Scrittura delle equazioni del moto di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

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1 Scrittura dee equazioni de moto di un sistema ineare viscoso a più gradi di ibertà Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 1

2 Matrice di rigidezza Teoricamente, i coefficienti dea matrice di rigidezza associati a un insieme di gradi di ibertà possono essere cacoati determinando e forze che mantengono in equiibrio i sistema in una configurazione deformata assegnata. Tuttavia, a crescere de numero dei gradi di ibertà, questo modo di procedere risuta de tutto inefficiente. Nei casi pratici, i procedimento più conveniente per determinare e proprietà eastiche di un sistema strutturae è basato su metodo degi eementi finiti. La struttura è suddivisa in un insieme discreto di eementi, gi eementi finiti, interconnessi tra di oro in punti, detti punti nodai. Le proprietà eastiche dea struttura si determinano cacoando iniziamente quee dei singoi eementi, che vengono poi sommate in maniera appropriata. Pertanto, i probema dea definizione dea matrice di rigidezza di una struttura si riduce aa vautazione dea matrice di rigidezza di un tipico eemento finito. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture

3 Eementi finiti di una struttura inteaiata Ne caso dee strutture inteaiate, gi eementi finiti sono costituiti dae aste de teaio. Si consideri a seguente trave piana ad asse rettiineo di unghezza e rigidezza fessionae EI(x), in cui i punti nodai coincidono con e estremità. Se si assume che a trave sia assiamente indeformabie, i gradi di ibertà nodai sono quattro, e due trasazioni e e due rotazioni, indicati rispettivamente in figura con u 1, u, u 3 e u 4. In figura sono anche riportate e corrispondenti forze nodai, indicate con f 1, f, f 3 ed f 4. gradi di ibertà nodai u 3 u 4 u 1 u forze nodai f 3 f 4 f 1 f Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 3

4 Spostamenti e forze nodai Indicando con f e u i vettori dee forze e degi spostamenti nodai si ha f = ku dove k è a matrice di rigidezza de eemento finito considerato. In forma espicita si ha f 1 f f 3 f 4 = k 11 k 1 k 13 k 14 k 1 k k 3 k 4 k 31 k 3 k 33 k 34 k 41 k 4 k 43 k 44 u 1 u u 3 u 4 u 3 gradi di ibertà nodai u 4 u 1 u forze nodai f 3 f 4 f 1 f Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 4

5 Funzioni di forma I termini dee coonne dea matrice k sono e forze nodai corrispondenti ae deformate ψ 1 (x), ψ (x), ψ 3 (x) e ψ 4 (x) associate a spostamenti nodai unitari, dette funzioni di forma. u 1 = 1 u = u 3 = u 4 = 0 u = 1 u 1 = u 3 = u 4 = 0 1 k 31 k 11 k 41 k 3 k 4 k 1 k 1! 1 (x)! (x) k 1 u 4 = 1 u 1 = u = u 3 = 0 k 33 1 u 3 = 1 u 1 = u = u 4 = 0 k 43 k 13! 3 (x) k 3 k 34 1 k 44! 4 (x) k 14 k 4 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 5

6 Cacoo di k ij I generico coefficiente k ij può essere determinato mediante i principio dei avori virtuai. Come esempio si cacoa i coefficiente k 13. I sistemi dee forze e degi spostamenti sono indicati in figura. I avori virtuai esterno e interno si scrivono rispettivamente L ve = k 13 δu 1 L vi = f M 3 0 ( ) χ 1 (s) ( )dx ( ) x x = = EI ( x) ψ 3 ( x)δu 1 ψ 1 ( x) dx = 0 = δu 1 EI x Uguagiando L ve con L vi, si ha 0 ( ) ( x) ψ 1 ψ 3 ( x)dx k 33 1!u 1 sistema dee forze k 43 k 13 " 3 (x) k 3 sistema degi spostamenti!u 1 " 1 (x) k 13 = 0 EI x ( ) ( x) ψ 1 ψ 3 ( x)dx Questa reazione può essere generaizzata a cacoo di ogni termine, che è quindi dato da k ij = 0 EI x ( ) ( x) ψ i ψ j ( x)dx Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 6

7 Vautazione dee funzioni di forma 1/ Le funzioni di forma ψ 1 (x), ψ (x), ψ 3 (x) e ψ 4 (x) potrebbero essere assunte come forme arbitrarie che soddisfano e condizioni nodai e a continuità interna de asta. In generae, tuttavia, sono cacoate come e forme di spostamento di travi uniformi soggette a spostamenti nodai unitari. Possono essere vautate con i metodo de equazione dea inea eastica, imponendo e opportune condizioni a contorno. Come esempio si cacoa a funzione ψ 1 (x). L equazione dea inea eastica si scrive ψ 1 IV ( x) = 0 i cui integrae generae è i seguente poinomio di terzo grado ψ 1 ( x) = A 0 + A 1 x + A x + A 3 x 3 Le costanti A 1, A, A 3 e A 4 possono essere cacoate attraverso e condizioni nodai ψ 1 0 ψ 1 0 ( ) = 1 ( ) = 0 ; ψ 1 ψ 1 ( ) = 0 ( ) = 0 Dopo sempici passaggi si ottiene Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 7

8 Vautazione dee funzioni di forma / A 0 = 1 ; A 1 = 0 ; A = 3 ; A 3 = 3 Pertanto, a funzione di forma ψ 1 (x) si scrive ψ 1 ( x ) = 1 3 x + x 3 Vautate ao stesso modo, e atre funzioni di forma assumono a forma ψ ( x ) = 3 x x 3 ψ 3 ψ 4 ( x ) = x 1 x ( x ) = x x 1 x Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 8

9 Matrice di rigidezza eementare Assumendo che eemento considerato sia a sezione costante, i coefficienti di rigidezza si cacoano con a reazione k ij = EI ( x) ( x)dx ψ i 0 e a matrice di rigidezza eementare assume a forma k = EI 3 ψ j Si osserva che i coefficienti di rigidezza sono esatti ne caso di una trave uniforme in cui si possono trascurare e deformazioni tagianti, perché e funzioni di interpoazione ψ 1 (x), ψ (x), ψ 3 (x) e ψ 4 (x) sono e vere deformate di questo caso. Tuttavia, anche se a trave non è uniforme, i coefficienti di rigidezza così cacoati costituiscono una buona approssimazione di quei veri, soprattutto se a struttura è suddivisa in un numero sufficiente di eementi finiti. Dopo avere determinato a matrice di rigidezza di tutti gi eementi finiti, a matrice di rigidezza de intera struttura può essere ottenuta sommando in modo appropriato i coefficienti di rigidezza dei singoi eementi. Tae procedimento prende i nome di metodo dea rigidezza diretta. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 9

10 I metodo dea rigidezza diretta 1/5 Si consideri i seguente sistema a tre gradi di ibertà di cui si vuoe determinare a matrice di rigidezza con i metodo dea rigidezza diretta. u u 3 u 1 EI EI EI Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 10

11 I metodo dea rigidezza diretta /5 Coefficienti dea prima coonna: u 1 = 1, u = 0, u 3 = 0. u 1 = 1 k 1 u = u 3 = 0 k 31 k 11 1EI 3 k 1 1EI 3 1EI k 31 3 k 11 1EI EI 3 1EI k = EI EI 3 k 11 = 4EI 3 k 1 = k 31 = 1EI 3 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 11

12 I metodo dea rigidezza diretta 3/5 Coefficienti dea seconda coonna: u 1 = 0, u = 1, u 3 = 0. k u = 1 u 1 = u 3 = 0 k 3 k 1 k 4EI 4EI EI EI k 3 k EI k = EI EI 1 k 1 = k = 8EI k 3 = EI 3 1 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 1

13 I metodo dea rigidezza diretta 4/5 Coefficienti dea terza coonna: u 1 = 0, u = 0, u 3 = 1. k 3 u 1 = u = 0 u 3 = k 33 k 13 k 3 EI 4EI k 33 k 13 4EI k = EI k 13 = k 3 = EI k 33 = 8EI EI 3 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 13

14 I metodo dea rigidezza diretta 5/5 La matrice di rigidezza si scrive quindi u u 3 k = EI EI EI EI u 1 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 14

15 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 15

16 Matrice di massa Quando intera massa è concentrata nei punti in cui sono definiti i gradi di ibertà trasazionai, a matrice di massa è diagonae e assume a forma M = m m m m i m N in cui i numero dei termini è pari a queo dei gradi di ibertà. I termini fuori diagonae m ij si annuano perché un acceerazione di una massa concentrata produce una forza d inerzia soo in corrispondenza di quea massa. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 16

17 Matrice di smorzamento Se fosse possibie determinare e varie forze dissipative che agiscono durante i moto di una struttura, i metodo degi eementi finiti potrebbe essere utiizzato anche per definire i termini dea matrice di smorzamento C. I generico coefficiente potrebbe essere cacoato mediante a reazione c ij = c(x) ψ i (x) ψ j (x) dx 0 in cui a funzione c(x) rappresenta e proprietà di smorzamento viscoso distribuito. Dopo aver determinato a matrice di smorzamento di ogni eemento, quea de intera struttura potrebbe essere ottenuta mediante un procedimento di sovrapposizione anaogo a queo de metodo dea rigidezza diretta. In pratica, tuttavia, e funzioni c(x) non sono note. Per questa ragione, o smorzamento è di soito espresso in termini di rapporti di smorzamento, che possono essere stabiiti sperimentamente, piuttosto che per mezzo di una matrice di smorzamento C. Quaora fosse espicitamente richiesta, a matrice di smorzamento può essere cacoata a partire da vaori specificati dei rapporti di smorzamento, come sarà mostrato in seguito. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 17

18 Vettore dei carichi Se i carico dinamico agente su una struttura è costituito da forze concentrate agenti in corrispondenza dei gradi di ibertà dinamici, i vettore dei carichi può essere scritto direttamente p(t) = In generae, però, i carichi possono essere appicati in punti distinti da quei nodai e possono anche incudere carichi distribuiti. In questo caso e componenti de vettore dei carichi sono forze generaizzate associate con gi spostamenti dei gradi di ibertà. I modo più sempice di definire queste forze consiste ne vautare un insieme di forze concentrate, staticamente equivaenti ai carichi distribuiti effettivamente appicati. A tae scopo si assume che i carichi siano appicati aa struttura attraverso una serie di travi appoggiate in corrispondenza dei punti nodai. Le reazioni agi estremi di queste travi costituiscono e forze nodai generaizzate. Questo modo di procedere conduce a forze appicate soo ai gradi di ibertà trasazionai. Le forze nodai rotazionai saranno nue, a meno che sui nodi agiscano anche coppie esterne concentrate. p 1 p p i p N Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 18

19 Condensazione statica dea matrice di rigidezza 1/4 I gradi di ibertà di una struttura inteaiata sono dati dagi spostamenti dei nodi in cui sono interconnessi due o più eementi finiti. Per esempio, un nodo di un teaio piano ha tre gradi di ibertà, due trasazioni e una rotazione, mentre un nodo di un teaio spaziae ne ha sei, tre trasazioni e tre rotazioni. I numero totae dei gradi di ibertà può essere notevomente ridotto se si trascurano e deformazioni assiai degi eementi strutturai. In genere queste utime possono essere trascurate sempre ne caso dee travi, mentre soo in edifici non troppo ati ne caso dei piastri. Si osserva che, in una medesima struttura, i numero di gradi di ibertà da considerare in un anaisi dinamica può essere moto diverso di queo da considerare in un anaisi statica. Ne caso di un anaisi statica, infatti, a matrice di rigidezza deve essere cacoata mettendo in conto tutti i gradi di ibertà de sistema strutturae. Tuttavia, moti di questi gradi di ibertà sono ininfuenti nea formuazione di un anaisi dinamica, perché a essi non corrisponde acuna massa, come di soito accade per quei rotazionai. Per questa ragione e dimensioni dee matrici di massa e di smorzamento risutano in genere inferiori a quee dea matrice di rigidezza. Per scrivere e equazioni de moto è dunque necessario eiminare questi gradi di ibertà anche daa matrice di rigidezza. I procedimento, denominato condensazione statica dea matrice di rigidezza, è iustrato da seguente esempio. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 19

20 Condensazione statica dea matrice di rigidezza /4 Si consideri i teaio piano a due campate e tre eevazioni iustrato in figura, costituito da aste assiamente indeformabii, in cui e masse sono concentrate soo in corrispondenza dei traversi. I teaio possiede dodici gradi di ibertà statici, e tre trasazioni dei traversi e e nove rotazioni dei nodi. Però i gradi di ibertà dinamici sono soo tre, perché soo ai tre gradi di ibertà trasazionai sono associate e forze d inerzia che nascono durante i moto. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 0

21 Condensazione statica dea matrice di rigidezza 3/4 Trascurando o smorzamento e separando i gradi di ibertà trasazionai u t da quei rotazionai, privi di massa, e equazioni de moto in forma partizionata si scrivono u ϕ M t [3x 3] 0 [3x9] 0 [9 x 3] [9 x9] 0 u t [3x1] u ϕ [9 x1] + [3x 3] K tt [9 x 3] K ϕt [3x9] K tϕ [9 x9] K ϕϕ u t [3x1] u ϕ [9 x1] = [3x1] p t [9 x1] 0 Separando e due equazioni partizionate si ha M t u t (t) + K tt u t (t) + K tϕ u ϕ (t) = p t (t) K ϕt u t (t) + K ϕϕ u ϕ (t) = 0 Daa seconda si ha u ϕ (t) = K 1 ϕϕ K ϕt u t (t) che sostituita nea prima fornisce M t u t (t) + ( K tt K tϕ K 1 ϕϕ K ϕt )u t (t) = p t (t) Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 1

22 Condensazione statica dea matrice di rigidezza 4/4 cioè M t u t (t) + ( K tt K tϕ K 1 ϕϕ K ϕt )u t (t) = p t (t) M t u t (t) + K t u t (t) = p t (t) in cui K t = K tt K tϕ K 1 ϕϕ K ϕt è a matrice di rigidezza condensata, che ha e stesse dimensioni dea matrice di massa. In definitiva, equazione M t u t (t) + K t u t (t) = p t (t) consente di cacoare a risposta in termini dei gradi di ibertà trasazionai, mentre equazione u ϕ (t) = K 1 ϕϕ K ϕt u t (t) permette di ottenere a risposta anche in termini dei gradi di ibertà rotazionai. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture

23 Equazione de moto per moti de suoo 1/4 In anaogia a equazione de moto di un sistema ineare viscoso a un grado di ibertà, si può scrivere M u t (t) + C u(t) + Ku(t) = 0 I vettore degi spostamenti totai dei gradi di ibertà si può esprimere come a somma degi spostamenti rispetto aa base più i contributo aggiuntivo dovuto a moto de suoo. Ne caso piano si ha u t (t) = u(t) + ru g (t) in cui u g (t) è o spostamento de suoo ed r è i cosiddetto vettore pseudo-statico. Le componenti di r sono o pari a uno, quando i corrispondente grado di ibertà è diretto secondo i moto de suoo, o pari a zero quando è ortogonae. Le componenti de vettore pseudostatico, cioè, rappresentano gi spostamenti dei gradi di ibertà conseguenti a uno spostamento statico unitario de suoo. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 3

24 Equazione de moto per moti de suoo /4 Ne caso di un teaio piano con gradi di ibertà di soa trasazione, e componenti de vettore pseudostatico sono tutte pari ad uno. u 3 = 1 u = 1 r = u 1 = 1 u g = 1 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 4

25 Equazione de moto per moti de suoo 3/4 Per i seguente sistema a due gradi di ibertà, invece, e componenti di r sono pari a 1 e 0 rispettivamente m u 1 u 1 = 1 u u = 0 r = 1 0 u g = 1 Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 5

26 Equazione de moto per moti de suoo 4/4 Sostituendo a reazione u t (t) = u(t) + ru g (t) nee equazioni de moto M u t (t) + C u(t) + Ku(t) = 0 si ottiene M u(t) + C u(t) + Ku(t) = Mr u g (t) L azione corrispondente a moto de suoo può quindi essere descritta daa forza equivaente p eq (t) = Mr u g (t) Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 6

27 La risposta in termini di soecitazioni 1/ La souzione dee equazioni de moto fornisce a risposta in termini di spostamento, veocità e acceerazione dei gradi di ibertà. Da queste quantità possono essere determinati gi sforzi nei singoi eementi, necessari per i progetto o a verifica dea struttura. Si possono seguire due diversi procedimenti: (a) Per ogni istante di tempo t *, gi spostamenti nodai di ogni eementi finito possono essere ricavati da vettore u(t * ). Se u(t * ) incude soo i gradi di ibertà trasazionai, quei rotazionai possono essere ottenuti attraverso a reazione u ϕ (t * ) = K 1 ϕϕ K ϕt u t (t * ) vautata per t = t *. Dagi spostamenti nodai in termini di trasazioni e di rotazioni si possono poi determinare e corrispondenti forze nodai mediante a reazione f 1 f f 3 f 4 = k 11 k 1 k 13 k 14 k 1 k k 3 k 4 k 31 k 3 k 33 k 34 k 41 k 4 k 43 k 44 u 1 u u 3 u 4 Tai forze consentono i cacoo degi sforzi interni in tutte e sezioni trasversai desiderate. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 7

28 La risposta in termini di soecitazioni / (b) Per ogni istante di tempo t *, e forze statiche equivaenti f s (t * ) possono essere cacoate mediante a reazione f S (t * ) = Ku(t * ) Gi sforzi negi eementi strutturai possono essere determinati mediante un anaisi statica dea struttura soggetta ae forze f s (t * ). Tuttavia, quaunque sia i metodo seguito, per avere una conoscenza adeguata dea risposta anaisi deve essere ripetuta per un numero eevato di istanti di tempo. Prof. Adofo Santini - Dinamica dee Strutture 8