La risposta numerica deve essere scritta nell apposito riquadro e giustificata accludendo i calcoli relativi.

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1 orso di Laurea in Matematica Prova scritta di Fisica Prof. E. Santovetti) 8 gennaio 016 Nome: La risposta numerica deve essere scritta ne apposito riquadro e giustificata accudendo i cacoi reativi. Probema 1. Un sistema di resistenza è coegato come in Figura 1-a. acoare a) a resistenza equivaente tra i punti A e. I sistema viene quindi compicato aggiungendo atre due resistenze Figura 1-b). acoare b) a resistenza equivaente tra i punti A e B e c) a differenza di potenziae tra i punti e A, sapendo a differenza di potenziae tra i punti B e A. Per i vaori nemerici si assuma R 1 = 100 Ω, R = R = R 4 = 00 Ω, R 5 = 150 Ω, R 6 = 60 Ω e V BA = 1000 V. R A [Ω] = 96.0 R AB [Ω] = 49.9 V A [V] = 4 Probema. Due condensatori di capacità 1 = 1.8 µf e =.1 µf sono coegati in serie ad una batteria ε = 10 V, come in Figura. acoare a) a differenza di potenziae ai capi de condensatore. Si chiude quindi interruttore s, cortocircuitando i condensatore e i sistema raggiunge equiibrio. acoare b) a carica che fuisce attraverso interruttore e c) i avoro fatto da generatore dopo a chiusura de interruttore. V [V] = 44.1 δq [] = W [J] = Probema. Un eettrone m = Kg, e = ) di energia E = 15. ev si muove in una regione in cui c è un campo magnetico uniforme B 0 = 580 µt. Se a veocità de eettrone forma un angoo θ = 78 o con i campo magnetico, cacoare a) i periodo e b) i passo dea traiettoria Figura ). acoare infine c) a distanza percorsa, in inea d aria, in un tempo t =.5T. T [s] = p [cm] =.97 d [cm] = 8.66 Probema 4. Tre fii rettiinei, infiniti e paraei si trovano ai vertici di un triangoo equiatero di ato = 1.0 cm Figura 4). I fii sono percorsi da una corrente costante i = 4. A con i versi indicati in figura. acoare i moduo de campo magnetico a) ne punto P = 10, 10) m e b) a centro de triangoo. acoare infine c) i punto su asse y in cui i campo magnetico è nuo. Si usi i sistema di riferimento dea Figura con origine ne centro de triangoo e nea prima domanda si faccia approssimazione 10 m) B P [T] = B c [T] = y [m] = Probema 5. Si consideri una spira rigida quadrata di ato = 0.0 cm in cui è presente una resistenza R =.0 Ω e una piccoa batteria ε = 0.5 V. La spira ha i ati paraei agi assi coordinati ed è ibera di muoversi su piano y vedi Figura 5). Perpendicoare aa spira ungo asse z) è presente un campo magnetico i cui moduo varia secondo a egge B) = k, con k = 0.4 T/m, è espresso in metri e B in Tesa. A istante t = 0 isterruttore s viene chiuso e inizia a circoare corrente nea spira. Assumendo che a spira abbia una massa m = 8.0 g, cacoare a) acceerazione dea spira a istante iniziae. acoare quindi a veocità dea spira e a corrente che vi circoa in funzione de tempo e, in particoare, b) a veocità a tempo t = 10 s e c) a corrente a tempo t = 0 s. a [m/s ] = 1.1 v [m/s] = 7.71 i [A] =

2 B D R R 1 R R R 5 D R 4 R 1 R 4 R 5 R 6 ε R s A a A b Figura Probema. Figura 1 Probema 1. y Figura Probema. Figura 4 Probema 4. y ε s B 0 R Figura 5 Probema 5.

3 Souzione Probema 1 Ne caso deo schema a, si ha i paraeo di R 1 e R 4 in serie con R e i tutto in paraeo a R 5. R A = 1 + R 5 1 R + R 1R 4 R 1 + R 4 1 = 96.0 Ω. Neo schema b) metto in serie a questa resistenza appena cacoata a resistenza R e quindi i risutato in paraeo con R 6 ) R AB = + = 49.9 Ω. R 6 R + R A Se ai capi A e B ho una certa differenza di potenziae, è come se a tai capi è attaccata una batteria con quea differenza di potenziae. Tae batteria fa girare corrente nei vari rami de circuito. I circuito diventa queo indicato in figura. Poiché noi siamo interessati aa tensione V A, di cui fra atro abbiamo cacoato a resistenza equivaente R A, dobbiamo cacoare a corrente che passa ne ramo di R che poi va nea resistenza equivaente R A ). i = V AB R + R A V A = i R A = V ABR A R + R A = 4 V V AB B R R 6 R A A Probema Quando interruttore s è aperto abbiamo a serie di due condensatoriper cui a capacità totae vae. 1 s = + 1 ) 1 = 1 = 1.14 µf La carica iniziae ai capi dei due condensatori in serie sarà a stessa e pari a La differenza di potenziae ai capi di vae aora Q i = s ε = V = Q i = 44.1 V. Quando chiudiamo s, dopo una fase transitoria, i condensatore è cortocircuitato daa resistenza e dunque si scarica mentre i condensatore 1 ha tutta a tensione de generatore. La nuova carica presente su 1 vae Q f = 1 ε = Per cacoare quanta carica è passata per interruttore dobbiamo considerare i tratto di circuito, iniziamente isoato, tra e due armature e interruttore s. Questo tratto è iniziamente scarico ha una carica Q tot = Q i Q i = 0, reativa ae due armature dei due condensatori, una positiva e atra negativa). Dopo a chiusura de interruttore ho a carica Q f ne armatura inferiore de condensatore di sopra. Questa è a carica che è passata per s Q s = Q f = I avoro de generatore o sappiamo cacoare facimente essendo pari a W gen = ε q = Q f Q i )ε = J.

4 Probema La traiettoria è a composizione di un moto rettiineo uniforme, nea direzione de campo magnetico, e di un moto circoare uniforme, su piano trasverso a campo magnetico. I risutato è un moto eicoidae. Ricaviamo innanzitutto i moduo dea veocità v 0 a partire da energia cinetica K K = mv 0 v 0 = K m =. 106 m/s Troviamo i raggio de eica uguagiando a forza di Lorentz aa forza centripeta. ev B = m v r D atra parte v = v 0 sinθ e dunque abbiamo r = mv eb. 1) r = mv 0 sinθ eb =. cm. Da equazione 1), sapendo che v = rω = πr/t, si ricava i periodo T = πm eb = s. I passo è o spazio percorso ungo a direzione de campo quando a particea ha compiuto un giro competo, cioè in un periodo. p = v T = v 0 cosθt =.97 cm. Per cacoare a distanza percorsa in inea d aria dobbimo cacoare a posizione de positrone a t =.5T s rispetto aa sua posizione a t = 0. Possiamo prendere un sistema di assi coordinati e assumere asse z ungo i campo magnetico. Lungo i campo i moto è rettiineo uniforme mentre ne piano y ho un moto circoare uniforme. t) = r sinωt) yt) = r cosωt) zt) = v 0 cosθ t ) Abbiamo impicitamente assunto con a sceta de nostro sistema) che a tempo t = 0 a particea si trovi in 0, r, 0) e ruota ne piano y in senso orario con veocita angoare ω e raggio r. Dae equazioni ), a tempo t =.5T i positrone si trova ne punto v 0 cosθ.5t, r, 0). Dunque a distanza tra i due punti sarà D = 4r + v 0 cosθ.5t ) = 8.66 cm. y Probema 4 I campo magnetico prodotto dai fii è queo dato daa egge di Biot-Savart, e cui inee sono dee circonferenze ne piano normae a fio con i fio a centro) i cui moduo vae 1 Br) = µ 0i πr. Poiché 10 m, i campo ne punto 10, 10) m può essere fatto approssimando i tre fii tutti e tre ne origine. La corrente sarà a somma dee correnti e dunque i. Tutto va come se ci fosse un soo fio ne origine con corrente i uscente. I moduo de campo vae aora B = µ 0i πd = T. d = 00 = 14.1 m. 4

5 acoiamo ora i campo a centro de triangoo. Nea figura sono mostrate e inee di campo reative ai tre fii e i vettori de campo ne centro de triangoo. I campo de fio di sopra gira in senso orario mentre quei di sotto in senso antiorario. Essendo i centro equidistante dai vertici, i moduo dei tre campi è o stesso e pari a d = / µ0 i cos0 o B =. π Se e tre correnti avessero o stesso verso, a risutante sarebbe nua. In questo caso invece, si può vedere che i due campi prodotti dai fii di sotto hanno componente y uguae e opposta e stessa componente. Inotre, poiché angoo che questi formano con asse è 60 o, a oro somma è proprio pari a campo prodotto da fio di sopra. I campo risutante dunque è diretto ungo y negativo e in moduo vae due vote i campo de singoo fio. µ0 i B = = T. π acoiamo ora i campo in un generico punto de asse y. Date e proprietà de triangoo equiatero, ne sistema di assi cartesiani da noi sceto e coordinate dei tre fii possono essere facimente cacoate e vagono partendo da ato e girando in senso orario) B,) = P 1 = 0, π ), P = µ 0 i ) + y + ), ), P = ) + y + ) =, Anche in questo caso i campi prodotti dai fii e hanno componente y uguae e opposta e stessa componente. Tae componente è ne verso dee negative e vae in moduo) y + µ 0 i y + ). ) [ π ) + y + dove i primo menbro de prodotto è i moduo de campo mentre i secondo membro è i coseno de angoo che formano i campi con asse. I cacoo de campo prodotto da fio 1 è moto più sempice in quanto ha soo a componente positiva) e vae Perché sia nuo i campo totae deve essere µ 0 i B 1) = ). π y ) ], B 1) = B,) Sostituendo i vaori abbiamo un equazione di secondo grado in y y + Tae equazione ha una soa souzione positiva che vae: ) y ) ) = + y + ). y = 1 + 1/ ) = 18.9 cm. Probema 5 Quando interruttore s si chiude, inizia a una corrente costante i = ε/r data daa batteria. I ati dea spira sono dunque soggetti aa forza di Lapace i B e, essendo i campo non uniforme, a spira comincia a muoversi. Prima ancora di anaizzare i moto dea spira ne tempo, possiamo cacoare acceerazione iniziae t = 0, cacoando a forza di Lapace che agisce sua spira. Infatti a tempo t = 0 a spira non si ha una veocità nua e dunque anche a f.e.m. indotta è nua e a corrente è soo quea data da generatore. Si può facimente osservare che e due forze che aviscono sui due ati paraei a asse sono uguai e contrarie e dunque si annuano. La forza sarà aora a somma dee due forze che agiscono sui ati verticai e vae: 5

6 F = ib + ) ib) = ik diretta ungo asse. Dunque una forza proporzionae aa corrente. Sostituendo a corrente i = ε/r otteniamo subito a = F m = εk mr = 1.15 m/s. Scriviamo ora equazione de moto. L unica forza che muove a spira è a forza di Lapace, F L = ik. Dobbiamo dunque cacoare a corrente che, ne caso dea spira in moto, è data da generatore e daa f.e.m. indotta. Per cacoare a f.e.m. indotta facciamo i fusso de campo magnetico sua spira assumiamo, come ne disegno, che a spira si estenda da a + ). + + ΦB) = B )d = k d = k ) f.e.m = dφb) = k v. dt ome avevamo assunto a inizio, a f.e.m. indotta è proporzionae aa veocità e dunque è nua a inizio. La egge di Ohm per a spira è aora a cui dobbiamo unire equazione de moto dea spira: ε k v ir = 0 m dv dt = k i ) Queste due equazioni possono essere messe a sistema e si ricava un equazione differenziae per vt) o per it). Voendo risovere per vt) otteniamo Integrando troviamo dv dt = 4 k v ε ) mr k v 0 dv v ε/k = t 0 dt τ, τ = mr k = 1. s. 4 vt) = ε k 1 e t/τ). 4) La veocità inizia crescere in modo ineare e poi tende asintoticamente ad un vaore imite v = ε/k = 1.9 m/s. Da equazione ), usando 4), possiamo ricavare a corrente it) = m k dv dt = ε R e t/τ. 5) La corrente è massima a inizio ε/r) e poi tende a zero. Dae equazioni 4) e 5) abbiamo: vt = 10 s) = 7.71 m/s, it = 0 s) = A. 6