VI. TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE

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1 VI. TRASLAZIONE ROTAZIONE ROTO-TRASLAZIONE

2 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. TRASLAZIONE OAcos X OAsin Y OA' O A' Ocos a OA A' Osin b ; A' OA' O OA'cos A'cos Ocos a X OA'sin A'sin Osin y b Y OA' OA'cos( ) Ocos( ) A'cos OA'cos Ocos X a A'sin OA'sin Osin Y b y A' OA'cos( ) Ocos( ) ROTAZIONE DI DI OA OAcos X OAsin Y OA posizione iniziale FIG. OA A' posizione dopo A' OAcos( )cos OAsin( )sin OAcos A'cos OAcos( ) X cos Ysen Asen ' y OAsen( ) y Y cos Xsen A' OAcos( )cos OAsin( )sin OA OAcos OA A'cos X OAcos( ) X OAcos cos ' Asin sin X cos y sin A'sin Y OAsin( ) Y OAsin cos OAcos sin Y y cos sin Matrice di Rivoluzione: cos sin sin cos

3 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. ROTO-TRASLAZIONE Sia OA (X,Y) e angolo e O A (,y) angolo e ( Ocos a, O sen b) come da figura da cui l' E. di Vag: A'cos( ) OA'cos Ocos X a A'sin( ) OA'sin O sen Y b ) Sviluppiamo: O ' A' ( OA'cos Ocos )cos( ) ( OAsen O sen ) sen( ) O ' A' OA'cos O cos Infine l Uguaglianza O ' A' OA'cos Ocos ] *) da cui: A'cos OA'cos( ) Ocos( ) ( X cos Ysen ) ( acos bsen ) A' sin OA' sen( ) O sen( ) ( Y cos Xsen ) ( bcos asen ) y bis) Inoltre dalla ): A' cos ( OA' cos O cos )cos ( OA'sin O sen ) sen ( X a)cos ( Y b) sen A'sin ( OA' sen O sen )cos ( OA' cos O cos ) sen ( Y b)cos ( X a) sen y e le due forme uguali e risolutive: A'cos ( X a)cos ( Y b) sen ( X cos Ysen ) ( acos bsen ) *) A'sin ( Y b)cos ( X a) sen ( Y cos Xsen ) ( bcos asen ) y Spostando i termini nella ):

4 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 3 OA'cos A'cos Ocos ( cos ysen ) a a X *) ) OA'sin A'sin Osin ( y cos sen ) b y b Y da cui l'uguaglianza: Ocos OA Acos **) Se = Se O la ) e la ) diventano una traslazione. la ) e la ) diventano una rotazione. Traslazione e Rotazione nello stesso riferimento indichiamo la loro generica posizione: Traslazione: AB=A B AB OB OA OB OA AB OA OB AB come FIG. con angoli, e AB cos OBcos OAcos OBcos OAos AB cos OAcos OBcos AB cos AB sin OBsin OAsin OBsin OAsin AB sin OAsin OBsin AB sin Roto-Traslazione: AB=A B A' B' OB' OA' come FIG. con angoli, e =+ A' B'cos ' OB'cos ' OA'cos ' A' B'sin ' OB'sin ' OA'sin ' OB' OA' A' B' OA' OB' A' B' OB'cos ' OA'cos ' A' B'cos ' OB'sin ' OAsin ' A' B'sin ' OA'cos ' OB'cos ' A' B'cos ' OAsin OB'sin '' A' B'sin ' Per = sarà = solo traslazione Per AA sarà = solo rotazione

5 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 4 ROTO-TRASLAZIONE DELLE FIGURE Proseguendo nel ragionamento precedentemente fatto, possiamo pensare come centro di una ualsivoglia figura, come ad esempio: Circonferenza O ' A cos m sen Ellisse con centro p p A ; Parabola con Fuoco cos sen A r m sen O ' A Iperbole cos Infatti se volessimo scrivere una IPERBOLE O ' Acos cos Asen y m tan Supposto (a;b; ) rispetto ad O di YOX; e angoli =O X, =AOX, applicherò la *) vista: OA cos X Acos( ) a e l E. di Vag: OAsen Y Asen( ) b OA cos cos mtan sen a cos OAsen mtan cos sen b cos da cui l'uguaglianza: OA cos( ) m tansen( ) Ocos( cos ) Se nell'ultima espressione vista consideriamo O= la roto-traslazione diventa una semplice rotazione degli assi. Fatto si e' che O e A OA, per cui l' ultima espressione diventa l'e. di Vag: A = OA = cos( - ) + mtan sen( - ) cos OA cos OA cos( ) cos OAsen OAsen( ) m tan y OA = cos+ mtan sen cos Essendo gli angoli ( ),si avrà: OA cos( ) mtan sen( ) ( cos mtan sen)cos ( sen mtan cos ) sen cos cos cos ed infine l E. di Vag dell'iperbole vista, ruotata di un angolo : OAcos cos m tan sen X cos OAsen sen m tan cos Y cos OA X cos Y sen X cos( ) Y sen( )

6 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 5 Se avessimo voluto scrivere una PARABOLA, in analogia alla Iperbole: p A cos cos cos p Asen y sin cos Supposto O =F (a;b;) e V(p/;) applicando la *) analogamente all esempio visto: OA cos X Acos( ) a OAsen Y Asen( ) b p p OA cos cos cos sin sen a cos cos p p OAsin sin cos cos sen b cos cos p OA cos cos( ) a cos da cui l uguaglianza: p OA cos O cos p cos OAsin sin( ) b cos p OVcos ' OFcos FV cos(8 ) a cos p OV OFcos( ' ) cos( ' ) p OVsin ' OFsin FVsin(8 ) b sin Se consideriamo O= la roto-traslazione diventa una semplice rotazione degli assi ed avremo che O e A OA, F=, =+ e l'e. di Vag: FA cos OAcos( ) FA OA FA sin OAsin( ) p dove ricordiamo essere: OA (p ) cos)

7 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 6 OSSERVAZIONE: negli esempi visti, si tenga presente il variare delle relative tangenti: Rotazione: ) Iperbole m sen tan m tan msen tan tan( ) sen ; tan m m tan tan tan tan ) Ellisse m tan tan m tan m tan tan tan( ) tan ; tan m m tan tan tan tan Roto-Traslazione: )Iperbole msen cos sen bcos tan cos msen sen a cos )Parabola psin( ) b( cos ) tan pcos( ) a( cos )

8 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 7 ROTAZIONE DELLA FIGURA (ELLISSE) Facciamo l'esempio della sola rotazione di una ellisse; per definizione di Ellisse: E. di Vag: OAcos cos OAsen msen Ma: OAcos OAcos( ) OAsen OAsen( ) Sviluppiamo: OAcos ( cos ) cos ( msen) sen OAsen ( msen) cos ( cos ) sen Essendo la precedente espressione una E. di Vag si avrà di conseguenza: OA = cos cos( - ) + msen sen( - ) OA cos( ) cos OAsen( ) msen

9 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 8 ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUIL.(ESEMPIO) Nel riferometo Oy tra le IP.EQ. vi e' uella avente per asintoti gli assi: y a dove a R e V '( a ; a) OV' a Si consideri invece una normale IPER.EQ. m=. Posto =a si avrà X per cui Y a a X cos a Y sen cos a a ; OA sen cos V ( a ;) OV a Si consideri una rotazione di 45 del riferimento Oy per cui A andrà in A e OA=OA. Calcoliamo il punto A rispetto ai due riferimenti OAcos X OAsen Y AOX ˆ AO ˆ A' OA ˆ 45 sen45 cos45,5 OA'cos( 45) X cos45 Ysen45 ( X Y) OA' sen( 45) y Y cos45 Xsen45 ( X Y) a a ( X Y), 5 ( sen ) 5. ( sen ) cos cos a a y X Y ( ), 5 ( sen ) 5. ( sen ) cos cos se facciamo: y ( X Y ),5 ( X Y ) a riotteniamo la euazione di partenza.,5,5

10 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 9 ROTAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUILATERA (continua) Sia data una Iperb. E. del tipo: e la sua E. di Vag: X Y a a X cos a Y sen cos OA a cos sen la sua rotazione di 45 e' l'e. di Vag vista: a ( sen ) cos a y ( sen ) cos y a OA' a cos a a ( sen) ( sen) ( sen ) sen cos cos Dunue OA e OA' hanno lo stesso valore. Ma non è la stessa cosa se facessimo: a a XY sen ; y ( sen ) a cos cos poichè pur rappresentando la stessa Iperb. E. le loro coord. si presentano diversamente, in uanto riferite a due riferimenti diversi.

11 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. LA ROTO-TRASLAZIONE DI UNA ROTO-TRASLAZIONE Analogamente a uanto detto precedentemente, nella roto-traslazione di una roto-traslazione avremo: OAcos X ' Acos( ' ) ' cos( ) O cos OAsen Y ' Asen( ' ) ' sen( ) OOsen ' cioè l'e. di Vag: OA X cos Ysen ' Acos( ' ) O O OO cos ' '' cos( ) ' cos ' Asen( ' ) sen O O sen OO sen ' '' ( ) ' ma anche l'uguaglianza: OA ' A ' cos cos ( ' ) ( ) O cos( ) (uguaglianza che non e' che il Teorema delle Proiezioni.) Posto ( ' ) ' ( ) si potrà scrivere: OA ' Acos( ') 'cos( ) Ocos( )

12 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA (somma di due segmenti orientati) Se nell ultima e. vista poniamo O O =zero avremo che O A diventa O A, da cui l euazione: OA X cos Ysen Acos O coscos Asen Osen sen Acos( ) O cos( ) Quest'ultima espressione non e' che la rappresentazione della regola del parallelogramma dove OA e' dato Fig. Fig. dalla somma dei due segmenti O e A orientati, come in Fig.. Se in un riferimento yo (Fig.) poniamo A=OO con i relativi angoli visti sopra possiamo ancora scrivere l'uguaglianza: OA O ' cos( ) O cos( ) Da cui l'e. di Vag: OA cos ysen O ' cos O coscos O ' sen O sensen che ha lo stesso significato di uanto visto sopra ed applicabile ad un numero ualunue di segmenti orientati. Importante è che nella somma di due o più segmenti orientati, il loro risultato è IDENTICO sia che i segmenti siano uno attaccato all altro (Fig.), sia che partano da uno stesso punto (Fig.). (Uno o tutti gli angoli,, possono avere anche verso opposto: ad esempio l angolo dà OA, mentre dando allo stesso angolo il valore(8+) avremo AO. Se ad esempio ricaviamo da e dobbiamo dargli il giusto valore considerando i Y segni del numeratore e denominatore del rapporto tan ) X

13 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. DISTANZA DI DUE PUNTI (come differenza di due seg. orient.) Abbiamo visto che applicando la regola del parallelogramma (vedi figura a lato) risulta l uguaglianza: OA OC cos( ) OB cos( ) e dalla considerazione che: C ( ; y ; ) B( ; y ; ) l'angolo BCX= ( cos y In generale: c c sen ) cos y sen b c c OC cos c OBcos OC sin yc OBsin y abbiamo ( )cos ( y y )sen CB b cioè una E. di Vag uando si prenda b c b c b OC(cos cos sen sen ) OB(cos cos sen sen ) OC cos( ) OBcos( ) CB b b b OA OC cos( ) OB cos( ) Ug. CB OC cos( ) OB cos( ) (somma di due segmenti orient.) (distanza di due seg.orient.) OA (OCcos OBcos )cos (OCsen OBsen)sen (somma) E. di Vag CB (OCcos OBcos )cos (OCsen OBsen)sen (distanza) *) *) **) somma OAcos OCcos OBcos ; OAsen OCsen OBsen **) distanza come differenza CBcos OCcos OBcos CBsen OCsen OBsen Nella distanza come differenza il valore di CB (come modulo) è dato dalla radice uadrata della somma dei uadrati di **); mentre la differenza dei segmenti orientati è data da (OC-OB) per CB e (OB-OC) per analizzando i segni del numeratore e denominatore del rapporto Y X Y X I Quadrante =; III Q. vale (8+); Y X Y X BC ; ed il valore di si ha Y tan : X II Q. vale (8-); IV Q. vale (36-)

14 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 3 OCsin OBsin OCsin OBsin tan ; tan OCcos OBcos OCcos OBcos Quadriamo e sommiamo le **) ***) OA OC OB OCOB cos( ) Somma di due segmenti ***) CB OC OB OCOB cos( ) distanza di due punti La seconda espressione non è che il Teorema di Carnot, mentre la prima è lo stesso teorema con segno cambiato. Posto ( - )= (angolo dei due seg. Orientati) e sviluppate le ***) in forma parametrica abbiamo: OA CB OC OBcos OC OBsin OC OBcos OC OBsin (uguale alle ***) ricordando che cos cos e cos sin ) Espressioni che ci riportano alle E. Parametrica di Vag di due ellissi con angoli rispettivamente β ellisse e β ellisse : OAcos OAsin OA BC cos BC sin CB tan ellisse OC OBcos ellisse OC OBsin OC OBcos cos ellisse OC OBsin sin ellisse ellisse OC OBcos ellisse OC OBsin ' ' OC OBcos cos OC OBsin sin ellisse ellisse ellisse OC OB OC OB tan tan ' ellisse tan OC OB OC OB tan tan ellisse ' ellisse OC OB OC OB tan ellisse ' tan ellisse tan

15 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 4 VALORE DEGLI ANGOLI IN UNA ROTO-TRASLAZIONE Fig. Fig. Si consideri dunue una roto-traslazione di un sistema XOY in uello Oy, come in fig. dove il punto C ruota secondo una Ellisse; esso per uanto detto precedentemente nella Somma di due segmenti orientati può essere anche rappresentato da fig. ove si ponga CA=O e +=, A O ˆ X Si può scrivere per entrambi i casi di fig. e fig. l uguaglianza somma di due segmenti: OA OCcos( ) CAcos( ) OCcos( ) O cos( ) Nelle figure abbiamo disegnato il segmento OC come la distanza di un punto di ellisse cioè OC cos m sen preso in valore assoluto, essendo la distanza di una E. di Vag; mentre CA = O = R

16 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 5 L'angolo e' una costante perchè la posizione dell' asse, pur spostandosi, e' parallela a se stessa. dunue: ) ( cos ) cos( cos cos cos Rsen sen m sen Y OAsen R m sen X OA Se tra gli angoli e esiste una relazione del tipo: ecc. oppure D oppure c dove c e D e l'angolo sono costanti avrò ) ( per cui ; ; ; D c D c e potrò ridurre la mia euazione alla sola o alla sola : cos cos cos sen D c Rsen OCsen D c R OC OA oppure all'eguaglianza: ) ( ) ( ) ( cos ) cos( D c R OC OA

17 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 6 ESEMPIO (come circonferenza traslata) Fig. Fig. Le due figure hanno lo stesso significato, scriviamone l'uguag. generale sapendo che i rispettivi raggi sono OC=R, CA=r, (OA somma di segmenti, CO distanza di due punti) e angolo AOX= (Fig.): OAcos Rcos r cos OA Rcos( ) r cos( ) OAsen Rsen rsen se ; dato da 36 (le fig. si riferiscono a uesta ipotesi) OAcos Rcos r cos OAcos ( R r)cos OAsen Rsen rsen OAsen ( R r) sen OA ( R r) cos ( R r) sen R r Rr cos Poichè R ed r sono costanti poniamo (R+r)=, (R-r)=m per cui cos m sen che rappresenta effettivamente una ellisse OA perchè: ( R r) sen m tan ( R r)cos tan

18 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 7 Abbiamo visto come il punto A, dato dai segmenti orientati OC e CA (oppure O e OC) descriva effettivamente una ellisse. Si osservi che i valori ed m, diventati gli assi dell'ellisse, possono sempre essere intesi come somma (=R+r) e differenza (m=r-r) di due circonferenze, le uali ovviamente ricaveranno il loro valore da r m R m Sapendo che la distanza del fuoco dall'origine e': Dd c Rr r R r R c m c 4 ) ( ) ( dove D e d sono i diametri delle circonferenze. Mentre l'eccentricita' d D Rr r R d D r R Rr c e

19 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 8 ESEMPIO (Ellisse dei due Moti) (Distanza degli estremi dei raggi in una Circonferenza Traslata) Prendendo in cosiderazione anziche' la somma dei due segmenti orientati, la distanza di tali due segmenti (gli estremi dei raggi delle due circonferenze) cioe' la distanza C (fig. Cap. VI Pag. 6), per uanto detto a Cap. VI Pag. (DISTANZA DI DUE PUNTI) essa e' data (vedi figura sotto): CO ' Rcos( ' ) r cos( ' ) e posto avremo Ccos ' R cos rcos (R r)cos mcos C sen' Rsen rsen (R r)sen sen C (R r) cos (R r) sen tan ' tan m dove si vede che la distanza C dei due raggi e' la distanza di una ellisse di centro e angolo, e assi ( R r), m ( R r). Pertanto tutte le distanze: C; C''; C''''; ecc. date da =COX e =OX sono le distanze dei punti di una ELLISSE il cui centro e' di volta in volta ; '; '';. ed angoli '; ''; ''';ecc. m cos sen

20 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 9 ESEMPIO 3 (COME CIRCONFER. ROTO-TRASLATA) Fig. a Fig. b Il sistema Cy (con raggio r) e' ruotato di un angolo (con verso antiorario), i raggi sono R ed r,con (Fig.a) =-, AOX=; e con (Fig.b) O=CA=r, OC=R. L'Uguaglianza, in generale, che lega i segmenti orientati è: OAcos R cos r cos( ) *] OA R cos( ) r cos ( ) OAsen Rsen rsen( ) ( ) R r Rr cos( ) OA R r Rr cos OA R r Rr cos( ) R r Rr cos( ) dove sviluppando il coseno e moltiplicando R ed r per cos ( ) sen ( ) si avrà: OA R r R Rr cos ( ) Rrsen ( ) cos ( ) r cos ( ) Rr cos R sen ( ) r sen ( ( ) ) Rrsen ( ) OA ) ( R r ) ( R r ) cos ( sen ( )

21 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. ESEMPIO 3 (CONTINUA) Essendo l'ultima espressione vista il uadrato di uno spazio del tipo OA = + y potremo prendere un opportuno angolo tale che *] OA ( R r)cos( ) cos ( R r) sen( ) sen e facendo (R+r) =, (R-r) = m, e posto ( ) X ( R r) cos( ) cos Y m tan tan( ) tan X Y ( R r) sen( ) m sen OA viene a rappresentare la distanza di un punto di Ellisse dal suo centro, al variare di da 36. Ciò implica che il campo di variabilità di 36. ( ) =: (per costante) sia egualmente ( ) Se in un sistema XOY (fig. a lato) applichiamo la *] abbiamo una ellisse e se poniamo il valore di il variare di nell'e. di partenza in *]farà variare e uindi dando tutti i punti ( X,Y ) della ellisse con E. di Vag che nel sistema XOY della pagina precedente *], abbiamo visto essere: OA R cos( ) r cos ( ) dove è proprio l angolo (Fig.a) di OA rispetto all asse X. Nel sistema X OY possiamo scrivere l euazione di una Ellissi con l'e. di Vag: OA X cos Y sen X cos( Y ) sen( ) Questa ellisse, rispetto agli assi coord.x,y e' ruotata di, mentre la rotazione da cui eravamo partiti era di,per la sola circonferenza di raggio r, come se, essendo due le circonferenze, ciascuna fosse stata ruotata di, e tutto il sistema fosse ruotato di.

22 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. ESEMPIO 4 (Distanza degli estremi dei raggi in una circonferenza rototraslata) In uesto caso l' e. rappresentativa e' la stessa di uella dell'esempio 3 (Cap. VI Pag. 9) cambiata di segno e dalla Fig.a e Fig.b dell esempio stesso si ha: C R cos( ) r cos ( ) Facendo gli stessi passaggi dell'esempio 3 si ha: C ( R r ) cos ( ) ( R r ) sen ( ) che e' un uadrato del tipo C X Y per cui stabilito un angolo si ha, in analogia a uanto visto: C cos ( R r )cos( ) X m cos tan tan 3*] m Csen ( R r )sen( ) Y sen Come vediamo dall euazione sopra risultano scambiati soltanto la posizione degli assi ed m. Tenendo presente come visto al Cap. VI Pag. 8 che al variare di in 3*] C,C'',C'''', ecc. sono le distanze di una Ellisse dal proprio centro e che fatto O''' ecc. avro' una Ellisse proprio come da fig. a lato. Anche ui come nell'esempio 3 avendo ruotato il riferimento XOY di, risulta invece come se la rotazione fosse solo di / e riguardasse tutto il sistema nel suo insieme.

23 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. ESEMPIO 5 (ROTAZIONE DI UN SISTEMA TRASLATO) Nell'Esempio di Cap. VI Pag.8 abbiamo considerato la distanza degli estremi dei raggi in una circonferenza traslata dove C e' la distanza di un punto di Ellisse dal suo centro, come nella fig. con =-. Fig. Come fatto nell ESEMPIO 3 (Fig.a) ruotando un sistema di (ma uesta volta in senso orario)l'intero sistema ruota di /. Nel sistema X OY come da fig., C e' sempre la distanza di un punto di Ellisse dal suo centro, ed è dato come distanza dei due segmenti orientati R e r (DISTANZA DI DUE PUNTI Cap.VI Pag.). La sua E.di Vag,con (perché è in senso orario), è: Fig. l'euazione diventerà: Ccos( ) R cos( ) r cos( ) Csen( ) Rsen( ) rsen( ) Se a uesto punto supponiamo che anzichè fisso sia variabile e che vari in valore come C cos( Csen( tan( ) R cos ) Rsen Rsen ) R cos r r cos( ) R cos rsen( ) Rsen r *)

24 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 3 e si presenterà come in Fig.3 ponendo: ; cioè l'euazione *) della pagina precedente diventa: C cos Rcos r C sin Rsen C ( Rcos r)cos ( Rsen )sin E. di Vag C ( Rcos r) ( Rsin ) R r Rr cos Dalla Fig.3 si deduce: tan sen cos che risolta e sviluppata, darà: Rsen ; Rcos r sen ( ) r R sen

25 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 4 TEOREMA DEI PIANETI Da ciò che abbiamo visto in Fig.3 data una circonferenza di raggio R, stabilita una distanza O=r, minore di R, ogni distanza C, può svilupparsi: C R r Rr cos R r rrr(cos sen ) **) R (cos sen ) r (cos sen ) rrr(cos sen ) ( R r) cos ( R r) sen Essendo uest' ultima espressione un uadrato del tipo potrò avere un angolo E tale che: E e semi- b) C cos E ( R r)cos mcos R r tan E tan tan R r m C sen ( R r) sen sen E Abbiamo che b) è l E. di Vag di una ELLISSE di angolo assi >m, contata da m. C y Se prendiamo il punto O (come da Fig.4) avremo i valori dell ellisse: ' O C R r Rr cos R r rrr(cos sen ) che sviluppata come abbiamo visto darà: C ( R r) cos ( R r) sen e uindi C cos E ( R r)cos cos C sen E ( R r) sen m sen R r tan tan m tan E R r di semi-assi >m, contata da. Ponendo si avrà la stessa euazione dell Ellisse illustrata nel Cap. III (Le Curve ELLISSE ). I valori che abbiamo determinato per la distanza C non formano una Ellisse intera, bensì meta' Ellisse, per il fatto che cioè che, per un valore di compreso tra 8 sarà 9 e uindi darà per il valore di una semi circonferenza il valore di un settore di ellisse come possiamo vedere in Fig.5, nella uale e' mostrato (a computer) che per tutte le distanze OC dei punti della circonferenza si hanno le distanze O C dei punti della semiellisse. In figura si vede anche che il

26 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 5 punto P percorre l arco PA della semi-circonferenza e l arco PA del settore dell Ellisse nello stesso tempo;come dire che il semiperimetro della Ellisse è percorso nello stesso tempo in cui è percorso l intero perimetro della Circonferenza; ed inoltre nel Cap.VII vedremo che la velocità di percorrenza dell area della circonferenza è doppia della velocità di percorrenza dell area dell ellisse. Nella Fig.5 data una circonferenza come nella Fig.3, fatti: OC R; O r; R r ; R r m R sin avremo: tan e C R r Rr cos [] R cos r sviluppata secondo **): C (R r) cos (R r) sin e per uanto visto in b) della pagina precedente, abbiamo C=vettore di Ellisse, di angolo E e centro in. Abbiamo cosi stabilito una corrispondenza biunivoca tra m R R r circonferenza ed ellisse legati dalle formule m R r R r r dove i valori dei semi-assi >m della ellisse vengono ad essere =A e m=p, pari alla distanza massima e minima di un punto della circonferenza dal proprio centro. Tale corrispondenza ci permette di dare la: DEFINIZIONE del"teorema dei Pianeti": data una circonferenza, ed un ualunue punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria un Ellisse e il punto-fisso il suo centro. (Vedere anche la dimostrazione del Teorema nello Spazio Cap.III Pag.4)

27 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 6 ESEMPIO 6 TEOREMA DEI PIANETI La Fig.6 è la stessa di Fig.5 con gli stessi valori OC R; O r; R r ; R r m, ma con O centro dell ellisse spostato. Possiamo uindi scrivere C R r Rr cos(8 ) R r Rr cos che sviluppata come al solito C (R r) cos (R r) sin cos m sin che è ancora l E. Di Vag di una ellisse, ma uesta volta con l euazione della ellisse scritta nel modo usuale che conosciamo. Pertanto con le solite relazioni: C cos E (R r) cos cos C ( cos ) cos E (m sin ) sin E Csin E (R r) sin msen R r m tan E tan tan R r Possiamo concludere, tenendo presente la Fig.6: m a)data una circonferenza di raggio R e un punto O distante m r dal suo centro,la distanza di ogni punto della circonferenza dal punto O è la distanza di un corrispondente punto dell ellisse dal suo centro, con angolo E dato da / angolo della circonferenza. b) e che il raggio vettore R spazza l area della circonferenza nello stesso tempo in cui il raggio vettore dell Ellisse spazza metà della propria area. La Fig.6 è tracciata con valori di R=, r=8.

28 Traslazione Rotazione Cap. VI Pag. 7 ESEMPIO 7 TEOREMA DEI PIANETI Abbiamo anche che, data una circonferenza e un punto fuori di essa O, come in Fig.3, la distanza di tale punto da tutti i punti A della circonferenza e' la distanza di un Punto di Ellisse dal proprio centro. Posto CA=R : OA OC R' OCR'cos OC R' OCR'(cos sen ) (OC R') cos (OC R') sen OA cos (OC R' ) cos Esisterà un per cui: OAsen (OC R' )sen OA ( OC R')cos cos ( OC R') sen sen ) Questa ultima espressione e' una E. di Vag che rappresenta una Ellisse con angolo al centro e assi ( OC R' ) e m ( OC R' ) con la relazione: OC R' tan tan m tan OC R' Nella Fig.3 segnata con A ricavata al computer con le caratteristiche della ellisse di centro in O, sono le stesse di uelle viste, uando tale punto era interno alla circonferenza. Invertendo con m abbiamo la figura segnata con A accanto che è la stessa di uella di sopra ma con la ellisse ruotata di 9.