Scopo dell esperienza: verificare le leggi del pendolo e la validità dell approssimazione delle piccole oscillazioni.

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1 Moto di un pendoo, soggetto a smorzamento. Scopo de esperienza: verificare e eggi de pendoo e a vaidità de approssimazione dee piccoe osciazioni. Un pendoo sempice è costituito da una massa puntiforme sospesa ad un fio ideae, ovvero inestensibie e di massa trascurabie, fissato a atro estremo. Ciò equivae a dire che i punto materiae è vincoato a muoversi ungo una circonferenza posta su piano verticae, i cui centro è i punto di sospensione O e i raggio a unghezza de fio. L equazione de moto di un pendoo sempice, in mancanza di attrito e resistenza de aria, si ricava immediatamente daa a egge di Newton considerando i punto materiae, di massa m, soggetto aa forza gravitazionae e aa tensione de fio. Con riferimento aa figura di sinistra e ovvio significato dei simboi mg sin θ = ma = T mα ovvero d θ g = sinθ dt Si tratta di un equazione differenziae non ineare che non si può risovere mediante funzioni eementari. Tuttavia, se angoo di osciazione è piccoo ( * ) essa può essere sempificata utiizzando approssimazione sin θ θ : d θ g = θ = ω θ dt g dove si è definita a frequenza cicica ω =. Questa è equazione di un moto armonico, a cui souzione generae si può scrivere nea forma: θ ( t) = θ sin ( ω t + φ) dove θ rappresenta ampiezza ( angoo massimo raggiunto nee osciazioni) e φ a fase iniziae. π Ne imite di piccoe osciazioni questo pendoo ha periodo T = = π. Forse a proprietà ω g più importante dee piccoe osciazioni è che i periodo non dipende da ampiezza. O O θ mg senθ T m mg cosθ θ d mg senθ mg cosθ mg mg Fig. 1. Schema de pendoo sempice (sx) e de pendoo composto (dx).

2 Se si sospende un corpo rigido, vincoato a ruotare intorno ad un asse fisso passante per O (chiamato pendoo composto, per ragioni storiche), si deve considerare i momento dee forze rispetto a punto O. In assenza di attriti, questo è i momento dea forza peso mg, che si può pensare appicata ne centro di massa, a distanza d da punto di sospensione. Con a soita convenzione sui segni, equazione de moto si ricava da teorema de momento angoare, detto anche a egge di Newton per i moto rotatorio. I momento dee forze è τ = mgd sinθ, pertanto: mgd sin θ = Iα cioè mgd md α = sinθ = g sinθ I I I Se definiamo una unghezza effettiva eff =, ritroviamo equazione de pendoo sempice e, md eff I ne imite di piccoe osciazioni, i periodo vae T = π = π. g mdg Per grandi angoi di osciazione a souzione può essere cacoata numericamente. Si trova che i periodo dipende da ampiezza dee osciazioni (θ ) e si può scrivere convenientemente nea forma T = T f ( θ ), essendo T i periodo ne imite di piccoe osciazioni e f(θ ) una funzione che dipende soo da ampiezza e non dae atre proprietà de pendo. θ ( ) T/T θ ( ) T/T,1 1, 5 1,5,5 1, 55 1,61 1 1, 6 1,73 1, 65 1,87 3 1, 7 1,1 5 1, 75 1, , 8 1, ,4 85 1,158 1,8 9 1,18 5 1,1 95 1,5 3 1,17 1 1,3 35 1,4 15 1,6 4 1, , , ,33 5 1,5 1 1,373 T/T 1,4 1,35 1,3 1,5 1, 1,15 1,1 1,5 1, θ ( ) Fig.. Tabea dea funzione f(θ )=T/T e grafico dea stessa. Come si può vedere, i periodo è praticamente costante fino a 5, mentre per un ampiezza di 1 devia deo,% rispetto a T. In pratica, angoo si considera piccoo per θ<5 o, a più, θ<1. L isocronismo de pendoo è un approssimazione, tanto migiore quanto più piccoo è angoo di osciazione. Un pendoo reae è soggetto a smorzamento, dovuto a forze di attrito e resistenza de mezzo. Ne caso di resistenze puramente viscose, equazione de moto diviene Iα = mgd sin θ kω dove k è una costante opportuna. Definendo ω come sopra e b = k / I si può scrivere

3 d θ dθ = ω sinθ b dt dt Una caso moto interessante è queo di piccoe osciazioni con smorzamento deboe (b<ω ); a souzione ha aora a forma θ t = θ sin Ωt + φ e ( ) ( ) bt dove Ω = ω b. I vaore T = π è detto pseudoperiodo in quanto a funzione non è Ω veramente periodica ma smorzata. Anaisi dei dati. A. Misure con magnete ontano. Ideamente, si vorrebbe studiare i moto di un pendoo non smorzato, confrontando i periodo di osciazione misurato con queo cacoato. Purtroppo i pendoo utiizzato ha uno smorzamento non trascurabie, anche se siamo sempre nee condizioni di piccoo smorzamento ne senso tecnico spiegato sopra. Anche i confronto con i periodo cacoato non è sempice, non essendo noto i momento d inerzia de disco, de asta, e neppure a massa dea sfera di gomma. E però possibie studiare a variazione de periodo di osciazione in funzione de atezza, dato che o smorzamento è così piccoo che a singoa osciazione si può trattare come non smorzata ( Ω ω ). Lo scopo di questa parte de esperienza è misurare i periodo in funzione de ampiezza e confrontaro con a curva teorica riportata in tabea e ne grafico. L esperienza si divide in una parte preiminare ed una misura unga. La prima operazione consiste nea caibrazione de apparato di misura. Questa si può effettuare come segue: si misura i vaore costante V 1 (in Vot) con i pendoo in quiete e quindi si ruota i pendoo di 36, misurando i vaore costante nea nuova posizione (V ), sempre a pendoo fermo. La differenza fra i due vaori corrisponde ad un angoo di π radianti e quindi a costante di caibrazione angoo-votaggio sarà α = π V1 V. Nei primi due turni non si è eseguita questa caibrazione, quindi bisognerà ricavara dae atre misure, necessariamente più approssimativa. Anche chi ha fatta però deve prestare attenzione perché a quanto a differenza V 1 -V può variare anche parecchio ripetendo a procedura più vote. La seconda operazione consiste nea misura dee osciazioni in tre brevi intervai ( t <s), ad ampiezze di circa 9, 45 e 5-1, vaori impostati ad occhio. Per intervao di misura si scega un vaore da, a,5s. I dati di queste tre misure sono interpoati con a funzione A sin ( Bt + C) *exp( Dt) + E I vaori registrati sono ampiezza (A), frequenza cicica (B), coefficiente di attenuazione (D) e costante additiva (E). La costante E rappresenta o zero (dovrebbe avere o stesso vaore nee tre interpoazioni) e sarà utiizzata ne anaisi dee misure unghe. E importante confrontare questo vaore con queo misurato a pendoo fermo nea prima operazione (diciamo V 1 ). Se i vaori sono uguai, entro errore, a costante di caibrazione α dovrebbe essere corretta, atrimenti non è utiizzabie. A (da prendere in vaore assouto) rappresenta ampiezza iniziae (t=) dee osciazioni nei tre casi, misurata in Vot. Per trasformara in radianti basta motipicare per a costante di caibrazione α se questa è stata cacoata (ed i suo vaore è coerente), atrimenti si può utiizzare i vaore misurato a 9 come caibrazione: α = π A (in radianti) o α = 9 A in gradi. B rappresenta a frequenza cicica (Ω) e D i coefficiente di smorzamento (b). Verificare che D<<B. Ciò significa che Ω ω e quindi o pseudoperiodo è praticamente uguae a periodo che si misurerebbe senza attenuazione.

4 Per ognuna dee tre misure riportare i periodo ( π B ) e ampiezza centrae ( A* exp( D T / ) ) dove T è i tempo di misura (tipicamente 18s). Infine si esegue una misura unga (ameno 3 minuti, megio 5), a partire da circa 9 in modo da coprire un intervao di ampiezze da grandi a piccoi angoi. Anaisi dea misura unga. Innanzitutto bisogna importare i dati in formato EXCEL. Ciò si ottiene seezionando Dati daa barra degi strumenti e seguendo a traccia che si può facimente intuire. L unica difficotà può essere costituita da formato dei numeri: nei dati si usa a virgoa per separare e cifre decimai, come dovrebbe essere i caso nee versioni itaiane di EXCEL. Chi usa i punto può istruire EXCEL usando e opzioni avanzate. La prima operazione da fare è a sottrazione deo zero, in modo che e osciazioni risutino centrate intorno a vaore zero. Un grafico x-t può essere utie per mostrare che tutto è a posto. La seconda operazione è quea di estrarre periodo e ampiezza dee osciazioni. Non si chiede di cacoari tutti: basta seezionare una osciazione competa ogni s circa. I dati qui sotto fanno parte di una serie misurata: a prima coonna fornisce i tempo in secondi, a seconda è a ettura grezza de ampiezza, a terza è a stessa dopo a sottrazione de fondo (non caibrata). Come si vede, siamo in prossimità di un intersezione con asse dei tempi: i pendoo passa per a verticae (zero) in un istante compreso fra t=,1s e t=,16s. Per trovare istante preciso in cui θ= basta interpoare inearmente fra questi due istanti, come nea tabea qui sotto. L istante T 1 =,18s è stato cacoato digitando a funzione scritta in fianco nea casea coorata D17: A B C D 15,75 6,917 -, ,8 7,6381 -,53 17,85 8,633 -,18,861 18,9 8,889, ,95 8,1434,7468 = A17 + C17 *( A18 A16) /( C18 C16) Osserviamo che, ne caso seezionato, intersezione avviene in su ( ampiezza C è crescente); si cerca a successiva intersezione in su. Ciò avviene fra e casee 4 e 41; si riporta a formua precedente (con copia-incoa) nea casea D4: a formua è automaticamente trasformata come ne riquadro ed i nuovo istante di intersezione (T =,36s) è cacoato. 38 1,9 5,1191-1, ,95 6,866 -,75 4, 8,114 -,3148,36 41,5 8,791,16 4,1 8,461,5437 = A4 + C4 *( A41 A39) /( C41 C39) La differenza fra i due istanti è o pseudoperiodo T=(T -T 1 )=1,175s. I tempo medio corrispondente a osciazione è (T 1 +T )/. L ampiezza de osciazione, pe i periodo in questione, si ottiene come media fra i vaori de massimo e de minimo (in vaore assouto) compresi fra gi "zeri" T 1 e T appena cacoati. Essi si ricavano mediante interpoazione con una paraboa. Con e convenzioni di prima, i vaore de massimo, casea D3, è stato ottenuto con a formua scritta a fianco, vaida ne caso di intervai di tempo costanti.

5 A B C D 1 1,5 5,563 1,3396 1,1 3,141 1, ,15 1,1836 1,5559 1, , -,778 1, ,5 -,736 1,38 = C3 ( C4 C)^ /( C + C4 * C3) / 8 Copiando e incoando a formua, in corrispondenza de minimo, si ottiene i vaore -1,5435. L ampiezza media de osciazione è data daa semisomma dei vaori assouti dei due estremi: ( 1, ,5435) / = 1,55. Ci si sposta in avanti di circa secondi e si ripetono e operazioni, con opportuni copia-incoa, ottenendo anche qui pseudoperiodo (T), tempo medio (<t>) e ampiezza (θ)., e così via, ad intervai di circa secondi fino aa fine (si può scegiere un intervao minore, ma non maggiore). Si dispongano i dati così ricavati in una tabea. In questa tabea si inseriscono anche i vaori ricavati nee tre misure brevi (in questo caso abbiamo soo periodo e ampiezza). Accanto ae ampiezze grezze si cacoano anche e ampiezze normaizzate, cioè motipicate per i coefficiente α. Un grafico ampiezza- tempo medio, in scaa semiogaritmica, mette in evidenza attenuazione in funzione de tempo. Se attenuazione fosse esponenziae i punti starebbero su una retta; si osserva una deviazione da questo andamento per e ampiezze maggiori. Nea figura qui sotto, i dati misurati con i magnete vicino (punti bu) mostrano uno smorzamento maggiore ed hanno un andamento più "rettiineo" (cioè esponenziae), rispetto ai dati misurati co magnete ontano.,5 -, n(θ) -1-1,5 - -,5 <t> (s) Fig. Logaritmo de ampiezza in funzione de tempo. Sono incusi i dati con magnete ontano (punti ciamino) e vicino (bu). Un grafico pseudoperiodo-ampiezza (in gradi) mette in evidenza a variazione de periodo di osciazione con ampiezza. Esso sarà confrontato con a curva teorica fornita sopra. Per questo confronto è essenziae che a normaizzazione α sia corretta (normaizzazione orizzontae ) e che a curva teorica sia aggiustata ai vaori sperimentai (normaizzazione verticae), ovvero si devono motipicare i vaori in tabea (f(θ)) per i periodo de nostro pendoo misurato a piccoi angoi: T=T * f(θ). Per questo proposito bisogna che i vaori misurati raggiungano i imite asintotico T (cioè se ampiezza minima scende sotto i 5 o ameno sotto i 1 ).

6 Ne esempio qui riportato (un caso reae) purtroppo non si scende sotto i. Se angoo minimo dea misura non scende sotto i 1, ad es. se è, possiamo stimare i periodo per piccoi angoi come T = T ( )/ f ( ). In ta modo a curva teorica T f ( θ ) passa per i punto misurato a. 1,7 1,6 1,5 T (s) 1,4 1,3 1, 1, θ ( ) Anche a normaizzazione orizzontae (coefficiente α) è stata un po ritoccata per avere un accordo così buono, cosa praticamente inevitabie se si usa a normaizzazione a 9 fatta ad occhio. Non dovrebbe essere necessario se a normaizzazione è stata fatta ruotando i pendoo di 36, ma non è detto, perché in acuni strumenti sono stati evidenziati probemi di "consistenza" dei dati. Anaogamente non dovrebbe esserci bisogno di aggiustare a normaizzazione verticae (T ) se angoo minimo misurato scende sotto i 1. B. Misure con magnete vicino. Si ripetono esattamente e operazioni de caso precedente, savo eventuamente e misure brevi che erano state asciate facotative in questo caso. Se queste sono state eseguite, si controi se è ancora vaida a reazione D << B. Se o smorzamento è abbastanza grande a curva ampiezza-tempo dovrebbe essere esponenziae con buona approssimazione (o smorzamento esponenziae indotto da magnete copre gi atri effetti) e quindi i grafico in scaa semiogaritmica avrà un andamento rettiineo. Se non sono state fatte e misure brevi è possibie (facotativo) fare un fit esponenziae dei dati per ricavare i coefficiente di attenuazione medio da confrontare con i vaore Ω=π/T (T pseudoperiodo a piccoi angoi) per vedere se è moto minore o confrontabie con esso. La reazione comprende per e misure con magnete ontano: i vaori dei parametri ottenuti dai fit dee 3 misure brevi e verifica che D << B vaori de periodo e ampiezza "centrae" reativi ae 3 misure vaore dea costante di caibrazione α ricavata da'inversione de pendoo o, in mancanza di questa, daa misura a "9 " tabea di "tempo medio", pseudoperiodo, ampiezza presi ogni s (a massimo). grafico ampiezza - "tempo medio" in scaa semiogaritmica grafico pseudoperiodo - ampiezza, insieme aa curva teorica opportunamente normaizzata. Se e normaizzazioni sono corrette dovrebbero sovrapporsi. Stessa cosa con i magnete vicino, savo eventuamente e misure brevi, che erano facotatitive.