000 Cacoiamo a sesta quota interessi quindi a sesta rata eá I 6 ˆ ,045 R 6 ˆ C I 6 ˆ ˆ 6125 E ˆ 1125 E I vaore di riscatto Ne'ammortamento uniforme, essendo e quote capitae costanti, eá sempice trovare a nuda proprietaá: P k ˆ C a n k i Anche in questo caso, per i cacoo de'usufrutto possiamo ricorrere aa formua di Achard-Makeham: U k ˆ C i i n k a n k i ERIICA DI COMPRENSIONE 1. Considera e seguenti proposizioni reative ad un ammortamento graduae: e quote capitae sono costanti e quote interesse sono costanti e rate sono costanti Di esse si puoá dire che: a. ne'ammortamento francese sono tutte vere b. ne'ammortamento francese eá vera soo a c. ne'ammortamento itaiano eá vera soo a d. ne'ammortamento itaiano eá vera soo a 16 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 2. Barra vero o faso. a. Ne'ammortamento progressivo e quote capitae costituiscono una progressione aritmetica. b. Ne'ammortamento uniforme e quote interesse formano una progressione aritmetica. c. In un ammortamento, se a rata eá costante, a quota capitae e a quota interesse non o sono mai. d. In un ammortamento, se a quota capitae eá costante, a rata eá costante. 5. IL LEASING Uno dei probemi dee aziende eá queo di poter disporre di macchinari i piuá possibie moderni per poter produrre beni tecnoogicamente avanzati e competitivi; spesso eá poi necessario aumentare gi spazi costruendo capannoni piuá grandi e piuá moderni; mote aziende hanno poi bisogno di mezzi di trasporto per e merci o di auto di rappresentanza. Tutto questo costa e in moti casi un'azienda non ha tutto i denaro che e serve per poter far fronte ae diverse necessitaá. Si ricorre aora ad una forma di finanziamento particoare chiamata easing, termine angosassone che possiamo tradurre con ocazione finanziaria. Nea giurisprudenza esistono diverse forme di easing, queo di cui ci occupiamo noi in questa sede eá i easing finanziario. Per spiegarne i funzionamento vediamo dapprima un esempio. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 37 Supponiamo che un'azienda abbia a necessitaá di acquistare una macchina per eseguire dee avorazioni; si rivoge a una societaá finanziaria a quae acquista i bene che e interessa e ne diventa a proprietaria. La macchina viene poi messa a disposizione de'azienda dietro i pagamento periodico di un canone. Aa scadenza de contratto i bene puoá essere riscattato (cioeá acquistato) da'azienda che ne diventa a proprietaria, puoá essere restituito aa societaá finanziaria, oppure ancora si puoá stipuare un atro contratto di easing anaogo a queo scaduto. A differenza di un contratto di prestito, quindi, in cui eá un Istituto di Credito che presta denaro a'azienda per 'acquisto de bene, che diventa quindi proprietaá de'azienda stessa, in un contratto di easing 'azienda non eá proprietaria de bene e quindi non ha neâ i benefici neâ gi oneri che derivano da'essere proprietario. Per esempio, se a macchina si guasta eá a societaá di easing che provvede aa riparazione, se viene rubata a societaá di easing deve sostituira, ma se 'azienda usa impropriamente a macchina e a danneggia ne deve rispondere a proprietario; ne easing di un'autovettura boo, assicurazione sono a carico de'azienda ma riparazione di eventuai guasti sono a carico dea SocietaÁ di easing. ormaizziamo queo di cui abbiamo parato ne'esempio. In un contratto di easing intervengono due parti: un soggetto A che ha bisogno di disporre di un certo bene e che chiamiamo ocatario un soggetto B, che chiamiamo ocatore, che acquista i bene e che o mette a disposizione di A. Le paroe chiave di un contratto di esing: - ocatario - ocatore - canone - riscatto La disponibitaá de bene avviene dietro i pagamento periodico di una somma R che chiamiamo canone di ocazione. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 17

18 A termine de contratto i bene puoá diventare di proprietaá de ocatario A dietro i pagamento di una somma prestabiita detta vaore di riscatto. I contratto di easing stabiisce poi: n a durata In genere un easing dura da 3 a 5 anni, savo per i beni immobii per i quai a durata varia da 25 a 30 anni o piuá; a durata de contratto rappresenta normamente i periodo di vita utie de bene. n 'importo dei canoni di ocazione I canone eá di soito mensie e di importo costante, ma si possono avere easing con canoni di periodicitaá diversa e di importo variabie. n un eventuae acconto L'acconto comporta i pagamento anticipato di un certo numero di canoni e per questo viene di soito detto maxicanone. n i vaore di riscatto de bene aa scadenza de contratto Deve poi sempre vaere i principio di equivaenza finanziaria in base a quae i vaore de bene dato in ocazione, a tasso stabiito dae parti, deve essere uguae a vaore attuae di tutte e somme di denaro che a societaá ocataria si impegna a pagare. ediamo un esempio. Un imprenditore necessita di un macchinario de costo di E e stipua per questo un contratto di easing che prevede: i pagamento di 24 canoni mensii a tasso mensie deo 0,5% di cui 4 da versare come acconto possibiitaá di riscattare i bene aa scadenza de contratto dietro un pagamento di E La situazione eá rappresentata sua retta dei tempi in figura 4, dove con E abbiamo indicato i vaore di riscatto: igura 4 a tempo 0, momento dea stipua de contratto, 'imprenditore deve pagare 4 canoni, cioeá 4R, come acconto; ne rimangono quindi ancora 20 da pagare aa fine di ogni mese successivo deve pagare un canone R a tempo 20 paga i ventiquattresimo e utimo canone i contratto scade a tempo 24, per i restanti mesi non viene quindi piuá pagato acun canone, ma i riscatto de bene potraá avvenire soo a tempo 24 dietro i pagamento di E I canone di ocazione, che di soito eá posticipato visto che vi eá sempre un acconto che si paga aa stipua de contratto, viene cacoato in base a principio de'equivaenza finanziaria a tempo di stipua de contratto, cioeá a tempo zero: IL CALCOLO DEL CANONE vaore de bene ˆ canoni anticipati + vaore attuae dei rimanenti canoni + vaore attuae de riscatto 18 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 Ne nostro caso: ˆ 4R R a , ,005 e da questa equazione ricaviamo che eá R ˆ 12085,76 E. Questo significa che 'imprenditore deve pagare: E 48343,04 come anticipo E 12085,76 aa fine di ogni mese per venti mesi E ao scadere de contratto Compessivamente a macchina viene a costare E ,24. Osserviamo che i canone R varia anche in funzione de vaore di riscatto: maggiore eá questo vaore, minore eá 'importo dea rata. Prova a variare questo vaore ne'equazione precedente per verificaro. Generaizziamo e osservazioni fatte (figura 5): indicando con C i costo de bene, con p i numero di canoni di acconto, con n i numero totae dei canoni, con E i vaore di riscatto, 'equazione che permette di cacoare 'importo R de canone eá a seguente: C ˆ p R R a E 1 i k n n p ik Le grandezze coinvote in questa equazione sono C, n, p, E, R, noncheâ i tasso periodae i k ; da essa si puoá ricavare i vaore di una quasiasi di esse se sono noti i vaori dee atre. L'equazione permette quindi di risovere quasiasi probema di vautazione in un contratto di easing. igura 5 In acuni contratti 'anticipo iniziae viene a vote cacoato non sui canoni ma su una percentuae de costo de bene; ne caso de'esempio precedente 'acconto potrebbe essere pari a 10% di E , cioeáe In questi casi basta sostituire i primo termine a secondo membro de'equazione con i vaore A de'acconto e considerare che i canoni sono esattamente n: C ˆ {z} A R a E 1 i k n nik acconto ESEMPI 1. La ditta Rossi fa un contratto di easing per un automezzo de vaore di E 40000, con un contratto che prevede i pagamento de 10% de suo vaore a'atto dea stipua, i pagamento di canoni trimestrai a tasso de'1,5% trimestrae, i riscatto dopo 4 anni con a somma di E Qua eá i vaore de canone trimestrae? In questo contratto dobbiamo trovare R sapendo che: C ˆ A ˆ 10% di C i 4 ˆ 0,015 n ˆ 16 (4 trimestri per 4 anni) E ˆ 1000 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 19

20 Cacoiamo 'anticipo: A ˆ ,1 ˆ 4000 Impostiamo 'equazione: ˆ 4000 R a 160,015 cioeá: ˆ R 1 1, ,015 da cui ricaviamo che R ˆ 2491,78 E , , Un contratto di easing dea durata di quattro anni per 'acquisto di un'autovettura prevede i pagamento di 48 canoni mensii di importo E 1021,28, tre dei quai costituiscono i maxicanone iniziae, a tasso annuo nominae convertibie mensimente de 4,8% e un vaore di riscatto di E Qua eá i costo de bene? Dobbiamo cacoare C conoscendo i vaori di tutti gi atri parametri; trasformiamo dapprima i tasso in tasso mensie: i 12 ˆ j12 12 ˆ 0, ˆ 0,004 Appichiamo a formua arrotondando i risutato a'euro piuá vicino: C ˆ , , , , ,004 48ˆ E La ricerca de tasso I probema dea ricerca de tasso incontra e stesse difficotaá degi anaoghi probemi di matematica finanziaria in quanto ci si trova di fronte aa risouzione di equazioni di grado moto eevato che devono essere risote per via approssimata. Supponiamo per esempio che un contratto di easing preveda e seguenti condizioni: costo de bene E acconto iniziae E canoni mensii posticipati di E 2100 ciascuno vaore di riscatto E Ci chiediamo a quae tasso mensie eá stato stipuato questo contratto. Impostiamo 'equazione ˆ i i 12 i 12 Per risovera, troviamo due tassi particoari, uno approssimato per difetto e uno per eccesso de tasso souzione e usiamo poi 'interpoazione ineare. Poniamo i 12 ˆ 0,005 e sostituiamo questo vaore ne secondo membro de'equazione; otteniamo 44778,64 che eá minore de primo membro. Abbiamo cosõá trovato un vaore approssimato per eccesso dea souzione (ricorda che i vaore attuae eá una funzione decrescente de tasso) Poniamo i 12 ˆ 0,004; sostituendo troviamo 45209,84 che eá maggiore de primo membro. Abbiamo trovato i vaore approssimato per difetto IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 Costruiamo a tabea dei punti per effettuare 'interpoazione: i 12 punto A 0, ,84 punto B 0, ,64 y x C Scriviamo 'equazione dea retta che passa per i punti A e B: x 0,004 0,005 0,004 ˆ y 45209, , ,84 Sostituiamo a posto di y e troviamo i vaore incognito de tasso: x 0, ,84 ˆ 0,005 0, , ,84! x ˆ 0, I contratto di easing eá stato stipuato a tasso mensie deo 0,45%. ERIICA DI COMPRENSIONE 1. In un contratto di easing: a. i costo de bene eá sempre inferiore a totae dee somme pagate da ocatario b. i ocatario ha 'obbigo di riscatto de bene c. i maxicanone eá sempre uguae a un certo numero p di canoni d. 'importo dee rate aumenta se diminuisce i vaore di riscatto e. 'importo dei canoni eá sempre maggiore de costo de bene ripartito sui canoni stessi. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 21

22 I concetti e e regoe I prestito Un prestito o mutuo eá a concessione di un capitae da parte di un soggetto A, i creditore, a un soggetto B, i debitore, i quae si impegna a restituire i capitae e a pagare gi interessi nei tempi convenuti. In genere si opera in regime di interesse sempice ne caso in cui a durata de prestito eá inferiore a'anno, in regime di interesse composto negi atri casi. I vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate prende i nome di nuda proprietaá; i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate si chiama usufrutto. Ogni prestito deve essere rimborsato e, a seconda dee regoe su cui si basa i rimborso, si puoá avere un rimborso gobae oppure graduae. I rimborso gobae Si para di rimborso gobae quando i capitae viene restituito interamente aa scadenza de periodo convenuto. Si puoá avere: i rimborso gobae sia de capitae che degi interessi; per determinare 'importo che deve essere restituito si deve cacoare i montante de capitae prestato: M ˆ C 1 it in capitaizzazione sempice M ˆ C 1 i t in capitaizzazione composta i rimborso gobae de capitae e periodico degi interessi; 'ammontare degi interessi si cacoa con a formua: I ˆ C i se i tasso eá annuo I ˆ C i k se i tasso eá periodae 'ammortamento americano in base a quae i debitore eá tenuto a versare due importi: 'interesse su debito che si cacoa con a formua I ˆ C i se a rata eá annua oppure I ˆ C i se a rata eá periodae k C i 0 a rata di costituzione de capitae a tasso i 0 ( minore di i) che si cacoa con a formua R ˆ 1 i 0 n 1 I rimborso graduae o ammortamento In questo tipo di rimborso, i capitae e gi interessi vengono ripartiti in una serie di rate periodai fino a'estinzione de debito; ciascuna rata eá composta da una quota capitae e da una quota interesse. Le principai forme di ammortamento sono e seguenti. Ammortamento progressivo o francese E Á un ammortamento a rate costanti in cui sia a quota capitae che a quota interesse sono variabii. Per cacoare a rata R si appica a formua: R ˆ A i ˆ A a n i 1 1 i n Inotre: a prima quota interesse eá: I 1 ˆ A i a prima quota capitae eá: C 1 ˆ R I 1 a k-esima quota capitae eá: C k ˆ C 1 1 i a k-esima quota interesse eá: I k ˆ R C k Ammortamento uniforme o itaiano E Á un ammortamento a rate variabii in cui: a quota capitae eá costante ed eá: a quota interesse eá variabie ed eá: a rata eá variabie ed eá: C ˆ A n n k 1 I k ˆ Ai n R k ˆ C I k ˆ A n Ai n k 1 n 22 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 I easing In un contratto di easing una societaá, detta ocatrice, acquista un bene per conto di un soggetto o ente, detto ocatario, concedendoo in uso dietro i pagamento di un canone di ocazione. Un contratto di easing prevede i pagamento di: un acconto iniziae a'atto dea stipua de contratto (i maxicanone) un certo numero di rate periodiche (i canoni) una somma stabiita E quae riscatto de bene. Questo tipo di contratto ha come modeo 'equazione C ˆ p R R a E 1 i k n ne caso in cui i maxicanone eá composto da p canoni di importo R n p ik C ˆ A R a E 1 i k n ne caso in cui 'acconto iniziae non dipende da'importo de canone. n ik Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 23

24 I rimborso dei prestiti LE CARATTERISTICHE DI UN PRESTITO a teoria eá a pag. 1 Comprensione 1 Barra vero o faso. a. Un prestito eá a breve scadenza soo se i rimborso avviene entro i mese di accensione de prestito. b. In un prestito a breve scadenza i cacoo degi interessi viene fatto in regime di interesse sempice. c. Se un prestito eá a media scadenza i cacoo degi interessi viene fatto in regime di interesse sempice. d. I prestiti a unga scadenza vengono vautati in regime di interesse composto. 2 Barra vero o faso. a. Un prestito eá indiviso se i rimborso avviene in un'unica souzione. b. Un prestito eá diviso in titoi se i rimborso avviene in piuá rate. c. In un rimborso gobae, i capitae prestato viene sempre restituito in un'unica souzione. d. In un rimborso gobae, gi interessi possono anche essere pagati in forma rateae. 3 Scegi a frase corretta. Ne rimborso di un prestito: a. i vaore di riscatto eá a somma de capitae da restituire con gi interessi b. i tasso di vautazione eá i tasso appicato ne cacoo degi interessi da pagare c. i tasso di vautazione si chiama anche tasso di remunerazione d. a paroa ammortamento impica una rateizzazione sia de capitae da restituire che degi interessi. 4 I simboo k riferito ad un prestito indica: a. i vaore di riscatto oggi b. i vaore di riscatto a tempo k c. a somma da restituire aa scadenza. 5 In un rimborso, a nuda proprietaá rappresenta: a. i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate b. i vaore attuae dee quote di capitae che devono essere ancora pagate c. i vaore attuae dee rate ancora da pagare d. i montante dee quote capitae che devono essere ancora pagate. 6 In un rimborso, 'usufrutto rappresenta: a. i vaore attuae dee quote di interesse che devono essere ancora versate b. i vaore attuae dee quote di interesse che sono giaá state versate c. i vaore attuae dee rate che devono essere ancora versate d. i montante dee quote di interesse che sono giaá state versate. 24 IL RIMBORSO DEI PRESTITI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 7 La somma tra a nuda proprietaá e 'usufrutto cacoati ad una data epoca danno: a. i vaore de prestito aa stessa epoca b. i vaore de prestito ad un'epoca quaunque c. gi interessi che compessivamente si devono pagare. IL RIMBORSO GLOBALE a teoria eá a pag. 3 RICORDA In un rimborso gobae sia i capitae prestato A che gi interessi vengono restituiti in un'unica souzione. Per i cacoo de montante si appica: i regime di interesse sempice per i prestiti a breve scadenza: M ˆ A 1 it t i regime di interesse composto per i prestiti a media e unga scadenza: M ˆ A 1 i Comprensione 8 Un capitae di E 4000 viene restituito dopo sei mesi ad un tasso di interesse de 7% annuo; a somma restituita eá di euro: a b. 4137,63 c d. 4230,68 9 Un capitae die6000 viene restituito dopo due anni e sei mesi ad un tasso annuo de'8%; aa scadenza si deve pagare una somma arrotondata a'euro piuá vicino di: a. E 7284 b. E 6998 c. E 7273 d. E Un capitae A dovrebbe essere restituito dopo due anni a tasso di remunerazione de 6,5%; viene peroá concordato un anticipo di 8 mesi de rimborso a tasso di vautazione de 2,5%. I debitore deve pagare una somma uguae a: a. i montante di A cacoato per 1 anno e 4 mesi a tasso de 2,5% b. i montante di A cacoato per 1 anno e 4 mesi a tasso de 6,5% c. i vaore attuae de montante di A cacoato per due anni a tasso de 2,5%, scontato poi per 8 mesi a tasso de 6,5% d. i vaore attuae de montante di A cacoato per due anni a tasso de 6,5%, scontato poi per 8 mesi a tasso de 2,5%. 11 Un prestito di E 5000 a tasso di remunerazione de 5,5% composto restituisce una somma pari a E 5871,21 dopo un tempo t. La durata de prestito eá di: a. 2 anni b. 3 anni c. 2 anni e 6 mesi d. 4 anni Appicazione Risovi i seguenti probemi reativi ad un rimborso totae. 12 Hai chiesto un prestito di E da restituire con rimborso gobae. Determina quae somma devi restituire appicando e eggi de regime di interesse sempice nei seguenti casi: a. durata 6 mesi, tasso annuo de 4% E 51000Š b. durata 9 mesi, tasso trimestrae de 2% E 53000Š c. durata 3 mesi, tasso annuo de 5% E 50625Š d. durata 8 mesi, tasso semestrae de 3%. E 52000Š Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL RIMBORSO DEI PRESTITI 25