i(t) + v(t) S + + R C

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1 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 32 3 Anaisi di circuiti ne dominio de tempo (utimo aggiornamento: 9 Marzo 2001) In questo capitoo si considerano circuiti in cui e grandezze eettriche variano ne tempo. Quando una grandezza varia ne tempo, a scriviamo in carattere minuscoo ed espicitiamo a sua dipendenza da tempo: per fare un esempio, una tensione, una corrente ed una carica variabi ne tempo sono denotate rispettivamente con, i(t) e q(t). La egge di Ohm per grandezze variabii ne tempo e: mentre a (2.25) viene scritta pi u correttamente come: =Ri(t) (3.1) i(t) = dq(t) (3.2) Quando consideriamo a dipendenza da tempo, dobbiamo tenere presente che esistono eementi circuitai i cui comportamento non dipende soo da vaore istantaneo dee grandezze eettriche, ma anche dai vaori assunti in precedenza. 3.1 Potenza istantanea L'espressione dea potenza dissipata da un eemento circuitae quasiasi e data daa (2.46), che si pu o esprimere espicitando a dipendenza da tempo: p(t) =i(t) (3.3) Quando a potenza varia ne tempo, a (3.3) prende i nome di potenza istantanea. Per i bipoi in cui tensioni e correnti dipendono da tempo, a potenza istantanea p(t) pu o essere positiva o negativa: e positiva quando aumenta 'energia immagazzinata ne bipoo, mentre e negativa quando 'energia immagazzinata diminuisce. Si veda anche [1, pagine 39 40]. 3.2 Capacit a Consideriamo due superfici metaiche piane e paraee, aventi area S e distanza, fra e quai e interposto un materiae isoante a cui costante dieettrica e ff, come iustrato nea Fig V E Figura 3.1: Struttura di un condensatore a facce piane paraee.

2 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 33 i(t) C Figura 3.2: Simboo eettrico de condensatore. Questa struttura costituisce un condensatore a facce piane paraee. Appicando una differenza di potenziae V tra e due superfici metaiche, i campo eettrico ne'isoante e: E = V (3.4) con direzione perpendicoare ae superfici metaiche. L'induzione dieettrica (o spostamento eettrico) D e: ~D = ff E ~ (3.5) L'induzione dieettrica si misura in C/m 2. La carica Q accumuata a'interfaccia tra metao e isoante e data da fusso de'induzione dieettrica attraverso a superficie di interfaccia: Q = S ~D d ~ S = S ~D ~u S ds (3.6) Poiché nea struttura considerata i vettori ~ D e ~u S sono paraei, a (3.6) diventa: Q = ff V S (3.7) Come si vede daa (3.7), a carica accumuata e proporzionae aa differenza di potenziae appicata. La costante di proporzionait a e a capacit a C de condensatore: C = ffs (3.8) Combinando e (3.7) e (3.8), si ha: Q = CV (3.9) La capacit a si misura in farad (F) 1 : un farad equivae ad un couomb diviso un vot. La Fig. 3.2 iustra i simboo de condensatore. Se varia a tensione ai capi de condensatore, varia anche a carica immagazzinata: q(t) =C (3.10) L'espressione dea corrente eettrica ne condensatore si ricava derivando a (3.10): i(t) = dq(t) = C d (3.11) Ovviamente, se = V (costante), aora i(t) = 0: in continua, i condensatore si comporta come un circuito aperto. 1 Michae Faraday, Fisico e chimico britannico, si dedic o a ricerche sui gas e studi o 'azione a distanza dee forze eettriche e magnetiche neo spazio.

3 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO Energia immagazzinata in un condensatore Combinando a (3.3) e a (3.11), si ottiene a seguente espressione dea potenza istantanea in un condensatore: p(t) = C d (3.12) che, integrata ne tempo, fornisce 'energia immagazzinata a'interno de condensatore: W (t) = Si veda anche [1, pagina 117]. C d = 1 2 C ()2 (3.13) Esercizio 3.1. Un generatore di tensione sinusoidae di ampiezza V 0 =1V e frequenza f =1kHz e coegato ad un condensatore di capacit a C =1nF. Cacoare 'intensit a dea corrente ne condensatore. Souzione. L'espressione dea tensione de generatore e: =V 0 sin(2ßft) La stessa tensione e appicata ai capi de consensatore. Usando a (3.11), otteniamo: i(t) =C d =2ßfCV 0 cos(2ßft) Quindi, a corrente ha un andamento cosinusoidae, con ampiezza e frequenza f = 1 khz. I 0 =2ßfCV 0 =6:28 μa 3.4 Induzione magnetica (*) Consideriamo un avvogimento soenoidae, iustrato nea Fig. 3.3, costituito da N spire di sezione S percorse da una corrente variabie i(t), ed avente unghezza totae. L'induzione magnetica B a'interno de soenoide e: B = μn i (3.14) dove μ e a permeabiit a magnetica de materiae contenuto a'interno de'avvogimento soenoidae. L'induzione magnetica si misura in Wb/m 2, mentre a permeabiit a magnetica si misura in H/m. Come a costante dieettrica (2.3), anche a permeabiit a magnetica viene espressa come i prodotto dea permeabiit a magnetica de vuoto μ 0 e dea permeabiit a magnetica reativa μ r (adimensionae): La permeabiit a magnetica de vuoto e μ 0 =1: H/m. 3.5 Fusso magnetico (*) I fusso magnetico concatenato con una spira e: I fusso magnetico si misura in weber (Wb) 2. μ = μ 0 μ r (3.15) Φ= μn is (3.16) 2 Wihem Eduard Weber, Fisico tedesco, coaboratore di Kar Friedrich Gauss nee ricerche su magnetismo, si dedic o ad una sistemazione dee unit a eettriche, unificando eettrostatica ed eettromagnetismo.

4 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 35 i(t) B Figura 3.3: Struttura di un'induttore reaizzato con un avvogimento soenoidae. 3.6 Induttanza Una variazione ne tempo de fusso concatenato con una spira produce una differenza di potenziae ai capi dea spira stessa (egge di Faraday-Henry): = dφ(t) (3.17) Combinando a (3.17) con a (3.16), e considerando che se a spira non si muove avariazione de fusso concatenato pu o essere soo causata da una variazione dea corrente i(t), si ottiene: = μns di(t) = L di(t) (3.18) dove L e 'induttanza dea spira. Se consideriamo e N spire, i fusso totae concatenato e: Φ= μn 2 is (3.19) e 'induttanza totae e: L = μn 2 S (3.20) L'induttanza si misura in henry (H) 3. La Fig. 3.4 iustra i simboo de'induttanza. Quando i(t) = I (costante), aora = 0: in continua, un'induttanza si comporta come un cortocircuito. 3 Joseph Henry, Fisico statunitense, scopr i fenomeno de'autoinduzione contemporaneamente a Michae Faraday e costru degi eettromagneti che permisero o sviuppo de teegrafo Morse.

5 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 36 i(t) L Figura 3.4: Simboo eettrico de'induttanza. S V 0 R C Figura 3.5: Circuito RC. 3.7 Energia immagazzinata in un'induttanza Combinando a (3.3) e a (3.18), si ottiene 'espressione dea potenza istantanea in un'induttanza: p(t) =L di(t) i(t) (3.21) che, integrata ne tempo, fornisce 'energia immagazzinata a'interno de'induttanza: W (t) = Si veda anche [1, pagine ]. 3.8 Risposta ibera di un circuito RC Li(t) di(t) = 1 2 L (i(t))2 (3.22) In questo paragrafo anaizziamo 'andamento dea tensione ai capi di un circuito costituito da paraeo di una resistenza e una capacit a, che iniziamente si trova adunvaore V 0 e poi viene asciata ibera di evoversi secondo e eggi caratteristiche dei bipoi. I circuito e rappresentato nea Fig I bipoo S e un interruttore ideae, che pu o comportarsi da cortocircuito quando e acceso ( on") oppure da circuito aperto quando e spento ( off"). Ne nostro caso, 'interruttore S e acceso per t<0, e viene spento a'istante t =0. La tensione di uscita e pari a V 0 fino a che 'interruttore e acceso, cio e per t<0. Per ricavare 'andamento dea tensione quando S viene spento, si appica a KCL a nodo di uscita contrassegnato con i segno (). Poiché 'interruttore spento si comporta come un circuito aperto, daa KCL si ottiene: i R (t)i C (t) =0 (3.23)

6 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 37 dove i R (t) e a corrente ne resistore R e i C (t) e a corrente ne condensatore C. Usando e (2.33) e (3.11), si ricava 'equazione differenziae: R C d =0 (3.24) Riscrivendo a (3.24), e imponendo a condizione iniziae v(0) = V 0, ci si riconduce a probema di Cauchy: ρ d = 1 RC (3.25) v(t =0)=V 0 Per risovere i probema (3.25), si pu o appicare i metodo dea separazione dee variabii. Portando a sinistra de segno di uguagianza tutti i termini contenenti a tensione v e a destra tutti i termini contenenti i tempo t, si ricava: d = RC da cui, integrando a partire daa condizione iniziae, si ha: R dv Poiché v =nv, si ottiene: n vj cio e V0 t d = RC V0 0 = t RC n = t V 0 RC Cacoando 'esponenziae di entrambi i membri dea (3.29), si arriva aa souzione: t fi0 (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) =V 0 e t=rc (3.30) I grafico dea (3.30) e iustrato nea Fig Si noti che a tensione in uscita tende a vaore asintotico 0pert!1, senza tuttavia raggiungere i vaore finae in un tempo finito. Si veda anche [1, pagine ]. 3.9 Costante di tempo Nea souzione de circuito RC, i prodotto RC prende i nome di costante di tempo e si indica con fi: fi = RC (3.31) La costante di tempo e un parametro intrinseco de circuito; in atre paroe, essa dipende soo dai parametri de circuito, e non dai vaori assunti da segnae di ingresso. Geometricamente, a costante di tempo rappresenta 'intersezione con 'asse dei tempi t dea tangente aa curva per t = 0, come si pu o notare daa Fig. 3.6 [1, pagina 132]. Per t = fi, a tensione v si e ridotta aa frazione 1=e de vaore iniziae: v(fi) = 1 v(0) (3.32) e Per un circuito RL (contenente una resistenza e un'induttanza) [1, pagine ], a costante di tempo e: Si veda anche [1, pagina 134]. fi = LG = L R (3.33)

7 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO 38 V 0 tensione V τ 2τ 3τ 4τ 5τ tempo Figura 3.6: Andamento ne tempo dea tensione in uscita a circuito RC Circuiti con pi u capacit a e induttanze Poiché tutte e capacit a e tutte e induttanze hanno una reazione tensione-corrente espressa mediante un'operazione di derivazione (o di integrazione) ne tempo, a souzione di un circuito contenente n eementi circuitai di questi due tipi richiede, ne caso pi u generae, di risovere una equazione differenziae di grado n. Come esempio, si veda (senza entare nei dettagi matematici) 'anaisi de circuito RLC de secondo ordine [1, pagine ]. Per evitare e compessit a de cacoo integrae e differenziae, e stato messo a punto un metodo pi u sempice per 'anaisi dei circuiti ne dominio dea frequenza. Questo metodo e basato su'anaisi di Fourier ed e descritto ne capitoo 5.

8 3 ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO Probemi Probema 3.1. Cacoare a capacit a di un condensatore a facce piane paraee e cui armature hanno superficie S =1cm 2, si trovano ad una distanza distanza =0:5 mm, e sono separate da aria (a cui costante dieettrica epari a ff 0 ). Probema 3.2. Cacoare i campo eettrico a'interno de condensatore de probema precedente e a carica immagazzinata, quando ai capi de condensatore viene appicata una tensione V =1V. Probema 3.3. Cacoare 'andamento ne tempo de'energia immagazzinata a'interno de condensatore de'esercizio 3.1 a pag. 34. Probema 3.4. Un circuito integrato e aimentato da una batteria che fornisce una tensione V 0 =5V, tramite una resistenza R = 10Ω e un'induttanza L = 20nH. I circuito assorbe una corrente i(t) che varia ne tempo tra 1mAe 100 ma con periodo T = 100 ns, ne modo indicato in figura 3.7. Determinare 'andamento ne tempo dea tensione a nodo A. R i (ma) 100 V 0 L A circuito integrato i(t) t (ns) Figura 3.7: Probema 3.4