V. PARAMETRI COME FUNZIONE DI CIRCONFERENZA E COME VALORI DELLE COORDINATE

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1 V. PAAMETI COME FUNZIONE DI CICONFEENZA E COME VALOI DELLE COODINATE

2 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 1 I PAAMETI DI ELLISSE, IPEBOLE E PAABOLE COME FUNZIONE DI CICONFEENZA Si è visto sin qui che il vantaggio dell uso delle Equazioni di Vag è essenzialmente nel fatto di poter dare ai membri di tale equazione valori opportuni purchè si rispetti la condizione propria di tale equazione. Qui vogliamo far vedere come sia possibile rappresentare i parametri delle Curve classiche mediante valori forniti da una circonferenza. ELLISSE Siano dunque due circonferenze di raggio rispettivamente e r, come da fig., si avrà per un angolo OQ cos e MB XQ rsen posto OX OQ XQ e per un opportuno avremo l Eq. Di Vag: OX OX OX OQ cos BMsen cos cos OQ sen rsen QX r tan tan facendo q = e m = r riavrò la classica equazione parametrica dell Ellisse in funzione delle circonferenze e dell angolo per : OX ( q cos ) cos ( m sen ) sen

3 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. IPEBOLE EQUILATEA OQ ; QA QP tan cos ( 1 sen ) OP cos OPcos cos OPsen tan tan sen ( q m ; ) Si osservi che i valori di x e y sono i valori delle funzioni Parametriche (Goniometriche)Iperboliche (vedi Cap.III "Le Curve" Pag.7). IPEBOLE OQ cos BM MT QP r tan r sen OP cos OP cos cos OP sen r tan r tan sen ( q ; m r; )

4 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 3 PAABOLA Come per l ellisse e l Iperbole anche per la Parabola e possibile il calcolo tramite una circonferenza. In precedenza abbiamo visto che le quattro Parabole fondamentali hanno come distanza di ciascun punto della curva dall origine: p p ( p x); ( p y) cioè un valore positivo uguale o maggiore a p rappresentarlo facendo con p 1 p 1 (p x) oppure (p y) cos cos il che possiamo Dalla figura vediamo OP cos posto p= ( distanza Vertice-Fuoco per definizione) avremo: p 1 ( x); ( y) cos cos cos cos x cos sen y cos per cui In questa ultima Eq. di Vag abbiamo soltanto la distanza OP(distanza di un punto di Parabola dal Fuoco nell Origine) e nessun legame tra gli angoli e per ottenere le quali e le quattro parabole, dobbiamo dare dei valori alle rispettive coordinate ricavandole dall uguaglianza precedente: x parabole aperte a destra e a sinistra cos cos y parabole aperte in alto e in basso cos cos Analizziamo le parabole aperte a destra e a sinistra cioè quelle di valore ( p x) (analogo ragionamento vale per le parabole aperte in alto e in basso). Prendiamo le parabole tipo (p+x) (aperte a destra) e scriviamone l Eq. di Vag: cos x ( ) ( 1 cos ) cos cos cos sen y cos

5 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 4 prendendo x (aperte a sinistra) il valore della y non cos cambia. Dalla prima riga del sistema si può ottenere il valore di arc cos( 1 cos ) e da questo ottenere tramite la seconda riga il valore di y. Volendo possiamo anche fare: y 1 4 ( cos ) cos cos cos y cos ( 1 cos ) cos (cos cos ) cos cos sen cos x ( ) (1 cos ) cos cos y cos 1 cos cos Tale parabola ha il fuoco nell origine e Vertice (-,0). Dividendo i membri dell Eq. di Vag avremo: cos ( 1 cos ) cos ( cos ) tan sen cos ( cos ) 1 1 ( 1 cos ) si stabilisce così il legame tra gli angoli e, e si osservi che: a] ( 1 cos )cos ( cos (1 cos )) sen è Eq. di Vag di una circonferenza di raggio. b] (1 cos )cos ( cos (1 cos ))sen cos cos cos è Eq. Di Vag di una parabola di parametro p=. Prendiamo le parabole tipo (p-x) (aperta a sinistra): x ( ) cos tutto il procedimento visto non sarebbe cambiato se non per il solo valore della x (negativo in questo caso).l Eq. di Vag risultante sarebbe stata:

6 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 5 cos x ( ) (1 cos ) cos cos cos sen y cos 1 cos cos cos cos (1 cos )cos ( cos cos cos (1 cos ))sen Il rapporto tra e non è mutato: cos (1 cos ) tan (1 cos ) cos (1 cos ) (1 cos ) Prendiamo le parabole tipo (p+y) (aperta verso l alto): cos x cos 1 cos cos cos sen y ( ) (1 cos ) cos cos cos tan (1 cos ) cos (1 cos ) cos cos cos 1 cos cos (1 cos )sen cos Prendiamo le parabole tipo (p-y) (aperta verso il basso): cos x cos 1 cos cos cos sen y ( ) (1 cos ) cos cos cos (1 cos ) tan cos (1 cos ) cos cos cos 1 cos cos (1 cos )sen cos

7 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 6 TANGENTE DELLA PAABOLA (DEIVATA) Prendiamo in considerazione i valori dell Eq.Parametrica (p+x): y cos cos 1 cos ; x 1 cos e cerchiamone la derivata prima: dy d cos dx d cos cos cos cos cos cos sen cos cos cos cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos 1 cos 1 cos cos cos cos cos cos cos cos 1 cos cos cos sen sen sen sen cos cos cos cos dy tan dx cos cos cos cos cos cos 1 cos 1 cos da quanto visto nei capitoli precedenti si avrà: Caso (p+x): dy p 1 cos cos tan dove dx y sen 1 cos 1 cos cos Caso (p-x): Caso (p+y): Caso (p-y): dy p 1 cos cos tan dove dx y sen 1 cos dy x cos 1 cos tan dove dx p 1 sen cos dy x cos 1 cos tan dove dx p 1 sen cos 1 cos cos 1 sin cos 1 sin cos

8 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 7 EQ. DEL MOTO DEGLI ASTEOIDI Da ciò che abbiamo visto nel precedente Titolo PAABOLA, scriviamo l'eq. della "PAABOLA di Vag": cos x ( ) (1 cos ) a] cos cos cos sen y cos 1 cos cos cos che può anche essere scritta (intendendo =90- cioè cos(90-)= sen): cos x ( ) (1 sen) b] sen sen sen sen y sen1 sen sen sen Entrambe hanno lo stesso significato con la sola differenza che a] parte dal vertice della parabola verso l infinito mentre la b] viene dall infinito verso il vertice. Si osservi la seguente variazione: x (1 cos ) cos 1 y cos 1 cos cos 1 dove ponendo 1= non ci sarà nessuna diversità con le Eq. Di Vag viste sopra. Se però poniamo un limite ad 1: ' '... '... '... '... ' cioè 1= fino al valore dopo di che 1= costante si avrà che nella equazione anche ' e la equazione sarà una parabola fino cos ' al valore 1= dopo di che diventerà una circonferenza di raggio

9 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 8 PAABOLA DEL MOTO TAMITE UNA SUA TANGENTE Sia ρ angolo di una tangente in A(0,) della parabola che vogliamo cercare: il tutto come in figura sopra. La tangente è relativa ad una Parabola riferita al suo Fuoco del tipo (p+x) di cui abbia visto in precedenza. dy p p 1 cos cos tan dx y sen 1 cos 1 cos dove cos e β = ρ (Cap.III Bis Pag.4) quindi il Parametro della parabola è: p=ytan(ρ)= tan(ρ) pertanto possiamo scrivere l' Eq. della parabola cercata: p cos x 1 cos p (1 cos ) sin y p parametro 1 cos sin cos (1 cos ) da cui x 1 cos sin tan tan y analogamente tan x x x tan tan Parabola

10 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 9 Il valore della x, è quello della distanza O'A=(p+x) e la x è l'ascissa del Fuoco con Coordinate O'=F(x,0)=,0. tan In funzione del valore della variabile ρ della tangente in A possiamo ottenere, con lo stesso procedimento qualunque altra parabola. Nella pagina 7, precedente, abbiamo visto come una parabola si possa trasformare in una circonferenza: cerchiamo dunque la circonferenza che passi per un dato punto T (AT= h)il che varrà per tutte le nostre parabole ottenute dalle varie tangenti, le quali rappresentano l'"alzo" nel punto A. Per definizione (p + x)= O'T =O'T'= T (raggio della circonferenza) essendo T' punto della parabola e della nuova circonferenza: abbiamo visto nella pag. precedente che se la variabile α diviene α1 costante la parabola diventa una circonferenza per T cos1 cos1 T x (1 cos ) T (1 cos ) cos 1 y cos 1 cos T cos 1 cos cos 1 l'ultima espressione è l'eq. parametrica della circonferenza di raggio T passante per T.

11 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 10 SCHEMA DEI VALOI DELLE COODINATE - -m O +m +q + (derivate) q cos (q-m)cos + m (mcos- m) (q+m)cos - m m cos m m cos m m cos -q sen -(q-m)sen -m sen -(q+m) sen msen cos msen cos msen cos Si possono prendere in considerazione anche i valori seno e tangente.

12 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 11 Una particolare applicazione per convertire dell espressioni in coordinate parametriche è quella di utilizzare i PAAMETI dell ellisse e dell iperbole. Nel relativo capitolo avevamo descritto le curve ellisse e iperbole partendo dalle equazioni generiche: Ellisse Iperbole Iperboli (I ;II ) con asintoti le rette q e m x q cos y msin x q cos y msin cos x q cos a) y m sin x q cos b) y msin mq mx cos qysin ( mq) ( mx) ( qy) mx yx mq cos qysin mx sin qycos ( mq) ( mx) ( qy) mx mq cos yxsin ( yx) ( mx) ( qy) ( yx) ( mx) ( mq ) Come esempio di applicazione di queste formule si abbia, la generica espressione: ax by non avendo qui importanza se a è maggiore o minore di b, possiamo considerare a=m e b=q e scrivere: mx qy questa espressione raffrontata con la tabellina vista sopra può essere uguagliata alla ellisse per (mq) e dare mq mx cos qysin oppure all iperbole per (yx) e dare yx mx sin qycos : la scelta dipende evidentemente dall uso e significato che vogliamo.

13 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 1 PAAMETI COME VALOI DELLE COODINATE Agli assi x e y è possibile assegnare dei valori secondo quanto visto nel precedente capitolo SCHEMA DEI VALOI DELLE COODINATE. Per esempio posso considerare x=qcos1 e y=mcos e se poi considero cos 1 + cos = 1 posso anche scrivere x=qcos1 e y=msen1 che come Eq. di Vag rappresenta una Ellisse. Analogamente avrei potuto scrivere x=dcos1 e y=(q-m)cos+m e per la medesima considerazione fatta sopra y=(q-m)sen1+m e così via per tutte le altre combinazioni. Tracciamone un esempio: x=(q-m)cos+m e y=d sen, con : Si osservi che per d= l Ellisse è data da: x cos 3 y sin cioè una circonferenza il cui centro è spostato dall origine O di 3.

14 LA GEOMETIA CON L EQ. PAAMETICA DI VAG Parametri Cap. V Pag. 13 LA FIGUA UOVO Manipolando opportunamente la formula parametrica possiamo ottenere diverse e nuove figure. Questa che presentiamo è derivata dalla Ellisse e assume la forma di un UOVO. x (q cos ) cos La formula: y m sin Dove q ed m sono i semi assi dell Ellisse; un qualunque valore.