LA GEOMETRIA CON L EQ. PARAMETRICA DI VAG La Retta Cap. II Pag. 1

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1 II. LA RETTA

2 La Retta Cap. II Pag. 1 LA RETTA In un riferimento cartesiano ortogonale una qualunque retta si può orientare stabilendo la sua direzione e verso, secondo l angolo che essa forma con il verso positivo dell asse, preso in senso antiorario. RETTA PER L'ORIGINE. Consideriamo una retta passante per l'origine in un riferimento; sarà una ed una sola la retta di quel dato angolo ρ a passare per l' Origine. Tale retta di angolo ρ, che indicheremo con r(ρ, passando per l'origine del riferimento cartesiano, in realtà si presenta divisa in due semirette, ciascuna con angolo ρ e (18 + ρ). La retta dunque avrà verso e direzione sia (ρ) che opposta (18+ρ) e sarà il valore dell'angolo a specificare il suo verso e direzione. Data dunque una retta orientata per ρ, tutti i suoi punti saranno determinati, e un qualunque valore dell'ascissa la determinerà poiché y tan oppure y tan( 18 ) da cui: y cos sin ycos sin y cos( 18 ) sin(18 ) y cos(18 ) sin(18 ) Un eventuale punto A(a,b) o B(c,d) avrà b cos asin d cos csin bcos(18 + ρ) asin (18 + ρ) = dcos(18 + ρ) csin(18 + ρ) =

3 La Retta Cap. II Pag. RETTA NON PER L'ORIGINE Tuttavia una retta con direzione e verso, non passante per l'origine non e posizionata nel riferimento cartesiano, nel senso che sono infinite le rette con tale direzione e verso, e tutte parallele tra loro. Ma se nel nostro riferimento conosciamo un punto di tale retta, allora, tale retta risulterà posizionata e sarà unica, nel riferimento, ad avere quella direzione, quel verso e quel Punto: essa e dunque orientata ed uguale orientamento avrà ogni suo punto o segmento. Nella Fig.3 e Fig.3b il punto A è quello che permette di fissare la retta r(ρ nel riferimento cartesiano. In realtà i punti sono due: il punto A e il punto Q intersezione (tale punto esisterà sempre per qualunque retta non parallela alla ascissa, per impostazione stessa). A meno che non sia dato, il punto Q è ricavabile dal punto A stesso, come distanza OQ. Infatti dato il punto A(a,b) appartenente alla retta, abbiamo OQ = c = a b tanρ ed ogni punto appartenente alla r(ρ dovrà soddisfare la condizione OQ = c = y tanρ = a della retta y = ( c)tanρ oppure y = ( a)tanρ + b b tanρ da cui l'eq. Per c= si riavrebbero le formule viste sopra: caso di retta per l'origine. Nella figura 3 e 3b che segue abbiamo: lasciando fisso A e variando l'angolo ρ come in Fig.3a abbiamo le infinite rette che ruotano intorno al punto A, cioè una Stella di Rette. Invece per un angolo ρ fisso, Fig.3b, e incrementando il valore dell'ascissa (con ordinata fissa) del punto A abbiamo un insieme di rette parallele, cioè un Fascio di Rette.

4 La Retta Cap. II Pag. 3 DATI DUE PUNTI DETERMINARE LA RETTA CONGIUNGENTE Siano i punti A(a=OAcosα,b=OAsinα) e B(c=OBcosβ,d=OBsinβ).Il verso della loro congiungente sia per A verso B con angolo ρ e per B verso A con (18+ρ).Avremo: b d OAsinα OBsinβ d b OBsinβ OAsinα tanρ = = oppure tan(18 + ρ) = = a c OAcosα Obcosβ a c OBcosβ OAcosα pertanto la scelta del verso r direzione della retta dipenderà dal problema posto. Un qualunque punto X(,y) per appartenere alla retta, dovrà avere: y b y OAsinα y d y OBsinβ tanρ = = oppure tan(18 + ρ) = = a OAcosα c OBcosβ

5 La Retta Cap. II Pag. 4 RETTA TRAMITE LA DISTANZA DALL'ORIGINE In un riferimento cartesiano ortogonale una qualunque retta si può orientare stabilendo la sua direzione e verso, secondo l angolo che essa forma con il verso positivo dell asse, preso in senso antiorario. Tuttavia una retta con direzione e verso non e posizionata nel riferimento cartesiano, nel senso che sono infinite le rette con tale direzione e verso, cioè tutte le parallele. Se della retta conosciamo nel nostro riferimento cartesiano un suo punto o sappiamo che essa passa per un punto noto, allora, tale retta risulterà posizionata e sarà unica, nel riferimento, ad avere quella direzione, quel verso e quel punto: essa e dunque orientata ed uguale orientamento avrà ogni suo segmento. Delle infinite rette di uguale direzione e verso, indicate con r( che ha il significato di retta r con angolo ( (preso in senso antiorario con il verso positivo delle ), consideriamone una e

6 La Retta Cap. II Pag. 5 tracciamo come da figura Fig.1 la perpendicolare ad essa per l origine. e sia OA la sua distanza data: L Eq. di Vag della distanza OA di punto A(a, b) e angolo α (ottenuto dall'angolo ρ (vedi avanti) è: OA cos a cos sen 1 OA a cos bsen OA sen b OA a b dove il punto A(a,b) estremo di è punto della retta r(, che risulta dunque essere posizionata. Infatti tra tutte le parallele alla retta r( due sole avranno dall origine la distanza OA=OA ma tale distanza e unica per l angolo (infatti OA avrà angolo (18 + )). Qualunque altro punto X(,y) rispetto alla distanza OA darà: a) OX cos( ) OA OX (cos cos sensen ) cos ysen (dove è ±OA in quanto ora OA é il valore di una coordinata) Si osservi che il generico angolo (-) essendo l angolo interno di un triangolo rettangolo e sempre minore di 9 ; e che (-) sarà positivo o negativo a seconda di > o < cos ( ) cos( ) sen ( ) sen( ) Analogamente accade per il valore dell angolo OXA, dato da (-) quindi: a) OX sen( ) OA OX ( sen cos cos sen ) sen y cos Saranno punti di una retta orientata,distante OA dall origine,tutti quei punti che soddisferanno le seguenti uguaglianze: 1) ) cos ( ) cos( ) sen ( ) sen( ) sen y cos OA cos ysen OA 3) a sen b cos in funzione dell' angolo della retta in funzione dell' angolo della distanza 4) a cos b sen in quanto punto della retta tan( ) tan tan tan tan b a a tan b PROPRIETA DELLA RETTA ORIENTATA Sia una retta orientata, per direzione e verso, e il suo angolo con l asse come da figura; il punto X (,y;)con angolo OXA ( ) per cui l Eq. di Vag.: OX AX cos( ) OAsen( ) *] OA

7 La Retta Cap. II Pag. 6 OX cos( ) OX coscos sin sin cos ysen AX OXsen( ) OX sin cos cos sin sen y cos OA dove AX e OA assumono un segno essendo i valori delle coordinate di OX per un angolo (-). Sviluppiamo *] in funzione dell angolo : OX cos AX cos OAsen OX sen AX sen OAcos tan AX sen OAcos AX cos OAsen OX AX cos OA sen cos AX sen OA cos sen Sviluppiamo *] in funzione dell angolo : OX cos AX cos OAsen OXsen AX sen OAcos y AX sen OAcos tan AX cos OAsen OX AX cos OAsen cos AX sen OAcos sen Vediamo anche le uguaglianze: sen y cos OA punti di una retta distante OA dall origine. sen y cos punti di una retta per l origine. y Consideriamo l angolo (-) anziché (-): OX cos( ) OX(cos cos sen sen ) cos y sen OA OX sen( ) OX(cos sen sen cos ) y cos sen AX Eq. di Vag che per le considerazioni fatte: OX cos( ) OA OA cos y sen ( acos bsen ) e analogamente a quanto fatto nella pagina precedente per (-): OX cos OAcos AX sen OX sen OAsen AX cos y Infatti: OX AX OA ; cos ( ) sen ( ) 1; cos ( ) sen ( ) 1

8 La Retta Cap. II Pag. 7 mentre la Ug. del teorema delle proiezioni può essere una Eq. di Vag. Sia la retta r( e un suo punto B(a;b;) l insieme dei suoi punti X (;y;) è tale che: OA OX sen( ) OB sen( ) *) OA sen y cos a sen b cos da cui si ricava l equazione di tutti i punti della retta tramite il suo angolo (coefficiente angolare): 1 y b OXsen OBsen ( a )sen (y b ) cos ; tan tan a OXcos OBcos ( è l angolo della distanza della retta dal centro) Facendo OA OQcos ON sen (vedi fig ) OQ=q e ON=n intersezione della retta con gli assi si avrà l eq. classica della retta se li sostituiamo in *) y tan q e y ( n) tan dando a quest ultima dei valori generici a,b,c a c c a c tan = - e q e n sara' y b b a b si ha l' eq. implicita della retta aby c Si osservino le equazioni polari: OA OA OX OX sen( ) cos( ) RETTA TRAMITE DUE PUNTI Dati due punti A a, b ) e B( a, ) e possibile scrivere: ( 1 b1 ( a a )cos ( b b )sen BA ( a a )cos ' ( b b )sen ' AB entrambe le equazioni danno: BA AB ( a a ) 1 ( b b ) 1 ( a 1 a ) ( b 1 b ) cos sen 1 cos ' sen ' 1 ' 18 dovrà essere scelta tuttavia quella il cui verso ci interessa cioè BA o AB indicate rispettivamente dall angolo oppure Puo essere utile sapere i legami esistenti tra una retta determinata dai suoi punti e una retta orientata: cos( ) sen( ); sen( ) cos( ) 1 tan( ) tan( )

9 La Retta Cap. II Pag. 8 (Vedi ESEMPIO IV numerico) STELLA E FASCIO DI RETTE Dato un punto P (, ) y possiamo scrivere sen y cos OA Il variare del valore dell angolo varia la distanza tutte le rette per il punto P (Stella di rette). OA di Per un punto qualunque X (,y) e un valore fisso di si avrà sen y cos OA il variare delle coordinate del punto X si avrà una serie di rette parallele (Fascio di rette) di angolo costante e distanza variabile. OA

10 La Retta Cap. II Pag. 9 FISSATA UNA RETTA TROVARE LA SUA DISTANZA DALL ORIGINE E LE COORDINATE DI QUESTA (ESEMPIO 1) Sia la retta r( e il punto che la fissi sul piano P Sappiamo sen y cos OA per cui (a,b) potremmo scrivere: asen bcos OA acos bsen sistema che dà come risultato: b ( OA cos ) e a OA sen (, y ) OA risulta noto e se le coordinate di A supponiamo essere A questo punto per ottenere il vero valore di, angolo di OA b distanza della retta dall origine, si dovrà fare invtan e poi a considerando i segni di (a,b) vedere in quale quadrante esso capita per poter decidere: I / Quadr II / Q III / Q IV / Q.

11 La Retta Cap. II Pag. 1 TRACCIARE UNA RETTA ORIENTATA (ESEMPIO ) Sia la retta r( e un punto P, y che la fissi sul piano: è ovvio che essendo noti i tre dati è possibile tracciarla per verso e direzione. Ma vediamo come dobbiamo fare per tracciarla per punti; cioè allineare tutti i suoi punti. Nell esempio che segue si deve trovare la distanza OA della retta r(, le coordinate del punto A e l angolo di OA proprio come si è fatto nell esempio 1. L angolo di OA deve avere il suo valore vero rispetto all asse delle ascisse. Una volta trovato l angolo e OA possiamo far variare l angolo di ogni punto della retta tra: 9 (18 ) ; y ; 9 ; 9 18 da cui 9 9 per poter trovare OX OA sen ( ) e quindi avere tutti i punti che determinano la r( : OX cos OX sen y OA sen( ) OX cos ysen Eq.di Vag

12 La Retta Cap. II Pag. 11 DISTANZA DI DUE PUNTI DI UNA RETTA ORIENTATA (ESEMPIO 3) Dati due punti B( ; y ; ) e X( ; y; ) della retta r( come da figura, la loro distanza è data: BX OX cos( ) OB cos( ) ( OX cos OB cos ) cos ( OXsen OBsen ) sen ( ) cos ( y y ) sen BX cos OX cos OB cos BX sin OX sin OB sin L espressione ora vista darà un valore positivo o negativo a seconda se facciamo y y ( );( y y ); tan oppure ( );( y y); tan y y

13 La Retta Cap. II Pag. 1 CALCOLO NUMERICO DELLA DISTANZA DI DUE PUNTI ESEMPIO IV Siano i punti A(1;), B(-1,3). Per ottenere l angolo della retta per verso e direzione dobbiamo tener presente: AB cos ( 11) BAcos (1 1) AB sin (3 ) 1 BAsin ( 3) 1 AB BA 5 L angolo della retta con asse delle X sarà: 1 1 tan,5 6,56551 Il vero verso e direzione della retta avrà angolo (18-) per AB e (36-) per BA, ma ai fini del calcolo e del posizionamento della retta, basta considerare =-6, L angolo della distanza d=oa perpendicolare dal centro O alla retta sappiamo essere 9 o meglio: 1 1 tan 63, tan,5 e la sua distanza sappiamo essere: d sin y cos cioè: col punto A 1sin 6,56551 cos 6,56551,3667 col punto B 1sin 6, cos 6,56551,3667 Tramite il valore assoluto della distanza -d- e del suo angolo abbiamo le coordinate: (,3667 ) cos(63, ) 1 (,3667 ) sin( 63, ) y dove il punto A(1,) è anche l estremo della distanza d-.