1. MISURIAMO GLI ANGOLI CON GEOGEBRA

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1 . MISURIAMO GLI ANGOLI CON GEOGEBRA Nascondiamo gi assi cartesiani in modo da usare a finestra grafica come piano eucideo. Disegniamo un punto C che rappresenti i centro di una circonferenza e creiamo i raggio mediante uno sider r variabie tra 0 e 5 con passo di incremento a tua sceta (va bene anche 0: proposto per defaut). Con o strumento 6 - Circonferenza dati centro e raggio costruiamo a circonferenza c indicando i punto C come centro e o sider r come raggio; fissiamo poi due punti A e B su di essa (usa o strumento 2 - Punto su un oggetto). Tracciamo i raggi CA e CB (chiamiamoi r er2) e disegniamo 'angoo ACB d con o strumento 8-Angoo; a'angoo viene attribuita 'etichetta e viene subito indicata a sua misura in gradi decimai. Eseguiamo adesso e seguenti operazioni. Individuiamo 'arco AB con o strumento 6 - Arco di circonferenza dati i centro e due punti oppure scrivendo nea riga di inserimento i comando arco c, A, BŠ Nea finestra di agebra viene data a misura de'arco. Nea riga di inserimento cacoiamo i rapporto tra a misura de'arco e i raggio radianti = arco / r Trasciniamo nea finestra grafica 'oggetto e ingrandiamo i carattere mediante i menu contestuae. Lasciando fissi i due punti A e B (quindi 'angoo rimane fisso) e, agendo suo sider, modifichiamo i raggio dea circonferenza; ci accorgiamo che 'ampiezza de'angoo non cambia. L'ampiezza di un angoo, misurata in radianti, non dipende da raggio dea circonferenza. Muovendo adesso i punto B cambia anche 'ampiezza de'angoo e si ottiene a misura di radiante quando eá di 57,6 ; questo eá 'angoo per i quae 'arco rettificato AB ha a stessa unghezza de raggio. 2. I GRAFICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON GEOGEBRA Costruiamo passo passo i grafico dea funzione seno utiizzando a circonferenza goniometrica; segui a procedura. Costruiamo a circonferenza che ha centro ne punto C, 0 e raggio (usa o strumento 6 - Circonferenza dati centro e raggio) e che utiizzeremo come circonferenza goniometrica. Fissiamo su di essa i punto O di intersezione con 'asse x (primo vertice de'angoo) e poi un atro punto P (secondo vertice de'angoo); definiamo quindi 'angoo ˆ OCP. d Un punto Q che appartiene aa funzione y ˆ sin x ha come ascissa e come ordinata 'ordinata de punto P; eá quindi necessario esprimere 'ampiezza degi angoi in radianti. Apriamo quindi i menu Opzioni e scegiamo a voce Impostazioni; apriamo a scheda Avanzate e scorriamo fino a quando troviamo a voce UnitaÁ angoi: cicchiamo su Radianti. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

2 Definiamo i punto Q attribuendogi ascissa e ordinata a y di P : Q ˆ, yp Apriamo i menu contestuae de punto Q e cicchiamo sua voce Traccia attiva. Se adesso muoviamo i punto P sua circonferenza, i punto Q descrive a sinusoide. Puoi anche far eseguire in modo automatico i movimento de punto P agendo su di esso tramite i menu contestuae (tasto destro de mouse) e attivando a voce Animazione.. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON EXCEL I vaore de seno, de coseno, dea tangente di un angoo si possono trovare usando Exce come una sempice cacoatrice. Vediamo e principai funzioni che operano sugi angoi; ricordiamo che una formua di Exce inizia sempre con i simboo ˆ. n La costante eá definita daa funzione PI.GRECO( ) Per esempio: ˆ PI.GRECO( )/4 restituisce i vaore numerico decimae corrispondente a 4. n Le funzioni goniometriche sono: SEN(argomento) COS(argomento) TAN(argomento) e restituiscono rispettivamente i seno, i coseno e a tangente de'angoo i cui vaore in radianti costituisce 'argomento dea funzione. Se 'angoo eá espresso in gradi, occorre prima fare a conversione in radianti. Per esempio: ˆ COS(2) restituisce i vaore de coseno di 2 radianti, cioeá 0,4646::: ˆ SEN(60*PI.GRECO( )/80) restituisce i vaore de seno di 60 dopo avero convertito in radianti motipicandoo per i fattore di conversione 80. La conversione in radianti di un angoo a cui ampiezza eá espressa in gradi puoá anche essere fatta con una funzione specifica: n RADIANTI(n) Per esempio: = TAN(RADIANTI(0)) restituisce i vaore dea tangente di 0 dopo aver convertito a misura de'angoo in radianti. n La conversione da radianti a gradi si puoá fare motipicando per i fattore di conversione 80, oppure con a funzione GRADI(n) dove n eá 'ampiezza de'angoo in radianti. 2 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 Per esempio: = GRADI(PI.GRECO( )/6) restituisce 0 che eá 'ampiezza in gradi de'angoo che in radianti misura 6. Vediamo adesso come sfruttare queste funzioni per risovere i seguente probema: noto i vaore de seno di un angoo a, trovare i vaori dee atre funzioni goniometriche. Prepariamo i fogio di avoro come iustrato daa seguente descrizione. nee cee da A4 a B7 abbiamo inserito una egenda per specificare a tipoogia de'angoo identificandoa con un numero intero da a 4 nea cea B9 si deve inserire ogni vota i dato reativo aa tipoogia usando i numeri da a 4 nea cea E4 si deve inserire i vaore di sin (nea figura eá inserito i vaore 0,6 con tipoogia 2). Le formue da inserire nee cee dea coonna E sono e seguenti: E5: ˆ SE(O(B9ˆ;B9ˆ4);RADQ( E4^2); RADQ( E4^2)) dove, a seconda dea tipoogia, viene appicata a formua p sin 2 oppure p sin 2 E6: ˆ E4/E5 dove viene appicata a formua sin ; in questo cos caso non eá necessario testare a tipoogia de'angoo in quanto giaá stabiita da vaore de seno e de coseno (anche nee formua successive non eá necessario fare un test sua tipoogia). E7: = /E5 eá stata appicata a formua cos E8: = /E4 eá stata appicata a formua sin E9: = /E6 eá stata appicata a formua tan A B C D E FUNZIONI GONIOMETRICHE 2 TIPOLOGIA DELL'ANGOLO 4 0 < x < 90 seno 0, < x < 80 2 coseno 0, < x < 270 tangente 0, < x < 60 4 secante,25 8 cosecante, TIPOLOGIA 2 cotangente, 0 In questo modo, ogni vota che si attribuisce un vaore a seno di un angoo e si indica a sua tipoogia, vengono cacoati i vaori di tutte e atre funzioni. Lo strumento Ricerca obiettivo Supponiamo adesso di conoscere come dato di ingresso i vaore di cos, per esempio cos ˆ 0,25 e di sapere che appartiene a primo quadrante; possiamo preparare un fogio anaogo a questo sostituendo acune formue, oppure possiamo usare o strumento di Exce Ricerca obiettivo che si trova ne menu Dati aa voce Anaisi di simuazione. Questo comando consente di risovere i probemi inversi di queo impostato; ne nostro caso ci consentiraá di usare o stesso fogio appena preparato per trovare i vaori dee atre funzioni goniometriche conoscendo una quasiasi di esse. Dopo aver impostato a a cea dea tipoogia de'angoo, a procedura da seguire eá a seguente: si attiva i comando Ricerca obiettivo che apre a finestra a ato nea casea Imposta cea si deve inserire i nome dea casea nea quae si vuoe inserire i dato de probema, ne nostro caso a cea E5 che rappresenta i vaore de coseno (basta ciccare sua cea, osserva i riferimento assouto) nea casea A vaore si deve inserire i dato, ne nostro caso i vaore 0,25 de coseno nea casea Cambiando a cea si deve inserire i nome dea cea che contiene i dato da cambiare, cioeá a cea E4 che ne probema iniziae aveva come dato di ingresso i vaore di sin. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI GONIOMETRICHE

4 Confermando e scete con i pusante OK, Exce modifica i vaore di quest'utima cea fincheâ trova queo che rende vera a formua specificata nea casea Imposta cea. Puoi ripetere a procedura attribuendo un vaore a tan o a una dee atre funzioni. 4. I VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON WIRIS Wiris riconosce e tre funzioni goniometriche fondamentai e anche e tre cofunzioni; esse si indicano proprio come siamo soiti scrivere: sin x cos x tan x cosec x sec x cotan x Si possono usare angoi espressi sia in gradi che in radianti e nea figura che segue puoi vedere acuni esempi. E' poi possibie convertire una misura da gradi a radianti e viceversa con i comando convertire. I tracciamento di un grafico avviene con i soiti comandi; nea figura eá stato tracciato i grafico y ˆ sin x. 5. I GRAFICI DERIVATI CON GEOGEBRA In questa esercitazione vogiamo renderci conto di quai trasformazioni ci dobbiamo servire per costruire i grafico dee funzioni goniometriche che derivano da quee fondamentai. Consideriamo per esempio a funzione di equazione y ˆ 2sin x 4. A partire da quea fondamentae y ˆ sin x dobbiamo appicare, ne'ordine: una prima trasazione di vettore ~v 4,0 una diatazione di fattore 2 ungo 'asse y una seconda trasazione di vettore ~s 0,. 4 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Abbiamo giaá visto a sintassi dei comandi di trasazione e diatazione a proposito dee funzioni esponenziai e ogaritmiche; ricordiamoa qui brevemente: Trasa [oggetto,vettore] trasazione di vettore indicato Diata [oggetto,vettore] diatazione in direzione paraea a vettore indicato e di fattore uguae a moduo de vettore Ricordiamo poi che per definire un vettore si deve usare i comando: Vettore [punto] oppure Vettore [punto iniziae,punto finae] Disegniamo dunque a funzione base y ˆ sin x inserendo a sua equazione attraverso a riga di inserimento (in grigio tratteggiato nea figura); diamo poi i seguenti comandi: Trasa f x,vettore 4,0 viene generata a funzione g x (in bu) Diata g x,vettore 0, 2 Š viene generata a funzione h (in verde) Trasa h,vettore 0, ŠŠ viene generata a funzione k (in rosso) Come controo disegna adesso a funzione compessiva; i suo grafico si sovrappone a'utimo disegnato. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LE FUNZIONI GONIOMETRICHE 5