Metodi di riduzione del modello dinamico Dott. Lotti Nevio

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1 1. Metodi di riduzione del modello dinamico Nel mettere insieme modelli dinamici di elementi diversi di una struttura (come avviene nel caso di un velivolo e del suo carico utile, ma anche per i diversi elementi del velivolo e per i diversi elementi strutturali della struttura alare o della fusoliera) risulta particolarmente evidente l opportunità di lavorare su dei modelli dinamici ridotti (costruiti cioè con un numero limitato di gradi di libertà rispetto a quelli utilizzati ad esempio per modelli statici). Si osserva anche come generalmente i diversi elementi strutturali sono sviluppati e realizzati da Enti diversi nell ambito di un progetto comune e richiedono quindi una procedura di normalizzazione dei modelli. Si nota poi che le caratteristiche dinamiche di una struttura, almeno per quanto riguarda pulsazioni fondamentali e coefficienti di smorzamento modale, sono delle caratteristiche globali della struttura stessa (legate cioè alla situazione complessiva della struttura) mentre l analisi statica tende a valutare comportamenti locali ( legati ad esempio a concentrazione di sforzi) e quindi mentre un modello per l analisi statica richiede un numero molto elevato di gradi di libertà (per seguire in dettaglio i comportamenti locali) un modello per l analisi dinamica può essere di tipo sintetico. Naturalmente un modello dinamico ridotto deve conservare una precisione significativa rispetto a quella ottenibile dal modello dinamico completo; si devono quindi richiedere delle specifiche del tipo: i) le frequenze naturali del modello ridotto devono presentare delle differenze limitate entro qualche per cento rispetto a quelle valutate con il modello completo; ii) i termini diagonali della matrice relativa al test di ortogonalità devono essere maggiori di 0.95 e quelli fuori diagonale devono essere minori di 0.05; iii) i termini diagonali della matrice del MAC devono essere maggiori di 0.95 e quelli fuori diagonale devono essere minori di Metodo di condensazione statica (riduzione di Guyan) Le equazioni del modello dinamico senza tenere conto dello smorzamento sono: M x + K x = F (1) Si indicano con x p i gradi di libertà principali (sono i gradi di libertà che rimangono nel modello ridotto) e con x s i gradi di libertà secondari (sono i gradi di libertà che non rimangono direttamente nel modello ridotto), suddividendo i vettori x, x e le matrici M, K secondo i gradi di libertà secondari e principali si ha: M pp M ps x p + K pp K ps x p = F p (2) M sp M ss x s K sp K ss x s F s La matrice M pp comprende le masse ed i momenti di inerzia più grandi presenti nella struttura, in modo tale che le forze di inerzia più importanti sono appunto quelle legate al termine M pp x p e quindi, insieme con l ipotesi che le forze esterne applicate sui gradi di libertà secondari siano nulle (o almeno trascurabili rispetto a quelle applicate sui gradi di libertà principali), si ha: 1

2 M pp 0 x p + K pp K ps x p = F p (3) 0 0 x s K sp K ss x s 0 dalla seconda equazione definita dalle (3) si ottiene: K sp x p + K ss x s = 0 (4) Quindi se la matrice K ss non è una matrice singolare (e risulta di conseguenza invertibile il che dipende da una scelta opportuna dei gradi di libertà principali) si ottiene : x s = - K ss -1 K sp x p (5) Si ha quindi il legame tra i gradi di libertà secondari (che non appariranno direttamente nel modello ridotto) ed i gradi di libertà principali (che rimangono nel modello ridotto). Si nota come nella matrice di trasformazione, definita dalla (5), tra i gradi di libertà secondari e quelli principali appaiano soltanto gli elementi della matrice di rigidezza (da cui deriva il nome di condensazione statica). Il vettore x che tiene conto di tutti i gradi di libertà del modello iniziale si può esprimere (per mezzo di una opportuna matrice di trasformazione) in termini dei soli gradi di libertà principali con la: x = T x p (6) dove con T si indica la matrice di trasformazione che fa passare dai gradi di libertà principali (in numero pari a p) a quelli totali (in numero pari ad n dove n = p +s ); la matrice di trasformazione dipende dagli elementi della matrice di rigidezza. Si ha : T = I (7) -K -1 ss K sp Imponendo poi l eguaglianza della energia cinetica e della energia potenziale nel modello iniziale ed in quello ridotto si ottiene: M R = T T M T (8) K R = T T K T Si definisce così, nel caso di problema non forzato, il sistema ridotto: M R x p + K R x p = 0 (9) La scelta dei gradi di libertà da mantenere come principali richiede di valutare i gradi di libertà che sono collegati con le masse più importanti della struttura e la distribuzione geometrica dei gradi di libertà principali deve essere tale da consentire una stima delle deformate modali; un criterio di scelta può essere legato alla relazione (che si riferisce appunto alla scelta dei gradi di libertà ai quali sono legate le masse più importanti): (1/2π) k ii /m ii 1.5 f max dove con k ii e m ii si intendono i termini diagonali delle matrici di rigidezza e di massa e f max indica la massima frequenza di interesse. 2

3 Dal modello ridotto si determinano gli autovalori λ p e gli autovettori Φ pr. l autovettore completo (con n componenti) si ottiene dall autovettore ridotto (con p componenti) sempre mediante la matrice di trasformazione T, con la : Φ pc = T Φ pr (10) 3. Confronto dei parametri modali Per quanto riguarda un confronto tra i parametri modali che si ottengono da un modello ridotto e quelli che corrispondono al modello completo si hanno diversi criteri di uso generale. Mentre il confronto sulla base delle pulsazioni naturali è diretto (tramite tabelle o grafici) e così avviene per un eventuale confronto sulla base dei coefficienti di smorzamento il confronto sulla base delle deformate modali richiede l uso di indici opportunamente definiti. Il MAC (indice di fiducia modale) è definito per il modo k-simo dalla: (Φ T k Φ kr ) 2 MAC k = (11) (Φ k T Φ k )(Φ kr T Φ kr ) Per ogni confronto modale il MAC è un numero compreso tra 0 ed 1, dove 1 od un valore molto vicino ad 1 indica che le due deformate modali a confronto sono proporzionali, quindi uguali a meno di una costante, mentre un valore vicino allo zero indica che tra i due modi a confronto non c è corrispondenza (sono modi quasi ortogonali, quindi probabilmente due modi diversi della struttura). Un altro criterio di confronto si basa sull indice NCO (indice normalizzato di ortogonalità del k-simo modo), definito dalla : (Φ T k M Φ kr ) 2 NCO k = (12) (Φ T k M Φ k )(Φ T kr M Φ kr ) Questo indice verifica, attraverso il controllo di ortogonalità, per il modo k-simo, rispetto alla matrice di massa, la corrispondenza tra la deformata modale del modello completo e la deformata modale proposta dal modello ridotto. Un altro criterio di confronto si basa sul test di ortogonalità incrociata CO definito dalla:: CO = Φ k T M Φ kr (13) Anche per questo indice i termini sulla diagonale principale devono essere vicini ad uno e quelli fuori diagonale vicini a zero, con questo indice si verifica l ortogonalità rispetto alla matrice di massa del modello completo degli autovettori ottenuti dal modello ridotto. 4. Modello ridotto di Craig-Bampton Nel metodo di Craig-Bampton si indicano con x j i gradi di libertà esterni (posti al contorno della struttura) e con x i i gradi di libertà interni della struttura libera. Il vettore x dei gradi di libertà del sistema non smorzato si può esprimere in termini dei modi rigidi con 3

4 x j = I e delle deformate elastiche Φ p della struttura vincolata che si ottiene con i gradi di libertà esterni al contorno fissati, x j = 0, si ha la posizione : x = [ Φ R Φ p ] X = Ψ X (14) La matrice Ψ comprende i modi rigidi e le deformate elastiche della struttura vincolata con i gradi di libertà esterni al contorno fissati. Il vettore X comprende i gradi di libertà al contorno x j e le coordinate generalizzate η p. Con questa posizione (trasformazione secondo Craig- Bampton) nell equazione del sistema senza smorzamento si ottiene: Ψ T M Ψ X + Ψ T K Ψ X = Ψ T F (15) si nota che il numero p delle coordinate generalizzate, corrispondente al numero dei modi elastici vincolati della struttura che si prende in considerazione, è generalmente molto piccolo rispetto al numero n dei gradi di libertà del sistema nel modello strutturale di partenza. Si indicano con M CB e K CB le matrici di massa e di rigidezza ridotta secondo l approccio di Craig-Bampton, le dimensioni delle matrici ridotte sono pari a (j + p, j + p) che risultano molto limitate rispetto al numero n dei gradi di libertà del sistema di partenza. In sintesi con il metodo di Craig-Bampton si impiega un numero limitato di modi fondamentali della struttura considerata vincolata rispetto ai gradi di libertà del contorno e si ottiene il sistema ridotto : M CB X + K CB X = Ψ T F (16) Il metodo di Craig-Bampton è basato sull idea di rappresentare il comportamento dinamico della struttura libera con l impiego dei modi rigidi della struttura (in numero j pari al numero dei gradi di libertà vincolati ed al numero massimo di modi rigidi compatibili con la struttura) e di un numero (molto limitato) di modi elastici della struttura che viene considerata come incastrata secondo i gradi di libertà al contorno. Con il modello definito dalla (16) si ottengono le pulsazioni e i modi fondamentali della struttura libera. 5. Il metodo SEREP (System Equivalent Reduction Expansion Process) Questo metodo è stato proposto da Kammer ed è basato sulla suddivisione delle deformate modali calcolate per la struttura in componenti principali e componenti secondarie e sulla definizione di matrici pseudo inverse. Il vettore x viene proiettato sulla matrice modale Φ ed il numero dei gradi di libertà che vengono conservati, m, (si riferisce al numero dei modi fondamentali che si vuole utilizzare per il modello ridotto) è molto più piccolo del numero totale dei gradi di libertà, n, si può scrivere, in analogia con il classico approccio modale : x = Φ η (17) dove il vettore η indica le coordinate generalizzate; il vettore x si suddivide in due gruppi, secondo i gradi di libertà principali x p (che rimangono nel processo di condensazione) ed i gradi di libertà secondari x s (che sono eliminati nel processo di condensazione) : x = x p = Φ p η (18) x s Φ s 4

5 dove con Φ p si indicano le componenti degli autovettori secondo i gradi di libertà principali e con Φ s si indicano le componenti degli autovettori secondo i gradi di libertà secondari. Si può quindi esprimere il vettore x in termini dei soli gradi di libertà principali x p con la relazione : x = x p = I x p = T Kammer x p (19) x s T SP Per esplicitare la matrice di Kammer in termini della matrice modale si pone : x p = Φ p η (20) Si vuole esprimere il vettore delle coordinate generalizzate η in termini di x p. La matrice Φ p, che si ricava dalla matrice modale Φ, in generale è una matrice rettangolare; le dimensioni della matrice Φ p dipendono dal numero p dei gradi di libertà principali e dal numero m dei modi fondamentali che si considerano nel modello ridotto, in generale il numero dei modi fondamentali è diverso, e probabilmente molto minore, del numero dei gradi di libertà principali. In sintesi la matrice Φ p è in generale una matrice rettangolare e quindi la sua inversa non è definibile. Premoltiplicando per la matrice Φ p T si ottiene la relazione : Φ p T x p = Φ p T Φ p η (21) la matrice Φ p T Φ è certamente una matrice quadrata di dimensioni (n-s, n-s) dove n sono i gradi di libertà del modello dinamico iniziale ed s sono i gradi di libertà secondari, quindi si tratta di una matrice quadrata di dimensioni p (cioè di dimensioni corrispondenti al numero dei gradi di libertà principali). In generale si tratta di una matrice non singolare (quindi esiste la sua matrice inversa), dalla (21) si può porre : η = (Φ p T Φ p ) -1 Φ p T x p (22) la matrice (Φ p T Φ p ) -1 Φ p viene indicata come matrice pseudo inversa della matrice Φ p, naturalmente la matrice pseudo inversa coincide con la matrice inversa se si dispone di tutti gli elementi della matrice quadrata Φ p (in altri termini se il numero dei modi fondamentali impiegati nel processo di riduzione è pari al numero dei gradi di libertà principali m = p ). In maniera analoga i gradi di libertà secondari si possono esprimere in termini dei gradi di libertà principali, si ha infatti : x s = Φ s η (23) Si può esprimere η in termini di x p e si ha quindi : x s = Φ s (Φ p T Φ p ) -1 Φ p T x p = T sp x p (24) Con la (24) si è definita la matrice di trasformazione T sp e quindi dalla (19) si ricava la matrice di Kammer : x p = I x p = T kammer x p (25) x s T sp Si ottiene infine la matrice di massa ridotta (con il metodo SEREP) dalla : 5

6 M serep = T K T M T K (26) Ed analogamente la matrice di rigidezza ridotta (con il metodo SEREP) dalla : K serep = T K T K T K (27) Questo metodo di riduzione costruisce delle matrici di massa e di rigidezza ridotte che conservano un significato fisico. In genere i gradi di libertà principali corrispondono a delle possibili posizioni di misura per una fase sperimentale : se si procede ad un confronto numerico sperimentale risulta particolarmente conveniente mantenere nel modello ridotto come gradi di libertà principali quelli corrispondenti ai punti di misura. Si osserva infine che la matrice di Kammer T K ha dimensioni (n, p) e quindi le matrici di massa e di rigidezza ridotta costruite con il metodo SEREP hanno dimensioni (p, p) cioè le dimensioni del sistema ridotto sono quelle corrispondenti al numero dei gradi di libertà principali. 6.Prove sperimentali Nel campo delle prove sperimentali su di una struttura in campo dinamico si possono considerare due tipologie diverse legate all obiettivo di identificare le caratteristiche dinamiche proprie ( analisi modale ) o di valutare la risposta della struttura a sollecitazioni assegnate. 6.1 Prove di analisi modale Queste prove tendono a valutare le caratteristiche proprie di una struttura (frequenze naturali, coefficienti di smorzamento modale, deformate modali) ; non riproducono delle condizioni di lavoro della struttura, ma la sollecitazione impressa è molto limitata ed i risultati che si ottengono sono del tutto indipendenti dalla sollecitazione stessa. L obiettivo della prova è quello di individuare le caratteristiche proprie della struttura che non dipendono dalla sollecitazione di ingresso. Si nota come i dati del modello numerico di una struttura sono legati alla matrici di massa e di rigidezza (poiché la stima numerica delle caratteristiche della matrice di smorzamento non è in genere significativa) mentre i dati sperimentali sono certamente legati anche alle caratteristiche di smorzamento della struttura in prova (e permettono così di ottenere delle stime significative della dissipazione di energia). I modi fondamentali che si ottengono dalle prove sperimentali sono in realtà dei modi complessi e non reali come quelli che si ottengono dalla simulazione numerica. In realtà i dati sperimentali che si ottengono per strutture di tipologia tipica in campo aeronautico e spaziale sono in genere debolmente complessi (per quanto riguarda le deformate modali). Si ricorda che nel caso in cui lo smorzamento sia di tipo proporzionale (rispetto alla distribuzione di massa e di rigidezza) le deformate modali sono reali. In generale (in particolare nel caso di strutture debolmente smorzate) esistono dei metodi numerici per tradurre le deformate modali complesse che si ottengono dai dati sperimentali in deformate modali reali. Il confronto tra dati numerici e dati sperimentali viene poi condotto sulla base degli indici, MAC, NCO, CO precedentemente definiti, per quanto riguarda le deformate modali mentre le pulsazioni proprie si possono confrontare direttamente. Esistono poi diverse tecniche che permettono anche di modificare ( con metodi di aggiornamento) il modello numerico iniziale sulla base dei dati sperimentali ottenuti in modo tale da adattare il più possibile il modello numerico ai dati sperimentali stessi. 6

7 6.2 Prove di qualificazione (prove di risposta) In questo caso la struttura viene sottoposta a delle forze di ingresso che sono direttamente collegate alle sollecitazioni previste in esercizio ; l obiettivo è proprio quello di valutare il comportamento della struttura in condizioni di lavoro (almeno per alcune situazioni rappresentative delle condizioni di lavoro). Prove di questo tipo sono impiegate in particolare per la qualificazione di strutture spaziali : ad esempio per la qualificazione di satelliti in modo da ottenere l accettazione del carico pagante da parte dell ente responsabile della gestione del lanciatore. La prova viene eseguita ponendo la struttura del satellite su di una piattaforma vibrante (in direzione assiale o laterale) alla quale vengono assegnati degli ingressi, che riproducono le condizioni di lancio, secondo specifiche assegnate. 7